河北省承德市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

承德市高中2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4，本試卷主要考試內(nèi)容：計(jì)數(shù)原理，隨機(jī)變量及其分布，成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，集合與常用邏輯用語，一元二次函數(shù)、方程和不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由否定的定義判斷即可.【詳解】命題“，”的否定為“，”.故選：D2.已知集合，且，則（）A.8或20 B.8或-20 C.或20 D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)互異性得到，分中只有1個(gè)元素和有2個(gè)元素兩種情況，結(jié)合根的判別式和韋達(dá)定理得到答案.【詳解】由題意得，若中只有1個(gè)元素，則，且，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，若中有2個(gè)元素，則，則，所以為方程的兩根，故，解得，滿足，故，所以或20.故選：A3.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由根式和復(fù)合函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】由題可知的定義域?yàn)?，則為使有意義必須且只需，解得，所以的定義域?yàn)?故選：D4.已知變量和的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：123450.91.31.82.43.1若，線性相關(guān)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，據(jù)此可以預(yù)測當(dāng)時(shí)，（）A.5.75 B.7.5 C.7.55 D.8【答案】A【解析】【分析】由題意可知樣本中心，代入線性回歸方程即可求出，再將代入即可.【詳解】，，所以，即，令，解得.故選：A.5.投擲3枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“這3枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，事件“恰有1枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出、，由條件概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)槊棵恩蛔映宵c(diǎn)數(shù)有奇數(shù)1，3，5三個(gè)，偶數(shù)有2，4，6三個(gè)，所以3枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的情況有奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)，共兩種情況，可得，恰有1枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的情況有偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)，可得，則.故選：B.6.向如圖放置的空容器中注水，直至注滿為止.下列圖象中可以大致刻畫容器中水的體積V與水的高度h的函數(shù)關(guān)系的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)容器形狀，結(jié)合自變量為水的高度可得解.【詳解】在注水的過程中，容器橫截面面積越大，水的體積增長越快，所以隨著水的高度的增長，體積先緩慢增長，再劇烈增長，再緩慢增長.故選：A.7.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去一個(gè)場館，其中甲場館安排2名志愿者，乙、丙場館都至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（）A.300種 B.210種 C.120種 D.60種【答案】B【解析】【分析】甲場館安排2名志愿者可以知有種，乙、丙場館都至少安排1名志愿者可以有三種分法第一種是乙館安排1名志愿者丙安排3名有種情況，第二種是乙、丙各安排2名有，第三種是乙安排3名丙安排1名，根據(jù)分步計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意可知，甲場館安排2名志愿者可以知有種，乙、丙場館都至少安排1名志愿者可以有三種分法第一種是乙館安排1名志愿者丙安排3名有種情況，第二種是乙、丙各安排2名有，第三種是乙安排3名丙安排1名，所以根據(jù)分步算法可得種.故選：B8.已知函數(shù)則方程的實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】作出函數(shù)的部分圖象，利用整體法求出或，再根據(jù)圖象觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】函數(shù)的部分圖象如圖所示.由方程，解得或.當(dāng)時(shí)，有5個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，有6個(gè)實(shí)根，故方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為11.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.隨機(jī)變量，隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性及兩點(diǎn)分布的定義即可判斷AB；根據(jù)期望和方差的公式及性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】因?yàn)?，所以，且，又，所以A正確，B錯(cuò)誤；，故，故C正確；，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.恰有一個(gè)極值點(diǎn)B.有最小值但沒有最大值C.直線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為4D.經(jīng)過點(diǎn)只可作的一條切線【答案】ACD【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性進(jìn)而判斷AB；由單調(diào)性得出圖像，結(jié)合直線過定點(diǎn)判斷C；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】對于A，的定義域?yàn)?，，?dāng)或時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f'所以在和上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減，故是唯一的極值點(diǎn)，故A正確；對于B，函數(shù)在0,+∞上的最小值為，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，且，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，所以既無最小值也無最大值，故B錯(cuò)誤；對于C，由B選項(xiàng)作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，直線恒過點(diǎn)，當(dāng)足夠大時(shí)，直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，則直線與曲線y=fx的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為4，故對于D，易知點(diǎn)不在的圖象上，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，則經(jīng)過點(diǎn)只可作曲線y=fx的一條切線，故D故選：ACD.11.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.的最小值為2C.若，則D.若，則的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】參數(shù)分離結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷A；舉反例判斷B；由換元法結(jié)合基本不等式判斷C；由，并運(yùn)用兩次基本不等式判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，由，，得，解得，A正確.對于選項(xiàng)B，取，滿足，此時(shí)，B不正確對于選項(xiàng)C，由，得，取，，則，由，得，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號成立，從而，C正確.對于選項(xiàng)D，由，得，則.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以最小值為1，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為16，則______，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用二項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)和求出的值，寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，即可得解.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為16，所以，解得，展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：；.13.已知函數(shù)滿足，若，則______.【答案】76【解析】【分析】先由題意得到，從而利用函數(shù)的對稱性與的值即可得解.【詳解】由題可知，，令，則，所以.故答案為：76.14.已知，若不等式恒成立，則a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】不等式同構(gòu)變形為，分類討論，在時(shí)，引入函數(shù)，確實(shí)單調(diào)性后轉(zhuǎn)化為，，由導(dǎo)數(shù)求得的最大值，從而可得參數(shù)范圍．【詳解】因?yàn)椋?，所以等價(jià)于.若，則，xlnx≤0，顯然恒成立.若，令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，由，得，則，則在上恒成立.令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，從而，解得.綜上所述，a的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式同構(gòu)變形：若不等式能變形為，而是單調(diào)的如遞增，則轉(zhuǎn)化為，經(jīng)常用到的如對數(shù)與指數(shù)間的互化：，，，，等等．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚．15.已知冪函數(shù)（）為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)滿足.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）對任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到，求出的范圍，再由確的值，再代入檢驗(yàn)，即可求出的解析式，再利用換元法求出解析式；（2）參變分離可得，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可得解.【小問1詳解】依題意冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，解得，由于，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，不符合題意，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)為偶函數(shù)，符合題意，故；由，可得，令，所以，故.【小問2詳解】由，恒成立，可得，恒成立.又，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故，即的取值范圍為.16.某公司為了解某產(chǎn)品的客戶反饋情況，隨機(jī)抽取了100名客戶體驗(yàn)該產(chǎn)品，并進(jìn)行評價(jià)，評價(jià)結(jié)果為“喜歡”和“不喜歡”，整理數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計(jì)男45550女351550合計(jì)8020100（1）根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為客戶對該產(chǎn)品的評價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系？（2）為進(jìn)一步了解客戶對產(chǎn)品的反饋，現(xiàn)從評價(jià)結(jié)果為“不喜歡”的客戶中，按性別用分層抽樣的方法選取8人，收集對該產(chǎn)品的改進(jìn)建議.若從這8人中隨機(jī)抽取3人，求所抽取的3人中女性人數(shù)大于男性人數(shù)的概率.附：.0.050.0250.010.0053.8415.0246.6357.879【答案】（1）有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，代入公式求解即可，（2）結(jié)合超幾何分布求解即可.【小問1詳解】零假設(shè)為：客戶對該產(chǎn)品的評價(jià)結(jié)果與性別無關(guān).，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為客戶對該產(chǎn)品的評價(jià)結(jié)果與性別有關(guān).【小問2詳解】由題意得抽取的8人中，男性人數(shù)為，女性人數(shù)為.當(dāng)3人中有2名女性和1名男性時(shí)，，當(dāng)3人全部為女性時(shí)，，則所抽取的3人中女性人數(shù)大于男性人數(shù)的概率.17.已知函數(shù).（1）若，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求斜率，即可得切線方程；（2）分，和三種情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象最值，數(shù)形結(jié)合求解問題.【小問1詳解】由，得，則.因?yàn)?，，所以的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為.【小問2詳解】顯然不符合題意，又，當(dāng)時(shí)，可知當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡可得，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞減，且，所以不等式的解集為1,+∞.當(dāng)時(shí)，可知當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以關(guān)于x的方程不可能有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.綜上，a的取值范圍為1,+∞【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.18.為加深學(xué)生對新中國成立以來我國在經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技創(chuàng)新、精神文明建設(shè)等方面取得成就了解，某學(xué)校高二年級組織舉辦了知識競賽．選拔賽階段采用逐一答題的方式，每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對3道題則進(jìn)入初賽，累計(jì)答錯(cuò)3道題則被淘汰．初賽階段參賽者每兩人一組進(jìn)行比賽，組織者隨機(jī)從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到每道試題的機(jī)會(huì)相等，得分規(guī)則如下：選手搶到試題且回答正確得10分，對方選手得0分，選手搶到試題但沒有回答正確得0分，對方選手得5分，2道試題搶答完畢后得分少者被淘汰，得分多者進(jìn)入決賽（若分?jǐn)?shù)相同，則同時(shí)進(jìn)入決賽）．（1）已知選拔賽中選手甲答對每道試題的概率為，且回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求甲進(jìn)入初賽的概率；（2）已知初賽中選手甲答對每道試題的概率為，對手答對每道試題的概率為，兩名選手回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求初賽中甲的得分的分布列與期望；（3）進(jìn)入決賽后，每位選手回答4道試題，至少答對3道試題勝出，否則被淘汰，已知選手甲進(jìn)入決賽，且決賽中前3道試題每道試題被答對的概率都為，若甲4道試題全對的概率為，求甲能勝出的概率的最小值．【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）．【解析】【分析】（1）設(shè)為甲的答題數(shù)，則可能取3，4，5．求出概率即可；（2）可能取0，5，10，15，20．求出對應(yīng)的概率，列出分布列求出期望；（3）甲能勝出的概率，即．求導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性求解．【小問1詳解】設(shè)為甲的答題數(shù)，則可能取3，4，5．；；．所以甲進(jìn)入初賽的概率為．【小問2詳解】可能取0，5，10，15，20．；；；；．的分布列為05101520所以．【小問3詳解】因?yàn)榧?道試題全對的概率為，所以第4道試題答對的概率為，所以甲能勝出的概率，即．因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在12,1上單調(diào)遞增，所以．19.定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：若對任意，且，都有，則稱是上的“好函數(shù)”．（1）若是上的“好函數(shù)”，求的取值范圍．（2）（?。┳C明：是上的“好函數(shù)”．（ⅱ）設(shè)，證明：．【答