不等式-向量-解三角形專題練習作業(yè)含答案

專題集訓·作業(yè)(九)一、選擇題1．平行六面體的各棱長均為4，在其頂點P所在的三條棱上分別取PA＝1，PB＝2，PC＝3，則棱錐P－ABC的體積是平行六面體的體積的()A.eq\f(1,64) B.eq\f(3,64)C.eq\f(1,32) D.eq\f(3,32)答案A解析由已知可將平行六面體模型化為正方體，則有V正方體＝64，VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×3＝1，故選A.2．(2014·合肥一中模擬)e，π分別是自然對數(shù)的底數(shù)和圓周率，則下列不等式不成立的是()A．logπe＋(logeπ)2>2 B．logπeq\r(e)＋logeeq\r(π)>1C．ee－e>eπ－π D．(e＋π)3<4(e3＋π3)答案C解析設(shè)f(x)＝ex－x(x>0)，則f′(x)＝ex－1，當x>0時，f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(π)>f(e)，即eπ－π>ee－e.3．(2014·鄂西示范性學校聯(lián)考)命題“?x∈R，x2－3x＋2≥0”A．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2<0B．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2>0C．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2≤0D．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2≥0答案A解析求全稱命題的否定時，需要先把全稱量詞改寫為存在量詞，再對結(jié)論進行否定，所以原命題的否定為“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋2<0”．4．(2014·襄陽五校聯(lián)考)已知雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是它的左、右焦點，A是它的右頂點，過F1作一條斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線交于兩個點M，N，則∠MAN＝()A．30° B．45°C．60° D．90°答案D解析由離心率為2，可得c＝2a，b2＝3a2，則雙曲線方程為3x2－y2＝3a2.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因直線MN的斜率不為零，則可設(shè)其方程為x＝my－2a，與雙曲線方程聯(lián)立得(3m2－1)y2－12amy＋9a2＝0，從而有3m2－1≠0，y1＋y2＝eq\f(12am,3m2－1)，且y1y2＝eq\f(9a2,3m2－1).則eq\o(AM,\s\up16(→))·eq\o(AN,\s\up16(→))＝(x1－a)(x2－a)＋y1y2＝(my1－3a)(my2－3a)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－3am(y1＋y2)＋9a2＝eq\f(9a2m2＋1,3m2－1)－eq\f(36a2m2,3m2－1)＋9a2＝0，故選D.5．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均是腰長為1的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球體積為()A.eq\f(\r(3),2)π B.eq\r(3)πC．2eq\r(3)π D．3eq\r(3)π答案A解析由正視圖和側(cè)視圖均是腰長為1的等腰直角三角形，可得該幾體體是一個四棱錐(如圖所示)，底面BCDE是邊長為1的正方形，側(cè)棱AE⊥底面BCDE，所以根據(jù)球與四棱錐的對稱性知，外接球的直徑是AC.根據(jù)勾股定理知AC＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3)，所以外接球半徑為eq\f(\r(3),2)，于是該幾何體的外接球體積V＝eq\f(4,3)π×(eq\f(\r(3),2))3＝eq\f(\r(3),2)π.故選A.6．已知對于任意的a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，則xA．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<2或x>2答案B解析將f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函數(shù)，記為g(a)＝(x－2)a＋x2－4x當a∈[－1,1]時恒有g(shù)(a)>0，只需滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,g－1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2>0，,x2－5x＋6>0，))解之得x<1或x>3.7．已知在正三棱錐S－ABC中，E是側(cè)棱SC的中點，且SA⊥BE，則SB與底面ABC所成角的余弦值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)答案D解析如圖所示，在正三棱錐S－ABC中，作SO⊥平面ABC，連接AO，則O是△ABC的中心，所以SO⊥BC，AO⊥BC.由此可得BC⊥平面SAO，所以SA⊥BC.又SA⊥BE，所以SA⊥平面SBC，故正三棱錐S－ABC的各側(cè)面全等且均是等腰直角三角形．連接OB，則∠SBO為SB與底面ABC所成的角．設(shè)SA＝a，則AB＝eq\r(2)a，BO＝eq\f(\r(6),3)a，所以cos∠SBO＝eq\f(\r(6),3).8．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，當x∈(1，＋∞)時，f(x)＋f′(x)<xf′(x)恒成立，若a＝f(2)，b＝eq\f(1,2)f(3)，c＝(eq\r(2)＋1)f(eq\r(2))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<a<b B．b<c<aC．a(chǎn)<c<b D．c<b<a答案A解析設(shè)g(x)＝eq\f(fx,x－1)，則g′(x)＝eq\f(f′xx－1－fx,x－12).由于f(x)＋f′(x)<xf′(x)，即f′(x)(x－1)－f(x)>0，因此g(x)＝eq\f(fx,x－1)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，故c<a<b.9．過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與直線AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線lA．1條 B．2條C．3條 D．4條答案D解析本題考查了空間直線與直線所成角問題，考查空間想象能力．顯然正方體的對角線AC1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，將該正方體以A為坐標原點，AB，AD，AA1分別為坐標軸建立空間直角坐標系，則可以得到8個象限，其中在平面ABCD上方的四個象限內(nèi)的每一個象限內(nèi)均有一條與AC1相似的對角線與此三條棱成等角，即這樣的直線l有4條，故應(yīng)選D.10．(2014·蕪湖三校一模)已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R，滿足f(ab)＝af(b)＋bf(a)，f(2)＝2.若bn＝eq\f(f2n,2n)(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的通項公式為()A．n B．n－1C．2n D．2n－1答案A解析∵f(ab)＝af(b)＋bf(a)，f(2)＝2，∴f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2f(2n)＋2n＋1.∵bn＝eq\f(f2n,2n)(n∈N*)，又eq\f(f2n＋1,2n＋1)＝eq\f(f2n,2n)＋1，即bn＋1－bn＝1，∴{bn}成等差數(shù)列，且b1＝eq\f(f2,2)＝1，∴bn＝b1＋(n－1)×1＝1＋n－1＝n，n∈N*.11．(2014·孝感市質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝x－1＋eq\f(1,ex)(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖像與直線l：y＝kx－1沒有公共點，則實數(shù)k的最大值為()A．0 B．1C．－1 D.eq\f(1,e)答案B解析令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋eq\f(1,ex)，則直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒有公共點，等價于方程g(x)＝0在R上沒有實數(shù)解．假設(shè)k>1，此時g(0)＝1>0.g(eq\f(1,k－1)eq\r())＝－1＋eq\f(1,e\f(1,k－1))<0.又函數(shù)g(x)的圖像是連續(xù)的，由零點存在性定理，可知g(x)＝0在R上至少有一個解，與方程g(x)＝0在R上沒有實數(shù)解矛盾，故k≤1.又k＝1時，g(x)＝eq\f(1,ex)>0，易知方程g(x)＝0在R上沒有實數(shù)解．所以實數(shù)k的最大值為1.12．(2014·武漢部分學校調(diào)研)橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右頂點分別為A1，A2，若點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[－2，－1]，則直線PA1斜率的取值范圍是()A．[eq\f(1,2)，eq\f(3,4)] B．[eq\f(3,8)，eq\f(3,4)]C．[eq\f(1,2)，1] D．[eq\f(3,4)，1]答案B解析橢圓的左頂點為A1(－2,0)，右頂點為A2(2,0)，設(shè)點P(x0，y0)，則eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，得eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4).而kPA2＝eq\f(y0,x0－2)，kPA1＝eq\f(y0,x0＋2)，所以kPA2·kPA1＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4).又kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈[eq\f(3,8)，eq\f(3,4)]．二、填空題13．已知函數(shù)f(x)＝3x＋sinx＋1，若f(t)＝2，則f(－t)＝________.答案0解析由于g(x)＝3x＋sinx為奇函數(shù)，且f(t)＝3t＋sint＋1＝2，所以3t＋sint＝1，則f(－t)＝g(－t)＋1＝－1＋1＝0.14．(2014·皖西四校聯(lián)考)若正數(shù)x，y滿足2x＋3y－3＝0，則eq\f(x＋2y,xy)的最小值為________．答案eq\f(7＋4\r(3),3)解析由2x＋3y－3＝0，得1＝eq\f(2x＋3y,3).于是eq\f(x＋2y,xy)＝eq\f(1,y)＋eq\f(2,x)＝(eq\f(1,y)＋eq\f(2,x))·eq\f(2x＋3y,3)＝eq\f(1,3)(7＋eq\f(2x,y)＋eq\f(6y,x))≥eq\f(1,3)×(7＋4eq\r(3))＝eq\f(7＋4\r(3),3)，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x,y)＝\f(6y,x)，,2x＋3y－3＝0，))即x＝6－3eq\r(3)，y＝2eq\r(3)－3時，等號成立．故最小值為eq\f(7＋4\r(3),3).15．已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當x<0時，g(x)＝－ln(1－x)，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,gx，x>0，))若f(2－x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是________．答案(－2,1)解析方法一由題意可知，當x≥0時，g(x)＝－g(－x)＝－[－ln(1＋x)]＝ln(1＋x)，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,ln1＋x，x>0.))當x≤－eq\r(2)時，由f(2－x2)>f(x)，得(2－x2)3>x3，因為f(x)＝x3在R上為增函數(shù)，所以有2－x2>x，解得－2<x<1，即－2<x≤－eq\r(2).當－eq\r(2)<x≤0時，由f(2－x2)>f(x)，得ln(1＋2－x2)>x3，即－eq\r(2)<x≤0.當0<x<eq\r(2)時，由f(2－x2)>f(x)，得ln(1＋2－x2)>ln(1＋x)，所以有2－x2>x，解得－2<x<1，即0<x<1.當x≥eq\r(2)時，由f(2－x2)>f(x)，得(2－x2)3>ln(1＋x)，無解．綜上得－2<x<1.方法二同上得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,ln1＋x，x>0.))易知f(x)在R上是增函數(shù)，由f(2－x2)>f(x)，得2－x2>x，即x2＋x－2<0，∴－2<x<1.16．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為雙曲線左支上一點，若eq\f(|PF2|2,|PF1|)的最小值為8a，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________．答案(1,3]解析∵P為雙曲線左