2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 視圖與投影培優(yōu)講義

^考點(diǎn)直擊

1.投影：一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫作物體的投影，照射光線叫作投影線，投影所在

的平面叫作投影面.

平行投影：有時(shí)光線是一組互相平行的射線，例如太陽(yáng)光和探照燈中的光線，由平行光線形成的投影.

中心投影：由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影.

平行投影與中心投影的區(qū)別與聯(lián)系：

區(qū)別

聯(lián)系

光線物體與投影面平行時(shí)的投影

平行投影平行的投射線全等

都是物體在光線的照射下，在某個(gè)平面內(nèi)形

成的影子（即都是投影）

中心投影從一點(diǎn)出發(fā)的投射線放大（位似變換）

正投影：投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影。物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置和角度有關(guān).

斜投影：投影線不平行于投影面產(chǎn)生的投影.

2.三視圖：三視圖是觀測(cè)者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形.

從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖一能反映物體的前面形狀.

從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖--能反映物體的上面形狀.

從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖一能反映物體的左面形狀.

三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總稱.

3.三視圖--畫法：主俯長(zhǎng)對(duì)正、主左高平齊、俯左寬相等.

俯視圖

即：主視圖和俯視圖的長(zhǎng)要相等；主視圖和左視圖的高要相等；左視圖和俯視圖的寬要相等.

在許多情況下，只用一個(gè)投影不加任何注解，是不能完整清晰地表達(dá)和確定形體的形狀和結(jié)構(gòu)的，一般必須將形體向幾個(gè)方向投

影，才能完整清晰地表達(dá)出形體的形狀和結(jié)構(gòu).

4.由三視圖判斷幾何體：根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高.

娥

例題精講

例1在平整的地面上，由若干個(gè)完全相同的棱長(zhǎng)為2cm的小正方體堆成了一個(gè)幾何體，如圖所示.

⑴請(qǐng)畫出這個(gè)幾何體的三視圖.

⑵如果在這個(gè)幾何體露出的表面噴上黃色的漆，則在所有的小正方體中，有一個(gè)正方體只有一個(gè)面是黃色，有一個(gè)正方體只

有兩個(gè)面是黃色，有一個(gè)正方體只有三個(gè)面是黃色.

⑶若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持俯視圖和左視圖不變，最多可以再添加一個(gè)小正方體，這時(shí)再將此新幾何

體后面全部靠墻，如果要重新給這個(gè)幾何體露出的表面噴上紅漆，需要噴漆的面積比原幾何體增加還是減少了?增加或減少的面積是

主視圖左視圖俯視圖

舉一反三1（永州中考）如圖所示是一個(gè)直四棱柱及其正視圖和俯視圖（等腰梯形）.

⑴根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，可得俯視圖（等腰梯形）的高為一；

⑵在虛線框內(nèi)畫出其左視圖，并標(biāo)出各邊的長(zhǎng).

左視圖

例2閱讀以下文字并解答問題.

在“測(cè)量物體的高度”活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組的4名同學(xué)選擇了測(cè)量學(xué)校里的四棵樹的高度.在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，他們分別做

了以下工作：

圖1圖2圖3圖4

小芳：測(cè)得一根長(zhǎng)為1米的竹竿的影長(zhǎng)為0.8米，甲樹的影長(zhǎng)為4.08米（如圖1）.

小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖2）,墻壁上的影長(zhǎng)為1.2米，落在地面上的影

長(zhǎng)為2.4米.

小麗：測(cè)量的丙樹的影子除落在地面上外，還有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上（如圖3）,測(cè)得此影子長(zhǎng)為0.2米，一級(jí)臺(tái)階

高為0.3米，落在地面上的影長(zhǎng)為4.4米.

小明：測(cè)得丁樹落在地面上的影長(zhǎng)為2.4米，落在坡面上影長(zhǎng)為3.2米（如圖4）.身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面

上，小芳測(cè)得他的影長(zhǎng)為2m.

⑴甲樹的高度為一米.

⑵畫出測(cè)量乙樹高度的示意圖，并求出乙樹的高度.

（3）丙樹的高度為一.

A.6.5米B.5.75米C.6.05米D.7.25米

⑷你能計(jì)算出丁樹的高度嗎?試試看.

舉一反三2在一個(gè)陽(yáng)光明媚的上午，數(shù)學(xué)陳老師組織學(xué)生測(cè)量小山坡的一棵大樹CD的高度，山坡OM與地面ON的夾角為30。

QM0N=30。）,站立在水平地面上身高1.7米的小明AB在地面的影長(zhǎng)BP為1.2米，此刻大樹CD在斜坡的影長(zhǎng)DQ為5米，求大樹

的高度.

X

BP

例3（1）如圖1是兩棵樹在同一盞路燈下的影子.

①確定該路燈泡所在的位置O；

②如果此時(shí)小穎所在位置恰好與這兩棵樹所在的位置共線(三點(diǎn)在一條直線上),請(qǐng)畫出圖中表示小穎影子的線段AB.

⑵如圖2，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向勻速前進(jìn),2秒后到達(dá)點(diǎn)D,此時(shí)他在某一燈光下的影子為DA，繼續(xù)按此速度行走2秒

到達(dá)點(diǎn)F,此時(shí)他在同一燈光下的影子落在其身后的線段DF上,測(cè)得此時(shí)影長(zhǎng)MF為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再

行走2秒到達(dá)點(diǎn)H.他在同一燈光下的影子恰好是HB.圖中線段CD,EF,GH表示小明的身高.

①請(qǐng)?jiān)趫D中畫出小明的影子MF；

②若A,B兩地相距12米，則小明原來的速度為一.

舉一反三3某興趣小組開展課外活動(dòng).如圖，小明從點(diǎn)M出發(fā)以1.5米/秒的速度，沿射線MN方向勻速前進(jìn)，2秒后到達(dá)點(diǎn)B,

此時(shí)他(AB)在某一燈光下的影長(zhǎng)為MB，繼續(xù)按原速行走2秒到達(dá)點(diǎn)D,此時(shí)他(CD)在同一燈光下的影子GD仍落在其身后，并測(cè)得

這個(gè)影長(zhǎng)GD為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達(dá)點(diǎn)F,此時(shí)點(diǎn)A,C,E三點(diǎn)共線.

(I)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出光源O點(diǎn)的位置，并畫出小明位于點(diǎn)F時(shí)在這個(gè)燈光下的影長(zhǎng)FH(不寫畫法)；

(2)求小明到達(dá)點(diǎn)F時(shí)的影長(zhǎng)FH的長(zhǎng).

ACE

MBGDFN

例4(杭州中考)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖.

⑴寫出這個(gè)幾何體的名稱；

⑵根據(jù)所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積；

⑶如果一只螞蟻要從這個(gè)幾何體中的點(diǎn)B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點(diǎn)D,請(qǐng)你求出這個(gè)線路的最短路程.

主視圖左視圖

俯視圖

舉一反三4一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.

⑴寫出這個(gè)幾何體的名稱;

⑵求這個(gè)幾何體側(cè)面展開圖的周長(zhǎng)和面積.

俯視圖

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.小明拿一個(gè)等邊三角形木框在陽(yáng)光下玩，等邊三角形木框在地上的投影不可能是（）

A.線段B.一個(gè)點(diǎn)

C.等邊三角形D.等腰三角形

2.（德陽(yáng)中考）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積是（）

3.（呼和浩特中考）如圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得該幾何體的體積為（）

4.圓桌面（桌面中間有一個(gè)直徑為1m的圓洞）正上方的燈泡（看作一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射平行于地面的桌面后，在地面上形

成如圖所示的圓環(huán)形陰影.已知桌面直徑為2m,桌面離地面1m,若燈泡離地面2m,則地面圓環(huán)形陰影的面積是（）

A.2nm2

B.3nm2

C.6717n2

D.12ml2

5.（西寧中考）圓錐的主視圖是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，則該圓錐側(cè)面展開圖的面積是—cm?

6.（天門中考）如圖，校園內(nèi)有一棵與地面垂直的樹，數(shù)學(xué)興趣小組兩次測(cè)量它在地面上的影子，第一次是陽(yáng)光與地面成60。角時(shí),

第二次是陽(yáng)光與地面成30。角時(shí)，兩次測(cè)量的影長(zhǎng)相差8米，則樹高一米.（結(jié)果保留根號(hào)）

7.如圖,是由8個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的小正方體組合成的簡(jiǎn)單幾何體.

⑴該幾何體的主視圖如圖所示，請(qǐng)?jiān)谙旅娣礁窦堉蟹謩e畫出它的左視圖和俯視圖；

主視圖左視圖俯視圖

（2）這個(gè)幾何體的表面積為___cm2；

（3）如果在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個(gè)幾何體的俯視圖和主視圖不變，那么請(qǐng)?jiān)谙旅娴木W(wǎng)格中畫出添

加小正方體后所得幾何體所有可能的左視圖.

8.如圖，王琳同學(xué)在晚上由路燈A走向路燈B,當(dāng)他行到P處時(shí)發(fā)現(xiàn)，他在路燈B下的影子PC長(zhǎng)2米，且點(diǎn)C恰好位于路燈A

的正下方，接著他又走了6.5米到Q處，此時(shí)他在路燈A下的影子為QD,且D點(diǎn)恰好位于路燈B的正下方（已知王琳身高1.8米，路

燈B高9米）.

（1）計(jì)算王琳站在Q處在路燈A下的影子QD的長(zhǎng)度.

⑵計(jì)算路燈A的高度.

A

|\B

；＞d

E/'、/

I,彳卜、I

CPQD

9.（甘肅中考）如圖，是住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AB=CD=30m,兩樓間的距離AC=30m,現(xiàn)需了解甲樓對(duì)乙樓的采光的影響情

況.

⑴當(dāng)太陽(yáng)光與水平線的夾角為30。角時(shí)，求甲樓的影子在乙樓上有多高（精確到0.1m,V3=1.73）;

⑵若要甲樓的影子剛好不落在乙樓的墻上，此時(shí)太陽(yáng)與水平線的夾角為多少度？

Q

D

10.（江蘇競(jìng)賽攻口果以一組平行的“視線”觀看物體，那么從物體正上方往下看可得“俯視圖”，從物體正左方往右看可得“左視

圖”，從物體正前方往后看可得“主視圖”.圖1中的正方體被經(jīng)過相鄰三條棱中點(diǎn)的平面截去一塊后得到如圖2的幾何體.圖3、圖4、

圖5依次是小明畫的該幾何體的主視圖、俯視圖和左視圖.其中，畫的正確的圖有（）

俯視

左視

主視

圖1

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

11.（蕪湖中考）如圖，上下底面為全等的正六邊形禮盒，其正視圖與側(cè)視圖均由矩形構(gòu)成，正視圖中大矩形邊長(zhǎng)如圖所示，側(cè)視圖

中包含兩全等的矩形，如果用彩色膠帶如圖包扎禮盒，所需膠帶長(zhǎng)度至少為（）

實(shí)物圖

60cm~

20cm20cm

正視圖側(cè)視圖

A.320cmB.395.24cm

C.431.77cmD.480cm

12.如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧形小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測(cè)算小橋所在圖的半

徑的活動(dòng)小剛身高1.6米，測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4米同時(shí)測(cè)得EG的長(zhǎng)為3米,HF的長(zhǎng)為1米，測(cè)得拱高(弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離.即

MN的長(zhǎng))為2米，則小橋所在圓的半徑為一.

13.(金華中考)學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來測(cè)量一路燈的高度，并探究影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律.如圖，在

同一時(shí)間，身高為L(zhǎng)6m的小明(AB)的影子BC長(zhǎng)是3m,而小穎(EH)剛好在路燈燈泡的正下方H點(diǎn),并測(cè)得HB=6m.

HB、BC

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G；

(2)求路燈燈泡的垂直高度GH；

(3)如果小明沿線段BH向小穎(點(diǎn)H)走去，當(dāng)小明走到BH中點(diǎn)B］處時(shí)，求其影子B】g的長(zhǎng)；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的1到B

處時(shí),求其影子BzC2的長(zhǎng)；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的;到B3處……按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明走剩下路程的到B□處時(shí)，其

影子BnCn的長(zhǎng)為—m.(直接用n的代數(shù)式表示)

電，綜合創(chuàng)新

14.（江蘇競(jìng)賽）如圖1,將正方體的左上部位切去一個(gè)小三棱柱（圖中M,N都是正方體的棱的中點(diǎn)）,得到如圖2