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文檔簡介
第05講正方形課程標準學習目標①正方形的定義與性質(zhì)②正方形的判定③中點四邊形熟悉正方形的定義,掌握正方形的性質(zhì),并能夠熟練的應用性質(zhì)。掌握正方形的判定方法,能夠熟練的選擇合適的判定方法判定正方形。掌握中點四邊形的定義,能夠熟練的根據(jù)四邊形的性質(zhì)判斷中點四邊形的形狀。知識點01正方形的定義與性質(zhì)正方形的定義:四條邊都相等,四個角都是直角的四邊形叫做正方形。所以正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,還是特殊的菱形。正方形的性質(zhì):同時具有平行四邊形、矩形以及菱形的一切性質(zhì)。【即學即練1】1.下列有關(guān)特殊平行四邊形的性質(zhì)說法正確的是()A.菱形的對角線相等 B.矩形的對角線互相垂直 C.菱形的四個角相等 D.正方形的對角線互相垂直平分且相等【解答】解:A.因為菱形的對角線互相垂直,所以A選項錯誤,不符合題意;B.因為矩形的對角線相等,所以B選項錯誤,不符合題意;C.正方形、矩形的四個角相等,所以C選項錯誤,不符合題意.D.因為正方形的對角線互相垂直且相等,所以D選項正確,符合題意;故選:D.【即學即練2】2.如圖,正方形ABCD的邊長為2,對角線AC,BD交于點O,P為邊BC上一點,且BP=OB,則CP的長為()A. B. C.0.5 D.1【解答】解:∵正方形ABCD的邊長為2,∴BD=BC=2,∴BO=,∴BP=OB=,∴CP=BC﹣BP=2﹣,故選:A.【即學即練3】3.在正方形ABCD中,等邊三角形AEF的頂點E、F分別在邊BC和CD上,則∠CEF=()A.75° B.60° C.50° D.45°【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=∠C=90°,∵△AEF是等邊三角形,∴AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF,∴CE=CF,∴△CEF是等腰直角三角形,∴∠CEF=45°,故選:D.知識點02正方形的判定直接判定:四條邊相等,四個角也相等的四邊形是正方形。符號語言:∵AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°?!嗨倪呅蜛BCD是正方形利用平行四邊形、矩形以及菱形判定:先判定四邊形是平行四邊形,在判定它是矩形和菱形即可判定為正方形。①平行四邊形+鄰邊相等+一個角是90°。符號語言:在?ABCD中,∵AB=BC,且∠ABC=90°∴?ABCD是正方形②平行四邊形+鄰邊相等+對角線相等。符號語言:?ABCD中∵AB=BC且AC=BD∴?ABCD是正方形③平行四邊形+對角線垂直+一個角是90°符號語言:?ABCD中∵AC⊥BD且∠ABC=90°∴?ABCD是正方形④平行四邊形+對角線垂直+對角線相等。符號語言:?ABCD中∵AC⊥BD且AC=BD∴?ABCD是正方形可先證矩形再證菱形,也可先證菱形,再證矩形?!炯磳W即練1】4.若?ABCD中對角線AC、BD相交于點O,則下列說法正確的是()A.當OA=OD時,?ABCD為菱形 B.當AB=AD時,?ABCD為正方形 C.當∠ABC=90°時,?ABCD為矩形 D.當AC⊥BD時,?ABCD為矩形【解答】解:當OA=OD時,平行四邊形ABCD是不一定是菱形,故選項A不符合題意;當AB=AD時,?ABCD不一定為正方形,故選項B不符合題意;當∠ABC=90°時,?ABCD為矩形,故選項C符合題意;當AC⊥BD時,?ABCD為是菱形,故選項D不符合題意;故選:C.【即學即練2】5.已知菱形ABCD中對角線AC、BD相交于點O,添加條件AC=BD或AB⊥BC可使菱形ABCD成為正方形.【解答】解:根據(jù)對角線相等的菱形是正方形,可添加:AC=BD;根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形,可添加的:AB⊥BC;故添加的條件為:AC=BD或AB⊥BC.【即學即練3】6.如圖,已知矩形ABCD中,∠BAD和∠ADC的平分線交于BC邊上一點E.點F為矩形外一點,四邊形AEDF為平行四邊形.求證:四邊形AEDF是正方形.【解答】證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠CDA=90°,∵AE,DE平分∠BAD與∠CDA,∴,,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∵∠EAD+∠EDA+∠AED=180°,∴∠AED=180°﹣∠EAD﹣∠EDA=90°,∴?AEDF是正方形.知識點03中點四邊形中點四邊形的定義:連接四邊形各邊的中點得到的四邊形叫做中點四邊形。中點四邊形的形狀:①任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形。②對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形。③對角線相互垂直的四邊形的中點四邊形是矩形?!炯磳W即練1】7.順次連接菱形的四邊中點所得的圖形為矩形.【解答】解:菱形ABCD中,E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD的中點,則AC⊥BD,∴EH∥AC,F(xiàn)G∥AC,∴EH∥FG,同理得EF∥HG,∴四邊形EFGH是平行四邊形,同理得:四邊形ENOM是平行四邊形,∴∠FEH=∠NOM=90°,∴?EFGH是矩形,∴順次連接菱形四邊中點所得的四邊形一定是矩形;故答案為:矩形.【即學即練2】8.如圖,E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點,要使四邊形EFGH為矩形,四邊形ABCD應具備的條件是()A.對角線互相垂直 B.對角線相等 C.一組對邊平行而另一組對邊不平行 D.對角線互相平分【解答】解:要是四邊形EHGF是矩形,應添加條件是對角線互相垂直,理由是:連接AC、BD,兩線交于O,根據(jù)三角形的中位線定理得:EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,∴EF∥GH,EF=GH,∴四邊形EFGH一定是平行四邊形,∴EF∥AC,EH∥BD,∵BD⊥AC,∴EH⊥EF,∴∠HEF=90°,故選:A.題型01利用正方形的性質(zhì)求線段或周長【典例1】如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,E是對角線AC上一點,作EF⊥AD于點F,連接DE,若DF=2.則DE的長為()A. B. C.4 D.2.5【解答】解:∵邊長為6的正方形ABCD,∴AD=6,∠EAF=45°,∵DF=2,∴AF=AD﹣DF=6﹣2﹣4,∵EF⊥AD,∴∠AFE=∠DFE=90°,∴∠AEF=∠EAF=45°,∴EF=AF=4,由勾股定理,得.故選:B.【變式1】如圖,點M是正方形ABCD邊AB上一點,DN⊥CM于N,DN=2CN=2,則BN的長度為()A.2 B. C. D.【解答】解:如圖,過點B作BE⊥CM于E,∵DN⊥CM,BE⊥CM,∴∠DNC=∠CEB=90°,∴∠DCN+∠CDN=90°,∵四邊形ABCD是正方形,∴DC=CB,∠ABC=∠BCD=90°,∴∠DCN+∠BCE=90°,∴∠CDN=∠BCE,∴△DCN≌△CBE(AAS),∴DN=CE,CN=BE,∵DN=2CN=2,∴CN=BE=1,CE=2,∴EN=CE﹣CN=2﹣1=1,∴EN=BE=1,∵∠BEN=90°,∴△BNE是等腰直角三角形,∴BN=BE=.故選:B.【變式2】如圖所示,在正方形ABCD中,O是對角線AC、BD的交點,過O作OE⊥OF,分別交AB、BC于E、F,若AE=4,CF=3,則EF的長為()A.3 B.4 C.5 D.6【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,AC⊥BD,又∵OE⊥OF,∴∠EOB+∠BOF=90°=∠BOF+∠COF,∴∠EOB=∠COF,∴△BEO≌△CFO(ASA),∴BE=CF=3,又∵AB=BC,∴AE=BF=4,∴Rt△BEF中,EF===5.故選:C.【變式3】如圖,在正方形ABCD中,AB=3,點F是AB邊上一點,點E是BC延長線上一點,AF=CE,BF=2AF.連接DF、DE、EF,EF與對角線AC相交于點G,則線段BG的長是()A. B. C. D.【解答】解:過點F作FH∥BC交AC于H,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD=CD=BC=3,∠ABC=∠DAF=∠ADC=∠BCD=90°,∠BAC=45°,∴∠DCE=180°﹣∠BCD=90°,∴∠DAF=∠DCE,∵AF=CE,∴△DFA≌△DEC(SAS),∴DF=DE,∠FDA=∠EDC,∵BF=2AF,∴AF=1,BF=2,∴DF===DE,∵∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠FDA+∠CDF=∠ADC=90°,∴△DEF是等腰直角三角形,∴EF=DF=2,∵FH∥BC,∴∠AFH=∠ABC=90°,∠FHG=∠ECG,又∵∠BAC=45°,∴△AFH是等腰直角三角形,∴FH=AF=CE,∵∠FGH=∠EGC,∴△FGH≌△EGC(AAS),∴FG=EG,∵∠ABC=90°,∴BG=EF=,故選:A.【變式4】如果一個長方形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿,既不重疊,又無縫隙,就稱為“優(yōu)美長方形”如圖,“優(yōu)美長方形”ABCD的周長為78,則正方形c的邊長為()A.6 B.9 C.12 D.15【解答】解:設正方形b的邊長為x,則正方形a、c、d的邊長分別為2x、3x、5x,∵“優(yōu)美長方形”ABCD的周長為78,∴2(AB+BC)=78,∴2(5x+8x)=78,∴x=3,∴正方形c的邊長為3x=9,故選:B.【變式5】如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,P是對角線BD上一點,PE⊥BC于點E,PF⊥CD于點F,連接AP、EF.給出下列結(jié)論:①;②四邊形PECF的周長為8;③EF的最小值為2;④AP=EF;⑤AP⊥EF.其中正確的結(jié)論有()A.5個 B.4個 C.3個 D.2個【解答】解:①∵四邊形ABCD為正方形,∴∠CDB=∠CBD=45°,∵PF⊥CD,∴PD=PF.∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠C=90°,∴四邊形PECF為矩形,∴PF=EC,∴PD=EC.∴①的結(jié)論正確;②∵∠CDB=∠CBD=45°,PE⊥BC,PF⊥CD,∴△PBE和△PDF為等腰直角三角形,∴PE=BE,PF=DF∴四邊形PECF的周長=EC+CF+PF+PE=EC+BE+CF+DF=BC+CD=4+4=8,∴②的結(jié)論正確;④連接PC,如圖,∵四邊形ABCD為正方形,∴∠ADP=∠CDP=45°,AD=BC,在△ADP和△CDP中,,∴△ADP≌△CDP(SAS).∴AP=PC.由①知:四邊形PECF為矩形,∴EF=PC,∴AP=EF.∴④的結(jié)論正確;③由④知:AP=EF,∴當AP取最小值時,EF取得最小值,∵點P是對角線BD上一點,∴當AP⊥BD,即點P為對角線的中點時,AP的值最小,此時AP=AB=2,∴EF的最小值為2,∴③的結(jié)論不正確;⑤延長AP交EF于點H,延長FP交AB于點G,如圖,∵四邊形ABCD為正方形,∴∠ABD=∠CBD=45°,∠ABC=90°,∵PE⊥BC,PG⊥AB,∴四邊形GBEP為正方形,∴PG=PE=BG,∠GPE=90°,∴∠APG+∠EPH=90°.∵FG=BC,BC=AB,∴FG=AB.∴FG﹣PG=AB﹣BG,∴AG=PF.在△AGP和△FPE中,,∴△AGP≌△FPE(SAS),∴∠APG=∠FEP.∴∠FEP+∠HPE=90°,∴∠PHE=90°.∴AP⊥EF.∴⑤的結(jié)論正確;綜上,正確結(jié)論的序號為:①②④⑤,共4個.故選:B.題型02利用正方形的性質(zhì)求角度【典例1】如圖所示,在正方形ABCD中,E是對角線AC上的一點.連接BE,且AB=AE,則∠EBC的度數(shù)是()A.45° B.30° C.22.5° D.20°【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°,∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB==67.5°.∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=90°﹣67.5°=22.5°.故選:C.【變式1】如圖,在正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別在AD,AB上,滿足DE=AF,連接CE,DF,點P,Q分別是DF,CE的中點,連接PQ.若∠ADF=α.則∠PQE可以用α表示為()A.α B.45°﹣α C. D.3α﹣45°【解答】解:連接DQ,如圖:∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠A=∠CDE=90°,∵AF=DE,∴△ADF≌△DCE(SAS),∴DF=CE,∠ADF=∠DCE=α,∵點P,Q分別是DF,CE的中點,∴PD=DF=DQ=CE,∴∠DPQ=∠DQP,∠CDQ=α,∴∠PDQ=90°﹣2α,∠DQE=2α,∴∠PQD==45°+α,∴∠PQE=45°+α﹣2α=45°﹣α,故選:B.【變式2】如圖,在正方形ABCD中,E為BC上一點,連接DE,AF⊥DE于點F,連接CF,設∠DAF=α,若AF=2DF,則∠DCF一定等于()A.45°﹣α B.90°﹣3α C. D.【解答】解:過點C作CG⊥DE于G,則∠DGC=∠CGE=90°,∵AF⊥DE,∴∠AFD=90°,∴∠AFD=∠DGC,∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=90°,∴∠ADF+∠CDE=90°,又∵∠ADF+∠DAF=90°,∴∠DAF=∠CDE,∴△ADF≌△DCG(AAS),∴DF=CG,AF=DG,∵AF=2DF,∴DG=2DF,∴DF=FG,∴CG=FG,∴△CFG是等腰直角三角形,∴∠CFG=45°,∵∠DAF=α,∴∠CDE=α,∵∠CFG=∠CDE+∠DCF,∴∠DCF=∠CFG﹣∠CDE=45°﹣α;故選:A.【變式3】如圖,在正方形ABCD中,點E是AC上一點,過點E作EF⊥ED交AB于點F,連接BE,DF,若∠ADF=α,則∠BEF的度數(shù)是()A.2α B.45°+α C.90°﹣2α D.3α【解答】解:過點E作EM⊥AB于M,EN⊥AD于N,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∴四邊形AMEN是矩形,∠BAE=∠DAE=45°,∴EM=EN,四邊形AMEN是正方形,∴∠MEN=90°,∵∠DEF=90°,∴∠MEF=∠NED=90°﹣∠FEN,在△EMF和△END中,,∴△EMF≌△END(ASA),∴EF=ED,∴∠EFD=∠EDF=45°,∵∠ADF=α,∴∠AFD=90°﹣α,∴∠BFD=180°﹣(∠AFD+EFD)=180°﹣(90°﹣α+45°)=45°+α,在△ABE和△ADE中,,∴△ABE≌△ADE(SAS),∴BE=DE,∴BE=EF,∴∠BFE=∠EBF=45°+α,∴∠BEF=180°﹣(∠BFE+∠EBF)=180°﹣2(45°+α)=90°﹣2α.故選:C.【變式4】如圖,正方形ABCD中,點M、N、P分別在AB、CD、BD上,∠MPN=90°,MN經(jīng)過對角線BD的中點O,若∠PMN=α,則∠AMP一定等于()A.2α B.45°+α C.90﹣ D.135°﹣α【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABD=45°,在Rt△PMN中,∠MPN=90°,∵O為MN的中點,∴OP=MN=OM,∵∠PMN=α,∴∠MPO=α,∴∠AMP=∠MPO+∠MBP=α+45°,故選:B.題型03利用正方形的性質(zhì)求點的坐標【典例1】在平面直角坐標系中,正方形OABC的頂點O的坐標是(0,0),頂點B的坐標是(2,0),則頂點A的坐標是()A.(1,1) B.(﹣1,1)或(1,1) C.(﹣1,1) D.(1,﹣1)或(1,1)【解答】解:有兩種情況:(1)連接AC,∵四邊形OABC是正方形,∴點A、C關(guān)于x軸對稱,∴AC所在直線為OB的垂直平分線,即A、C的橫坐標均為1,根據(jù)正方形對角線相等的性質(zhì),AC=BO=2,又∵A、C關(guān)于x軸對稱,∴A點縱坐標為1,C點縱坐標為﹣1,故A點坐標(1,1),(2)當點A和點C位置互換,同理可得出A點坐標(1,﹣1),故選:D.【變式1】如圖,正方形ABCO中,O是坐標原點,A的坐標為,則點C的坐標為(﹣,1).【解答】解:如圖,過點C作CD⊥x軸于點D,過點A作AE⊥x軸于點E,在正方形OABC中,∠AOC=90°,AO=CO,∵∠AOC=∠CDO=90°,∴∠COD+∠AOE=∠COD+∠OCD=90°,∴∠OCD=∠AOE,在△OCD和△AOE中,,∴△OCD≌△AOE(AAS),∴CD=OE=1,OD=AE=,∴C的坐標為(﹣,1);故答案為:(﹣,1).【變式2】如圖,在平面直角坐標系中,正方形ABCD的邊長為2,∠DAO=60°,則點C的坐標為(,1+).【解答】解:過點C作CE⊥x軸,CF⊥y軸,如圖:∵正方形ABCD的邊長為2,∠DAO=60°,∴∠ADO=30°,∴AO=1,DO=,∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠ADO=∠DCF,∴△AOD≌△DFC(AAS),∴AO=DF=1,DO=CF=,∴CE=1+,∴點C的坐標為:(,1+).故答案為:(,1+).【變式3】在平面直角坐標系中,點O是坐標原點,正方形ABCD的頂點C,D在第二象限,若點A的坐標為(0,2),點B的坐標為(﹣3,0),則點C的坐標為(﹣5,3).【解答】解:作CE⊥x軸于點E,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BEC=∠AOB=∠ABC=90°,BC=AB,∴∠EBC=∠OAB=90°﹣∠OBA,在△BEC和△AOB中,,∴△BEC≌△AOB(AAS),∵A(0,2),B(﹣3,0),∴EB=OA=2,EC=OB=3,∴OE=OB+EB=5,∴C(﹣5,3),故答案為:(﹣5,3).【變式4】如圖,在平面直角坐標系中,正方形ABCD頂點A的坐標為(0,4),B點在x軸上,對角線AC,BD交于點M,OM=6,則點C的坐標為(12,8).【解答】解:過點C作CE⊥x軸于點E,過點M作MF⊥x軸于點F,連接EM,如圖所示:∴∠MFO=∠CEO=∠AOB=90°,AO∥MF∥CE,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,AM=CM,∴∠OAB=∠EBC,OF=EF,∴MF是梯形AOEC的中位線,∴MF=(AO+EC),∵MF⊥OE,∴MO=ME.∵在△AOB和△BEC中,,∴△AOB≌△BEC(AAS),∴OB=CE,AO=BE.∴MF=(BE+OB),又∵OF=FE,∴△MOE是直角三角形,∵MO=ME,∴△MOE是等腰直角三角形,∴OE==12,∵A(0,4),∴OA=4,∴BE=4,∴OB=CE=OE﹣BE=8.∴C(12,8).故答案為:(12,8).題型04正方形的判定與性質(zhì)【典例1】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,添加下列一個條件,仍不能使矩形ABCD成為正方形的是()A.AC⊥BD B.AC平分∠BAD C.AB=BC D.△OCD是等邊三角形【解答】解:要使矩形成為正方形,可根據(jù)正方形的判定定理解答:(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形,(2)對角線互相垂直的矩形是正方形.∴A、C不符合題意;∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠DAC=∠ACB,∴AB=BC,∴矩形ABCD成為正方形,∴B不符合題意;∵添加△OCD是等邊三角形,不能使矩形ABCD成為正方形,選項D符合題意.故選:D.【變式1】如圖,AC和BD是菱形ABCD的對角線,若再補充一個條件能使其成為正方形,下列條件:①AC=BD;②AC⊥BD;③AB2+AD2=BD2;④∠ACD=∠ADC.其中符合要求的是()A.①② B.①③ C.②③ D.②④【解答】解:設對角線AC和BD交于點O,∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,①∵對角線相等的菱形是正方形;∴補充條件AC=BD,可以使四邊形ABCD成為為正方形,②∵菱形的對角線具有AC⊥BD,∴補充條件AC⊥BD,不能使四邊形ABCD成為為正方形,③∵AB2+AD2=BD2,∴∠BAD=90°,∴菱形ABCD為正方形,∴補充條件AB2+AD2=BD2,可以使四邊形ABCD成為為正方形,④當∠ACD=∠ADC時,AC=AD,又∵AD=CD,∴AD=AC=CD,∴△ACD為等邊三角形,∴∠ADC=60°,∴補充條件∠ACD=∠ADC,不能使四邊形ABCD成為為正方形.綜上所述:當補充的條件①③時,可以使四邊形ABCD成為為正方形.故選:B.【變式2】如圖,E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點,且AE=BF=CM=DN.求證:四邊形EFMN是正方形.【解答】解:四邊形EFMN是正方形.證明:∵AE=BF=CM=DN,∴AN=DM=CF=BE.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF.∴EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN.∴四邊形EFMN是菱形.∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,∴∠ENA+∠DNM=90°.∴∠ENM=90°.∴四邊形EFMN是正方形.【變式3】如圖,四邊形AECF是菱形,對角線AC、EF交于點O,點D、B是對角線EF所在直線上兩點,且DE=BF,連接AD、AB、CD、CB,∠ADO=45°.(1)求證:四邊形ABCD是正方形;(2)若正方形ABCD的面積為72,BF=4,求點F到線段AE的距離.【解答】(1)證明:∵菱形AECF的對角線AC和EF交于點O,∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF,∵BE=DF,∴BO=DO,又∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形,∵∠ADO=45°,∴∠DAO=∠ADO=45°,∴AO=DO,∴AC=BD,∴四邊形ABCD是正方形;(2)解:∵正方形ABCD的面積為72,∴AC?BD=72,∴×4BO2=72,∴BO=DO=CO=AO=6,∴AC=12,∵BF=4,∴OF=2,∵四邊形ABCD是菱形,∴EF=2EO=2OF=4,AC⊥EF,∴菱形AFCE的面積=AC?EF=24,在Rt△AOE中,AE==2,設點F到線段AE的距離為h,∴AE?h=24,即2h=24,∴h=.即點F到線段AE的距離為.【變式4】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,AB=3,點E為對角線AC上一動點,連接DE,過點E作EF⊥DE,交BC于點F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.(1)求證:矩形DEFG是正方形;(2)探究:CE+CG的值是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.【解答】解:(1)如圖,作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N,∴∠MEN=90°,∵點E是正方形ABCD對角線上的點,∴EM=EN,∵∠DEF=90°,∴∠DEN=∠MEF,∵∠DNE=∠FME=90°,在△DEN和△FEM中,,∴△DEN≌△FEM(ASA),∴EF=DE,∵四邊形DEFG是矩形,∴矩形DEFG是正方形;(2)CE+CG的值是定值,定值為6,理由如下:∵正方形DEFG和正方形ABCD,∴DE=DG,AD=DC,∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°,∴∠CDG=∠ADE,在∴△ADE和△CDG中,,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG,∴CE+CG=CE+AE=AC=AB=×3=6是定值.【變式5】如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,EF⊥AD于點F,DG⊥AE于點G,DG與EF交于點O.(1)求證:四邊形ABEF是正方形;(2)若AD=AE,求證:AB=AG;(3)在(2)的條件下,已知AB=1,求OF的長.【解答】(1)證明:∵矩形ABCD,∴∠BAF=∠ABE=90°,∵EF⊥AD,∴四邊形ABEF是矩形,∵AE平分∠BAD,∴EF=EB,∴四邊形ABEF是正方形;(2)證明:∵AE平分∠BAD,∴∠DAG=∠BAE,在△AGD和△ABE中,,∴△AGD≌△ABE(AAS),∴AB=AG;(3)解:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAF=∠ABE=90°,∵EF⊥AD,∴四邊形ABEF是矩形,∵AE平分∠BAD,∴EF=EB,∠BAE=∠DAG=45°,∴四邊形ABEF是正方形;∴AB=AF=1,∵△AGD≌△ABE,∴DG=AB=AF=AG=1,∴AD=,∠DAG=∠ADG=45°,∴DF=﹣1,∵EF⊥AD,∴∠FDO=∠FOD=45°,∴DF=OF=﹣1.∴OF=﹣1.【變式6】如圖,已知:在四邊形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且CF∥AE.(1)求證:四邊形BECF是菱形;(2)當∠A=45°時,四邊形BECF是正方形;(3)在(2)的條件下,若AC=4,則四邊形ABFC的面積為12.【解答】(1)證明:∵EF垂直平分BC,∴BF=FC,BE=EC,∴∠FCB=∠FBC,∵CF∥AE∴∠FCB=∠CBE,∴∠FBC=∠CBE,∵∠FDB=∠EDB,BD=BD,∴△FDB≌△EDB(ASA),∴BF=BE,∴BE=EC=FC=BF,∴四邊形BECF是菱形;(2)解:當∠A=45°時,四邊形BECF是正方形,理由如下:若四邊形BECF是正方形,則∠ECB=∠FCB=45°,∵∠ACB=90°,∴∠ACE=45°,∵∠A=45°,∴∠AEC=90°,由(1)知四邊形BECF是菱形,∴四邊形BECF是正方形;故答案為:45;(3)解:由(2)知,四邊形BECF是正方形,AE=BE=CE=2,∴四邊形ABFC的面積為=12,故答案為:12.題型05中點四邊形【典例1】如圖,E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點,則四邊形EFGH一定是()A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【解答】解:如圖,連接AC,∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點,∴HG∥AC,HG=AC,EF∥AC,EF=AC;∴EF=HG且EF∥HG;∴四邊形EFGH是平行四邊形.故選:A.【變式1】順次連接矩形ABCD各邊中點得到四邊形EFGH,它的形狀是()A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【解答】解:四邊形EFGH是菱形;理由如下:連接BD,AC.∵矩形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點,∴AC=BD,∴EF=AC,EF∥AC,GH=AC,GH∥AC同理,F(xiàn)G=BD,F(xiàn)G∥BD,EH=BD,EH∥BD,∴EF=FG=GH=EH,∴四邊形EFGH是菱形.故選:C.【變式2】四邊形ABCD中,點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點,下列條件中能使四邊形EFGH為矩形的是()A.AB⊥BC B.AB=BD C.AC=BD D.AC⊥BD【解答】證明:∵點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點,∴EF=AC,GH=AC,∴EF=GH,同理EH=FG,∴四邊形EFGH是平行四邊形;當對角線AC、BD互相垂直時,如圖所示,∴EF與FG垂直.∴四邊形EFGH是矩形.故選:D.【變式3】如圖,已知四邊形ABCD中,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA上的點(不與端點重合).下列說法錯誤的是()A.若E、F、G、H分別為各邊的中點,則四邊形EFGH是平行四邊形 B.若四邊形ABCD是任意矩形,則存在無數(shù)個四邊形EFGH是菱形 C.若四邊形ABCD是任意菱形,則存在無數(shù)個四邊形EFGH是矩形 D.若四邊形ABCD是任意矩形,則至少存在一個四邊形EFGH是正方形【解答】解:如圖,∵四邊形ABCD是矩形,連接AC,BD交于O,過點O直線EG和HF,分別交AB,BC,CD,AD于E,F(xiàn),G,H,則四邊形EFGH是平行四邊形,故存在無數(shù)個四邊形EFGH是平行四邊形;故A選項不符合題意;如圖,當EG=HF時,四邊形EFGH是矩形,故存在無數(shù)個四邊形EFGH是矩形;故B選項不符合題意;如圖,當EG⊥HF時,存在無數(shù)個四邊形EFGH是菱形;故C選項不符合題意;當四邊形EFGH是正方形時,EH=HG,則△AEH≌△DHG,∴AE=HD,AH=GD,∵GD=BE,∴AB=AD,∴四邊形ABCD是正方形,當四邊形ABCD為正方形時,四邊形EFGH是正方形,故D選項符合題意.故選:D.1.菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是()A.對角線互相垂直 B.對角線相等 C.四條邊相等,四個角相等 D.兩組對邊分別平行且相等【解答】解:A、矩形的對角線不一定互相垂直,故本選項不符合題意;B、菱形的對角線不一定相等,故本選項不符合題意;C、矩形的四條邊不一定相等,菱形的四個角不應當相等,故本選項不符合題意;D、菱形、矩形、正方形的兩組對邊分別平行且相等,故本選項符合題意;故選:D.2.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,下列結(jié)論中錯誤的是()A.當∠ABC=90°,平行四邊形ABCD是矩形 B.當AC=BD,平行四邊形ABCD是矩形 C.當AB=BC,平行四邊形ABCD是菱形 D.當AC⊥BD,平行四邊形ABCD是正方形【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴當∠ABC=90°,平行四邊形ABCD是矩形,故選項A正確,不符合題意;當AC=BD,平行四邊形ABCD是矩形,故選項B正確,不符合題意;當AB=BC,平行四邊形ABCD是菱形,故選項C正確,不符合題意;當AC⊥BD,平行四邊形ABCD是菱形,但不一定是正方形,故選項D錯誤,符合題意;故選:D.3.如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,下列三個結(jié)論:①當AB=BC時,它是菱形;②當AC⊥BD時,它是矩形;③當∠ABC=90°時,它是正方形.其中結(jié)論正確的有()A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形,故A正確;∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形,∴四邊形ABCD不一定是矩形,故B錯誤;∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形,∴四邊形ABCD不一定是正方形,故C錯誤,故選:B.4.如圖,E,F(xiàn),G,H分別是矩形ABCD各邊的中點,AB=6cm,BC=8cm,則四邊形EFGH的面積是()A.48cm2 B.32cm2 C.24cm2 D.12cm2【解答】解:∵E,F(xiàn),G,H分別是矩形ABCD各邊的中點,AB=6cm,BC=8cm,∴AE=AB=3cm,AH=AD=4cm,AE=DG,∴S△EAH=×3×4=6(cm2),在△EAH和△GDH中,,∴△EAH≌△GDH(SAS),同理可得:△EAH≌△GDH≌△GCF≌△EBH,∴四邊形EFGH的面積為:6×8﹣6×4=24(cm2),故選:C.5.隨著科技的進步,機器人在各個領(lǐng)域的應用越來越廣泛.如圖為正方形形狀的擦窗機器人,其邊長是28cm.在某次擦窗工作中,PM、PN為窗戶的邊緣,擦窗機器人的兩個頂點A、B分別落在PM、PN上,PA=14cm,將擦窗機器人繞中心O逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度,使得AD∥PM,則旋轉(zhuǎn)角度是()A.15° B.30° C.45° D.60°【解答】解:如圖,連接A'O,連接AO交A'D'于點E,∵PA=14cm,AB=28cm,∴cos∠PAB==,∴∠PAB=60°,∴∠PAO=105°,∵A'D'∥PM,∴∠PAO=∠A'EO=105°,∴∠A'OA=180﹣105°﹣45°=30°,∴旋轉(zhuǎn)角為30°,故選:B.6.如圖,正方形ABCD的邊長為10,且AE=FC=8,BF=DE=6,則EF的長為()A.2 B. C. D.【解答】解:延長BF交AE于點G,如圖所示:∵AE=FC,BF=DE,AD=CB,∴△ADE≌△CBF(SSS),∴∠DAE=∠BCF,∠ADE=∠CBF,∠DEA=∠BFC,∵AD=10,DE=6,AE=8,102=62+82,∴∠DEA=90°=∠BFC,∵∠DAE+∠BAG=∠DAE+∠ADE=90°,∠CBF+∠ABG=∠CBF+∠BCF=90°,∴∠BAG=∠ADE,∠ABG=∠BCF,∴∠ADE=∠CBF=∠BAG,∠DAE=∠BCF=∠ABG,∵AD=CB=BA,∴△ADE≌△CBF≌△BAG(SAS),∴∠AGB=90°,AG=DE=BF=6,BG=AE=FC=8,∴∠EGF=90°,EG=AE﹣AG=2,GF=BG﹣BF=2,∴.故選:C.7.小明用四根相同長度的木條制作了一個正方形學具(如圖1),測得對角線,將正方形學具變形為菱形(如圖2),∠DAB=60°,則圖2中對角線AC的長為()A.20cm B. C. D.【解答】解:如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,AC=10cm,∴AB=AD=AC=10cm,在圖2中,連接BD交AC于O,∵∠ABC=60°,AB=AD=10cm,∴△ABD是等邊三角形,則BD=10cm,∵四邊形ABCD是菱形,∴BO==5cm,AO=CO,AC⊥BD,∴AO===5(cm),∴AC=2AO=10(cm),故選:C.8.如圖,正方形ABCD的邊長為9,E為對角線AC上一點,連接DE,過點E作EF⊥DE,交射線BC于點F,以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG,下列結(jié)論中不正確的是()A.矩形DEFG是正方形 B.∠CEF=∠ADE C.CG平分∠DCH D.【解答】解:如圖,作EK⊥BC于點K,EL⊥CD于點L,則∠EKF=∠ELD=90°,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=CB,AD=CD,∠B=∠ADC=90°,∴∠BCA=∠BAC=45°,∠DCA=∠DAC=45°,∴∠BCA=∠DCA,∴EK=EL,∵∠EKC=∠ELC=∠KCL=90°,∴四邊形EKCL是矩形,∵四邊形DEFG是矩形,∴∠KEL=∠FED=90,∴∠FEK=∠DEL=90°﹣∠FEL,∴△FEK≌△DEL(ASA),∴DE=FE,∴矩形DEFG是正方形,故A正確;∵∠EDG=∠ADC=90°,∴∠CDG=∠ADE=90°﹣∠CDE,∵CD=AD,GD=ED,∴△CDG≌△ADE(SAS),∴CG=AE,∴CE+CG=CE+AE=AC,∵∠B=90°,AB=CB=9,∴AC=AB=9,∴CE+CG=9,故D正確;∵△CDG≌△ADE(SAS),∴∠DAE=∠DCG=45°,∴CG平分∠DCH,故C正確;∵∠ADE=∠DEL=∠FEK,≠∠CEF,∴∠CEF≠∠ADE,故B不正確,故選:B.9.如圖,P為正方形ABCD內(nèi)一點,過P作直線PD交BC于點E,過P作直線GH交AB、DC于G、H,且GH=DE.若∠APD=∠DEC,∠EDC=15°.以下結(jié)論:①△ABP為等邊三角形;②PG=PD③S△PBE=PD2④BP=PE+PG其中正確的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解答】解:①∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=BC=AD,AD∥BC,∠BAD=∠ADC=∠DCE=90°,∴∠ADE=∠DEC,∵∠APD=∠DEC,∴∠ADE=∠APD,∴AP=AD,∴AP=AB∵∠EDC=15°,∴∠ADP=90°﹣15°=75°=∠APD,∴∠DAP=180°﹣75°﹣75°=30°,∴∠BAP=90°﹣30°=60°,∴△ABP是等邊三角形;故①正確.②如圖,過點G作GK∥AD交CD于K,連接DG,則∠GKH=∠ADC=90°=∠DKG,∴∠GKH=∠DCE,∵∠BAD=∠ADC=∠DKG=90°,∴四邊形ADKG是矩形,∴GK=AD=CD,∵GH=DE,∴Rt△GHK≌Rt△DEC(HL),∴∠GHK=∠DEC,∵∠DEC+∠EDC=90°,∴∠GHK+∠EDC=90°,∴∠DPH=90°,∴∠DPG=180°﹣∠DPH=90°,∵∠DPG+∠BAD=180°,∴四邊形ADPG是圓內(nèi)接四邊形,∴∠DGP=∠DAP=30°,∴DG=2PD,在Rt△DGP中,PG===PD,故②正確;③如圖,過點P作PL⊥AD于L,交BC于J,過點E作EM⊥BP于M,則四邊形BALJ是矩形,∴AL=BJ,∠BJP=∠ALP=90°,∵AP=BP,∴Rt△APL≌Rt△BPJ(HL),∴PL=PJ,在△PEJ和△PDL中,,∴△PEJ≌△PDL(ASA),∴PJ=PD,∵EM⊥BP,∴∠BME=∠PME=90°,∵LJ∥AB∥CD,∴∠BPJ=∠ABP=60°,∠EPJ=∠EDC=15°,∴∠EPM=∠BPJ﹣∠EPJ=45°,∴△PEM是等腰直角三角形,∴PM=EM=PE=PD,∵∠ABP=60°,∴∠EBM=30°,∴BE=2ME=PD,∴BM===PD,∴BP=BM+PM=PD+PD=PD,∴S△PBE=BP?EM=×PD?PD=PD2,故③錯誤;④過點B作BN⊥BP,交PG的延長線于N,連接DG,∵∠GBN+∠GBP=90°,∠GBP+∠EBP=90°,∴∠GBN=∠EBP,∵∠EBG+∠BGP+∠EPG+∠BEP=360°,∴∠BGP+∠BEP=360°﹣(∠EBG+∠EPG)=180°,∵∠BGP+∠BGN=180°,∴∠BGN=∠BEP,由②知,∠DGP=30°,∴∠GDP=60°,∴∠ADG=90°﹣60°﹣15°=15°=∠EDC,∴△DGA≌△DEC(ASA),∴AG=CE,∴BG=BE,∴△BGN≌△BEP(ASA),∴BN=BP,GN=PE,∴△BPN是等腰直角三角形,∴PN=BP,∵PN=PG+GN=PE+PG,∴BP=PE+PG,故④正確;故選:C.10.如圖,依次連接第一個矩形各邊的中點得到一個菱形,再依次連接菱形各邊的中點得到第二個矩形,按照此方法繼續(xù)下去,已知第一個矩形的面積為1,則第n個矩形的面積為()A. B. C. D.【解答】解:已知第一個矩形的面積為1;第二個矩形的面積為原來的()2×2﹣2=;第三個矩形的面積是()2×3﹣2=;…故第n個矩形的面積為:()2n﹣2=()n﹣1.故選:D.11.小華在復習四邊形的相關(guān)知識時,繪制了如圖所示的框架圖,④號箭頭處可以添加的條件是有一組鄰邊相等(答案不唯一).(寫出一種即可)【解答】解:有一組鄰邊相等的矩形是正方形,故答案為:有一組鄰邊相等(答案不唯一).12.已知正方形ABCD,分別以BC,DC為邊長作等邊△BEC和等邊△DCF,連接EF,則∠CEF=15°.【解答】解:∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°,∵△BEC和△DCF都是等邊三角形,∴BC=EC,CD=CF,∠BCE=∠DCF=60°,∴EC=FC,∠ECF=360°﹣∠BCD﹣∠BCE﹣∠DCF=150°,∴∠CEF=15°,故答案為:15.13.如圖,正方形ABCD的對角線相交于點O,點O又是另一個正方形A'B'C'O的一個頂點.若兩個正方形的邊長均為2,則圖中陰影部分圖形的面積為1.【解答】解:設A′O與AB交于點E,C′O與BC交于點F,因為四邊形ABCD是正方形,所以AO=BO,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO.∴∠AOE+∠BOE=90°.又∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF.所以△AEO≌△BFO(ASA).∴四邊形EBFO面積=△BEO面積+△BFO面積=△BEO面積+△AEO面積=△ABO面積.因為正方形ABCD邊長為2,∴正方形面積為4,∴△ABO面積為1.所以陰影部分面積為1.故答案為1.14.如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F(xiàn)同時從O點出發(fā)在線段AC上以1cm/s的速度反向運動(點E,F(xiàn)分別到達A,C兩點時停止運動),設運動時間為ts.連接DE,DF,BE,BF,已知△ABD是邊長為6cm的等邊三角形,當t=3s時,四邊形DEBF為正方形.【解答】解:由題意得OE=OF=tcm,∴EF=2tcm,∵菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,∴OB=OD,AC⊥BD,∴四邊形DEBF是菱形,∴當EF=BD時,四邊形DEBF是正方形,∵△ABD是邊長為6cm的等邊三角形,∴BD=6cm,∴由EF=BD得2t=6,解得t=3,∴當t=3s時,四邊形DEBF是正方形,故答案為:3.15.如圖,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,則GE的長為.【解答】解:如圖,作EP垂直于GA,交GA的延長線于點P.∵∠CAB+∠PAB=90°,∠PAB+∠PAE=90°,∴∠CAB=∠PAE.在△BCA和△EPA中,∠BCA=∠EPA,∠CAB=∠PAE,BA=EA,∴△BCA≌△EPA(AAS),即PE=BC==3,AP=AC=4.∴GE==.故答案為:.16.如圖,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,點E在AD的延長線上,且∠PAE=∠E,PE交CD于點F.(1)求證:PC=PE;(2)求∠CPE的度數(shù).【解答】(1)證明:在正方形ABCD中,AD=DC,∠ADP=∠CDP=45°,在△ADP和△CDP中,∴△ADP≌△CDP(SAS),∴PA=PC,∵∠PAE=∠E,∴PA=PE,∴PC=PE;(2)∵在正方形ABCD中,∠ADC=90°,∴∠EDF=90°,由(1)知,△ADP≌△CDP,∴∠DAP=∠DCP,∵∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(對頂角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=90°.17.定義:若一個四邊形滿足三個條件①有一組對角互補,②一組鄰邊相等,③相等鄰邊的夾角為直角,則稱這樣的四邊形為“直角等鄰對補”四邊形,簡稱為“直等補”四邊形.根據(jù)以上定義,解答下列問題.(1)如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E在CD邊上,點F在CB邊的延長線上,且DE=BF,連接AE,AF,請根據(jù)定義判斷四邊形AFCE是否是“直等補”四邊形,并說明理由.(2)如圖2,已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形,AB=AD,若AB=20,CD=4,求BC的長.【解答】解:(1)四邊形AFCE是“直等補”四
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