山東省煙臺(tái)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺(tái)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，且，則m的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以或，解得，或或，?dāng)時(shí)，，又集合中不能有相同的元素，所以.故選：B.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，命題“”的否定為“”.故選：A.3.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，取，則，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，則，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵，且，∴，且，則，即，故D正確.故選：D.4.某地民用燃?xì)鈭?zhí)行“階梯氣價(jià)”，按照用氣量收費(fèi)，具體計(jì)費(fèi)方法如下表所示．若某戶(hù)居民去年繳納的燃?xì)赓M(fèi)為868元，則該戶(hù)居民去年的用氣量為（）每戶(hù)每年用氣量單價(jià)不超過(guò)的部分超過(guò)但不超過(guò)的部分超過(guò)的部分A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗該戶(hù)居民去年的用氣量為，繳納的燃?xì)赓M(fèi)為元，當(dāng)時(shí)，，令，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得，不合題意，綜上，.故選：C.5.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，相符，故B正確；對(duì)于C，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.若函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，解?故選：A.7.若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)時(shí)，，得，所以得：，解得：，故D項(xiàng)正確.故選：D.8.已知是定義在上奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗是定義在上的奇函數(shù)，則，又在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可化為，可得或，即或，解得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的有（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AC〖解析〗與的定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故A正確；由解得，則的定義域?yàn)?，由解得或，則的定義域?yàn)榛?，則與的定義域不同，不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；與的定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故C正確；的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.給定集合，定義且，若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故A正確；∵，，由新定義可知，，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD.11.已知，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為6C.的最大值為0 D.的最小值為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，A正確；對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)取到等號(hào)，C正確；對(duì)于D：，由函數(shù)性質(zhì)易知在單調(diào)遞增，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)立者，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)．某數(shù)學(xué)小組類(lèi)比拓?fù)鋵W(xué)中的康托爾三等分集，定義了區(qū)間上的函數(shù)，且滿足：①任意，；②；③，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，〖答案〗BCD〖解析〗由②得，即，得，而，得，∴，故A錯(cuò)誤；由③可知，，即，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；由②得，則，由③得，即，由，得，故C正確；由，得，則，∵任意，，∴當(dāng)時(shí)，，即，∴，即，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．〖答案〗1〖解析〗因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，得，得，得.故〖答案〗為：1.14.若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗不等式的解集記為，不等式，解得或，解集記為或，若“”是“”的充分不必要條件，則，所以.故〖答案〗：.15.已知命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題意得：當(dāng)時(shí)，，不符題意；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸為，所以，只需，解得：，當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意，綜上，的取值范圍為.故〖答案〗為：.16.設(shè)，，用表示，中較小者，記為，則______；若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為_(kāi)_____.〖答案〗2〖解析〗，，則；由，解得，由，解得或，則，作出圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為.故〖答案〗為：2.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以.（2）因?yàn)?，，所以，解得?故的取值范圍為：.18.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求在上的〖解析〗式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，證明在區(qū)間上單調(diào)遞減．解：（1）因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以，即．綜上，，，（2）任取，且，，因?yàn)?，且所以，，且，所以，即，所以，函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．19.某工廠擬建造一個(gè)深為2.5米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，如果池底每平方米的造價(jià)為200元，池壁每平方米的造價(jià)為100元，總造價(jià)不超過(guò)3萬(wàn)元，怎樣設(shè)計(jì)水池，才能使其容積最大?最大容積是多少?解：設(shè)池底長(zhǎng)為x米，寬為y米，則水池的容積為，由題意得，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，所以，即，解得，即．所以，當(dāng)，即池底的長(zhǎng)和寬均為10米時(shí)，其容積最大．此時(shí)，最大容積為立方米.20.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求的〖解析〗式；（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）設(shè)的〖解析〗式為，則，解得，因此．（2）因?yàn)?，所以．令，則，且．令，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以．因?yàn)榇嬖?，使得，所以．所以．又因?yàn)?，所以的取值范圍?21.已知函數(shù)滿足：，．令．（1）求值，并證明為偶函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，．(i)判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；(ii)若，求不等式的解集．解：（1）因?yàn)椋远x域?yàn)?，因?yàn)椋?，則，所以．令，則，所以．令，則，所以，，所以為偶函數(shù).（2）(i)因?yàn)?，兩邊同除以得，即．任取，且，則，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．(ii)因?yàn)?，所以，所以原不等式可化為．又為偶函?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，解得或，所以原不等式的解集為或．22.已知函數(shù)，，（1）解關(guān)于x的不等式；（2）從①，②]這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線處，并給出問(wèn)題的解答．問(wèn)題：是否存在正數(shù)t，使得?若存在，求出t的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由，則，即，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式解集為；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，綜上，當(dāng)時(shí)不等式的解集為，時(shí)不等式的解集為，時(shí)不等式的解集為.（2）因?yàn)槭情_(kāi)口向下的二次函數(shù)，若選擇條件①：此時(shí)的解集為，所以，，且，由，，得，解得