4.3組合（第1課時）課件高二上學期數學選擇性

4.3

組合第1課時組合與組合數第4章計數原理湘教版

數學

選擇性必修第一冊課標要求1.理解組合與組合數的概念,正確認識組合與排列的區(qū)別與聯系;2.會推導組合數公式,并會應用公式進行計算;3.理解組合數的性質,并能應用性質求值、化簡和證明.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標基礎落實·必備知識一遍過知識點1組合的概念一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,

地構成一組,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

不論次序

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(

)(2)組合概念中的“從n個不同元素中取出m個不同元素”,即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出.(

)2.一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的排列與組合的區(qū)別是什么?√√提示排列要求取出的元素要有順序的排成一組,而組合只要求取出后構成一組即可,不要求順序.知識點2組合數與組合數公式組合數定義及表示從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,___________

叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數,用符號

表示

組合數公式乘積形式

(n,m∈N+,m≤n)階乘形式

(n,m∈N+,m≤n)性質

(n,m∈N+,m≤n)備注規(guī)定

=

所有不同組合的個數

1名師點睛

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)從5個不同元素中取出3個不同元素的組合數與從5個不同元素中取出2個不同元素的組合數相同.(

)(2)從甲、乙、丙3名同學中選出2名組成一組,有3種不同的選法.(

)2.如何理解組合與組合數這兩個概念?√√提示同“排列”與“排列數”是兩個不同的概念一樣,“組合”與“組合數”也是兩個不同的概念,“組合”是指“從n個不同元素中取m(m≤n)個元素合成一組”,它不是一個數,而是具體的一件事;“組合數”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數”,它是一個數.例如,從3個不同元素a,b,c中取出兩個元素的組合為ab,ac,bc,其中每一種都叫一個組合,這些組合共有3個,則組合數為3.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一組合概念的理解【例1】判斷下列問題是排列問題還是組合問題,并求出相應的排列數或組合數.(1)10個人相互寫一封信,一共寫了多少封信?(2)10個人相互通一次電話,一共通了多少次電話?(3)從10個人中選3人去開會,有多少種選法?(4)從10個人中選出3人擔任不同學科的課代表,有多少種選法?解

(1)是排列問題,因為發(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的,排列數為

(2)是組合問題,因為甲與乙通一次電話,也就是乙與甲通一次電話,沒有順序區(qū)別,組合數為

=45.(3)是組合問題,因為去開會的3個人之間沒有順序的區(qū)別,組合數為

=120.(4)是排列問題,因為3個人擔任哪一科的課代表是有區(qū)別的,排列數為

=720.規(guī)律方法

區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題,關鍵是看它有無“順序”,有順序就是排列問題,無順序就是組合問題.要判定它是否有順序的方法是:先將元素取出來,看交換元素的順序對結果有無影響,有影響就是“有序”,也就是排列問題;沒有影響就是“無序”,也就是組合問題.變式訓練1(多選題)下列問題是組合問題的是(

)A.把當日動物園的4張門票分給5個人,每人至多分一張,而且票必須分完的分配方法B.從2,3,5,7,11這5個質數中,取2個數分別作為分子和分母構成一個分數,能構成不同的分數的個數C.從9名學生中選出4名參加一個聯歡會的選法D.2024年元旦期間,某班10名同學互送賀年卡表示新年的祝福,送出賀年卡的張數AC解析

由于4張票是相同的(都是當日動物園的門票),不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人,這和順序無關,因此選項A是組合問題;由于選出的2個數作分子或分母,結果是不同的,因此選項B是排列問題;由于只考慮選出4名學生,不需要考慮排列他們的順序,因此選項C是組合問題;甲寫給乙賀年卡與乙寫給甲賀年卡是不同的,所以與順序有關,因此選項D是排列問題.探究點二組合數公式分析

先考慮利用組合數的性質對原式進行化簡,再利用組合數公式展開計算分析

式子中涉及字母,可以用階乘式證明.規(guī)律方法

關于組合數計算公式的選取

變式訓練2探究點三組合問題的實際應用【例3】在一次數學競賽中,某學校有12人通過了初試,學校要從中選出5人去參加市級培訓.在下列條件下,有多少種不同的選法?(1)任意選5人;(2)甲、乙、丙三人必須參加;(3)甲、乙、丙三人不能參加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加;(5)甲、乙、丙三人至少1人參加.分析

根據題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和分析.注意“至少”“至多”問題,運用間接法求解會簡化思維過程.解

(1)任意選5人,則有

=792種不同的選法

(2)甲、乙、丙三人必須參加,只需從另外的9人中選2人,共有

=36種不同的選法.(3)甲、乙、丙三人不能參加,只需從另外的9人中選5人,共有

=126種不同的選法.變式探究若本例條件不變,甲、乙、丙三人至多有2人參加,有多少種不同的選法?解

(方法1

直接法)甲、乙、丙三人至多2人參加,可分為三類:規(guī)律方法

常見的含限制條件組合問題的解法(1)特殊元素:若要選取的元素中有特殊元素,則要以有無特殊元素,特殊元素的多少作為分類依據.(2)含有“至多”“至少”等限制語句:要分清限制語句中所包含的情況,可以此作為分類依據,或采用間接法求解.(3)分類討論思想:解題的過程中要善于利用分類討論思想,將復雜問題分類表達,逐類求解.變式訓練3某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調6名參加某項義診活動,其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家.問:(1)抽調的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調方法有多少種?(2)至少有2名外科專家的抽調方法有多少種?(3)至多有2名外科專家的抽調方法有多少種?本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)組合的概念;(2)組合數的計算方法;(3)組合數的性質.2.方法歸納:公式法求解與組合數有關的計算,直接法、間接法、分類討論法求解“在”與“不在”,“至少”與“至多”型組合問題.3.注意事項:不能準確計算組合數,涉及含參數的組合數計算,不能準確求出參數的取值范圍,“至少”與“至多”型組合問題,分類討論不全面.學以致用·隨堂檢測促達標12345678910111213141516A級必備知識基礎練1.學校要求學生從物理、歷史、化學、生物、政治、地理這6科中選3科參加考試,規(guī)定先從物理和歷史中任選1科,然后從其他4科中任選2科,不同的選法種數為(

)A.5 B.12

C.20 D.120B解析

第一步,從物理和歷史中任選1科,有

=2種選法;第二步,從其他4科中任選2科,有

=6種選法.根據分步乘法計數原理,共有2×6=12種選法.故選B.123456789101112131415162.某新農村社區(qū)共包括n個自然村,且這些村莊分布零散,沒有任何三個村莊在一條直線上,現要在該社區(qū)內建“村村通”工程,共需建公路的條數為28,則n=(

)A.6 B.8

C.9 D.10B解析

由于“村村通”公路的修建,是組合問題,故共需要建公路的條數為

123456789101112131415163.某中學招聘5位老師,其中安排2位老師去高一,安排2位老師去高二,安排1位老師去高三,則不同的安排方法有(

)A.30種

B.60種

C.90種

D.120種A解析

根據題意,不同的安排方法可以分三步完成:第一步,在5個老師中選出2人,安排去高一,有

=10種選法;第二步,在剩下3人中,選出2人,安排到高二,有

=3種選法;第三步,將最后1人安排到高三,有1種選法.根據分步乘法計數原理,共有10×3×1=30種不同的安排方法.故選A.123456789101112131415164.國慶期間,甲、乙等6人計劃分兩組(每組3人)去旅行,每組將在云南麗江、廣西桂林、河北石家莊、內蒙古呼和浩特選1個地方,且每組去的地方不同.已知甲不想去云南,乙只想去廣西,其余4人這4個地方都想去,則他們分組旅行的方案種數為(

)A.24 B.30

C.18 D.36A123456789101112131415165.在某社會實踐活動中,某班有一個7人小組參加燒烤活動,老師將從小組成員中選出2名同學整理燒烤架,再選出3名同學生火.若小組中的甲、乙兩位同學至多有1人生火,則不同的安排方案種數為(

)A.120 B.150

C.180 D.240C解析

小組中的甲、乙兩位同學都生火,共有

=30種,故甲、乙兩位同學至多有1人生火的不同的安排方案種數為

-30=180.故選C.123456789101112131415166.[2023新高考Ⅰ,13]某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課,學生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有

種(用數字作答).

6412345678910111213141516123456789101112131415168因為n∈N+,且n≥3,解得n=8.123456789101112131415162∵0≤x≤5,∴x2-23x+42=0,解得x=21(舍去)或x=2,即x=2為原方程的解.123456789101112131415169.生物興趣小組有12名學生,其中正、副組長各1名,組員10名.現從該小組選派3名同學參加生物學科知識競賽.(1)如果正、副組長2人中有且只有1人入選,共有多少種不同的選派方法?(2)如果正、副組長2人中至少有1人入選,且組員甲沒有入選,共有多少種不同的選派方法?解

(1)正、副組長2人中有且只有1人入選,則選派方法數為

=90.(2)正、副組長2人都入選,且組員甲沒有入選,選派方法數為

=9.正、副組長2人中有且只有1人入選,且組員甲沒有入選,選派方法數為

=72.故正、副組長2人中至少有1人入選,且組員甲沒有入選的選派方法數為9+72=81.12345678910111213141516B級關鍵能力提升練A.1 B.2

C.3

D.4BC12345678910111213141516A1234567891011121314151612.2名老師和4名學生共6人參加兩項不同的活動,每人參加一項活動,每項活動至少有2人參加,但2名老師不能參加同一項活動,則不同的參加方式的種數為(

)A.20 B.28

C.40

D.50B1234567891011121314151613.有10臺不同的電視機,其中甲型3臺,乙型3臺,丙型4臺.現從中任意取出3臺,若其中至少含有兩種不同的型號,則不同的取法共有(

)A.96種

B.108種 C.114種

D.118種C1234567891011121314151614.某省派出5個醫(yī)療隊去支援4個災區(qū),每個災區(qū)至少分配一個醫(yī)療隊,則不同的分配方案共有

種.(用數字填寫答案)

240解析

派出5個醫(yī)療隊去支援4個災區(qū),每個災區(qū)至少分配一個醫(yī)療隊,則其中有一個災區(qū)安排兩個醫(yī)療隊,剩下的3個災區(qū)各安排一個醫(yī)療隊,可以分兩步:1234567891011121314151615.要從6名男生4名女生中選出5人參加一項活動.(1)甲當選且乙不當選,有多少種不同的選法?(2)至多有3名男生當選,有多少種不同的選法?解