2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納圓中的重要模型之隱圓模型（解析版）

圓中的重要模型之隱圓模型

隱圓是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中?？碱}，題目常以動態(tài)問題出現(xiàn)，有點、線的運動，

或者圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等，大部分學(xué)生拿到題基本沒有思路，更談不上如何解答。隱圓常見形式：動點定

長、定弦對直角、定弦對定角、四點共圓等，上述四種動態(tài)問題的軌跡是圓。題目具體表現(xiàn)為折疊問題、

旋轉(zhuǎn)問題、角度不變問題等，此類問題綜合性強(qiáng)，隱蔽性強(qiáng),很容易造成同學(xué)們的丟分。本專題就隱圓模型

的相關(guān)問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、動點定長模型（圓的定義）

若P為動點，H.AB=AC=AP,貝1」鳳C、P三點共圓，/圓心，A8半徑

圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定值的所有點構(gòu)成的集合.

尋找隱圓技巧：若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧.

例1.（2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZUOB的一條直角邊08在x軸上,

點/的坐標(biāo)為（-6,4）；RtACOD中，ZCOD=90°,OD=473,ND=30。，連接8C,點河是中點，連

接將RMCOD以點。為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（）

A.3B.6后-4C.2713-2D.2

【答案】A

【分析】如圖所示，延長8/到瓦使得AEMB,連接OE,CE,根據(jù)點/的坐標(biāo)為（-6,4）得到=8,再

證明是ABCE的中位線，得到=解RSC。。得到OC=4,進(jìn)一步求出點C在以。為圓心，

半徑為4的圓上運動，則當(dāng)點〃在線段OE上時，CE有最小值，即此時有最小值，據(jù)此求出CE的最

小值，即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，延長A4到E,使得4E=/B,連接。及CE,

■■■RtA^OS的一條直角邊OS在x軸上，點A的坐標(biāo)為(-6,4),

AB=4,OB=6,AE=AB=4,.'.BE=8,

,?,點〃■為中點，點/為BE中點，二/河是ABCE的中位線，二=

在RMCOD中，ACOD=90°,OD=473,ZZ)=30°,OC=—OD=4,

3

■.?將RMCOD以點O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，.?.點C在以。為圓心，半徑為4的圓上運動,

當(dāng)點M在線段?！晟蠒r，CE有最小值，即此時有最小值，

OE=yjBE2+OB2=10.的最小值為10-4=6,0/W的最小值為3,故選A.

【點睛】本題主要考查了一點到圓上一點的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標(biāo)與圖形，含30

度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

例2.(2023?廣東清遠(yuǎn)?統(tǒng)考三模)如圖，在RSABC,44c3=90。，E為/C邊上的任意一點，把ABCE沿

BE折疊，得至IJABFE,連接*'.若BC=6,AC=S,則的的最小值為

【答案】4

【分析】本題考查翻折變換，最短路線問題，勾股定理，先確定點廠的運動路線，并確定"最小時點尸所

在位置/‘，再求出/F的長度即可.確定點廠的運動路線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：1.△BCE沿班折疊，得到48尸8尸=3C=6,

二點尸在以B為圓心6為半徑的圓上，設(shè)以B為圓心6為半徑的圓與48交于點9，

則3F=BC=6,"的最小值為/尸的長;

在RtAASC中，BC=6,AC=8,AB=^BC2+AC2=762+82=10，

AF'=AB-BF'=\0-6=4,二"的最小值為4,故答案為：4.

例3.（2022?北京市?九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形/BCD中，AE、肝分別是8C,CD的中垂線，ZEAF=80°,

NCBD=30°,則ZA8C=ZADC=—.

【答案】40°；60°

【分析】連接/C,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得48=/C=40,從而得到8、C、。在以A為圓心，AS為半徑的

圓上，根據(jù)圓周角定理可得NmC=2NDBC=60。，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可求解.

【詳解】解：連接NC,ADAF=ZCAF=3Q°

'：AE,即分別是3C、CD的中垂線，.?./&=/C=/。，

:.B、C,。在以A為圓心，48為半徑的圓上，,「NC&D=30。，:.ND4c=2NDBC=60°,

'：AF1CD,CF=DF,:.NDAF=NCAF=3。°,AADC=60°,

;AB=AC,BE=CE,:"BAE=NCAE,

又■:NE4C=NE4F-NC4F=8?！?3Q°=50°,ZABC=ZACE=90°-50°=40°.故答案為：40°,60°.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得到3、C、

。在以A為圓心，NB為半徑的圓上是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023上?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD中，AB=6,E是BC的中點.以點C

為圓心，CE長為半徑畫圓，點尸是上一動點，點尸是邊/。上一動點，連接4尸，若點。是4尸的中點,

連接防，F(xiàn)Q,則2尸+抽的最小值為.

【答案】3Vi0-1

［分析】取點B關(guān)于直線AD的對稱點M,連接、/C兩線交于點O,連接。。，CP,MO,過。作ON143

1133

于點N,則。。=5討=5,3=5，所以點。在以。為圓心，5為半徑的。。上運動，求出

ON=AN=BN=；AB=3,則ACV=6+3=9,由勾股定理得OM=+ON：也。+3?=3屈，由

BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ>OMt所以當(dāng)M、F、Q、O四點共線時，

BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ=OM=3^/10的值最小，所以3尸+尸。的最小值為

__O

BF+FQ=OM-OQ=3y/u）--.

【詳解】解：取點3關(guān)于直線/。的對稱點連接8。、ZC兩線交于點。，連接CP,MO,過。

「正方形/BCD中，/8=6,E是8c的中點，，CE=g5C=3,

114

;點。是/P的中點，點。是NC的中點，.?.。。=5。=萬底=,

3

.??點。在以。為圓心，J為半徑的。。上運動，

;四邊形/BCD是正方形，二/C18。，OA=OB,:.0N=AN=BN=；AB=3,

'：AM=AB=6,MN=6+3=9,:.0M=NMN、0N2=V92+32=3弧，?BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQNOM,

???當(dāng)M、F、Q、O四點共線時，BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ=OM=3^M>7j\

BF+FQBF+FQ^OM-OQ=3710-1.故答案為：3V10-1.

【點睛】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，兩點之間線段最短公理的應(yīng)用，勾股定理，解題

的關(guān)鍵是正確確定點。的運動路徑.

模型2、定邊對直角模型（直角對直徑）

固定線段所對動角NC恒為90°,則/、B、。三點共圓，48為直徑

尋找隱圓技巧：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

例1.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形438中，乙4BC=NBAD=90。,4B=5,4D=4,ADvBC,

點￡在線段BC上運動，點尸在線段/E上，乙ADF=LBAE,則線段3尸的最小值為.

【答案】V29-2/-2+V29

【分析】設(shè)/。的中點為。，以為直徑畫圓，連接。8,設(shè)a與。。的交點為點尸，證明乙DE4=90。,

可知點廠在以ND為直徑的半圓上運動，當(dāng)點尸運動到03與。。的交點尸時，線段所有最小值，據(jù)此求

解即可.

【詳解】解：設(shè)/。的中點為O,以為直徑畫圓，連接。8,設(shè)03與。。的交點為點9，

ZABC=ZBAD=90°,AD//BC,：.ZDAE=ZAEB,

AADF=LBAE,ADFA=AABE=90°,.?.點/在以4D為直徑的半圓上運動，

當(dāng)點F運動到OB與0（9的交點F'時，線段BF有最小值，

AD=4,：.AO=OF'=^AD=2,,50=A/52+22=729.

8尸的最小值為揚(yáng)一2,故答案為：V29-2.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識，根據(jù)題意分析得到點尸的運動

軌跡是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023上?江蘇蘇州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，以G（0,l）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于n,B

兩點，與〉軸交于G。兩點，點E為。G上一動點，作CFL4E于點尸.當(dāng)點E從點3出發(fā)，順時針旋

轉(zhuǎn)到點。時，點尸所經(jīng)過的路徑長為（）

aV3DV30Gn2^/3

A.——TIa.—7tC.——兀U.----n

4323

【答案】B

【分析】連接ZC,AG,AD,先由圓周角定理得到點尸的運動軌跡是以ZC為直徑的圓上，且點。在圓

上，進(jìn)而得到當(dāng)點E從點8出發(fā)，順時針旋轉(zhuǎn)到點。時，點尸所經(jīng)過的路徑長為近的長；根據(jù)勾股定理

和銳角三角函數(shù)求得/C=Jo/2+m2=2g,ZACO=30°,則為所對的圓心角的度數(shù)為60。，利用弧長

公式求得通的長即可求解.

【詳解】解：連接ZC,AG,AD.

■：CFLAE,ZAFC=ZAOC=90°,

.,.點廠的運動軌跡是以ZC為直徑的圓上，且點。在圓上，當(dāng)點￡在點8處時，CO1點尸與O重合;

當(dāng)點E在點。處時，:以G(0,l)為圓心，半徑為2的圓與x軸交于/,3兩點，與y軸交于C,D兩點,

NC4D=90。即C4_L空，點尸與二重合,

當(dāng)點E從點2出發(fā)，順時針旋轉(zhuǎn)到點D時，點F所經(jīng)過的路徑長為OA的長；

.■GO1AB,G(0,l),/G=2,OA=^AG2-OG2=V3,

?.OC=OG+CG=l+2=3,tanZ^CO=—=—,AC=^OA2+OC2=2>/3,

OC3

4c。=30°,則而所對的圓心角的度數(shù)為60。,

.⑤的長為607txe兀即點/所經(jīng)過的路徑長為祖加，故選：B.

18033

【點睛】本題考查圓周角定理、解直角三角形、弧長公式、坐標(biāo)與圖形等知識，正確得到點尸的運動軌跡

以及點F所經(jīng)過的路徑長為OA的長是解答的關(guān)鍵.

例3.(2022?內(nèi)蒙古?中考真題)如圖，。。是A48C的外接圓，/C為直徑，若AB=2后,BC=3,點P仄B

點出發(fā)，在A/BC內(nèi)運動且始終保持NC3P=44P,當(dāng)C,尸兩點距離最小時，動點P的運動路徑長為

A

【答案】—n.

3

【分析】根據(jù)題中的條件可先確定點尸的運動軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定。的長最小時點P的

位置，進(jìn)而求出點尸的運動路徑長.

【詳解】解：為。。的直徑，ZABC=90°.ZABP+ZPBC=90°.

QNP4B=4PBC,：.NP4B+NABP=90°,，NAPB=90°.

點P在以AB為直徑的圓上運動，且在△/BC的內(nèi)部，

如圖，記以12為直徑的圓的圓心為a,連接。。交oq于點P,連接QRCP.

QCPNOC-gP,.?.當(dāng)點Q,P,C三點共線時，即點尸在點p處時，C尸有最小值，

BC3l

AB=2y/3O1S=V3在RtABCO］中，tan餐0?=6~^=忑=亞

.../BO?=60°....焉=60〃x。""二。,尸兩點距離最小時，點P的運動路徑長為如心

18033

【點睛】本題主要考查了直徑所對圓周角是直角，弧長公式，由銳角正切值求角度，確定點尸的路徑是解

答本題的關(guān)鍵.

例4.（2023?廣東?九年級課時練習(xí)）如圖，△NC2中，CA=CB=4,N/C8=90。，點尸為C4上的動點，

連BP,過點/作/ML8P于M.當(dāng)點尸從點C運動到點/時，線段8M的中點N運動的路徑長為（）

A.7iB.-y/2兀C.57371D.2,71

2

【答案】A

【詳解】解：設(shè)48的中點為。，連接NQ,如圖所示：

???N為的中點，。為45的中點，.「N。為△氏4M的中位線，

:AMLBP,:.QN_LBN,：ZQNB=90。,

二點N的路徑是以QB的中點。為圓心，長為半徑的圓交C8于￡）的詼，

：CA=CB=A,ZACB=90°,:.AB=y[iCA=4啦,/。8。=45°,/.ADOQ=90°,

90/7XX4

二而為。。的1周長，二線段W的中點N運動的路徑長為：Z^_V2K,故選：4

4------------------二---

1802

在A4PC中，:點M、F為PC、NC的中點，MF=-AP,

2

:.MEIMF.BPZEMF=90°,.?.點”在以所為直徑的半圓上，

.?.跖=工/2=10,.?.點M的運動路徑長為,x2〃x5=5/r,故答案為：5〃.

22

模型3、定邊對定角模型（定弦定角模型）

固定線段AB所對同側(cè)動角NA乙C,則4B、C、P四點共圓

根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相.

尋找隱圓技巧：43為定值，4P為定角，則P點軌跡是一個圓.

1.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過原點。和點/（4,0）的動直線。，。夾角2。以=30。,

點〃是03中點，連接貝iJsinNGUM的最大值是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，/。8/=30。，得出8的軌跡是圓，取點。（8,0）,則是AOB。的中位線，則求

得的正弦的最大值即可求解，當(dāng)5。與OC相切時，N0D8最大，則正弦值最大，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，以。/為邊向上作等邊AO/C,過點C作CELx軸于點E,貝l]OC=GM=/C=4,

則C的橫坐標(biāo)為2,縱坐標(biāo)為?！?。。*$吊60。=26,二42,28）,

取點￡＞（8,0）,貝I]是AOBD的中位線，,CD=“8-2）2+僅退『=，百,

ZOBA=30°,.,.點3在半徑為4的0c上運動，1?NW是AOAD的中位線，.1

ZOAM=AODB,當(dāng)AD與。C相切時，/ODB最大,則正弦值最大，

在RSBCD中，BD=^CD2-BC2=團(tuán)-42=472,

過點8作尸2〃x軸，過點。作C尸1尸G于點尸，過點。作。G1FG于點G,貝Ij/F=NG

―、CFFBBC41

Z.FCB=Z.DBG,：.4CFB—ABGD,/.——————"zrr——T==~f=

GBGDBD4V2V2

設(shè)C產(chǎn)=Q,FB=b，則BG=6a,DG=Cb/./（2,2百+a）,G（8,后6）FG=S-2=6,DG=a+2^

2+6+41a=8八2/-DG\Flb3+J6

l「解得：b=2+-46：.sinZODB=sinZGBD=——=——

〃+2行=?3BD4V26

「.sinNCMM的最大值為也反，故選：A.

6

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求正弦，等邊三角形的性質(zhì)。圓周角定理，得出點B的軌跡

是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測）如圖，在邊長為6的等邊中，點E在邊NC上自/向C運動,

點尸在邊C3上自C向3運動，且運動速度相同，連接廠交于點R連接CP,在運動過程中，點尸

的運動路徑長為（）

C.3A/3D.T

【答案】A

【分析】過點/作。/1/C于4作。，3c于B,連接。C,交AB于D,證明RtA/CO/RtA8CO（HL）,

得。4=08,再證明zUCF外BNE（SAS）,可得ZAPS=180。-60。=120。，確定點尸的運動路徑是以點。為

圓心，以。4為半徑的弧再由弧長公式求解即可.

【詳解】解：如圖，過點工作CU1/C于4作。818c于8,連接OC,交4B于D,

6

「△/CB是等邊三角形，:.AC=BC=AB,ZACB=ZCAB=60°,AAOB=360°-60°-90°-90°=120°,

：OC=OC,：.RtA^C0^RtA5C0(HL),:.OA=OB,OC是A8的垂直平分線，AD=BD=^AB=3,

在RQ/DO中，Z.DAO=30°,.tan30。=百，OA=2OD=273,

'：AE=CF,:.AACFABAE(SAS),:.NC4F=NABE,

NC4F+NBAP=60。,ZABE+ABAP=60°,ZL4P5=180°-60°=120°,

點尸的運動路徑是以點。為圓心，以。4為半徑的弧48,

???點P的運動路徑長為120絲@8=拽".故選：A.

1803

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，動點尸的運動軌跡等知識，確定點尸的運動軌

跡是解本題的關(guān)鍵.

例3.（2023?成都市?九年級專題練習(xí)）如圖所示，在扇形中，04=3,乙108=120。，點C是部上的

動點，以BC為邊作正方形8CDE,當(dāng)點C從點A移動至點B時，求點。經(jīng)過的路徑長.

【答案】點。經(jīng)過的路徑長為20〃.

【分析】如圖，由此30交。。于尸，取麻的中點H連接FH、HB、BD.易知是等腰直角三角形,

HF=HB,ZF/ffi=90°,由/FDB=45。=g4FHB,推出點。在?！ㄉ线\動，軌跡是面（圖中紅線），易

知LHFG=4HGF=15。,推出/FHG=150。，推出/G//B=120。，易知HB=3插,利用弧長公式即可解

決問題.

【詳解】解：如圖，由此80交。。于￡取前的中點“，連接尸口、HB、BD.

易知△WB是等腰直角三角形，HF=HB,/"ZB=90。，

；/FDB=45。//FHB,二點。在?！ㄉ线\動，軌跡是為（圖中紅線），

易知NHFG=NHGF=15。,：.AFHG=150°,:.NGHB=120。,易知HB=3拒,

,點D的運動軌跡的長為120-=2&兀

180

【點睛】本題考查軌跡、弧長公式、圓的有關(guān)知識、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔

助線，正確尋找點。的運動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題.

例4.（2023上?湖北武漢?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，。。的半徑為2,弦的長為2百，點C是優(yōu)弧

48上的一動點，交直線NC于點D,當(dāng)點C從△48C面積最大時運動到8C最長時，點。所經(jīng)過

的路徑長為.

【答案】工n

3

【分析】如圖，以43為邊向上作等邊三角形連接04,OB,OF,DF,O尸交4B于H.說明點。

的運動軌跡是以尸為圓心，加為半徑的圓，再利用弧長公式求解即可.

【詳解】如圖，以N8為邊向上作等邊三角形△/3月，連接。4OB,OF,DF,OF交AB于H.

NBOH=/AOH=6。。,//。8=120°，NC=：AAOB=GO0,

:DB_LBC,ADBC=90°,：.ACDB=30°,

；N4FB=60。,：.ZADB=YAAFB,二點。的運動軌跡是以r為圓心，E4為半徑的圓，

當(dāng)點C從△48C面積最大時運動到BC最長時，BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)了30。，

..BD繞點3也旋轉(zhuǎn)了30。，.?.點。的軌跡所對的圓心角為60°,

運動路徑的長=60"x2包9人故答案為：正w.

18033

【點睛】本題考查軌跡，垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

模型4、四點共圓模型

四點共圓模型我們在上一專題中已經(jīng)詳細(xì)講解了，本專題就不在贅述了.在此就針對幾類考查頻率高的模

型作相應(yīng)練習(xí)即可。

1）若平面上/、B、C.。四個點滿足43C+N4DC=180。，貝!M.B、C、。四點共圓.

條件：1）四邊形對角互補(bǔ)；2）四邊形外角等于內(nèi)對角.

“;\----_------/B酒

2）若平面上4B、C、。四個點滿足乙包切=4CB,貝IJ4、B.,C,。四點共圓.

條件：線段同側(cè)張角相等.

例1.（2023?安徽阜陽?九年級?？计谥校┤鐖D，。為線段3c的中點，點4C,。到點O的距離相等，則

//與NC的數(shù)量關(guān)系為（）

A.ZA=NCB.DA=2DCC,zL4-ZC=90°D,ZA+ZC=180°

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得四邊形為。。的圓內(nèi)接四邊形，即可求解.

【詳解】解：為線段BC的中點，點4C,。到點。的距離相等，

.,.點aB,c,。到點o的距離相等，

.,.點aB,c,。在以。為圓心的圓上，即四邊形為。。的圓內(nèi)接四邊形，

.-.ZA+ZC=180°.故選：D

【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?山西臨汾?九年級統(tǒng)考期末）如圖在四邊形/BCD中，NADB=ZACB=90°,若ND4C=30。,

則n筆r的值為（）

【答案】D

【分析】首先根據(jù)題意得到點4B,C,。四點共圓，然后證明出ACEOSABE/,進(jìn)而得到與=隼，然

ABAE

DF1

后利用30。直角三角形的性質(zhì)得到—進(jìn)而求解即可.

AE2

【詳解】如圖所示，???N4DB=N/C3=90。.,.點4,B,C,。四點共圓,

——CDDE

CB-CB/BAC=Z.BDC/DEC=Z.AEB...ACED—ABEA......------

3~3ABAE

CDDEg.故選：

...405=90°,ADAC=30°：.DE=-AE：.-=-D.

2AE2~AB~AE

【點睛】此題考查了四點共圓，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握以上知識點.

例3.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?校聯(lián)考一模）如圖，菱形/BCD的邊長為12,々8=60。，點￡為8C邊的中點.點M

從點￡出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點3運動，點N同時從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度向點。運動,

連接跖V,過點C作于點7/.當(dāng)點M到達(dá)點8時，點N也停止運動，則點8的運動路徑長是（）

C.”D.WL

A.6B.12

33

【分析】如圖，連接/￡、AC,BD,設(shè)NC、3D交于點尸，AE交MN于點、F,連接CF,設(shè)CF中點為O,

連接OP、OE,根據(jù)菱形及等邊三角形得性質(zhì)可得/EIBC,&ANF~AEBF,可得出二=！，可得必

AF2

經(jīng)過點歹，根據(jù)4C=NCHF=90。，可得點”在以CF為直徑的圓上，根據(jù)M、N的速度及菱形性質(zhì)可

得當(dāng)點M達(dá)到點B時，點N達(dá)到點。，AC1BD,可得點〃點運動路徑長是胡的長，利用勾股定理可求

出C尸的長，根據(jù)圓周角定理可得NEOP=120。，利用弧長公式即可得答案.

【詳解】如圖，連接/￡、AC.BD,設(shè)NC、BD交于點、P,AE交MN于點、F,連接CF,設(shè)CF中點為O,

連接。P、OE,

?.?菱形48c。的邊長為12,^5=60°,:.AB=BC=n,“3C是等邊三角形,

?點￡為8C邊的中點，，4E1BC,BE=CE=-AB=6,4E=66

???點/的速度為每秒1個單位，點N的速度為每秒2個單位，，受

FFMF1

AN\\ME"NFrEBF,

fAFAN2

，尸￡=；/￡=26,CF=yjFE2+CE2=473，，跖V必經(jīng)過點尸，

■:CHLMN,/E18C,.?.點"在以CF為直徑的圓上，且尸、E、C、H四點共圓，

,當(dāng)點M達(dá)到點3時，點N達(dá)到點。，.?.點8點運動路徑長是涉的長，

ABCA=60°,EP=EP，:.NEOP=2NBC4=120。,

.反J20乙即點H點運動路徑長是生8〃.故選：D.

18033

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓的證明、勾股定理、圓周角定理及弧

長公式，正確得出點石的運動軌跡是解題關(guān)鍵.

例4.（2023.江蘇九年級期末）如圖，在Rt^ABC中，乙痣8=90。，BC=3,/C=4,點P為平面內(nèi)一點,

且NCP3=N/,過C作C01CP交PB的延長線于點Q,則CQ的最大值為（）

4石675

—

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得A、B、C、P四點共圓，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值與PC有關(guān),

當(dāng)PC最大時CQ即取最大值.

【詳解】解：1?在RS/3C中，//C3=90°,NCPB=AA,BC=3,AC=4

.'.A,B、C、P四點共圓，AB為圓的直徑，AB=V5C2+^C2=5

???CQ1CPNACB=ZPCQ=90°AABCcnAPQC

ACPC4pca

'BCCQ'3或即

當(dāng)PC取得最大值時，CQ即為最大值

.?.當(dāng)PC=AB=5時，CQ取得最大值為?故選B.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及四點共圓，掌握同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等確

定四點共圓，利用相似三角形性質(zhì)得到線段間等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

例5.（2023?河南周口?校考三模）在中，。=。5,〃是“8。外一動點，滿足DC/M+=180°,

若NCMA=60°,MA=4,MB=2,則"D的長度為.

［分析］過點8作1交的延長線于點H,過點。作DE1于點E,過點D作。尸1M3于點

E點N,M8,C四點共圓，得4MC=Z3MC=60。，解直角三角形。￡=。尸=,BH=—MB,面積

22

1114

法求解，S^AMB=-AMDE+-BM-DF=-AMBH,得MO..

【詳解】解析：過點B作BH1交的延長線于點H,過點。作DE工/河于點E,過點D作。尸1MB

于點￡如圖所示：

c

：DCAM+DCBM=180°.?.點四點共圓

h

'：CA=CB：./AMC=/BMC=60。，DE=DF=MD-sin6(f=-MD,^AMB=120°

2

h

ZBMH=60°,..BH=MBsin60°=—MB,

2

-：MA=4MB=2：.SAAMB=^AM-DE+^BM-DF=^AM-BH,

J3J34

4x—ME>+2x—A0=4xV3,：.MD=-

223

【點睛】本題考查四點共圓，圓周角定理，解直角三角形，角平分線性質(zhì)定理，添加輔助構(gòu)造直角三角形

是解題的關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練

1.（2023上?江蘇南通?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，等邊三角形Z8C與等邊三角形EE8共端點8,BC=2,

BF=日△EF3繞點8旋轉(zhuǎn)，N2CF的最大度數(shù)（）

A.30°B.45°C,60°D,90°

【答案】C

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點尸在以點8為圓心，8尸長為半徑的圓上，可得當(dāng)CF'與02相切時，乙BCF'

的度數(shù)有最大值，由三邊關(guān)系得△CB9是含30度角的直角三角形，即可求解.

【詳解】解：如圖，

,?,△EEB繞點8旋轉(zhuǎn)，.??點/在以點8為圓心，8廠長為半徑的圓上，

???當(dāng)C/與03相切時，48CF的度數(shù)有最大值，連接2尸，.??4CF'8=90°,

,:BC=2,BF'=BF=y/3,CF'=42s=1=

；2cBp=30°,ABCF'=60°,故選：C.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系，確定點F的運動軌跡是本

題的關(guān)鍵.

2.（2023上?安徽六安?九年級?？计谀┤鐖D，AABC是等邊三角形，/8=2,點尸是“3C內(nèi)一點，且

ZBAP-ZCBP=30°,連接CP,則CP的最小值為（）

A

C.2-73D.V3-1

【答案】D

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N4BC=60°,AB=BC=AC,繼而推出NAPB=90°,可得點P在以AB

為直徑的圓上，得知當(dāng)C,D,尸三點共線時，。尸最小，再利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

【詳解】解：“3C是等邊三角形，ZABC=60°,AB=BC=AC,

■：ZBAP-ZCBP=30°,ZBAP-[600-ZABP）=30°,

整理得：NBAP+ZABP=90°,則乙4尸8=90。，.?.點尸在以為直徑的圓上,

如圖，設(shè)的中點為。，連接。P,即。尸長度不變，

CP+DP>CD,.?.當(dāng)C,D,P三點共線時，CP最小，此時CD_L4B,

:AB=BC=AC=2,:.DP=^AB=\,CD=yjBC2-BD2=73.

二CP的最小值為0。-。尸=百-1,故選D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

根據(jù)已知條件推出乙1PB=90。,得到點P在以為直徑的圓上.

3.（2023?廣西中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2.則BD的長為

A.714B.V15C.班D.2A/3

【答案】B

【詳解】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交0A于F,連接DF.

.AB=AC=AD=2,.'.D,C在圓A上,

'.DC//AB,...弧DF=MBC,.-.DF=CB=1,BF=AB+AF=2AB=4,

.FB是。A的直徑，.?.NFDB=90。，.-.BD=^BF2-DF2=岳故選B

4.（2023上?浙江杭州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，點。在線段N8上，OA=2,OB=6,以。為圓心，OA為

半徑作O。，點〃■在0。上運動，連接"B,以MB為一邊作等邊AASC,連接/C,則ZC長度的最小值為

A.2713+2B.2V13-2C.473+2D.473-2

【答案】B

【分析】以08為邊，在Q5的上面作等邊AOBP,使OB=BP=OP=6,NOBP=60°,連接。P,PC,OM,

根據(jù)全等三家巷的性質(zhì)得到OM=PC=2,連接/P并延長，交。尸于點C',則/C的最小值為NC',過產(chǎn)作

尸H1于H,根據(jù)勾股定理即可得到答案.

【詳解】解：如圖，以為邊，在的上面作等邊AOAP,使OB=BP=OP=6,ZOBP=60°,連接。尸,

PC,OM,

,:NMBC=ZOBP=6Q°,ZOBM=ZCBP,

BM=BC

在AOW和ACBP中，\ZOBM=ZCBP,:AOBMHCBP(SAS),

OB=BP

：.OM=PC=2,，點C的運動軌跡為以點尸為圓心，2為半徑的圓，

連接NP并延長，交。P于點C，，則ZC的最小值為/C,過P作于//,

同1

:.PH=—PB=343,BH=-PB=3,

22

'：AH=AB-BH=5,：,AP=SIAH2+PH2=,+g同=2屈,

AC=AP-PC=2413-1,.1NC'長度白勺最/］、值為2而一2,故選：B.

【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確

地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.（2023上?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4C,N的坐標(biāo)分別為（-3,0）,

（3,0）,（6,8）,以點C為圓心，3為半徑畫。C,點尸在。。上運動，連接AP,交。。于點。，點M為線

段。尸的中點，連接則線段兒W的最小值為（）

A.7B.10C.3拒D.V73-1

【答案】A

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，掌握垂徑定理，勾股定理，兩點間的距離公式，直角三角形斜邊

上中線的性質(zhì)，三點共線等知識是解決問題的關(guān)鍵.

連接CM,OM,由垂徑定理得出CM10尸，由直角三角形的性質(zhì)得出（W=g/C=3,進(jìn)而得出點“在

以。為圓心，以3為半徑的O。上，得出當(dāng)。、M、N三點共線時，兒W有最小值，由N（6,8）,求出ON=10,

進(jìn)而求出MN=7,即線段MN的最小值為7.

【詳解】解：如圖1,連接CW,OM,

,.Z（-3,0）,C（3,0）,.-.AC=6,。是/C的中點，

是。尸的中點，CMLQP,:.ZAMC=90°,:.OM=^AC=?>,

.?.點初在以O(shè)為圓心，以3為半徑的。。上，如圖2,當(dāng)。、M,N三點共線時，有最小值，

7N（6,8）,二加=10,...（W=3,.?.TW=ON-OM=10-3=7,.?.線段ACV的最小值為7,故選A.

6.（2023上?浙江麗水?九年級統(tǒng)考期中）如圖，48是半圓。的直徑，點C在半圓。上，AB=4.ACAB=60°,P

是弧5c上的一個動點，連結(jié)/尸，過點C點作C。！/尸于點。，連結(jié)5。，在點P移動的過程中.（1）

AC=；（2）8。的最小值是.

【答案】2VB-1/-1+V13

【分析】⑴連接8C,因為A3是直徑，則44c8=90。，所以N4BC=30。，所以/C=gA8=2；

（2）以/C為直徑作圓O',連接B。、BC,在點尸移動的過程中，點。在以/C為直徑的圓上運動，當(dāng)。、

D、B共線時，5。的值最小，最小值為OB-OD,利用勾股定理求出3。'即可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖，連接8C,..Z8是直徑，.?.N/CB=90。，

,/ZC45=60°,AZ^5C=30°,../C==；x4=2.故答案為：2；

(2)如圖，以/C為直徑作圓O',連接80',...。。1/尸，；.N4DC=90。，

在點尸移動的過程中，點。在以/C為直徑的圓上運動，

在RtzX48C中，..25=4,ACAB=60°,8C=/B-sin60。=2百，

'：AC=2,:.O'C=O'D=\,在Rt^BCO'中，BO'=SJBC2+O'C2=71277=V13,

：O'D+BDNO'B,：.當(dāng)O'、D、3共線時，3。的值最小，最小值為。B-。h=舊-1.故答案為：V13-1.

【點睛】本題考查圓周角定理，勾股定理、點與圓的位置關(guān)系，兩點之間線段最短，解題的關(guān)鍵是確定點。

的運動路徑是以/C為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中的壓軸題.

7.(2023上?山東日照?九年級校考期中)如圖，AASC中，AC=5,BC=^,AACB=60°,過點A作的

平行線/，尸為直線/上一動點，為△NPC的外接圓，直線8尸交。。于E點，則/E的最小值為.

【答案】V41-4/-4+V41

【分析】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點與圓的位置關(guān)系等

知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題.

如圖，連接CE.首先證明NBEC=120。，由此推出點E在以。'為圓心，03為半徑的前上運動，連接少/

交前于E：此時//的值最小.

【詳解】解：如圖，連接CE.

AP//BC,:.NPAC=N4CB=60°,ZCEP=ZCAP=60°,

NB￡C=120。，.?.點E在以。為圓心，為半徑的部上運動,

連接O'/交灰?于？，此時的值最小.此時。。與OO'交點為E,

ZBE'C=120°前所對圓周角為60。，：.N8O'C=2x60。=120。，

llRr

△BOC是等腰三角形，5C=4V3，O'B=O'C=Z=4，

cos30°

ZACB=60°,ZBCO'=30°,ZACO'=90°,O'A=y/o'C2+AC2=A/42+52=V?1,

.?.//=ON-OE