2025高考一輪復習（人教A版）第4講 基本不等式 （附答案）

2025高考一輪復習（人教A版）第4講基本不等式一、選擇題1．已知a,b∈R．則“a>0且b>0”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知函數(shù)fx=log2x2?A．34 B．32 C．23．若實數(shù)a，b滿足0＜a＜b，且a+b=1．則下列四個數(shù)中最大的是（）A．12 B．a(chǎn)2+b2 C．2ab 4．數(shù)學中，懸鏈線指的是一種曲線，是兩端固定的一條（粗細與質(zhì)量分布）均勻、柔軟（不能伸長）的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，它被廣泛應(yīng)用到現(xiàn)實生活中，比如計算山脈的形狀、婲述星系的形態(tài)、研究植物的生長等等．在合適的坐標系中，這類曲線可用函數(shù)f(x)=aex+be?x（其中a，bA．此時x=lna B．此時C．此時a+b的最小值為2 D．此時lna5．在ΔABC中，點F為線段BC上任一點（不含端點），若AF=xAB+2yA．3 B．4 C．8 D．96．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，{A．b1b7?a1a7 7．下列函數(shù)對于任意x1,xA．f(x)=lnx B．f(x)=x2+1 C．f(x)=8．已知△ABC中，a?b?c為角A?B?C的對邊，acosB+bcosA=csinC，若∠BAC與∠ABC的內(nèi)角平分線交于點I，△ABC的外接圓半徑為2，則△IAB面積的最大值為（）A．22?2 B．42?4 C．二、填空題9．已知x>1，則x+1x?1的最小值為10．設(shè)a,b,c>0，則11．已知x>0，y>0，且滿足4x2+9y212．已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,13．若實數(shù)a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a14．如圖，在棱長均相等的斜三棱柱ABC?A1B1C1中，∠A1AB=∠A1三、解答題15．在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且sinA?3（1）求角C的大??；（2）若邊c=2，邊AB的中點為D，求中線CD長的最大值.16．函數(shù)f(x)=ae（1）當a=1時，證明：f(（2）討論函數(shù)f(17．已知在數(shù)列{an}（1）求證：數(shù)列{1an}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1an+118．已知△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccos（1）求角A；（2）若a=3，求△ABC的周長的最大值，并求出此時角B，角C19．已知函數(shù)f(（1）求不等式f(x)≥3?2|x|的解集；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)+|x?5|的最小值為m，正數(shù)a，b滿足a+b=m，證明：a220．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b是a，c的等比中項．（1）求B的最大值：（2）若C為鈍角，求acos

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：當a>0且b>0時，ab+ba≥2ab·ba=2，當ab+ba≥2時，不一定a>0且b>0，

所以“2．【答案】B【解析】【解答】解：函數(shù)fx因為fx1=fx2則1x1+9x2≥29x1x故答案為：B.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)的運算可得x13．【答案】B【解析】【解答】解：取a=0.4，b=0.6，則a2+b2=0.16+0.36=0.52，2ab=2×0.4×0.6=0.48，故選B．【分析】取a=0.4，b=0.6，再分別求出a2+b2，2ab的值，由此能夠找到四個數(shù)中最大的數(shù)．4．【答案】C【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)=aex+be?x（其中a，b為非零常數(shù)，e=2.71828?），且ex>0,e?x>0，由f(x)取到最小值2，可得：a>0，b>0，對于A選項：aex+be?x≥2aex·be?x=2故答案為：C.【分析】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，基本不等式求最小值，根據(jù)題意及指數(shù)的性質(zhì)可得a>0，b>0，然后再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)逐項判定即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：因為點F為線段BC上任一點（不含端點），所以設(shè)BF=λBC，故即AF=λ又AF=x故x+2y=1?λ+λ=1，故1x當且僅當2yx=2x故1x故答案為：D【分析】本題考查平面向量基本定理，利用基本不等式求最值.設(shè)BF=λBC，利用平面向量的線性運算可求出AF=λAC+(1?λ)6．【答案】A【解析】【解答】解：已知{an}為等差數(shù)列，{由等差中項、等比中項可得a1由a1a7當b1>0時，當b1<0時，故B，D都錯誤．故答案為：A．【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的中項性質(zhì)可得a17．【答案】A【解析】【解答】解：當f(x)=lnx時，f(x1+x22)=lnx1+x22，f(x1)+f(x2)2=lnx1+8．【答案】A【解析】【解答】解：因為acosB+bcosA=csinC，由正弦定理可得：sinAcosB+又因為sinAcosB+sin即sinC=sin2C，且C∈(0,π)且△ABC為直角三角形且外接圓半徑R為2，可知c=22則a2+b2=c2設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則r=a+b?c2=a+b?22即△ABI的面積的最大值為22故答案為：A.【分析】根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得C=π2，進而可得a2+b9．【答案】3【解析】【解答】令t=x?1>0，則x=t+1，

則x+1x?1=t+1t+1≥2t×1t+1=3，

當且僅當t=110．【答案】2【解析】【解答】解：設(shè)m,n>0，則2ab當且僅當am=bm，故a+2ab令(m+2n+1):1m:2所以a+2ab+4aca+b+4c≤故答案為：2.【分析】設(shè)m,n>0，利用基本不等式得到a+2ab+4ac≤a(m+2n+1)+bm+11．【答案】2【解析】【解答】解：解法1、由4x2+9由基本不等式得(2x+3y)2所以2x+3y≤2，當且僅當2x=3y時取等號，聯(lián)立方程組2x=3y4x2+9y2+6xy?3=0解法2、由4x2+9因為x>0,y>0，由權(quán)方和不等式得(x+3y所以2x+3y≤2，當且僅當x+3y1=x聯(lián)立方程組2x=3y4x2+9y2+6xy?3=0故答案為：2.【分析】解法1、根據(jù)題意，式子利用完全平方公式進行變形可得：(2x+3y)2=3+2x?3y，再利用基本不等式可求出解法2、根據(jù)題意，通過變形可得：(x2+9y212．【答案】2【解析】【解答】解：因為b2+2c由余弦定理可得cosA=b因為a>0,b>0,c>0，所以則cosA=1當且僅當bc=c2b，即b2故答案為：23【分析】由題意，利用余弦定理可得cosA=113．【答案】4【解析】【解答】解：因為a2+2b=b2+2a，所以a?ba+b?2=0，又因為a>1>b>0，所以a?b≠0，即a+b?2=0，故a+b=2，即a?1+b=1，所以1故答案為：4.【分析】本題主要考查利用基本不等式求函數(shù)的最小值，根據(jù)已知等式得到a?ba+b?2=0，再根據(jù)a>1>b>0得到14．【答案】2【解析】【解答】解：設(shè)AB=則AM因為AM?BN=0即a?即?12+μ2+λμ=0，因為故λ+μ=λ+1當且僅當λ+12=12(λ+故答案為：2?【分析】設(shè)AB=a,AC=b,15．【答案】（1）解：由sinA?3根據(jù)正弦定理可得a?3ba=c?bc+b由余弦定理可得cosC=因為C∈0,π，所以C=（2）解：因為D為AB的中點，所以CD=則CD→由余弦定理c2=a2+由4=a2+則ab≤42+3，當且僅當即CD所以CD≤3+2，即中線CD長的最大值為【解析】【分析】（1）由題意，利用正弦定理以及余弦定理化簡求解即可；（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再結(jié)合基本不等式求解即可.（1）因為sinA?3由正弦定理可得：a?3ba=即a2由余弦定理可得：cosC=因為C∈0,π，所以C=（2）因為D為AB的中點，所以CD=則CD2又由余弦定理得，c2即4=a2+由4=a2+則ab≤42+3，當且僅當即CD所以CD≤3+2，即中線CD長的最大值為16．【答案】（1）解：當a=1時，f(x)=ex?x?1當x∈(?∞,0)當x∈(0,+∞)從而f(（2）解：令f(x)=0，則當x∈(?∞,0)當x∈(0,+∞)又g(0)=1，當x→?∞時，g(從而當a>1時，f(x)無零點；當a≤0或a=1當0<a<1時，f(【解析】【分析】(1)求導，利用導數(shù)判斷f(x)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析最值即可；

(2)分析可知a=17．【答案】（1）證明：由題意，1an+1則數(shù)列{1an}是以1a設(shè)bnS=（2）解：因為bcos所以由正弦定理可得sinB即sin(B+C)=所以cosA=?1由a=1由余弦定理得：a2所以a2=4≥3bc，即bc≤4S△ABC=12bc?【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的定義寫出數(shù)列{1an}的通項公式，即可求得{a（2）由題意，三利用正弦定理得sinA=?2sinAcosA，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)求角A18．【答案】（1）解：由2ccos則有2sin即2sin由C∈(0,π)，故sinC>0，則有2cosA=1（2）解：由余弦定理a2=b則3=(b+c)2?3bc當且僅當b=c時，等號成立，即(b+c)2≤12，即即△ABC的周長的最大值為33，此時a=b=c=3，即【解析】【分析】本題主要考查正弦定理，余弦定理，和差公式，基本不等式等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題型.

（1）根據(jù)已知等式結(jié)合正弦定理2sinCcosA=sinAcosB+19．【答案】（1）解：當x≥1時，原不等式轉(zhuǎn)化為x?1≥3?2x，解得x≥43，即當0<x<1時，原不等式轉(zhuǎn)化為1?x≥3?2x，解得x≥2，即無解；當x≤0時，原不等式轉(zhuǎn)化為1?x≥3+2x，解得x≤?23，即綜上，不等式的解集為{x|x≥4?????（2）證明：g(x)=|x?1|+|x?5|≥|(x?1)?(x?5)|=4，則m=4，即a+b=4，又由基本不等式有：a2b+b≥2a兩式相加得(a2b【解析】【分析】（1）根據(jù)f(x)?3?2|x|（2）先利用絕對值三角不等式求出g(x)20．【答案】（1）解：因為b是a，c的等比中項，所以b2由余弦定理可知b2則cosB=a2故B的最大值為π3（2）解：由已知可設(shè)b=aq，c=aq則a+aq>aq2cosC=a