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2025屆黑龍江省林口林業(yè)局中學(xué)高三下學(xué)期第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分,則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成樣本,則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是()A.方差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)2.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則()A. B. C. D.3.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),是的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的漸近線方程為()A. B. C. D.4.一個(gè)封閉的棱長(zhǎng)為2的正方體容器,當(dāng)水平放置時(shí),如圖,水面的高度正好為棱長(zhǎng)的一半.若將該正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器里水面的最大高度為()A. B. C. D.5.如圖,平面與平面相交于,,,點(diǎn),點(diǎn),則下列敘述錯(cuò)誤的是()A.直線與異面B.過(guò)只有唯一平面與平行C.過(guò)點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D.過(guò)一定能作一平面與垂直6.已知復(fù)數(shù)滿足:,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.7.復(fù)數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個(gè)向量,它的長(zhǎng)度,若,,則()A. B.C.6 D.9.的展開(kāi)式中的系數(shù)為()A.-30 B.-40 C.40 D.5010.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.8411.已知直線:與橢圓交于、兩點(diǎn),與圓:交于、兩點(diǎn).若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.12.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則k的值為()A. B. C.或- D.和-二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格,從地移動(dòng)到地,每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,則亮亮從移動(dòng)到最近的走法共有____種.14.設(shè)變量,,滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值是______.15.已知,滿足約束條件,則的最小值為_(kāi)_________.16.(5分)已知曲線的方程為,其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),則曲線在點(diǎn)處的切線方程是____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,求四面體的體積.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn)且,,,.求證:平面平面以;求二面角的大小.19.(12分)橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn),求四邊形面積的最大值.20.(12分)為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大??;(2)若一個(gè)零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.21.(12分)已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,(1)若,求不等式的解集;(2)證明:對(duì)任意的,恒有.22.(10分)等差數(shù)列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且其中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請(qǐng)選擇一個(gè)可能的組合,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記(1)中您選擇的的前項(xiàng)和為,判斷是否存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若有,請(qǐng)求出的值;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
通過(guò)方差公式分析可知方差沒(méi)有改變,中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知,中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績(jī)相比,成績(jī)和平均數(shù)都增加了50,所以沒(méi)有改變,根據(jù)方差公式可知方差不變.故選:A本題主要考查樣本的數(shù)字特征,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2.A【解析】
由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,.故選:A.本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
根據(jù)為等腰三角形,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),又由的斜率為可得出關(guān)系,即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖,因?yàn)闉榈妊切?,,所以?,又,,解得,所以雙曲線的漸近線方程為,故選:D本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于中檔題.4.B【解析】
根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對(duì)角線長(zhǎng)的一半,由此得到結(jié)論.【詳解】正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為,又水的體積是正方體體積的一半,且正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),所以容器里水面的最大高度為面對(duì)角線長(zhǎng)的一半,即最大水面高度為,故選B.本題考查了正方體的幾何特征,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì),結(jié)合線面垂直的關(guān)系,對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過(guò)只有唯一平面與平行,故正確.C.根據(jù)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過(guò)不一定能作一平面與垂直,故錯(cuò)誤.故選:D本題主要考查異面直線的定義,性質(zhì)以及線面關(guān)系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.6.B【解析】
轉(zhuǎn)化,為,利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn),即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足:所以故選:B本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2)位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念,屬于簡(jiǎn)單題.8.D【解析】
先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和,進(jìn)而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,引入新定義,屬于簡(jiǎn)單題目.9.C【解析】
先寫(xiě)出的通項(xiàng)公式,再根據(jù)的產(chǎn)生過(guò)程,即可求得.【詳解】對(duì)二項(xiàng)式,其通項(xiàng)公式為的展開(kāi)式中的系數(shù)是展開(kāi)式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令,可得的系數(shù)為;令,可得的系數(shù)為;故的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選:C.本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)系數(shù)的求解,關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的熟練使用,屬基礎(chǔ)題.10.B【解析】
由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求,,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,解可得,,,則.故選:B.本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
由題意可知直線過(guò)定點(diǎn)即為圓心,由此得到坐標(biāo)的關(guān)系,再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系,由此化簡(jiǎn)并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),且線過(guò)定點(diǎn)即為的圓心,因?yàn)椋?,又因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所?故選:A.本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用,著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用,難度一般.通過(guò)運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的,大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.12.C【解析】
直線過(guò)定點(diǎn),直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°(其中O為原點(diǎn)),可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小,求得結(jié)果.【詳解】如圖,直線過(guò)定點(diǎn)(0,1),∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,?∠1=120°,∠2=60°,∴由對(duì)稱性可知k=±.故選C.本題考查過(guò)定點(diǎn)的直線系問(wèn)題,以及直線和圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
分三步來(lái)考查,先從到,再?gòu)牡?,最后從到,分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對(duì)應(yīng)的走法種數(shù),然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】分三步來(lái)考查:①?gòu)牡?,則亮亮要移動(dòng)兩步,一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位,一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位,此時(shí)有種走法;②從到,則亮亮要移動(dòng)六步,其中三步是向右移動(dòng)一個(gè)單位,三步是向上移動(dòng)一個(gè)單位,此時(shí)有種走法;③從到,由①可知有種走法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有種不同的走法.故答案為:.本題考查格點(diǎn)問(wèn)題的處理,考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.14.7【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設(shè)z=F(x,y)=2x+3y,將直線l:z=2x+3y進(jìn)行平移,當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值∴z最小值=F(2,1)=715.【解析】
作出約束條件所表示的可行域,利用直線截距的幾何意義,即可得答案.【詳解】畫(huà)出可行域易知在點(diǎn)處取最小值為.故答案為:本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的最值,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
依題意,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程中,解得.由,得,則曲線在點(diǎn)處切線的斜率,所以在點(diǎn)處的切線方程是,即.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取中點(diǎn),連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,利用全等三角形證得,由此證得平面,進(jìn)而證得平面平面.(2)由(1)知平面,即是四面體的面上的高,結(jié)合錐體體積公式,求得四面體的體積.【詳解】(1)證明:如圖,取中點(diǎn),連接,由則,則,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面體的面上的高,且.在中,,由勾股定理易知故四面體的體積本小題主要考查面面垂直的證明,考查錐體體積計(jì)算,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18.證明見(jiàn)解析;.【解析】
推導(dǎo)出,,從而平面,由此證明平面平面以;以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量求出二面角的大小.【詳解】解:,,為的中點(diǎn),四邊形為平行四邊形,.,,即.又平面平面,且平面平面,平面.平面,平面平面.,為的中點(diǎn),.平面平面,且平面平面,平面.如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則平面的一個(gè)法向量為,,,,,設(shè),則,,,,,在平面中,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,平面的一個(gè)法向量為,,由圖知二面角為銳角,所以所求二面角大小為.本題考查面面垂直的證明,考查二面角的大小的求法,考查了空間向量的應(yīng)用,屬于中檔題.19.(1)(2)最大值.【解析】
(1)根據(jù)通徑和即可求(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立橢圓,利用,用含的式子表示出,用換元,可得,最后用均值不等式求解.【詳解】解:(1)依題意有,,,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得.所以,.所以.令,則,所以,因,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),即四邊形面積的最大值.考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法,是難題.20.(1)66.5(2)屬于【解析】
(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解;(2)求出,即可判斷得解.【詳解】(1)(2)所以該零件屬于“不合格”的零件本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.21.(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求出的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)型不等式;(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間上單調(diào)遞減,結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】(1)若,則.設(shè),則,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以所以在上單調(diào)遞增,又,所以不等式的解集為.(2)設(shè),再令,,在上單調(diào)遞減,又,,,,,.即本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決不等式問(wèn)題,屬于較難題.22.(1)見(jiàn)解析,或;(2)存在,.【解析】
(1)滿足題意有兩種組合:①,,,②,
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