湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三上學期入學摸底考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三上學期入學摸底考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，1.已知向量，若，則等于（）A9 B.3 C.-1 D.-3〖答案〗C〖解析〗因為，所以，得.故選：C.2.已知集合，若中有且僅有一個元素，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，要使得中有且僅有一個元素，則或，即實數(shù)的取值范圍為.故選：B.3.已知復數(shù)，若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A. B. C.-2 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知，復數(shù)為純虛數(shù)，所以得.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，又，則可得.所以，故選：A.5.已知雙曲線，若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意可知雙曲線的漸近線為，從而，即，所以，所以的離心率.故選:B.6.在中，角所對的邊分別為，若，則的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，由正弦定理得，得，所以，即，因為，所以，所以，或，所以，或（舍），所以，所以.故選：D.7.已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，聯(lián)立可解得，所以，所以.所以曲線在點處的切線方程為，故所求的切線方程為.故選：C.8.如圖，已知正方體的棱長為，圓錐在正方體內(nèi)，且垂直圓錐的底面，當該圓錐底面積最大時，圓錐體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，取的中點，記為，，根據(jù)正方體的性質(zhì)易知六邊形為正六邊形，此時的中點在正六邊形的中心，且平面，當圓錐底面內(nèi)切于正六邊形時該圓錐的底面積最大，設此時圓錐底面圓半徑為，因為，所以，所以，圓錐底面積為，圓錐頂點為處，圓錐體積.故選：C.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)據(jù)，滿足：，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法正確的是（）A.中位數(shù)不變B.若，則數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為13C.平均數(shù)不變D.方差變小〖答案〗ACD〖解析〗原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，故A正確；當時，數(shù)據(jù)按從小到大順序排列：.因為，所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第8個數(shù)15，故B錯誤；由于，故，原來的平均數(shù)為，去掉后平均數(shù)為，平均數(shù)不變，故C正確；原來的方差為，去掉后的方差為，方差變小，故D正確.故選：ACD.10.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有兩個極值點，設其極大值?極小值分別記為.則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關于直線對稱B.實數(shù)的取值范圍為C.D.〖答案〗ABC〖解析〗因為，其中，則，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以選項A正確；因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為在上有兩個極值點，且，所以，解得，所以選項B正確；因為存在，使得，當或時，；當時，.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)的極大值點為，極小值點為，又因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，所以.所以選項C正確，D錯誤.故選：ABC.11.已知是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，若的面積等于4.則下列結(jié)論正確的是（）A.若點是橢圓的短軸頂點，則橢圓的標準方程為B.若是動點，則的值恒為2C.若是動點，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若是動點，則的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若點是橢圓的短軸頂點，則，又，所以，所以橢圓的標準方程為，故選項A正確；對于B，設，由題意可知①，因為，所以，即②，又③，由②③及得，又由①知，所以.故選項B正確；對于C，由②③得，所以，從而，故.所以橢圓的離心率，故選項C錯誤；對于D，由橢圓定義可得，即的取值范圍為，即選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的值為__________.〖答案〗1〖解析〗由已知得，所以.13.已知奇函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗因為是奇函數(shù)，所以等價于，又函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，需滿足，解得，即的取值范圍為.14.某超市為了保證顧客能購買到新鮮的牛奶又不用過多存貨，統(tǒng)計了30天銷售水牛奶的情況，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量/件10203040天數(shù)36156該超市存貨管理水平高低會直接影響超市的經(jīng)營情況.該超市對鮮牛奶實行如下存貨管理制度：當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若存貨少于30件，則通知配送中心立即補貨至40件，否則不補貨.假設某天開始營業(yè)時貨架上有40件水牛奶，則第二天營業(yè)結(jié)束后貨架上有20件存貨的概率為__________.（以樣本估計總體，將頻率視為概率）〖答案〗〖解析〗由題設第一天營業(yè)結(jié)束后不補貨的情況為事件銷售10件}，補貨的情況為事件銷售20件，30件，40件，所以，令事件第二天營業(yè)結(jié)束后貨架上有20件存貨，則，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.近年來，我國新能源汽車進入快車道，自2015年以來，產(chǎn)銷量已經(jīng)連續(xù)八年增長，位居全球前列.近期國院出臺了新能源汽車系列政策，促進了新能源汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展.某市一家知名品牌的新能源汽車企業(yè)近5個月的產(chǎn)值數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：月份6月7月8月9月10月月份代12345產(chǎn)值（百億元）1620273037（1）求出關于的經(jīng)驗回歸方程，并預測明年3月份該企業(yè)的產(chǎn)值；（2）該企業(yè)依據(jù)市場調(diào)研，為滿足消費者的購買需求，設計并生產(chǎn)了三種類型新能源汽車，這三種類型的銷量比依次為，銷售價格依次為15萬，25萬，40萬.若該新能源汽車的某4S店每天銷售2臺，設銷售額為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式：；參考數(shù)據(jù)：.解：（1）所以，所以關于的經(jīng)驗回歸方程為，當時，，故明年3月份該企業(yè)的產(chǎn)值約為62.4百億元.（2）由題設隨機變量的可能取值為，，，.隨機變量的分布列如下表：3040505565800.090.300.250.120.200.04（萬元）.16.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且.（1）求拋物線的標準方程；（2）拋物線的準線與軸交于點，過的直線交拋物線于兩點，且，點為線段的垂直平分線與軸的交點，求點的橫坐標的取值范圍.解：（1）因為在拋物線上，所以，得；因為，所以，即，解得，所以拋物線的標準方程為.（2）易知拋物線的準線為，則可得；設，由可得，如下圖所示：設直線，代入到中得，所以，即可得，聯(lián)立兩式并整理可得，又由可得遞增，即有，即，又中點坐標為，可得直線的垂直平分線的方程為，令，可得，所以點的橫坐標的取值范圍為.17.如圖，在直三棱柱中，是側(cè)棱的中點，.（1）證明：平面平面；（2）求銳二面角的余弦值.（1）證明：設，因為，由余弦定理可得，即；可得四邊形為正方形，所以，且，又是側(cè)棱的中點，連接，因為，又，則，因為為的中點，所以，由平面，且，可得平面，又因為平面，可得平面平面.（2）解：由直棱柱的性質(zhì)與已知，得，以為原點，以垂直于平面的直線，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，可得，且是中點，則.可得，設平面的法向量為，則令，則，可得，由（1）可知平面的一個法向量為，可得，所以銳二面角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設函數(shù).證明：（i）函數(shù)有唯一極值點；（ii）若函數(shù)有唯一零點，則.（1）解：由函數(shù)可得：，且，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)減區(qū)間是，增區(qū)間是.（2）證明：（i）因為的定義域為，所以，設，則，當時，，所以單調(diào)遞增，當時，，所以單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以，又，所以存在唯一，使得，即，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以函數(shù)有唯一極值點.（ii）由（i）得，因為函數(shù)有唯一零點，所以，所以，即，所以，設，所以，所以在單調(diào)遞減，因為，所以.19.給定整數(shù)，數(shù)列，且，為整數(shù).在中去掉一項，并將剩下的數(shù)分成項數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為.將中的最小值稱為數(shù)列的特征值.（1）已知數(shù)列，寫出的值及的特征值；（2）若，當，其中，且時，證明：；（3）已知數(shù)列的特征值為，求的最小值.