數(shù)列專題練習答案

《數(shù)列專題練習》答案詳解1．[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋\f(10×9,2)d＝100，①,100a1＋\f(100×99,2)d＝10.②))①×10－②整理得d＝－eq\f(11,50)，代入①得，a1＝eq\f(1099,100)，∴S110＝110a1＋eq\f(110×109,2)d＝110×eq\f(1099,100)＋eq\f(110×109,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,50)))＝110eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1099－109×11,100)))＝－110.2.[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d．∵S7＝7，S15＝75，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a1＋21d＝7,15a1＋105d＝75))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝1,a1＋7d＝5))，解得a1＝－2，d＝1.∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(1,2)(n－1)d＝－2＋eq\f(1,2)(n－1)，∵eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{eq\f(Sn,n)}是等差數(shù)列，其首項為－2，公差為eq\f(1,2)，∴Tn＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n.3.[解析](1)設(shè)公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5,a1＋9d＝－9))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9,d＝－2)).∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋11.(2)由(1)知Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2＝－(n－5)2＋25，∴當n＝5時，Sn取得最大值．4．[解析](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)∵an＝2n＋1，∴aeq\o\al(2,n)－1＝4n(n＋1)，∴bn＝eq\f(1,4nn＋1)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(n,4n＋1)，∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝eq\f(n,4n＋1).5．[解析](1)由題意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，a1＝10，即d2－3d－4＝0.故d＝1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.因為d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.則當n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－eq\f(1,2)n2＋eq\f(21,2)n.當n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝eq\f(1,2)n2－eq\f(21,2)n＋110.綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)n2＋\f(21,2)n，n≤11，,\f(1,2)n2－\f(21,2)n＋110，n≥12.))6．[解析](1)由已知得Sn＝－n2＋4n，∵當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5，又當n＝1時，a1＝S1＝3，符合上式．∴an＝－2n＋5.(2)由已知得bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)·2n.Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n，2Tn＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1.兩式相減得Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)×2n＋1＝eq\f(231－2n－1,1－2)＋(－2n＋5)×2n＋1－6＝(7－2n)·2n＋1－14.7．[解析](1)∵S1，S3，S2成等差數(shù)列，2S3＝S1＋S2，∴q＝1不滿足題意．∴eq\f(2a11－q3,1－q)＝a1＋eq\f(a11－q2,1－q)，解得q＝－eq\f(1,2).(2)由(1)知q＝eq\f(1,2)，又a1－a3＝a1－a1q2＝eq\f(3,4)a1＝3，∴a1＝4.∴Sn＝eq\f(4[1－－\f(1,2)n],1＋\f(1,2))＝eq\f(8,3)[1－(－eq\f(1,2))n].8．[解析](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d＝eq\f(a4－a1,3)＝eq\f(12－3,3)＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．設(shè)等比數(shù)列{bn－an}的公比為q，由題意得q3＝eq\f(b4－a4,b1－a1)＝eq\f(20－12,4－3)＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1，從而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．數(shù)列{3n}的前n項和為eq\f(3,2)n(n＋1)，數(shù)列{2n－1}的前n項和為1×eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.所以，數(shù)列{bn}的前n項和為eq\f(3,2)n(n＋1)＋2n－1.9.【答案】（1）;（2）試題分析：（1）利用，可得數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，即可求出結(jié)果;（2）由（1）知，所以，利用錯位相減，可得（或?qū)懗苫?，根?jù)單調(diào)性即可求出結(jié)果．試題解析：解：（1）當時，；當時，，兩式相減得，，又，所以是首項為,公比為2的等比數(shù)列，所以．（2）由（1）知，所以，所以，兩式相減得，所以（或?qū)懗苫蚴沁f增的，又考點：1．數(shù)列的遞推公式；2．錯位相減求和．10.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）試題分析：（Ⅰ）先用數(shù)列第項與前項和的關(guān)系求出數(shù)列{}的遞推公式，可以判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可寫出數(shù)列{}的通項公式；（Ⅱ）根據(jù)（