奧數(shù)工程問題集錦

奧數(shù)工程問題集錦奧數(shù)工程問題集錦/奧數(shù)工程問題集錦1．修一條水渠，單獨(dú)修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九。現(xiàn)在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少，那么兩隊要合作幾天？

解：由題意得，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。

又因?yàn)?，要求“兩隊合作的天?shù)盡可能少”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實(shí)在來不與的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”。

設(shè)合作時間為x天，則甲獨(dú)做時間為（16-x）天

1/20*（16-x）+7/100*x＝1

x＝10

答：甲乙最短合作10天

2．甲乙兩個水管單獨(dú)開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨(dú)開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？

解：

1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率

9/80×5＝45/80表示5小時后進(jìn)水量

1-45/80＝35/80表示還要的進(jìn)水量

35/80÷（9/80-1/10）＝35表示還要35小時注滿

答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。

3．一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成?，F(xiàn)在先請甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨(dú)做完這件工作要多少小時？

解：

由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量

（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。

根據(jù)“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。

所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小時的工作量。

1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。

1÷1/20＝20小時表示乙單獨(dú)完成需要20小時。

答：乙單獨(dú)完成需要20小時。

4．一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨(dú)做這項工程需17天完成，甲單獨(dú)做這項工程要多少天完成？

解：由題意可知

1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1

1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1

（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天）

1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因?yàn)榍懊娴墓ぷ髁慷枷嗟龋?/p>

得到1/甲＝1/乙×2

又因?yàn)?/乙＝1/17

所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天

5．師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？

答案為300個

120÷（4/5÷2）＝300個

可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個。

6．一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？

答案是15棵

算式：1÷（1/6-1/10）＝15棵

7．一個池上裝有3根水管。甲管為進(jìn)水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時，打開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？

答案45分鐘。

1÷（1/20+1/30）＝12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。

1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進(jìn)的水。

1/2÷18＝1/36表示甲每分鐘進(jìn)水

最后就是1÷（1/20-1/36）＝45分鐘。

8．某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨(dú)做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天？

答案為6天

解：

由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨(dú)做，恰好如期完成，”可知：

乙做3天的工作量＝甲2天的工作量

即：甲乙的工作效率比是3：2

甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3

時間比的差是1份

實(shí)際時間的差是3天

所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期

方程方法：

[1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1

解得x＝6

9．兩根同樣長的蠟燭，點(diǎn)完一根粗蠟燭要2小時，而點(diǎn)完一根細(xì)蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點(diǎn)燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點(diǎn)了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細(xì)蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？

答案為40分鐘。

解：設(shè)停電了x分鐘

根據(jù)題意列方程

1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2

解得x＝40一件工作,甲、乙、丙三人合作6小時,乙、丙合作2小時,可以完成這件工作的4/9。如果甲、乙合作3小時，丙做6小時，可以完成這件工作的3/4，甲、乙、丙單獨(dú)完成這件工作各需多少小時？解：設(shè)甲的工作效率為X，乙的工作效率為Y，丙的工作效率為Z。則（X+Y+Z）*6=1；6X+2Y+2Z=2/3；3X+3Y+6Z=2/3解的：X=1/12，Y=1/36，Z=1/18故甲乙丙單獨(dú)完成這件工作分別需要12，36，18小時繼續(xù)追問：我不會3元方程，能不能不用方程解答補(bǔ)充回答：甲工效=2/3-1/6×2)÷4=1/12，甲需要12天

丙工效=(2/3-1/6×3)÷3=1/18，丙需要18天

乙工效=[4/9-(8×1/18)-(6×1/12)]/(2+6)=1/36,乙需要36天補(bǔ)充回答：糾正：甲乙丙工效之和為1/6乙丙合作兩小時，完成了4/9如下三人合作2小時的話應(yīng)該完成了3*1/6=1/2所以甲工效為(1/2-4/9)/2=1/36,甲需要36天甲乙合作三小時，丙做6小時，相當(dāng)甲乙丙合作3小時，然后丙再做3小時所以丙工效為(3/4-1/2)/3=1/8,丙需要8天乙工效為1/6-1/8-1/36=1/36,乙需要36天工程問題是研究工作效率、工作時間和工作總量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用題。我們通常所說的：“工程問題”，一般是把工作總量作為單位“1”，因此工作效率就是工作時間的倒數(shù)。它們的基本關(guān)系式是：工作總量÷工作效率＝工作時間。工程問題是小學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的一個重點(diǎn)，也是一個難點(diǎn)。下面列舉有關(guān)練習(xí)中常見的幾種題型，分別進(jìn)行思路分析，并加以簡要的評點(diǎn)，旨在使同學(xué)們掌握“工程問題”的解題規(guī)律和解題技巧。例1一項工程，由甲工程隊修建，需要12天，由乙工程隊修建，需要20天，兩隊共同修建需要多少天？［思路說明］①把這項工程的工作總量看作“1”。甲隊修建需要12天，修建1天完成這項工程的1／12；乙隊修建需要20天，修建1天完成這項工程的1／20。甲、乙兩隊共同修建1天，完成這項工程的1／12＋1／20＝2／15，工作總量“1”中包含了多少個2／15，就是兩隊共同修建完成這項工程所需要的天數(shù)。1÷（1／12＋1／20）＝1÷2／15＝15／2（天）②設(shè)這項工程的全部工作量為60（12和20的最小公倍數(shù)），甲隊一天的工作量為60÷12＝5，乙隊一天的工作量為60÷20＝3，甲、乙兩隊合建一天的工作量為5＋3＝8。用工作總量除以兩隊合建一天的工作量，就是兩隊合建的天數(shù)。60÷（60÷12＋60÷20）＝60÷（5＋3）＝60÷8＝15／2（天）評點(diǎn)這是一道工程問題的基本題，也是工程問題中常見的題型。上面列舉的兩種解題方法，前者比較簡便。這種解法把工作量看作“1”，用完成工作總量所需的時間的倒數(shù)作為工作效率，用工作總量除以工作效率和，就可以求出完成這項工程所需的時間。工程問題一般采用這種方法求解。練習(xí)：一段公路，甲隊單獨(dú)修要10天完成，乙隊單獨(dú)修要12天完成，丙隊單獨(dú)修要15天完成，甲、乙、丙三隊合修，需要幾天完成？例2一項工程，甲隊獨(dú)做8天完成，乙隊獨(dú)做10天完成，兩隊合做，多少天完成全部工程的3／4？［思路說明］①把這項工程的工作總量看作“1”，甲隊獨(dú)做8天完成，一天完成這項工程的1／8；乙隊獨(dú)做10天完成，一天完成這項工程的1／10。甲、乙兩隊合做一天，完成這項工程的1／8＋1／10＝9／40，工作總量“1”中包含多少個甲乙效率之和，就是甲乙合做所需要的天數(shù)。甲乙合做所需時間的3／4，就是甲乙合做完成全部工程的3／4所需的時間。1÷（1／8＋1／10）×3／4＝1÷9／40×3／4＝10／3（天）②把甲、乙兩隊合做的工作量3／4，除以甲、乙兩隊的效率之和1／8＋1／10＝9／40，就是甲乙合做完成全部工程的3／4所需要的時間。3／4÷（1／8＋1／10）＝3／4÷9／40＝10／3（天）評點(diǎn)思路①是先求出兩隊合做一項工程所需的時間，再用乘法求出完成全部工程的3／4所需的時間。思路②是把“3／4”看作工作總量，工作總量除以兩隊效率之和，就可以求出完成全部工程的3／4所需的時間。兩種思路簡捷、清晰，都是很好的解法。練習(xí)：一項工程，單獨(dú)完成，甲隊需8天，乙隊需12天。兩隊合干了一段時間后，還剩這項工程的1／6沒完成。問甲、乙兩隊合干了幾天？例3東西兩鎮(zhèn)，甲從東鎮(zhèn)出發(fā)，2小時行全程的1／3，乙隊從西鎮(zhèn)出發(fā)，2小時行了全程的1／2。兩人同時出發(fā)，相向而行，幾小時才能相遇？［思路說明］①由甲2小時行全程的1／3?？芍仔型耆桃?÷1／3＝6（小時）；由乙2小時行全程的1／2，可知乙行完全程要2÷1／2＝4（小時）。求出了甲、乙行完全程各需要的時間，時間的倒數(shù)便是各自的速度，進(jìn)而可求出兩人速度之和，把東西兩鎮(zhèn)的路程看作“1”，除以速度之和，就可求出兩人同時出發(fā)相向而行的相遇時間。綜合算式：1÷（1／（2÷1／3）＋1／（2÷1／2））＝1÷（1／6＋1／4）＝1÷5／12＝12／5（小時）②由甲2小時行了全程的1／3，可知甲每小時行全程的1／3÷2＝1／6；由乙2小時行全程的1／2，可知乙每小時行全程的1／2÷2＝1／4。把東西兩鎮(zhèn)的路程“1”，除以甲、乙的速度之和，就可得到兩人同時出發(fā)相向而行的相遇時間。綜合算式：1÷（1／3÷2＋1／2÷2）＝1÷（1／6＋1／4）＝1÷5／12＝12／5（小時）評點(diǎn)本題沒有直接告訴甲、乙行完全程各需的時間，所以求出甲、乙行完全程各需的時間或各自的速度，是解題的關(guān)鍵所在。練習(xí)：打印一份稿件，小張5小時可以打完份稿件的1／3，小李3小時可以打完這份稿件的1／4，如果兩人合打多少小時完成？例4一項工程，甲、乙合做6天可以完成。甲獨(dú)做18天可以完成，乙獨(dú)做多少天可以完成？［思路說明］把一項工程的工作總量看作“1”，甲、乙合做6天可以完成，甲、乙合做一天，完成這項工程的1／6，甲獨(dú)做18天可以完成，甲做一天完成這項工程的1／18。把甲、乙工作效率之和，減去甲的工作效率1／18，就可得到乙的工作效率：1／6－1／18＝1／9。工作總量“1”中包含了多少個乙的工作效率，就是乙獨(dú)做這項工程的需要的時間。1÷（1／6－1／18）＝1÷1／9＝9（天）評點(diǎn)這是一道較復(fù)雜的工程問題，是工程問題的主要題型之一。主要考查同學(xué)們運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本知識與工程問題的數(shù)量關(guān)系，解決實(shí)際問題的能力。解答這類工程問題的關(guān)鍵是：先求出獨(dú)做的隊或個人的工作效率，然后用工作總量“1”除以一個隊或個人的工作效率，就可以求出一個隊或個人獨(dú)做的工作時間。有的同學(xué)在解這道題時，由于審題馬虎，而且受基本工程問題解法的影響，錯誤地列成：1÷（1／6＋1／18），這是同學(xué)們應(yīng)引起注意的地方。練習(xí)：一批貨物，用大小兩輛卡車同時運(yùn)送，5小時可以運(yùn)完。如果用小卡車單獨(dú)運(yùn)，15小時可以運(yùn)完。問大卡車單獨(dú)運(yùn)幾小時可以運(yùn)完？例5加工一批零件，單獨(dú)1人做，甲要10天完成，乙要15天完成，丙要12天完成。如果先由甲、乙兩人合做5天后，剩下的由丙1人做，還要幾天完成？［思路說明］題目要求剩下的工作量由丙1人做，還要幾天完成，必須知道剩下的工作量和丙的工作效率。加工一批零件，單獨(dú)1人做，甲要10天完成，甲一天加工一批零件的1／10；乙要15天完成，乙一天加工一批零件的1／15；丙要12天完成，丙一天加工一批零件的1／12。甲、乙合做一天，完成這批零件的1／10＋1／15＝1／6，合做5天完成這批零件的1／6×5＝5／6，工作總量“1”減去甲、乙合做5天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工作量除以丙的工作效率，就可以求出剩下的工作量由丙1人做還要幾天完成。綜合算式：［1－（1／10＋1／15）×5］÷1／12＝［1－1／6×5］÷1／12＝1／6÷1／12＝2（天）評點(diǎn)這是一道較復(fù)雜的工程問題，是工程問題中的主要題型之一，也是升學(xué)或畢業(yè)考試中最常見的試題之一。它的特點(diǎn)是求剩余部分的工作量完成的時間。關(guān)鍵是正確求出剩余部分的工作量。從工作總量“1”中減去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同學(xué)由于審題不細(xì)，又受前面幾例工程問題的解法的影響，容易錯誤地列成：［1÷（1／10＋1／15）×5］÷1／12．練習(xí)：加工一批零件，甲獨(dú)做要8天完成，乙獨(dú)做要7天完成，丙獨(dú)做要14天完成，三人合作2天后，甲因病休息，乙、丙兩人繼續(xù)合做還要幾天完成？例6一件工程，甲、乙合作6天可以完成。現(xiàn)在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙獨(dú)做又用8天正好做完。這件工程如果由甲單獨(dú)做，需要幾天完成？［思路說明］一件工程，甲、乙合作6天可以完成，可知甲、乙合作1天完成這件工程的1／6，甲、乙合作2天，完成這件工程的1／6×2＝1／3。用工作總量“1”減去甲、乙合作2天的工作量1／3，所得的差1－1／3＝2／3，就是余下的工作量。又知余下的工程由乙獨(dú)做用了8天正好做完，用余下的工作量除以8，就可以求出1天的工作量，即乙的工作效率。把甲、乙工作效率之和減去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率，只要把工作總量“1”除以甲的工作效率，就可得到甲獨(dú)做這件工程所需要的天數(shù)了。綜合算式：1÷［1／6－（1－1／6×2）÷8］＝1÷［1／6－（1－1／3）÷8］＝1÷［1／6－2／3÷8］＝1÷［1／6－1／12］＝1÷1／12＝12（天）評點(diǎn)這也是一道復(fù)雜的工程問題。解題的關(guān)鍵是正確求出甲的工作效率。要求出甲的工作效率，解題的步驟較多，只有熟悉和掌握工程問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和解題思路，熟練掌握前面5道例題的解題方法與解題的技能、技巧，才能正確順利地解答本題。練習(xí)：一項工程，甲、乙兩隊合做9天完成，乙、丙兩隊合做12天完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊合做了3天，接著乙、丙兩隊又合做了6天，最后由丙隊單獨(dú)12天完成了整個工程。如果整個工程由甲、丙兩隊合做需要幾天完成？工程問題是研究工作效率、工作時間和工作總量之間關(guān)系的應(yīng)用題。工程問題是小升初奧數(shù)一個重要的分類，下面小編就為大家整理工程問題的基本思路工程問題的基本數(shù)量關(guān)系是：工作效率×工作時間=工作總量工作總量÷工作時間=工作效率工作總量÷工作效率=工作時間上面這些數(shù)量關(guān)系式是在題目中給出（或間接給出）工作總量和工作效率的具體數(shù)量情況下進(jìn)行解題用的。如果題目中沒有給出工作總量的具體數(shù)量，也沒有給出工作效率的具體數(shù)量，那么我們通常把工作總量看作整體“1”，工作效率表示單位時間內(nèi)完成工作量的幾分之幾。例1：完成一件工作，需要甲干5天，乙干6天；或者甲干7天，乙干2天。問：甲、乙單獨(dú)干這件工作各需多少天？分析與解答：分析：先對比如下一項工作甲干5天、乙干6天，或甲干7天、乙干2天，顯而易見甲干2天的工作量，若換成乙干，則需要4天。因此，甲干1天的工作量，若換成乙來干，則需要2天。解答：甲完成這件工作需要的天數(shù)：5＋6÷2=8（天）乙完成這件工作需要的天數(shù)：5×2＋6=16（天）評注：我們在解難題無從下手時，不妨把題目所交代的條件羅列下來，認(rèn)真地觀察、比較，有時會柳暗花明的。本題運(yùn)用了整體代換的數(shù)學(xué)思想，使題目的解答巧妙、簡練，更具創(chuàng)造性。例2：一件工程，甲隊單獨(dú)做12天可以完成，甲隊做3天后乙隊做2天半可完成一半?，F(xiàn)在甲、乙兩隊合做若干天后，由乙隊單獨(dú)完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等。問：共用多少天？分析與解答：分析：甲隊的工作效率的1/12，乙隊的工作效率是1/8，甲、乙兩隊的工作效率和是1/8＋1/12=5/24。由于甲、乙兩隊合做的時間與乙隊單獨(dú)做的時間相同，所以甲、乙兩隊合做的工作量與乙隊獨(dú)做的工作量之比是：（1/8＋1/12）：1/8=5：3。解答：乙隊的工作效率：（1/2－1/12×3）÷2=1/8甲、乙兩隊合做工作量是這件工程的5/8，乙隊單獨(dú)做的工作量是這件工程的3/8。完成這件工程的總天數(shù)：3/8÷1/8×2=6（天）說明：適時、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用正、反比例概念，會使問題簡單化。例3：師徒兩人共同加工一批零件，師傅每小時加工9個，徒弟每小時加工5個。完成任務(wù)時，徒弟比師傅少加工120個。這批零件共有多少個？分析與解答：分析：徒弟每小時比師傅少加工4個零件，徒弟比師傅少加工120個零件需要120÷4=30小時，那么這批零件的總個數(shù)是（9＋5）×30=420個。例4：一件工程，甲、乙合做需6天完成，乙、丙合做需9天完成，甲、丙合做需15天完成?，F(xiàn)在甲、乙、丙三人合做，需多少天完成？分析：由已知條件可知，甲、乙的工作效率和是1/6，乙、丙的工作效率和是1/9，甲、丙的工作效率和是1/15，1/6＋1/9＋1/15=31/90，這是甲、乙、丙三人工作效率和的2倍，甲、乙、丙三人的工作效率和是31/90÷2=31/180，那么甲、乙、丙三人合做需要的天數(shù)是1÷31/180=180/31天。例5：一件工程，甲單獨(dú)做要12小時完成，乙單獨(dú)做要18小時完成。如果先由甲工作1小時，然后由乙接替甲工作1小時，再由甲接替乙工作1小時……兩人如此交替工作，那么完成任務(wù)用了多少小時？分析：由已知條件可知甲的工作效率是1/12，乙的工作效率是1/18。先由甲工作1小時，然后由乙接替甲工作1小時，看作是甲、乙合做1小時?？傻眉?、乙合作完成任務(wù)需要的時間是1÷（1/12＋1/18）=36/5小時，實(shí)際上可以理解為甲工作了7小時，乙工作了7小時，剩下的1/36的工作由甲再單獨(dú)完成。例6：甲、乙、丙三隊要完成A、B兩項工程，B工程的工作量比A工程的工作量多1/4，甲、乙、丙三隊單獨(dú)完成A工程所需的時間分別是20天、24天、30天。為了同時完成這兩項工程，先派甲做A工程，乙、丙兩隊共同做B工程；經(jīng)過幾天后，又調(diào)丙隊與甲隊共同完成A，結(jié)果A、B兩項工程同時完成。問：丙隊與乙隊合作了多少天？分析：令A(yù)工作總量為1，則B工程的工作總量是5/4，A、B兩項工程的工作總量是9/4，則甲、乙、丙三隊完成A、B兩項工程的時間就可以求出，是9/4÷（1/20＋1/24＋1/30）=18天。乙隊干18天的工作量為1/24×18=3/4，剩下的5/4－3/4=1/2就是丙做的：1/2÷1/30=15天。