3.2.2第2課時雙曲線的標準方程及性質(zhì)的應(yīng)用練習(xí)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第2課時雙曲線的標準方程及性質(zhì)的應(yīng)用一、必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一][2024北京海淀校級期末]若直線y=kx與雙曲線x29-y24A.(0,23) B.(23C.(23,23) D.(∞,23)∪(2.[探究點三]過點P(2,1)的直線l與雙曲線x2y23=1相交于A,B兩點,若P是線段AB的中點,則直線l的方程是(A.6xy11=0 B.6x+y13=0C.2x3y1=0 D.3x2y4=03.[探究點一][2024四川射洪校級模擬]已知雙曲線C:x24-y212=1的右焦點為F,點A(0,m),若直線AF與A.±2 B.±43 C.±23 D.±44.[探究點一][2024河南月考]若直線l過點(1,2),且與曲線9x2y2=9有且只有一個公共點,則滿足條件的直線有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條5.[探究點二][2024山東濰坊期末]過雙曲線x2y23=1的左焦點F1作傾斜角為π6的直線與雙曲線交于A,B兩點,則|AB|=6.[探究點一][2024上海?？寄M預(yù)測]記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,若直線y=2x7.[探究點三][2024重慶北碚高二?？茧A段練習(xí)]雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>(1)求C的方程.(2)是否存在直線l經(jīng)過點M(1,4),且與雙曲線C交于A,B兩點,M為線段AB的中點?若存在,請求出l的方程;若不存在,請說明理由.二、關(guān)鍵能力提升練8.[2024上海浦東新區(qū)校級期末]已知直線l:x=ty+2和雙曲線C:y2x2=8,若l與C的上支交于不同的兩點,則t的取值范圍是()A.(62,62) B.C.(0,62) D.(62,9.[2024江蘇亭湖校級期末]若直線l:x+mym2=0與曲線x24y2=1有且只有一個交點,則滿足條件的直線l有(A.4條 B.3條 C.2條 D.1條10.[2024甘肅西固校級月考]已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與斜率為1的直線交于A,B兩點,若線段A.2 B.103 C.52 D11.(多選題)[2024河南湛河校級期末]已知雙曲線C:y2x2=1,則()A.雙曲線C是等軸雙曲線B.雙曲線C的一個焦點F到一條漸近線的距離為2C.若過原點的直線l與雙曲線C相交,則直線l的傾斜角的取值范圍為[0,π4)∪(3π4D.直線l過雙曲線C的右焦點F,且直線l與雙曲線的一條漸近線平行,直線l與雙曲線C相交于點A,與雙曲線C的另一條漸近線相交于點B,則A是線段BF的中點12.[2024江西九江模擬]過點A(0,1)作斜率為k的直線l交雙曲線x2y22=1于P1,P2兩點,線段P1P2的中點在直線x=12上,則實數(shù)k的值為13.[2024遼寧沈陽高二校聯(lián)考期末]已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)經(jīng)過點M(2,3),它的左焦點為(1)求C的方程;(2)過點M的直線l交C的左支于一點N,且l的斜率是12,求|MN|的長14.[2024甘肅金昌高二?？茧A段練習(xí)]已知雙曲線C的漸近線為y=±3x,且過點M(1,2).(1)求雙曲線C的方程;(2)直線y=ax+1與雙曲線C相交于A,B兩點,O為坐標原點,若OA與OB垂直,求實數(shù)a的值以及弦長|AB|.三、學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練15.已知A(2,0),B(2,0),過點P(0,1)且斜率為k的直線上存在不同的兩個點M,N,滿足|MA||MB|=|NA||NB|=23,則k的取值范圍是()A.(63,63) B.(63,33)∪(C.(33,63) D.(16.[2024河南模擬]設(shè)雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,B為雙曲線E上在第一象限內(nèi)的點,線段F1B與雙曲線E相交于另一點A,AB的中點為M,且F2M⊥AB.若∠AF1A.5 B.2 C.3 D.2答案1.C由題意知直線y=kx恒過原點,雙曲線x29-y24=∵直線y=kx與雙曲線x29-y24=1相交,∴2.A設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,則x兩式相減得直線的斜率k=y1-y又直線l過點P(2,1),所以直線l的方程為6xy11=0,經(jīng)檢驗此時l與雙曲線有兩個交點.故選A.3.B雙曲線C:x24-y212=1的右焦點為F(4,0),點A(0,m),雙曲線的漸近線方程為y=±3x,直線AF與C只有一個交點,可得m-00-4.D當直線l的斜率不存在時,由題意得直線l的方程為x=1,代入9x2y2=9,可得9y2=9,解得y=0,故此時直線l與曲線9x2y2=9有唯一交點.當直線l的斜率存在時,可設(shè)其方程為y2=k(x+1),聯(lián)立y消去y可得(9k2)x22k(k+2)x(k+2)29=0,當9k2=0,即k=±3時,方程為一元一次方程,必定有唯一解;當9k2≠0,即k≠±3時,由題意,可得該一元二次方程有唯一解,則Δ=[2k(k+2)]2+4(9k2)[(k+2)2+9]=0,即4k4+16k3+16k2+(364k2)(k2+4k+13)=0,即4k4+16k3+16k24k416k316k2+144k+468=0,即144k+468=0,解得k=134綜上所述,滿足條件的直線l有四條.故選D.5.3雙曲線x2y23=1的左焦點為F1又因為直線AB的傾斜角為π6,所以直線AB的斜率k=33,則直線AB的方程為y=33(聯(lián)立直線方程與雙曲線方程x2-y23=1,y=33(x+2),得8x24x13=0,設(shè)A則x則|AB|=1+(33)6.(1,5]因為C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>結(jié)合漸近線的特點,只需0<ba≤2,即b2a2≤4,可滿足條件“直線y=2x與所以e=ca又因為e>1,所以1<e≤5.7.解(1)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>因為雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,所以ba=2又焦點(c,0)到直線y=2x的距離d=|2c所以c=5.又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=4,所以雙曲線的方程為x2y24=(2)存在.假設(shè)存在直線l滿足題意,則由題意知直線的斜率存在,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,直線l的斜率為k,則x1+x2=2,y1+y2=8,所以x12-y1兩式相減得x12即(y1+y2)(y1-y2)即(y1+y2)(所以直線l的方程為y4=x1,即xy+3=0,經(jīng)檢驗直線xy+3=0與雙曲線C有兩個交點,滿足條件,所以直線l的方程為xy+3=0.8.D設(shè)l與C的上支相交的兩點的縱坐標分別為y1,y2,聯(lián)立x=ty+2,y2-x2=8,得(1t2)y24ty12=0,則1t2≠0,t≠±1,所以y1+y2=4t1-t2>0,y1y2=121-t2>0,且Δ=16t2+49.C直線l:x+mym2=0,即m(y1)+x2=0,恒過點(2,1).又雙曲線的漸近線方程為y=±12x則點(2,1)在其中一條漸近線y=12x上又直線與雙曲線只有一個交點,則直線l過點(2,1)且平行于y=12x或過點(2,1)且與雙曲線的右支相切,即滿足條件的直線l有2條.故選C10.C雙曲線C:x2a2-y2b2=1(設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,則x12a2-y12b因為AB的中點為(4,1),所以x1+x2=8,y1+y2=2,所以y2-y1x2-x1=4b2a故選C.11.ACD對于A,因為雙曲線C:y2x2=1,即x2y2=1,所以雙曲線C是焦點在x軸上的等軸雙曲線,故A正確;對于B,根據(jù)題意可得c2=12+12=2,即c=2,所以點(2,0)是雙曲線的一個焦點,y=x是雙曲線的一條漸近線,所以焦點(2,0)到漸近線xy=0的距離d=|2-對于C,雙曲線的漸近線為y=±x,傾斜角為π4,3π4,若過原點的直線l與雙曲線C相交,則直線l的傾斜角的范圍為[0,π4)∪對于D,不妨設(shè)直線l與直線y=x平行,因為直線l過雙曲線的右焦點F(2,0),所以直線l的方程為y=x2,聯(lián)立y=x-2,x2-y2聯(lián)立y=x-2,y=-x,解得x=22,y=-22,所以B(22,212.31易知直線l的方程為y=kx+1,聯(lián)立y=kx+1,x2-y22=1,得(2k2)設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則x1+x2=2k2-k2=因為直線l與雙曲線有兩個交點,所以Δ=4k2+12(2k2)>0,即3<k<3,所以k=31.13.解(1)雙曲線的左焦點為F1(c,0),漸近線方程為y=±bax,即bx±ay=則點F1到漸近線的距離為|-bc+0|又將點M(2,3)代入雙曲線方程得22a2-32故雙曲線的方程為x2y23=(2)由題意可得直線l的方程為y3=12(x2),即y=12x+所以11x28x28=0,解得x=2(舍去)或x=1411,即點N的橫坐標為xN=14所以|MN|=1+(12)

2|xMxN|=514.解(1)由雙曲線的漸近線方程為y=±3x,可設(shè)雙曲線的方程為3x2y2=λ,λ∈R.又雙曲線過點M(1,2),∴λ=32=1.∴雙曲線的方程為3x2y2=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=ax+1,3x2-y2=1,化為(3a2)∵直線y=ax+1與雙曲線C相交于A,B兩點,∴Δ=4a2+8(3a2)>0,化為a2<6.∴x1+x2=2a3-a2,x1x2=∵OA⊥OB,∴OA·∴x1x2+y1y2=0.又y1=ax1+1,y2=ax2+1,∴(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,把(*)代入上式得-2(1+a2)3-a2+2a23-a2+1=由弦長公式可得|AB|=1+a15.C因為|MA||MB|=|NA||NB|=23<|AB|=4,所以M,N是以A(2,0),B(2,0)為焦點的雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上的兩點,且c=2,a=3,所以b=c過點P(0,1)且斜率為k的直線的方程為y=kx1,由x23-y2=1,y=kx-1,消去y所以1-3