高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 補(bǔ)償練5 三角函數(shù)與三角恒等變換 理

eq\a\vs4\al\co1(補(bǔ)償練5三角函數(shù)與三角恒等變換)(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．已知cos(eq\f(π,2)＋α)＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，則tanα＝ ()．A.eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．±eq\f(3,4)解析因?yàn)閏os(eq\f(π,2)＋α)＝eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\f(3,5)，顯然α在第三象限，所以cosα＝－eq\f(4,5)，故tanα＝eq\f(3,4).答案B2．已知α是第四象限的角，若cosα＝eq\f(3,5)，則tan2α＝ ()．A.eq\f(15,7) B．eq\f(16,7)C.eq\f(20,7) D．eq\f(24,7)解析由cosα＝eq\f(3,5)，α在第四象限得tanα＝－eq\f(4,3)，從而tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×－\f(4,3),1－－\f(4,3)2)＝eq\f(24,7).答案D3．若函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，則 ()．A．f(x)＝cos2x B．f(x)＝sin2xC．f(x)＝－cos2x D．f(x)＝－sin2x解析y＝sin2xeq\o(→,\s\up7(圖象上所有),\s\do10(點(diǎn)向左移\f(π,4)個(gè)單位))y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x.答案A4．已知sin2α＝eq\f(1,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝ ()．A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析∵cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))),2)＝eq\f(1＋sin2α,2)，∴cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(2,3).答案D5．函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x圖象的一條對(duì)稱軸方程是 ()．A．x＝－eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,3)C．x＝eq\f(5π,12) D．x＝eq\f(2π,3)解析f(x)＝2(eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，由2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z，令k＝1，得x＝eq\f(2π,3).答案D6．將函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(6),2)cos2x的圖象向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，則geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝ ()．A.eq\f(\r(6),2) B．－1C.eq\r(2) D．2解析由于f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(6),2)cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，其圖象向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位后得到g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,3)))的圖象，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,4)))＋\f(π,3)))＝eq\r(2)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(6),2).答案A7．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)<φ＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是()．A．2，－eq\f(π,3)B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6)D．4，eq\f(π,3)解析由圖知eq\f(3,4)T＝eq\f(5π,12)－(－eq\f(π,3))＝eq\f(3π,4)，T＝π，則ω＝eq\f(2π,T)＝2.注意到函數(shù)f(x)在x＝eq\f(5π,12)時(shí)取到最大值，則有2×eq\f(5π,12)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，而－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2)，故φ＝－eq\f(π,3).答案A8．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝ ()．A．－eq\f(7,8) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D．eq\f(7,8)解析由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)得sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝eq\f(1,4)，即cos(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(1,4)，∴cos(eq\f(π,3)＋2α)＝cos[2(eq\f(π,6)＋α)]＝2cos2(eq\f(π,6)＋α)－1＝2×(eq\f(1,4))2－1＝－eq\f(7,8).答案A9．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的最小正周期為π，若其圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，則 ()．A．ω＝2，φ＝eq\f(π,3) B．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)C．ω＝4，φ＝eq\f(π,6) D．ω＝2，φ＝－eq\f(π,6)解析由eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2，因?yàn)閷(x)的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位后得g(x)＝sin(2x－eq\f(2π,3)＋φ)的圖象，又g(x)為偶函數(shù)，所以－eq\f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，(k∈Z)，又|φ|＜eq\f(π,2)，取k＝－1，得φ＝eq\f(π,6).答案B10．已知函數(shù)f(x)＝Asinωx(A＞0，ω＞0)的最小正周期為2，且f(eq\f(1,6))＝1，則函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(1,3)個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)解析式為 ()．A．y＝2sin(πx＋eq\f(π,3)) B．y＝eq\f(1,2)sin(πx－eq\f(π,3))C．y＝2sin(πx＋eq\f(1,3)) D．y＝eq\f(1,2)sin(πx－eq\f(1,3))解析由最小正周期為2，得eq\f(2π,ω)＝2，則ω＝π，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))＝1，所以Asineq\f(π,6)＝1，A＝2，所以f(x)＝2sinπx，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(1,3)個(gè)單位后得到y(tǒng)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3)))的圖象．答案A11．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))，且其圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，則 ()．A．y＝f(x)的最小正周期為π，且在(0，eq\f(π,2))上為增函數(shù)B．y＝f(x)的最小正周期為π，且在(0，eq\f(π,2))上為減函數(shù)C．y＝f(x)的最小正周期為eq\f(π,2)，且在(0，eq\f(π,4))上為增函數(shù)D．y＝f(x)的最小正周期為eq\f(π,2)，且在(0，eq\f(π,4))上為減函數(shù)解析f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)＋φ))，∵圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱，∴eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，φ＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，又∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，f(x)＝2cos2x.其最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減．答案B12．關(guān)于函數(shù)f(x)＝2(sinx－cosx)cosx的四個(gè)結(jié)論：P1：最大值為eq\r(2)；P2：把函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sin2x－1的圖象向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位后可得到函數(shù)f(x)＝2(sinx－cosx)cosx的圖象；P3：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(7π,8)，kπ＋\f(11π,8)))(k∈Z)；P4：圖象的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)π＋\f(π,8)，－1))(k∈Z)．其中正確的結(jié)論有 ()．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析因?yàn)閒(x)＝2sinxcosx－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－1.所以最大值為eq\r(2)－1，故P1錯(cuò)誤．將f(x)＝eq\r(2)sin2x－1的圖象向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位后得到f(x)＝eq\r(2)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))－1的圖象，故P2錯(cuò)誤．由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(3π,8)＋kπ，k∈Z，即增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋kπ，\f(3π,8)＋kπ))(k∈Z)，故P3正確．由2x－eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)，k∈Z，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,8)，－1))，k∈Z，故P4正確．答案B二、填空題13．已知角2α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，2α∈[0,2π)，則tanα＝________.解析由三角函數(shù)定義可知sin2α＝eq\f(\r(3),2)，cos2α＝－eq\f(1,2)，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\r(3).又2α∈[0,2π)，∴2α＝eq\f(2π,3)，∴α＝eq\f(π,3)，∴tanα＝eq\r(3).答案eq\r(3)14．函數(shù)y＝tanωx(ω＞0)與直線y＝a相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|最小值為π，則函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx－cosωx的單調(diào)增區(qū)間是__________．解析由函數(shù)y＝tanωx(ω＞0)的圖象可知，函數(shù)的最小正周期為π，則ω＝1，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).由2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．答案[2kπ－eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)15．已知eq\f(1－cos2α,sinαcosα)＝1，tan(β－α)＝－eq\f(1,3)，則tan(β－2α)＝________.解析由eq\f(1－cos2α,sinαcosα)＝eq\f(2sin2α,sinαcosα)＝2tanα＝1，得tanα＝eq\f(1,2)，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝eq\f(tanβ－α－tanα,1＋tanβ－αtanα)＝eq\f(－\f(1,3)－\f(1,2),1－\f(1,6))＝eq\f(－\f(5,6),\f(5,6))＝－1.答案－116．設(shè)函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2))的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(2π,3)對(duì)稱，它的周期是π，則下列說法正確的是______．(填序號(hào))①f(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))；②f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(2π,3)))上是減函數(shù)；③f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))；④將f(x)的圖象向右平移|φ|個(gè)單位得到函數(shù)y＝3sinωx的圖象．解析∵周期為π，∴eq\f(2π,ω)＝π?ω＝2，∴f