2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題突破二次函數(shù)與相似問(wèn)題（學(xué)生版）

專題4二次函數(shù)與相似問(wèn)題

考法綜述，

函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題一般有三個(gè)解題途徑

①求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為

特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類討論。

②或利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)

邊的大小.

③若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后

利用相似來(lái)列方程求解。

方法揭秘.

\________________/

相似三角形常見(jiàn)的判定方法：

(1)平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)

用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

(2)三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；

(3)兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

(4)兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

判定定理“兩邊及其夾角法”是常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方

程，解方程并檢驗(yàn).

如果已知乙4=4。，探求△48。與△￡>￡下相似，只要把夾乙4和乙。的兩邊表示出來(lái)，按照對(duì)應(yīng)邊成

比例，分絲=匹和必=竺兩種情況列方程.

ACDFACDE

應(yīng)用判定定理“兩角法”解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對(duì)應(yīng)角相等.

應(yīng)用判定定理“三邊法”解題不多見(jiàn)，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例列連比式解方程(組).

還有一種情況，討論兩個(gè)直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個(gè)直角三角形的銳角三角比是

確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個(gè)三角形是直角三角形的問(wèn)題.

典例剖析.

X,________________/

【例1】(2022?貴港)如圖，已知拋物線y=3+及+0經(jīng)過(guò)/(0,3)和2(工，-旦)兩點(diǎn)，直線N3

24

與X軸相交于點(diǎn)C,P是直線AB上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDVx軸交AB于點(diǎn)D.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若PE//x軸交AB于點(diǎn)￡,求PD+PE的最大值；

(3)若以N,P,。為頂點(diǎn)的三角形與△/OC相似，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)尸，點(diǎn)。的坐標(biāo).

【例2】(2022?衡陽(yáng))如圖，已知拋物線y=x2-x-2交x軸于/、2兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下方的部

分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象獷'，圖象少交y軸于點(diǎn)C

(1)寫出圖象少位于線段上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若直線y=-x+6與圖象少有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出6的值；

(3)尸為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸河〃y軸交直線3c于點(diǎn)交圖象少于點(diǎn)N,是否存在這

樣的點(diǎn)尸，使△CNN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【例3】(2022?桂林)如圖，拋物線y=-，+3》+4與x軸交于/,8兩點(diǎn)(點(diǎn)/位于點(diǎn)3的左側(cè))，與y軸

交于。點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸I與x軸交于點(diǎn)N,長(zhǎng)為1的線段尸。(點(diǎn)尸位于點(diǎn)Q的上方)在x軸上方

的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng).

(1)直接寫出4B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求CP+PQ+QB的最小值；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作PMLy軸于點(diǎn)跖當(dāng)△CPM和△Q2N相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【例4】(2022?玉林)如圖，已知拋物線：y=-2/+bx+c與x軸交于點(diǎn)4,B(2,0)(/在3的左側(cè))，與

了軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸是直線x=/,P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)。為線段。。的中點(diǎn)，則△尸。。能否是等邊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與線段交于點(diǎn)垂足為點(diǎn)〃，若以尸，M,C為頂點(diǎn)的三角形與△加“

相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

備用圖

滿分訓(xùn)練.

__________--

1.(2020秋?興城市期末)如圖，拋物線歹=62+6"4經(jīng)過(guò)/(4,0),B(-1,0)兩點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)C,

。為第一象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接/C,BC,DA,DB,與/C相交于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,設(shè)乙4DE的面積為Si,△2CE的面積為S2,當(dāng)Si=&+5時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CF〃x軸，點(diǎn)M是直線CF上的一點(diǎn)，JW,C尸交拋物線于點(diǎn)N,是否存在以C,

M,N為頂點(diǎn)的三角形與△BC。相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

(2)如圖1,若點(diǎn)。是拋物線上在第四象限的點(diǎn)，連接D4并延長(zhǎng)，交丁軸于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作

s

軸于點(diǎn)E當(dāng)△/尸。與△/￡>￡的面積比為冷些=工時(shí).求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

SAADE4

(3)如圖2,拋物線與y軸相交于點(diǎn)F.若點(diǎn)Q是線段。下上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。作與x軸平行的直線交拋

物線于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊).請(qǐng)問(wèn)是否存在以。，A,M為頂點(diǎn)的三角形與△。附相似？

若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2020秋?長(zhǎng)垣市期末)如圖1,拋物線y=/：2+6x+c與x軸、y軸分別交于點(diǎn)2(6,0)和點(diǎn)C(0,-

3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為加，連接尸3、PC,當(dāng)?shù)拿娣e為0時(shí)，

2

求m值；

(3)如圖2,點(diǎn)M是線段03上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線/分別與直線BC和拋物線交于。，

￡兩點(diǎn)，是否存在以C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2021秋?鄒城市期末)如圖，已知拋物線y=/+2x的頂點(diǎn)為/,直線y=x+2與拋物線交于瓦C兩點(diǎn).

(1)求4B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)作CD_Lx軸于點(diǎn)。，求證：△ODC74BC;

(3)若點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PM±x軸于點(diǎn)M,則是否還存在除C點(diǎn)外的其他位置的

點(diǎn)，使以。，P,M為頂點(diǎn)的三角形與△/BC相似？若存在，請(qǐng)求出這樣的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

5.(2021秋?攸縣期末)如圖，已知直線尸-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)N、B,拋物線過(guò)N,3兩點(diǎn)，點(diǎn)

產(chǎn)是線段48上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)D

(1)若拋物線的解析式為y=-2X2+2X+4,設(shè)其頂點(diǎn)為其對(duì)稱軸交N3于點(diǎn)N.

①求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；

②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)。，使的值最大，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

③是否存在點(diǎn)尸，使四邊形MNP。為菱形？并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以3、P、。為頂點(diǎn)的三角形與△NOB相似？

若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.(2022?禹城市模擬)如圖，拋物線經(jīng)過(guò)/(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點(diǎn).

(1)求出拋物線的解析式；

(2)P是拋物線在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作Mix軸，垂足為例，是否存在夕點(diǎn)，使得以/,P,

M為頂點(diǎn)的三角形與△ONC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若拋物線上有一點(diǎn)D(點(diǎn)、D位于直線AC的上方且不與點(diǎn)B重合)使得S^DCA=S/BC,直接寫出

點(diǎn)D的坐標(biāo).

7.(2022?祥云縣模擬)如圖，已知拋物線+以+c過(guò)點(diǎn)4(-1,0),5(3,0),交y軸于點(diǎn)C(0,3),

點(diǎn)M是該拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ME垂直x軸于點(diǎn)￡,交線段3C于點(diǎn)。，軸，交y

軸于點(diǎn)N.

(1)求拋物線y=a^+bx+c的表達(dá)式；

(2)若四邊形MNOE是正方形，求該正方形的邊長(zhǎng)；

(3)連結(jié)。AC,拋物線上是否存在點(diǎn)使得以C,O,。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，

請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.(2022?松江區(qū)校級(jí)模擬)如圖，拋物線/-反+c過(guò)點(diǎn)2(3,0),C(0,-3),。為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)連接BC,CD,DB,求乙的正切值；

(3)點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=x2-bx+c對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為￡點(diǎn)，連接BE,直線BE與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,在

(2)的條件下，點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸使△CA8和△BMP相似，若存在，求點(diǎn)

尸坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.(2022?平江縣一模)如圖，拋物線產(chǎn)小+區(qū)+8與x軸交于/(-2,0)和點(diǎn)8(8,0),與y軸交于點(diǎn)

C,頂點(diǎn)為D,連接/C,BC,8C與拋物線的對(duì)稱軸/交于點(diǎn)￡.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接尸2,PC,設(shè)四邊形尸20C和△/OC的面積分別為S四邊

形PBOC和SAAOC,記S=S四邊形PBOC-S^AOC,求S最大值點(diǎn)P的坐標(biāo)及S的最大值；

(3)點(diǎn)N是對(duì)稱軸I右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),在射線ED上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)M,N,E為頂點(diǎn)的

三角形與△30C相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(備用圖)

10.(2022?萊州市一模)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=L/+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(4,3),頂點(diǎn)為點(diǎn)3,

點(diǎn)尸為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，/是過(guò)點(diǎn)(0,-2)且垂直于y軸的直線，連接尸。

(1)求拋物線的表達(dá)式，并求出頂點(diǎn)3的坐標(biāo)；

(2)試證明：經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的。尸與直線/相切；

(3)如圖②，已知點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,2),是否存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)P,。及(2)中的切點(diǎn)為頂點(diǎn)的三

角形與△/3C相似？若存在，求出尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.(2022?鞏義市模擬)已知，二次函數(shù)夕=a^+bx-3的圖象與x軸交于/,3兩點(diǎn)(點(diǎn)/在點(diǎn)B的左邊),

與V軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-1,0),且O3=OC

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)當(dāng)0WxW4時(shí)，求二次函數(shù)的最大值和最小值分別為多少?

(3)設(shè)點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.在y軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCC與△尸03相似，且

PC與是對(duì)應(yīng)邊？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.(2022?澄邁縣模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-2,0),5(-3,3)及原點(diǎn)。，頂點(diǎn)為

C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

①在圖1中，當(dāng)-3vf<0時(shí)，求△P2。的面積S與/的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

②在圖2中，若點(diǎn)P在該拋物線上，點(diǎn)E在該拋物線的對(duì)稱軸上，且以/,O,P,￡為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

③在圖3中，若P是y軸左側(cè)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸軸，垂足為是否存在點(diǎn)P使得

以點(diǎn)尸，/為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.(2022?豐南區(qū)二模)如圖①、②，在平面直角坐標(biāo)系中，一邊長(zhǎng)為2的等邊三角板CDE恰好與坐標(biāo)系

中的△048重合，現(xiàn)將三角板CDE繞邊N8的中點(diǎn)G(G點(diǎn)也是的中點(diǎn))，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180。

(2)點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，求OP的最大面積；

(3)如圖③，OG是以N2為直徑的圓，過(guò)2點(diǎn)作OG的切線與x軸相交于點(diǎn)尸，拋物線上是否存在一

點(diǎn)監(jiān)使得△80尸與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.(2022?萊蕪區(qū)三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)＞=-x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)/,與y軸

交于點(diǎn)B,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A和點(diǎn)C(0,-3).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)如圖1,平移線段/C,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在二次函數(shù)在第一象限的圖象上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在

直線N2上，直接寫出四邊形NCED的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)如圖2,在(2)的條件下，連接CD,交x軸于點(diǎn)點(diǎn)P為直線CD下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)尸作尸尸，x軸，交8于點(diǎn)尸，連接尸C,是否存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)尸，C,尸為頂點(diǎn)的三角形與△aw

相似？若存在，求出線段燈的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.(2022?臨清市三模)如圖，拋物線尸-f+6x+c的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,4),且與x軸相交于4,3兩點(diǎn)

(點(diǎn)N在點(diǎn)8的左側(cè)，與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)￡在工軸上方且在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸在拋

物線上并且和點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，作矩形所G8,其中點(diǎn)G,〃都在x軸上.

(1)求拋物線解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)尸橫坐標(biāo)為加，

①用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為(直接填空);

②當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

③連接40,當(dāng)EG與4D垂直時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)過(guò)頂點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)尸作尸尸_L4D于點(diǎn)尸，直接寫出△DF尸與△加"相似時(shí)，點(diǎn)

F的坐標(biāo).

備用圖

16.(2022?成都模擬)如圖①，已知拋物線＞=-(x-1)2+后交x軸于B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,尸是拋

物線上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足08=304

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P在第一象限，直線y=1+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線BC交于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)、P的橫坐標(biāo)為t,當(dāng)線段

2

PE的長(zhǎng)度隨著t的增大而減小時(shí)，求t的取值范圍；