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文檔簡介
專題13行程問題與追及問題
■知識梳理
L行程問題
我們把研究速度、路程和時間三者之間關系的問題,稱為行程問題。行程
問題常用的數量關系式:
路程=速度X時間
速度=路程:時間
時間=路程4-速度
2.相遇問題。
兩個人或物體分別從兩地同J±相向出發(fā),按一定的速度,經過一定的時間
相遇。相遇問題的基本關系式是:
路程和三速度和X相遇時間
相遇時間=路程和4-速度和
速度和=路程和相遇時間
[提示]基本的相遇問題具備三個基本條件:①兩人或兩物,②同時出發(fā),
③相向而行。這三個條件是可以交化的,如同時出發(fā)變?yōu)橐幌纫缓蟪霭l(fā),相向
而行變?yōu)楸诚蚨校ㄏ嚯x)等。在解題時可以借助線段圖分析,使復雜的條件
明.朗化,便于解決問題。
3.追及問題。
兩個物體向同一■個方向運動,出發(fā)地點不同(或同一■地點不同時間向同一
方向運動),慢的在前,快的在后,隨著時間的推移,快者離慢者越來越近,最
后追上慢者。我們把這種情況及與其相關的變化問題稱為追及問題。實質上,
從出發(fā)到追上的時間內,快者比慢者多走的路程就是兩人之間的路程差(追及
路程),也就是出發(fā)時兩人之間的距離,它與兩人的速度差和追及時間有下面的
關系式:
路程差=速度差x追及時間
追及時間=路程差一速度差
速度差=路程差;追及時間
[提示]追及問題變化不多,但它常常與其他情況的相遇問題組合在一起,
整合成較復雜的行程問題。在分析思考中,可畫線段圖幫助理解,尋找解題的
突破口。
例題精講
【例1】龜、兔賽跑,龜每分鐘爬25米,兔每分鐘跑325米,全程
1500米。兔自以為能得第一,在途中睡了一覺,結果龜到終點時,兔還
差200米。兔睡了多少分鐘?
【點撥分析】這是一道行程問題,其數量關系是“速度X時間=路
程”。要求三者中的一個條件,就必須去尋找另外兩個條件。已知龜的
路程是1500米,這度是每分鐘25米,那么龜爬的時間是1500925=60
(分)。在這段時間內,兔跑了1500-200=1300(米),又睡了一會,兔
每分鐘跑325米,由此求出兔跑的時間,就可求出它睡的時間。
【答案】15004-25=60(分)
60-(1500-200):325=56(分)
答:兔睡了56分鐘。
舉一反三
1.小狗和小熊賽跑,小狗1分鐘跑了400米后,見小熊落在后面,
它想:反正還差一半路就到達終點了,先玩8分鐘也不遲。于是小狗痛快
地玩起來了,而小熊仍以每分鐘100米的速度往前跑。它倆誰先到達終
點?早到幾分鐘?
2.龜、兔賽跑,全程5.2千米。兔子每小時跑20千米,烏龜每小時
跑3千米。兔子邊跑邊玩,它先跑1分鐘,然后玩15分鐘;再跑2分
鐘,然后玩15分鐘;接著跑3分鐘,然后玩15分鐘…而烏龜卻不停地
跑。那么,先到達終點的比后到達終點的早多少分鐘?
3.獅子和小熊賽跑,獅子1分鐘跑了500米后,見小熊落在后面,
它,想:反正還差一半路就到達終點了,先玩10分鐘也不遲。于是獅子就
跳到路邊的池塘里玩水去了,而小熊仍以每分鐘100米的速度往前跑。
它倆誰先到達終點?早到幾分鐘?
例題精講
【例2】甲、乙兩人同時從A,B兩地出發(fā),相對而行,甲每分鐘行
200米,乙每分鐘行160米。兩人在距中點80米處相遇。A,B兩地相距
多少千米?
【點撥分析】由題意可知二人的速度,所以解題關健是求出同時
行駛的時間。本題中的難點是對“在距中點80米處相遇”的理解。
變破點一:”在距中點80米處相遇”,說明較快的甲所行的路程比
一半路程多80米,而乙正好比一半路程少80米,這樣就可知相遇時甲
比乙多行80X2=160(米)。如圖:
80米
甲,中點L";相遇(乙
中行的路程乙行的路程
突破點二:想象路程差產生的過程,同時行駛1分鐘,產生1個速度
差,即200760=40(米),行駛2分鐘,產生2個速度差…由此得:
速度差X同時行的時間=同時行的路程差
那么根據同時行的路程差和速度差就可求出同時行的時間。
【答案】
同時行的時間:80X2:(200-160)=4(分)
A,B兩地間的距離:(200+160)X4=1440(米)=1.44千米
答:A,B兩地相距1.44千米。
舉一反三
1.甲、乙兩輛汽車同時從A,B兩地出發(fā),相向而行,甲車每小時行
63千米,乙車每小時行57千米,相遇時甲車比乙車多行24千米。A,B
兩地相距多少千米?
2.甲、乙兩輛卡車同時從A,B兩地出發(fā),相向而行,甲車每小時行
75千米,乙車每小時行60千米,兩車在距中點14.4千米處相遇。求
A,B兩地間的距離。
3.一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、乙兩地相對開出,汽車每小時
行40千米,摩托車每小時行65千米。當摩托車行到兩地中點處時,與
汽車還相距75千米。甲、乙兩地相距多少千米?,
y,例題精講
【例3】甲、乙兩人同時從兩地出發(fā),相向而行,距離100千米,甲
每小時行6千米,乙每小時行4千米。甲出發(fā)時帶著一只狗,狗每小時
行10千米。這只狗同甲一道出發(fā),先向前走,碰到乙的時候,它就掉頭
朝甲這邊走,碰到甲時又往乙那邊走…直到兩人相遇。這只狗一共走了
多少千米?
【點撥分析】此題主栗考查學生運用行程問題的有關知識靈活解決
生活中的實際問題的能力。深刻理解行程問題中的基本數量關系是解題
的關鍵。行程問題的主要數量關系是:路程=速度X時間。若分段算出狗
走的路程,再求出這些路段的和,是非常困難的。因此,一定要從整體
考慮。構總共走的時間正好是甲、.乙兩人從出發(fā)到相遇的時間,再乘狗
的速度即可求出狗走的路程。
【答案】
甲、乙兩人相遇所需時間:100;(6+4)=10(時)
狗走的總路程:10X10=100(千米)
列綜合算式解答:10X[100:(6+4)]=100(千米)
答:這只狗一共走了100千米。
舉一反三
1.甲、乙、丙三人做健身游戲,甲、乙兩人同時從相距3900米的
A,B兩地出發(fā),相向而行,甲每分鐘行60米,乙每分鐘行70米。如果
丙與甲同時同地出發(fā),丙每分鐘行80米,當丙遇到乙時立即返回,遇到
甲后又立即迎乙而去,這樣丙不停地在甲、乙兩人之間往返,直到甲、
乙相遇為止。那么請問:丙在甲、乙兩人間行的路程是多少米?(丙的轉
身時間忽略不計)
2.甲、乙兩人同時從相距100千米的兩地出發(fā),相向而行,甲每小
時行4.8千米,乙每小時行4.2千米。甲出發(fā)時帶著一只狗,狗每小時
行9千米。這只狗與甲同時出發(fā)后,遇到乙的時候,立即掉頭向甲跑
去,遇到甲后,又掉頭向乙跑去…直到兩人相距1千米時,才停止不
跑。這只狗一共跑了多少千米?
3.甲、乙兩個車隊同時從相隔420千米的兩地出發(fā),相向而行,甲
車隊每小時行60千米,乙車隊每小時行80千米。一個人騎摩托車每小
時行120千米,與兩車隊同時出發(fā),在兩車隊間往返聯(lián)絡。問:兩車隊相
遇時,摩托車行駛了多少千米?
例題精講
【例4】晚飯后,小明和爸爸沿同一條公路去散步,小明走得慢,每
分鐘走60米,所以他先從家出發(fā)。5分鐘后,爸爸以每分鐘80米的速度
去追小明。爸爸經過多少分鐘可以追上小明?
【點撥分析】爸爸栗追上小明,則兩人離開家的距離要相同,也
就是爸爸在從出發(fā)至追上小明這段時間內要比小明多行小明前5分鐘所
走的路程。如下圖。
小明i.....................j__________________?
爸爸?______________________________________________________________i
實線部分為同時行走的路程,由此可知相同時間內爸爸比小明多走
了60X5=300(米)。而每分鐘只能多走80-60=20(米),300中有幾
個20就需要幾分鐘可以追上小明。
【答案】
60X5H-(80-60)=15(分)
答:爸爸經過15分鐘可以追上小明。
舉一反三
1.一輛汽車從甲地開出,以每小時50千米的速度行了2小時后,一
輛摩托車從甲地開出緊緊追趕,速度為每小時80千米。摩托車幾小時后
可追上汽車?
2.小紅從家出發(fā)步行去學校,每分鐘走60米,走了10分鐘后,爸
爸從家駒?自行車去追小紅,結果在距家900米的地方追上小紅。爸爸騎
自行車每分鐘行多少米?
3.一條環(huán)形跑道長400米,甲每分鐘跑250米,乙每分鐘跑300
米。兩人同時同地同向出發(fā),至少經過多少分鐘乙追上甲?
.例題精講
【例5】甲、乙兩人相距40千米,甲先出發(fā)1.5小時,乙再出發(fā),
甲在后乙在前,兩人同向而行,甲的速度為每小時8千米,乙的速度為
每小時6千米,甲出發(fā)后幾小時追上乙?,
【點撥分析】甲、乙兩人原來相距40千米,但由于甲先出發(fā)1.5
小時,所以乙出發(fā)時兩人的距離是40-1.5X8=28(千米),遵及距離知
道,兩人的速度差也可以算出來,那么追及時間就可以算出來了,而算
出來的這個時間還不是問題所求,還票加上1.5小時,才是甲出發(fā)至追
上乙的時間。
【答案】
40-1.5.X8=28(千米)284-(8-6)=14(時)14+1.5=15.5(時)
答:甲出發(fā)后15.5小時追上乙。
舉一反三
1.摩托車和汽車從相距30千米的甲、,乙兩地同時同向出發(fā)(汽車在
前),摩托車每小時行65千米,汽車每小時行40千米,途中摩托車發(fā)生
故障,修理了半小時后繼續(xù)前進。問:摩托車追上汽車時,兩車各行了多
少千米?.
2.客、貨兩車從相距120千米的A,B兩地同時同向出發(fā)(客車在
前),貨車每小時行75千米,客車每小時行60千米,途中客車發(fā)生故
障,修理了1小時后繼續(xù)前進。問:貨車追上客車時,兩車各行了多少千
米?
3.甲站向乙站開出一列快車,速度是每小時65.5千米,過了1小時
后,又從甲站開出一列慢車,速度是每小時58.5千米,當快車到達乙站
時,慢車離乙站還有104千米。問:甲、乙兩站相距多少千米?
例題精講
【例6】甲、乙兩輛汽車同時從A,B兩地相對開出,甲每小時行75
千米,乙每小時行65千米。甲、乙兩車第一次相遇后繼續(xù)前進,分別到
達B,A兩地后,立即按原路返回,兩車從出發(fā)到第二次相遇共行了6小
時。A,B兩地相距多少千米?
【點撥分析】解答此題的關鍵是能從整體出發(fā),忽略其具體的行駛
形式。首先,兩車同時出發(fā),無論到第幾次相遇,兩車行駛的時間都相
同,所以兩車行駛的路程和=速度和X同時行駛的時間。其次,要弄清
相遇時所行路程和與兩地距離的關系。
第一次相遇,很顯然所行路程和就是兩地間的距離。
第二次相遇呢?是兩個兩地間距離嗎?觀察右圖不難發(fā)甲第一耨遇
A\_____:
現(xiàn),第二次相遇時,兩車合起來正好行了3個全程(每個車…一
第二次而遇‘
行了一個全程又一部分)。
另外我們從倍比關系還可以得到(速度或速度和一定):
第二次相遇時的路程和是第一次相遇時的3倍,第二次相遇時所用
的時間也是第一次相遇時的3倍。
每個車行的路程中,第二次相遇時所行路程也是第一次相遇時所行
路程的3倍。
【答案】
(75+65)X6H-3=280(千米)或(75+65)X(64-3)=280(千
米)
答:A,B兩地相距280千米。
舉一反三
1.甲、乙兩地之間的距離是420千米。兩輛汽車同時從甲地開往乙
地,第一輛汽車每小時行42千米,第二輛汽車每小時行28千米,第一
輛汽車到乙地后立即返回,途中兩車相遇。兩輛車從開出到相遇共用多
少小時?
2.甲、乙兩名同學從相距100米的兩地同時出發(fā),相向而跑,當跑
到對方出發(fā)地后立即返回。甲每秒跑6.5米,乙每秒跑5.5米。經多少
秒兩人第二次相遇?
3.李明和王華同時從A,B兩地出發(fā),相向而行,在離A地52米處
相遇,相遇后繼續(xù)走,到達對方出發(fā)點后,兩人立即以原來的速度沿原
路返回,又在離A地44米處相遇。求A,B兩地距離。
.例題精講
【例7】有甲、乙、丙三輛汽車,甲車每小時行駛110km,乙車每小
時行駛100km,丙車每小時行駛90km。甲車從A地開往B地,乙車和丙
車從B地開往A地,三車同時出發(fā),甲車和乙車相遇后,過了15min又
與丙車相遇,求A,B兩地的距離。
【點撥分析】解決本題,我們可以結合下圖分析,第一次甲車和乙
車在點C相遇時,丙車在點D,過了15mm,甲車和丙車再相遇,說明
15min甲車和丙車行駛的路程CD長為(110+90)X工=50(km),CD長
4
電靈第一次相遇時乙車比丙車多行駛的路程。由此得出第一次甲車與乙
車相遇所用的時間,進而即可得出A,B兩地的距離。
甲丙
乙
AB
CD
【答案】
15nl=三九甲車與乙車相遇時,甲車與丙車相距的路程:(110+90)X-
44
=50(km)
甲車與乙車相遇用的時間:50;(100-90)=5(h)
A,B兩地的距離:(110+100)X5=1050(km)
答:A,B兩地相距1050km。
舉一反三
1.甲、乙、丙三人行路,甲每分鐘走55m,乙每分鐘走68m,丙每分
鐘走75m,甲、乙從東村去西村,丙從西村去東村,三人同時出發(fā),丙與
乙相遇后,又經過2min與甲相遇,求東、西兩村間的路程。
2.在一條公路上,汽車A,B,C分別以每小時80千米、60千米、
40千米的速度行駛,汽車A從甲站開往乙站,同時汽車B,C從乙站出發(fā)
與A相向而行開往甲站,途中,車A與車B相遇后又過了2小時與車C
相遇,甲、乙兩站的距離為多少千米?
3.甲、乙和丙同時由東、西兩城出發(fā),甲、乙兩人由東城到西城,
丙由西城到東城,甲步行每小時走5千米,乙騎自行車每小時行15千
米,丙也騎自行車每小時行20千米,已知丙在途中遇到乙后,又經過1
小時才遇到甲,求東、西兩城相距多少千米。
L自我檢測】丁
滿分:100分,時間:60分鐘
基礎達標(60分)
一■、解決問題。(60分)
1.甲、乙兩地相距56千米,汽車行完全程要1.4小時,樂樂跑步行
完全程要14小時。樂樂由甲地出發(fā),跑步行3.6小時后改乘汽車,他到
達乙地共要幾小時?
2.甲、乙兩城相距340千米,一輛小轎車從甲城開往乙城,每小時
行52千米,1小時后,一輛中巴車從乙城開往甲城,每小時行44千米。
小轎車開出幾小時后與中巴車相遇?
3.甲、乙兩人同時從兩地相對出發(fā),甲騎自行車每小時行15千米,
乙騎摩托車每小時行34千米,甲在離出發(fā)地37.5千米處與乙相遇。兩
地相距多少千米?
4.甲、乙兩車同時從兩地出發(fā),相向而行,甲車每小時行83千米,
乙車每小時行95千米,兩車在距中點24千米處相遇。求兩地間的距
離。
5.甲、乙兩列火車相對行駛,在兩地的中點相遇,甲車每小時行駛
76千米,相遇時行了5小時。乙車每小時行駛95千米,乙車比甲車遲出
發(fā)了幾小時?
6.甲、乙二人在一個長400米的環(huán)形跑道上從同一點同時出發(fā),反
向而行,甲每分鐘走45米,乙每分鐘走35米。多少分鐘后兩人第一次
相遇?
7.甲、乙兩車分別從A,B兩城同時相對開出,7小時后相遇,然后
又各自向前行駛了2小時,這時甲車距B城還有240千米,乙車距A城
還有360千米。A,B兩城相距多少千米?
8.甲、乙兩列火車同時從相距50.0千米的兩地相對開出,4小時后
兩車沒有相遇且還相距20千米,已知甲車每小時行65千米,乙車每小
時行多少千米?
9.甲、乙兩輛車從相距432千米的兩地同時相對開出,經過6小時
后在途中相遇,甲車的速度是乙車的g則甲車的速度是多少千米/時?
10.甲、乙兩車分別從A,B兩地同時相對開出,,經過4小時,甲車
行駛了全程的80%,乙車超過中點13千米,已知甲車比乙車每小時多行
駛3千米,A,B兩地相距多少千米?
11.快車和慢車同時從甲、乙兩地相向開出,快車每小時行駛40千
米,經過3小時,快車已駛過中點25千米,這時快車與慢車還相距7千
米,慢車每小時行駛多少千米?
12.甲、乙、丙三人中,甲每分鐘走50米,乙每分鐘走60米,丙每
分鐘走70米。甲、乙兩人從東鎮(zhèn),丙一人從西鎮(zhèn)同時相向出發(fā),丙遇到
乙后又過了2分鐘遇到甲。問:東、西兩鎮(zhèn)相距多少米?
能力創(chuàng)新(40分)
二、想一想,做一做。(40分)
1.A,B兩地相距480千米,甲、乙兩車分別從A,B兩地同時相對
開出,甲車每小時行35
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