小升初六年級數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：行程問題與追及問題

專題13行程問題與追及問題

■知識梳理

L行程問題

我們把研究速度、路程和時(shí)間三者之間關(guān)系的問題，稱為行程問題。行程

問題常用的數(shù)量關(guān)系式：

路程=速度X時(shí)間

速度=路程：時(shí)間

時(shí)間=路程4-速度

2.相遇問題。

兩個(gè)人或物體分別從兩地同J±相向出發(fā)，按一定的速度，經(jīng)過一定的時(shí)間

相遇。相遇問題的基本關(guān)系式是：

路程和三速度和X相遇時(shí)間

相遇時(shí)間=路程和4-速度和

速度和=路程和相遇時(shí)間

［提示］基本的相遇問題具備三個(gè)基本條件：①兩人或兩物，②同時(shí)出發(fā)，

③相向而行。這三個(gè)條件是可以交化的，如同時(shí)出發(fā)變?yōu)橐幌纫缓蟪霭l(fā)，相向

而行變?yōu)楸诚蚨校ㄏ嚯x）等。在解題時(shí)可以借助線段圖分析，使復(fù)雜的條件

明.朗化，便于解決問題。

3.追及問題。

兩個(gè)物體向同一■個(gè)方向運(yùn)動，出發(fā)地點(diǎn)不同（或同一■地點(diǎn)不同時(shí)間向同一

方向運(yùn)動），慢的在前，快的在后，隨著時(shí)間的推移，快者離慢者越來越近，最

后追上慢者。我們把這種情況及與其相關(guān)的變化問題稱為追及問題。實(shí)質(zhì)上，

從出發(fā)到追上的時(shí)間內(nèi)，快者比慢者多走的路程就是兩人之間的路程差（追及

路程），也就是出發(fā)時(shí)兩人之間的距離，它與兩人的速度差和追及時(shí)間有下面的

關(guān)系式：

路程差=速度差x追及時(shí)間

追及時(shí)間=路程差一速度差

速度差=路程差;追及時(shí)間

［提示］追及問題變化不多，但它常常與其他情況的相遇問題組合在一起，

整合成較復(fù)雜的行程問題。在分析思考中，可畫線段圖幫助理解，尋找解題的

突破口。

例題精講

【例1】龜、兔賽跑，龜每分鐘爬25米，兔每分鐘跑325米，全程

1500米。兔自以為能得第一，在途中睡了一覺，結(jié)果龜?shù)浇K點(diǎn)時(shí)，兔還

差200米。兔睡了多少分鐘？

【點(diǎn)撥分析】這是一道行程問題，其數(shù)量關(guān)系是“速度X時(shí)間=路

程”。要求三者中的一個(gè)條件，就必須去尋找另外兩個(gè)條件。已知龜?shù)?/p>

路程是1500米，這度是每分鐘25米，那么龜爬的時(shí)間是1500925=60

（分）。在這段時(shí)間內(nèi)，兔跑了1500-200=1300（米），又睡了一會，兔

每分鐘跑325米，由此求出兔跑的時(shí)間，就可求出它睡的時(shí)間。

【答案】15004-25=60（分）

60-（1500-200）:325=56（分）

答：兔睡了56分鐘。

舉一反三

1.小狗和小熊賽跑，小狗1分鐘跑了400米后，見小熊落在后面，

它想：反正還差一半路就到達(dá)終點(diǎn)了，先玩8分鐘也不遲。于是小狗痛快

地玩起來了，而小熊仍以每分鐘100米的速度往前跑。它倆誰先到達(dá)終

點(diǎn)？早到幾分鐘？

2.龜、兔賽跑，全程5.2千米。兔子每小時(shí)跑20千米，烏龜每小時(shí)

跑3千米。兔子邊跑邊玩，它先跑1分鐘，然后玩15分鐘；再跑2分

鐘，然后玩15分鐘；接著跑3分鐘，然后玩15分鐘…而烏龜卻不停地

跑。那么，先到達(dá)終點(diǎn)的比后到達(dá)終點(diǎn)的早多少分鐘？

3.獅子和小熊賽跑，獅子1分鐘跑了500米后，見小熊落在后面，

它，想：反正還差一半路就到達(dá)終點(diǎn)了，先玩10分鐘也不遲。于是獅子就

跳到路邊的池塘里玩水去了，而小熊仍以每分鐘100米的速度往前跑。

它倆誰先到達(dá)終點(diǎn)？早到幾分鐘？

例題精講

【例2】甲、乙兩人同時(shí)從A,B兩地出發(fā)，相對而行，甲每分鐘行

200米，乙每分鐘行160米。兩人在距中點(diǎn)80米處相遇。A,B兩地相距

多少千米？

【點(diǎn)撥分析】由題意可知二人的速度，所以解題關(guān)健是求出同時(shí)

行駛的時(shí)間。本題中的難點(diǎn)是對“在距中點(diǎn)80米處相遇”的理解。

變破點(diǎn)一：”在距中點(diǎn)80米處相遇”，說明較快的甲所行的路程比

一半路程多80米，而乙正好比一半路程少80米，這樣就可知相遇時(shí)甲

比乙多行80X2=160（米）。如圖：

80米

甲，中點(diǎn)L";相遇（乙

中行的路程乙行的路程

突破點(diǎn)二：想象路程差產(chǎn)生的過程，同時(shí)行駛1分鐘，產(chǎn)生1個(gè)速度

差，即200760=40（米），行駛2分鐘，產(chǎn)生2個(gè)速度差…由此得：

速度差X同時(shí)行的時(shí)間=同時(shí)行的路程差

那么根據(jù)同時(shí)行的路程差和速度差就可求出同時(shí)行的時(shí)間。

【答案】

同時(shí)行的時(shí)間：80X2：（200-160）=4（分）

A,B兩地間的距離：（200+160）X4=1440（米）=1.44千米

答：A,B兩地相距1.44千米。

舉一反三

1.甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A,B兩地出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行

63千米，乙車每小時(shí)行57千米，相遇時(shí)甲車比乙車多行24千米。A,B

兩地相距多少千米？

2.甲、乙兩輛卡車同時(shí)從A,B兩地出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行

75千米，乙車每小時(shí)行60千米，兩車在距中點(diǎn)14.4千米處相遇。求

A,B兩地間的距離。

3.一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)從甲、乙兩地相對開出，汽車每小時(shí)

行40千米，摩托車每小時(shí)行65千米。當(dāng)摩托車行到兩地中點(diǎn)處時(shí)，與

汽車還相距75千米。甲、乙兩地相距多少千米？，

y,例題精講

【例3】甲、乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，距離100千米，甲

每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行4千米。甲出發(fā)時(shí)帶著一只狗，狗每小時(shí)

行10千米。這只狗同甲一道出發(fā)，先向前走，碰到乙的時(shí)候，它就掉頭

朝甲這邊走，碰到甲時(shí)又往乙那邊走…直到兩人相遇。這只狗一共走了

多少千米？

【點(diǎn)撥分析】此題主栗考查學(xué)生運(yùn)用行程問題的有關(guān)知識靈活解決

生活中的實(shí)際問題的能力。深刻理解行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系是解題

的關(guān)鍵。行程問題的主要數(shù)量關(guān)系是：路程=速度X時(shí)間。若分段算出狗

走的路程，再求出這些路段的和，是非常困難的。因此，一定要從整體

考慮。構(gòu)總共走的時(shí)間正好是甲、.乙兩人從出發(fā)到相遇的時(shí)間，再乘狗

的速度即可求出狗走的路程。

【答案】

甲、乙兩人相遇所需時(shí)間：100;（6+4）=10（時(shí)）

狗走的總路程：10X10=100（千米）

列綜合算式解答：10X[100：（6+4）]=100（千米）

答：這只狗一共走了100千米。

舉一反三

1.甲、乙、丙三人做健身游戲，甲、乙兩人同時(shí)從相距3900米的

A,B兩地出發(fā)，相向而行，甲每分鐘行60米，乙每分鐘行70米。如果

丙與甲同時(shí)同地出發(fā)，丙每分鐘行80米，當(dāng)丙遇到乙時(shí)立即返回，遇到

甲后又立即迎乙而去，這樣丙不停地在甲、乙兩人之間往返，直到甲、

乙相遇為止。那么請問：丙在甲、乙兩人間行的路程是多少米？（丙的轉(zhuǎn)

身時(shí)間忽略不計(jì)）

2.甲、乙兩人同時(shí)從相距100千米的兩地出發(fā)，相向而行，甲每小

時(shí)行4.8千米，乙每小時(shí)行4.2千米。甲出發(fā)時(shí)帶著一只狗，狗每小時(shí)

行9千米。這只狗與甲同時(shí)出發(fā)后，遇到乙的時(shí)候，立即掉頭向甲跑

去，遇到甲后，又掉頭向乙跑去…直到兩人相距1千米時(shí)，才停止不

跑。這只狗一共跑了多少千米？

3.甲、乙兩個(gè)車隊(duì)同時(shí)從相隔420千米的兩地出發(fā)，相向而行，甲

車隊(duì)每小時(shí)行60千米，乙車隊(duì)每小時(shí)行80千米。一個(gè)人騎摩托車每小

時(shí)行120千米，與兩車隊(duì)同時(shí)出發(fā)，在兩車隊(duì)間往返聯(lián)絡(luò)。問：兩車隊(duì)相

遇時(shí)，摩托車行駛了多少千米？

例題精講

【例4】晚飯后，小明和爸爸沿同一條公路去散步，小明走得慢，每

分鐘走60米，所以他先從家出發(fā)。5分鐘后，爸爸以每分鐘80米的速度

去追小明。爸爸經(jīng)過多少分鐘可以追上小明？

【點(diǎn)撥分析】爸爸栗追上小明，則兩人離開家的距離要相同，也

就是爸爸在從出發(fā)至追上小明這段時(shí)間內(nèi)要比小明多行小明前5分鐘所

走的路程。如下圖。

小明i.....................j__________________?

爸爸?______________________________________________________________i

實(shí)線部分為同時(shí)行走的路程，由此可知相同時(shí)間內(nèi)爸爸比小明多走

了60X5=300（米）。而每分鐘只能多走80-60=20（米），300中有幾

個(gè)20就需要幾分鐘可以追上小明。

【答案】

60X5H-（80-60）=15（分）

答：爸爸經(jīng)過15分鐘可以追上小明。

舉一反三

1.一輛汽車從甲地開出，以每小時(shí)50千米的速度行了2小時(shí)后，一

輛摩托車從甲地開出緊緊追趕，速度為每小時(shí)80千米。摩托車幾小時(shí)后

可追上汽車？

2.小紅從家出發(fā)步行去學(xué)校，每分鐘走60米，走了10分鐘后，爸

爸從家駒?自行車去追小紅，結(jié)果在距家900米的地方追上小紅。爸爸騎

自行車每分鐘行多少米？

3.一條環(huán)形跑道長400米，甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑300

米。兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，至少經(jīng)過多少分鐘乙追上甲？

.例題精講

【例5】甲、乙兩人相距40千米，甲先出發(fā)1.5小時(shí)，乙再出發(fā)，

甲在后乙在前，兩人同向而行，甲的速度為每小時(shí)8千米，乙的速度為

每小時(shí)6千米，甲出發(fā)后幾小時(shí)追上乙？，

【點(diǎn)撥分析】甲、乙兩人原來相距40千米，但由于甲先出發(fā)1.5

小時(shí)，所以乙出發(fā)時(shí)兩人的距離是40-1.5X8=28（千米），遵及距離知

道，兩人的速度差也可以算出來，那么追及時(shí)間就可以算出來了，而算

出來的這個(gè)時(shí)間還不是問題所求，還票加上1.5小時(shí)，才是甲出發(fā)至追

上乙的時(shí)間。

【答案】

40-1.5.X8=28（千米）284-（8-6）=14（時(shí)）14+1.5=15.5（時(shí)）

答：甲出發(fā)后15.5小時(shí)追上乙。

舉一反三

1.摩托車和汽車從相距30千米的甲、，乙兩地同時(shí)同向出發(fā)（汽車在

前），摩托車每小時(shí)行65千米，汽車每小時(shí)行40千米，途中摩托車發(fā)生

故障，修理了半小時(shí)后繼續(xù)前進(jìn)。問：摩托車追上汽車時(shí)，兩車各行了多

少千米？.

2.客、貨兩車從相距120千米的A,B兩地同時(shí)同向出發(fā)（客車在

前），貨車每小時(shí)行75千米，客車每小時(shí)行60千米，途中客車發(fā)生故

障，修理了1小時(shí)后繼續(xù)前進(jìn)。問：貨車追上客車時(shí)，兩車各行了多少千

米？

3.甲站向乙站開出一列快車，速度是每小時(shí)65.5千米，過了1小時(shí)

后，又從甲站開出一列慢車，速度是每小時(shí)58.5千米，當(dāng)快車到達(dá)乙站

時(shí)，慢車離乙站還有104千米。問：甲、乙兩站相距多少千米？

例題精講

【例6】甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A,B兩地相對開出，甲每小時(shí)行75

千米，乙每小時(shí)行65千米。甲、乙兩車第一次相遇后繼續(xù)前進(jìn)，分別到

達(dá)B,A兩地后，立即按原路返回，兩車從出發(fā)到第二次相遇共行了6小

時(shí)。A,B兩地相距多少千米？

【點(diǎn)撥分析】解答此題的關(guān)鍵是能從整體出發(fā)，忽略其具體的行駛

形式。首先，兩車同時(shí)出發(fā)，無論到第幾次相遇，兩車行駛的時(shí)間都相

同，所以兩車行駛的路程和=速度和X同時(shí)行駛的時(shí)間。其次，要弄清

相遇時(shí)所行路程和與兩地距離的關(guān)系。

第一次相遇，很顯然所行路程和就是兩地間的距離。

第二次相遇呢？是兩個(gè)兩地間距離嗎？觀察右圖不難發(fā)甲第一耨遇

A\_____:

現(xiàn)，第二次相遇時(shí)，兩車合起來正好行了3個(gè)全程（每個(gè)車…一

第二次而遇‘

行了一個(gè)全程又一部分）。

另外我們從倍比關(guān)系還可以得到（速度或速度和一定）：

第二次相遇時(shí)的路程和是第一次相遇時(shí)的3倍，第二次相遇時(shí)所用

的時(shí)間也是第一次相遇時(shí)的3倍。

每個(gè)車行的路程中，第二次相遇時(shí)所行路程也是第一次相遇時(shí)所行

路程的3倍。

【答案】

（75+65）X6H-3=280（千米）或（75+65）X（64-3）=280（千

米）

答：A,B兩地相距280千米。

舉一反三

1.甲、乙兩地之間的距離是420千米。兩輛汽車同時(shí)從甲地開往乙

地，第一輛汽車每小時(shí)行42千米，第二輛汽車每小時(shí)行28千米，第一

輛汽車到乙地后立即返回，途中兩車相遇。兩輛車從開出到相遇共用多

少小時(shí)？

2.甲、乙兩名同學(xué)從相距100米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而跑，當(dāng)跑

到對方出發(fā)地后立即返回。甲每秒跑6.5米，乙每秒跑5.5米。經(jīng)多少

秒兩人第二次相遇？

3.李明和王華同時(shí)從A,B兩地出發(fā)，相向而行，在離A地52米處

相遇，相遇后繼續(xù)走，到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后，兩人立即以原來的速度沿原

路返回，又在離A地44米處相遇。求A,B兩地距離。

.例題精講

【例7】有甲、乙、丙三輛汽車，甲車每小時(shí)行駛110km,乙車每小

時(shí)行駛100km,丙車每小時(shí)行駛90km。甲車從A地開往B地，乙車和丙

車從B地開往A地，三車同時(shí)出發(fā)，甲車和乙車相遇后，過了15min又

與丙車相遇，求A,B兩地的距離。

【點(diǎn)撥分析】解決本題，我們可以結(jié)合下圖分析，第一次甲車和乙

車在點(diǎn)C相遇時(shí)，丙車在點(diǎn)D,過了15mm,甲車和丙車再相遇，說明

15min甲車和丙車行駛的路程CD長為(110+90)X工=50(km),CD長

4

電靈第一次相遇時(shí)乙車比丙車多行駛的路程。由此得出第一次甲車與乙

車相遇所用的時(shí)間，進(jìn)而即可得出A,B兩地的距離。

甲丙

乙

AB

CD

【答案】

15nl=三九甲車與乙車相遇時(shí)，甲車與丙車相距的路程：(110+90)X-

44

=50(km)

甲車與乙車相遇用的時(shí)間：50；(100-90)=5(h)

A,B兩地的距離：(110+100)X5=1050(km)

答：A,B兩地相距1050km。

舉一反三

1.甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走55m,乙每分鐘走68m,丙每分

鐘走75m,甲、乙從東村去西村，丙從西村去東村，三人同時(shí)出發(fā)，丙與

乙相遇后，又經(jīng)過2min與甲相遇，求東、西兩村間的路程。

2.在一條公路上，汽車A,B,C分別以每小時(shí)80千米、60千米、

40千米的速度行駛，汽車A從甲站開往乙站，同時(shí)汽車B,C從乙站出發(fā)

與A相向而行開往甲站，途中，車A與車B相遇后又過了2小時(shí)與車C

相遇，甲、乙兩站的距離為多少千米？

3.甲、乙和丙同時(shí)由東、西兩城出發(fā)，甲、乙兩人由東城到西城，

丙由西城到東城，甲步行每小時(shí)走5千米，乙騎自行車每小時(shí)行15千

米，丙也騎自行車每小時(shí)行20千米，已知丙在途中遇到乙后，又經(jīng)過1

小時(shí)才遇到甲，求東、西兩城相距多少千米。

L自我檢測】丁

滿分：100分，時(shí)間：60分鐘

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)（60分）

一■、解決問題。（60分）

1.甲、乙兩地相距56千米，汽車行完全程要1.4小時(shí)，樂樂跑步行

完全程要14小時(shí)。樂樂由甲地出發(fā)，跑步行3.6小時(shí)后改乘汽車，他到

達(dá)乙地共要幾小時(shí)？

2.甲、乙兩城相距340千米，一輛小轎車從甲城開往乙城，每小時(shí)

行52千米，1小時(shí)后，一輛中巴車從乙城開往甲城，每小時(shí)行44千米。

小轎車開出幾小時(shí)后與中巴車相遇？

3.甲、乙兩人同時(shí)從兩地相對出發(fā)，甲騎自行車每小時(shí)行15千米，

乙騎摩托車每小時(shí)行34千米，甲在離出發(fā)地37.5千米處與乙相遇。兩

地相距多少千米？

4.甲、乙兩車同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行83千米,

乙車每小時(shí)行95千米，兩車在距中點(diǎn)24千米處相遇。求兩地間的距

離。

5.甲、乙兩列火車相對行駛，在兩地的中點(diǎn)相遇，甲車每小時(shí)行駛

76千米，相遇時(shí)行了5小時(shí)。乙車每小時(shí)行駛95千米，乙車比甲車遲出

發(fā)了幾小時(shí)？

6.甲、乙二人在一個(gè)長400米的環(huán)形跑道上從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反

向而行，甲每分鐘走45米，乙每分鐘走35米。多少分鐘后兩人第一次

相遇？

7.甲、乙兩車分別從A,B兩城同時(shí)相對開出，7小時(shí)后相遇，然后

又各自向前行駛了2小時(shí)，這時(shí)甲車距B城還有240千米，乙車距A城

還有360千米。A,B兩城相距多少千米？

8.甲、乙兩列火車同時(shí)從相距50.0千米的兩地相對開出，4小時(shí)后

兩車沒有相遇且還相距20千米，已知甲車每小時(shí)行65千米，乙車每小

時(shí)行多少千米？

9.甲、乙兩輛車從相距432千米的兩地同時(shí)相對開出，經(jīng)過6小時(shí)

后在途中相遇，甲車的速度是乙車的g則甲車的速度是多少千米/時(shí)？

10.甲、乙兩車分別從A,B兩地同時(shí)相對開出，，經(jīng)過4小時(shí)，甲車

行駛了全程的80%,乙車超過中點(diǎn)13千米，已知甲車比乙車每小時(shí)多行

駛3千米，A,B兩地相距多少千米？

11.快車和慢車同時(shí)從甲、乙兩地相向開出，快車每小時(shí)行駛40千

米，經(jīng)過3小時(shí)，快車已駛過中點(diǎn)25千米，這時(shí)快車與慢車還相距7千

米，慢車每小時(shí)行駛多少千米？

12.甲、乙、丙三人中，甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每

分鐘走70米。甲、乙兩人從東鎮(zhèn)，丙一人從西鎮(zhèn)同時(shí)相向出發(fā)，丙遇到

乙后又過了2分鐘遇到甲。問：東、西兩鎮(zhèn)相距多少米？

能力創(chuàng)新（40分）

二、想一想，做一做。（40分）

1.A,B兩地相距480千米，甲、乙兩車分別從A,B兩地同時(shí)相對

開出，甲車每小時(shí)行35