立體幾何（30題）-2024年考前15天高考數(shù)學(xué)大題沖刺訓(xùn)練（新高考）含答案

沖刺大題03立體幾何

1.（2024?黑龍江?二模）如圖，已知正三棱柱/3C-4BG的側(cè)棱長和底面邊長均為2,M是2C的中點(diǎn)，N

是/耳的中點(diǎn)，尸是4G的中點(diǎn).

（1）證明："N〃平面&CP；

（2）求點(diǎn)P到直線MN的距離.

2.（2024?安徽合肥?二模）如圖，在四棱錐尸-N3CD中，底面23。是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,M

是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，側(cè)面P4D為正三角形，側(cè)面尸40,底面48QX

⑴求三棱錐的體積；

（2）求AM與平面PBC所成角的正弦值.

3.（2023?福建福州?模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱NBC-44G中，平面平面

ABC,AB=AC=BC-AAi=2,A1B=娓.

AB

(I)設(shè)。為“c中點(diǎn)，證明：ZC，平面

(2)求平面4/4與平面ZCQ4夾角的余弦值.

4.(2024?山西晉中?三模)如圖，在六面體/BCDE中，BC=BDf,ECLED,且EC=ED=4i,AB

平行于平面COE,NE平行于平面3CO,AELCD.

(1)證明：平面二平面CDE；

(2)若點(diǎn)A到直線CD的距離為2近，尸為棱/E的中點(diǎn)，求平面8。廠與平面BCD夾角的余弦值.

5.(2024?遼寧?二模)棱長均為2的斜三棱柱NBC-/4G中，4在平面48c內(nèi)的射影。在棱/C的中點(diǎn)

處，尸為棱44(包含端點(diǎn))上的動點(diǎn).

⑴求點(diǎn)P到平面N8G的距離；

(2)若/P1平面a,求直線BCt與平面a所成角的正弦值的取值范圍.

6.(2024?重慶?模擬預(yù)測)在如圖所示的四棱錐P-/8CD中，已知48〃CD,ZBAD=90°,CD=2AB,

AP/3是正三角形，點(diǎn)M在側(cè)棱尸3上且使得尸￡>〃平面/MC.

(1)證明：PM=2BM；

(2)若側(cè)面尸底面/BCD,CM與底面/BCD所成角的正切值為H，求二面角的余弦值.

7.(2024?安徽?模擬2023年12月19日至20日，中央農(nóng)村工作會議在北京召開，習(xí)近平主席對“三

農(nóng)”工作作出指示某地區(qū)為響應(yīng)習(xí)近平主席的號召，積極發(fā)展特色農(nóng)業(yè)，建設(shè)蔬菜大棚.如圖所示的七面

體ABG-C。瓦不是一個放置在地面上的蔬菜大棚鋼架，四邊形ABCD是矩形，^5=8m,AD=4m,

ED=CF=\m,且￡Z>,C/都垂直于平面/BCD,GA=GB=5m,HE=HF,平面/8G_L平面/BCD

⑴求點(diǎn)〃到平面ABCD的距離；

(2)求平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值.

8.(2024?重慶?模擬預(yù)測)如圖，4CDE為菱形,AC=BC=2,ZACB=120°,平面/CDK，平面/2C,

點(diǎn)廠在上，且4F=2E8,M,N分別在直線CD,4B上.

⑴求證：CF1平面/CDE；

(2)把與兩條異面直線都垂直且相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，若NENC=60。，MN為直線CD,

45的公垂線，求A名N的值；

AF

(3)記直線3E與平面/3C所成角為a,若tana>叵，求平面與平面CED所成角余弦值的范圍.

7

9.(2024?安徽?二模)將正方形Z3C。繞直線逆時針旋轉(zhuǎn)90°,使得。。到￡尸的位置，得到如圖所示的

幾何體.

(1)求證：平面NCF_L平面ADE；

⑵點(diǎn)“為而上一點(diǎn)，若二面角的余弦值為:，求

10.(2024?安徽黃山?二模)如圖，已知42為圓臺下底面圓。的直徑，C是圓。上異于43的點(diǎn)，。是圓

臺上底面圓Q上的點(diǎn)，且平面。/C，平面48C,DA=DC=AC=2,BC=4,￡是CD的中點(diǎn),

(2)求直線DB與平面AEF所成角的正弦值.

11.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)正四棱臺/3CO-44CA的下底面邊長為2及，M為BC

中點(diǎn)，已知點(diǎn)戶滿足后=(1-2)益+g九通+2麴，其中Xe(O,l).

32

⑵己知平面加媽與平面/3CD所成角的余弦值為當(dāng)2=§時，求直線DP與平面/"G所成角的正弦

值.

12.（2024?遼寧?三模）如圖，在三棱柱/3C-48cl中，fflMACC.A,1ABC,AC=AA,=2,

/8=1,8C=G，點(diǎn)￡為線段NC的中點(diǎn).

⑴求證：/呂〃平面2EG;

(2)若求二面角/-BE-G的余弦值.

13.(2024?廣東廣州?一模)如圖，在四棱錐尸中，底面/BCD是邊長為2的菱形，ADCP是等邊三

7T

角形，NDCB=NPCB「，點(diǎn)、M,N分別為。尸和的中點(diǎn).

4

(1)求證：網(wǎng)//平面尸比3；

(2)求證：平面P8C」平面48CD；

(3)求CM與平面PAD所成角的正弦值.

14.(2024?廣東梅州?二模)如圖，在四棱錐尸-中，平面尸平面/BCD,底面N8CD為直角梯

形，為等邊三角形，ADHBC,AD±AB,AD=AB=2BC=2.

⑵點(diǎn)N在棱尸C上運(yùn)動，求面積的最小值；

⑶點(diǎn)〃為必的中點(diǎn)，在棱尸C上找一點(diǎn)0,使得,〃平面求黑的值.

2c

15.Q024?廣東廣州?模擬預(yù)測)如圖所示，圓臺。。2的軸截面4"G為等腰梯形，"=244]=2/?=4,8

為底面圓周上異于4c的點(diǎn)，且NB=8C,尸是線段BC的中點(diǎn).

⑴求證：GP//平面N/3.

(2)求平面AtAB與平面CgB夾角的余弦值.

16.(2024?廣東深圳?二模)如圖，三棱柱NBC-/4c中，側(cè)面底面N8C,且N8=/C,

4B=4c.

⑴證明：平面/8C；

(2)若冽=8C=2,ZBAC=90°,求平面48c與平面4&C］夾角的余弦值.

17.(2024?河北保定?二模)如圖，在四棱錐尸-4BCD中，平面PCD內(nèi)存在一條直線EF與AB平行，PAL

平面A8CD,直線PC與平面N8CD所成的角的正切值為"，PA=BC=2^,CD=2AB=4.

2

DC

(1)證明：四邊形25CD是直角梯形.

(2)若點(diǎn)E滿足詼=2麗，求二面角尸-E尸-8的正弦值.

18.(2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測)如圖，在圓錐尸。中，尸是圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面圓的圓心，/C是圓

錐底面圓的直徑，等邊三角形是圓錐底面圓。的內(nèi)接三角形，E是圓錐母線尸C的中點(diǎn)，

PO=6,AC=4.

(1)求證：平面加2_L平面/BO；

(2)設(shè)點(diǎn)”在線段尸。上，且(W=2,求直線DW與平面ABE所成角的正弦值.

19.2024?湖南岳陽?三模)己知四棱錐P-ABC。的底面A8C。是邊長為4的菱形，ZDAB=60°,PA=PC,

PB=PD=2屈,又是線段尸C上的點(diǎn)，且定=4標(biāo).

(1)證明：PC_L平面8ZW；

(2)點(diǎn)E在直線DM1.,求BE與平面ABCD所成角的最大值.

20.(2024?湖南?二模)如圖，直四棱柱/5CD-&8GA的底面是邊長為2的菱形，=60。,82，平

面4G。

⑴求四棱柱/BCD-44GA的體積；

(2)設(shè)點(diǎn)D｝關(guān)于平面4G。的對稱點(diǎn)為E,點(diǎn)E和點(diǎn)G關(guān)于平面a對稱(E和口未在圖中標(biāo)出)，求平面4ao

與平面a所成銳二面角的大小.

21.(2024?山東濟(jì)南?二模)如圖，在四棱錐P-/3C。中，四邊形/BCD為直角梯形，ABWCD,

ZDAB=ZPCB=60°,CD=1,AB=3,PC=2y5,平面尸CBJ_平面A8CD,尸為線段BC的中點(diǎn)，E為線段PF

⑵當(dāng)EF為何值時，直線BE與平面PAD夾角的正弦值為日.

22.(2024?山東濰坊?二模)如圖1,在平行四邊形/BCD中，AB=2BC=4,AABC=60°,E為CD的中

點(diǎn)，將V4DE沿/E折起，連結(jié)AD,CD,且5。=4,如圖2.

(1)求證：圖2中的平面NOE_L平面48CE；

(2)在圖2中，若點(diǎn)尸在棱3。上，直線詼與平面/8CE所成的角的正弦值為回，求點(diǎn)尸到平面OEC的

10

距離.

23.(2024,福建?模擬預(yù)測)如圖，在三棱錐尸-48c中，PA工PB,4B工BC,AB=3,BC=&,已知二面角

(1)求點(diǎn)P到平面ABC的距離；

(2)當(dāng)三棱錐尸-/8C的體積取得最大值時，求:

(I)二面角尸-AB-C的余弦值；

(II)直線尸C與平面P/8所成角.

24.(2024?浙江杭州?二模)如圖，在多面體N2CDP。中，底面NBCD是平行四邊形,

NDAB=60°,BC=2PQ=4AB=4,M為8C的中點(diǎn)，尸0〃BC,PDLDC,QBYMD.

⑴證明：480=90。；

(2)若多面體ABCDPQ的體積為g,求平面PCD與平面Q4B夾角的余弦值.

25.(2024?浙江嘉興?二模)在如圖所示的幾何體中，四邊形23CZ)為平行四邊形，尸/，平面尸/〃

QD,BC=2AB=2PA=2,NABC=60°.

(1)證明：平面PC0_L平面P/C；

(2)若PQ=2亞,求平面PC。與平面DCQ夾角的余弦值.

26.(2024?浙江紹興?二模)如圖，在三棱錐尸-N8C中，AB=4,AC=2,ZCAB=60°,BCLAP.

(1)證明：平面/CP_L平面28C；

(2)若P/=2,PB=4,求二面角尸-AB-C的平面角的正切值.

27.(2024?河北滄州?一模)如圖，在正三棱錐中，2C==5。=4,點(diǎn)尸滿足方=幾就,

2e(0,l),過點(diǎn)尸作平面a分別與棱4B,BD,CD交于0,S,T三點(diǎn)，且BCHa.

(1)證明：V2e(0,l),四邊形尸0ST總是矩形；

(2)若NC=4,求四棱錐C-PQST體積的最大值.

28.(2024?湖北?二模)如圖1.在菱形/BCD中，ZABC=120°,AB=4,AE=AAD,

AF=AAB(0<2<1),沿E尸將△4EF向上折起得到棱錐尸-2a如圖2所示，設(shè)二面角夕-￡尸-2的

平面角為0.

圖1

9

(1)當(dāng)％為何值時,三棱錐P-BCD和四棱錐P-BDEF的體積之比為《？

(2)當(dāng)。為何值時，V2e(0,l),平面PEF與平面PEB的夾角。的余弦值為當(dāng)？

29.(2024?湖北?模擬預(yù)測)空間中有一個平面1和兩條直線"?，〃，其中加，"與1的交點(diǎn)分別為N,B,

(1)如圖1,若直線加，a交于點(diǎn)C,求點(diǎn)C到平面a距離的最大值；

(2)如圖2,若直線〃?，〃互為異面直線，直線〃?上一點(diǎn)尸和直線〃上一點(diǎn)0滿足尸。尸。;且

PQ-Lm,

(i)求直線加，〃與平面。的夾角之和；

(ii)設(shè)PQ=d(0<d<l),求點(diǎn)P到平面口距離的最大值關(guān)于d的函數(shù)/⑷.

30.(2024?浙江紹興?模擬預(yù)測)如圖所示，四棱臺/BCD-4耳?！?，底面48。為一個菱形，且

2240=120°.底面與頂面的對角線交點(diǎn)分別為。，4B=2A、B]=2,BB.=DD.=—,與底面夾

2

角余弦值為亙.

37

(1)證明：。。1，平面/BCD；

(2)現(xiàn)將頂面繞。Q旋轉(zhuǎn)。角，旋轉(zhuǎn)方向為自上而下看的逆時針方向.此時使得底面與。G的夾角正弦值為

嚕，此時求。的值(0<90°)；

⑶求旋轉(zhuǎn)后M與24的夾角余弦值.

沖刺大題03立體幾何

1.(2024?黑龍江?二模)如圖，已知正三棱柱43C-44G的側(cè)棱長和底面邊長均為2,M是2C的中點(diǎn)，N

是/耳的中點(diǎn)，尸是4G的中點(diǎn).

/fi

r1

.v\X\

\\I

ti

(1)證明：血w〃平面4cp；

(2)求點(diǎn)P到直線MN的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵6

【分析】(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系/一中z,設(shè)平面4"的一個法向量為7=(x,y,z),利用空間向量法

證明而不=0即可；

(2)利用空間向量法即可求解點(diǎn)線距.

【詳解】(1)由題意知，44]，平面28C，NA4c=60°,而4Bu平面/3C,

所以在平面43C內(nèi)過點(diǎn)/作y軸，使得4B1y軸，

建立如圖空間直角坐標(biāo)系/-個，

貝I]/(0,0,0),8(2,0,0),C(1,G,0),4(0,0,2),片(2,0,2),得嗎.,0),以1,0,1)嗎乎,2),

所以4c=2)，4尸=(―-^-,1),

設(shè)平面4cp的一個法向量為7=(x,%z),

n?AXC=x+y/3y-2z=0

則令X=1得歹=-6,2=-1,所以〃二(1,-6,T),

n-A^P=-x+—y=O

122'

所以而7=-gxl+(-￥)x(-G)+lx(-l)=O,又MV不在平面4cp內(nèi)

即MN〃平面4。尸；

(2)如圖，連接PM,由(1)得兩=(0,0,-2),

則而.麗=-2,|疝卜也萬同=2,

I-|2MN,PM■>/―

(

J「M-[PM\)

2.(2024?安徽合肥?二模)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面23。是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,M

是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，側(cè)面尸4D為正三角形，側(cè)面尸4DL底面N8CD.

(1)求三棱錐M-4BC的體積；

(2)求AM與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(錯

⑵空.

【分析】(1)作出輔助線，得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，由中位線得到初到平面/3C。的距離為

,進(jìn)而由錐體體積公式求出答案;

2

(2)證明出8。，/。，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而由法向量的夾角余弦值的絕對值求

出線面角的正弦值.

【詳解】(1)如圖所示，取40的中點(diǎn)。，連接尸O.

因為是正三角形，所以

又因為平面底面平面尸4D,平面尸40c平面/BCD=40,

所以尸平面48CD,且尸O=JL

又因為M是尸C的中點(diǎn)，M到平面45。的距離為"，

2

Gc=；x2x2xsi吟=道,

所以三棱錐M-/8C的體積為=L

322

TT

(2)連接8。,8。，因為=

所以△A8Z)為等邊三角形，所以

以。為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸(0,0,6),/(1,0,0),8(0,6,0)，4-2,也,0),

、

所以,AM=一2萬萬,PB=(0,V3,-V3),SC=(-2,0,0).

77

設(shè)平面PBC的法向量為方=(x,%z),

PB-n=O，二卜，解得

則_,即

BC-n=O

所以為=（0,1,1）.

設(shè)/〃與平面P8C所成角為。,

即AM與平面尸8c所成角的正弦值為疸.

11

3.（2023?福建福州?模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱NBC-44G中，平面平面

ABC,AB=AC=BC=AAX=2,A、B=&.

（1）設(shè)。為/C中點(diǎn)，證明：/C,平面4。8；

（2）求平面4陽與平面/CG4夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析;

⑵手

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出助，NC,根據(jù)平面平面/3C得出3。1平面NCG4,

BD1AXD,利用勾股定理得出NCJL/Q,從而證明/C,平面4。8；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出平面4,用的法向量和平面NCQ4的一個法向量，利

用向量求平面與平面NCJ4的夾角余弦值.

【詳解】（1）證明：因為。為"C中點(diǎn)，S.AB=AC=BC=2,

所以在“BC中，有ADL/C,且8。=6，

又平面/CC/，平面4BC,且平面/CG4n平面N8C=NC,ADu平面/8C,

所以8。工平面NCG4,

又AtDu平面ACCtAt,則BD1AXD,

由43=&，BD=#>,得4。=6,

因為/。=1,皿=2,4。=百，所以由勾股定理，得NC，4。，

又AC，BD,Afi^BD=D,AtD,BDcAfiB,所以/CL平面4。8；

（2）如圖所示，以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。一中z,

可得4（1,0,0）,4（0,0,石）,3（0,瓜0）,

則力;=（-l,0,V3）,A8=（-1,73,0）,

設(shè)平面4,用的法向量為力=（x/,z）,

n-AAX=-x+A/3Z=0

由，令x=VJ,得y=i,z=1,

n-AB=-x+s/3y=0

所以為=（石,1,1）,

由（1）知，AD）平面NCG4,

所以平面NCG4的一個法向量為而=（0,-6,0）,

記平面4/月與平面/CG4的夾角為1,

,\n-BD\V3V5

則ncosa==—j=—產(chǎn)=——

\n\\BD\百x百5

所以平面AXABX與平面ACQA,夾角的余弦值為與.

4.（2024?山西晉中?三模）如圖，在六面體ABCDE中，BC=BD=瓜,ECA.ED,且EC=ED=逝,AB

平行于平面CDE,4E平行于平面BCD,AELCD.

(1)證明：平面4BE2平面CDE；

(2)若點(diǎn)A到直線CD的距離為2亞，尸為棱/￡的中點(diǎn)，求平面以才'與平面BCD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

加305

35

【分析】(1)設(shè)平面/BE與直線CD交于點(diǎn)"，使用線面平行的性質(zhì)，然后用面面垂直的判定定理即可；

(2)證明BE,平面CDE,然后構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，直接用空間向量方法即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)平面/3E與直線CD交于點(diǎn)"，連接則平面/BE與平面CDE的交線為ME,平

面Z8E與平面BCD的交線為MB,因為48平行于平面CDE,48u平面4BE,平面4BE和平面CDE的交

線為ME,所以同理所以四邊形N8ME是平行四邊形，故AB//ME.

因為CDL/E,AE\\MB,所以又BC=BD=4i>,所以〃"為棱C。的中點(diǎn)

在ACDE中，EC=ED,MC=MD,所以CALVE,由于48〃〃石，故C￡)_L/8.

而CD1,/E,AB[}AE=A,u平面/BE,所以CD_L平面/BE,

又CDu平面CDE,所以平面48E■工平面CDE.

(2)由(1)可知，CD_L平面48ME,又/Mu平面48affi1,所以CAJLNM.

而點(diǎn)A到直線CD的距離為2a,故AM=2亞.

在等腰直角三角形CDE中，由EC=ED=拒，得CD=2,MC=MD=ME=1.

在等腰三角形BCD中，由MC=〃D=1,BC=BD=瓜,得BM=#.

在平行四邊形4BME■中，AE=BM=5AB=EM=1,AM=242,

由余弦定理得cosNMEA=EM'AE,-AM。=一直，

2EM-AE5

所以cosNBME=—,所以=^BM2+EM2-IBM-EMcosZBME=2.

因為BEZ+ME?=2?+/=（行『=即〃，所以

因為平面48ME_L平面CZ）E,平面4BME和平面CDE的交線為ME,BE在平面4BME內(nèi).

所以2E_L平面CDE.

如圖，以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，反，而，礪分別為x,八z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

（'五B、（石石’

則￡（0,0,0）,（7（&,0,0）,_0（0,后,0）,8（0,0,2）,/——,——,2,F——,——,1

所以麗=卜友,后,0）,麗=（0,-后,2）4Md

/、m-CD=0

設(shè)平面BCD的法向量為機(jī)=（再,必,21）,貝卜—.

m-DB=0

則可取石=2,得而二伍2,后）.

n-FB=0

設(shè)平面AD廠的法向量為元=（%2，%/2）,貝卜一，即良+”=。

元,DB=0

-+2z2—0

取Z2=l,貝I］萬=（一3五，啦,1）.

設(shè)平面加尸與平面3。的夾角為凡則3"扁\m-n\=I_3V2I=4<To

所以平面BDF與平面BCD夾角的余弦值為什?.

35

5.（2024?遼寧?二模）棱長均為2的斜三棱柱/3C-/4G中，4在平面/3C內(nèi)的射影。在棱NC的中點(diǎn)

處，尸為棱4片（包含端點(diǎn)）上的動點(diǎn).

B

（1）求點(diǎn)尸到平面/2G的距離；

（2）若4P1平面c,求直線8G與平面1所成角的正弦值的取值范圍.

【答案】（1）誓；

⑵[|,用

【分析】（1）以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4BG的法向量，再利用點(diǎn)到平面距離的向量求法

求解即得.

（2）由向量共線求出向量靜的坐標(biāo)，再利用線面角的向量求法列出函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)的值域即可.

【詳解】（1）依題意，4。，平面4BC,08L/C（底面為正三角形），且4。=。8=百，

以。為原點(diǎn)，礪，云，西的方向分別為x/,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則0(0,0,0),/(0,-1,0),B(&0,0),C(0,l,0),4(0,o,G),G(0,2,6),

=(0,3,V3),西=(-e,2,可而=(0,1,后,

由4g///5,451a平面45G，平面45G，貝1]4片〃平面45G，

即點(diǎn)P到平面ABC]的距離等于點(diǎn)4到平面45a的距離，

力?布=3歹+任=0

設(shè)?=(x,y,z)為平面ABC1的一個法向量,取z=3,得〃=

n?BC、=-#>x+2y+gz=0

,,./云IT*,,___7IAA,?nI2A/32V39

因此點(diǎn)4到平面ABC.的n距i禺d=!士?=-r==-—

InI71313

所以點(diǎn)尸到平面/2G的距離為轡.

(2)設(shè)=葩，2e[0,l],

則方=9+常=可+幾刀=(0,1,6)+/1(6,1,0)=(&,1+2,6),

由4P_L(z,得萬為平面&的一個法向量，設(shè)直線Bq與平面a所成角為巴

\BC-AP\15Tl5-2

則sin0=|cos〈BC[,AP)\=t

\BCJAP\Vi0-7322+(l+A)2+3245-yj2A2+A+2

令/=5-2,貝!J2=5-f,fe[4,5],

則26j2(5-)2+(5_)+226j2*21/+57+2同571&+京

由閆4,5］,得卜導(dǎo)，于是57(；一0+和1Q，2后，571g+巨［駕3,則

sin61e［|,乎］，

所以直線8G與平面。所成角的正弦值的取值范圍是［|,乎］.

6.(2024?重慶?模擬預(yù)測)在如圖所示的四棱錐尸-48。中，已知48〃CD,ABAD=90°,CD=2AB,

△PAB是正三角形，點(diǎn)M在側(cè)棱PB上且使得尸D//平面AMC.

(1)證明：PM=2,BM；

⑵若側(cè)面尸底面/BCD,CM與底面/BCD所成角的正切值為H，求二面角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；

⑵回.

10

【分析】（1）連接AD與NC交于點(diǎn)E,連接EAf,由已知得次=的,由線面平行的性質(zhì)得

CDED

根據(jù)三角形相似可得要=黑=2，即尸”=28M

EDPM2

（2）設(shè)N8的中點(diǎn)O,首先由己知得尸。1底面N8CD,在AP4B中過點(diǎn)/作MR〃尸。交于點(diǎn)尸，得披上

底面ABCD,則NMCF為CM與底面ABCD所成角，在底面ABCD上過點(diǎn)。作OG，/C于點(diǎn)G,則ZPGO

是二面角P-4C-8的平面角，根據(jù)條件求解即可

【詳解】（1）證明：連接AD與NC交于點(diǎn)E,連接

ADEB

在^EAB與AECD中,AB//CD，:.---=---,

CDED

由CD=248,得ED=2EB,又?；P。//平面4WC,

而平面PBDPI平面ZMC=ME,PDu平面尸AD,

■.PD//EM,

?,EBBM}

.?.在△A尸中，一=——=-,?-?PM=2BM；

EDPM2

(2)設(shè)的中點(diǎn)0,在正AP4B中，PO1AB,

而側(cè)面尸4B_L底面48CD,側(cè)面尸48c底面/BCD=28,且尸Ou平面P45,

P01]^ABCD,

在APAB中過點(diǎn)M作MF//PO交48于點(diǎn)尸,

??.MF_L底面ABCD,

???4MCF為CM與底面ABCD所成角,

MFV31n,

---=—,設(shè)AB—6a,

CF11

MF

貝1=CF=1,BF=-j=-=tz,則在直角梯形45cZ)中，AF=5a,

而CD=12a,則AD=^(lla)2-(12a-5a)2=6?,

在底面ABCD上過點(diǎn)。作。GJ_NC于點(diǎn)G,

則/fG。是二面角的平面角，易得04=3a,AC=6aa,

?OAAC3a6y/6a

在梯形48C。中,由——=——n——=—得OG=?i,

OGADOG6yj2a

在Rt△尸OG中，尸6=胸。，icosN尸6。=空=巫

PG10

7.(2024?安徽?模擬2023年12月19日至20日，中央農(nóng)村工作會議在北京召開，習(xí)近平主席對“三

農(nóng)”工作作出指示某地區(qū)為響應(yīng)號召，積極發(fā)展特色農(nóng)業(yè)，建設(shè)蔬菜大棚.如圖所示的七

面體N2G-8瓦不是一個放置在地面上的蔬菜大棚鋼架，四邊形N3CD是矩形，N8=8m,AD=4m,

ED=CF=\m,且ED,CF都垂直于平面N8CD,GA=GB=5m,HE=HF,平面/BG_L平面/BCD.

(1)求點(diǎn)X到平面ABCD的距離;

(2)求平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)4

嗚

【分析】(1)取/反。的中點(diǎn)M,N,證得平面4DE//平面AGVHG,得到4E7/G〃，再由平面48G〃平

面CDEHG,證得4G//EH,得到平行四邊形/G8E,得到GH=/￡,求得HV=4,結(jié)合罰V，平面

ABCD,即可求解；

(2)以點(diǎn)N為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面8FHG和平面/GHE的法向量

】=(1,3,4)和)=(1,一3,4),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)如圖所示，取4瓦。的中點(diǎn)連接GMMMRV,

因為G/=G2,可得GMJL/8,

又因為平面48G_L平面48cD,且平面48Gc平面48cz)=48,GMu平面N3G,

所以GM，平面/BCD,同理可得：HNV^ABCD,

因為ED_L平面/BCD,所以EDUHN,

又因為磯><Z平面MWG,HNu平面MNHG,所以ED//平面ACVHG,

因為MN///。，且4D<z平面MN〃G,MNu平面MNHG,所以ND//平面,

又因為4DcDE=。，且4D,OEu平面4D￡,所以平面4DE//平面跖VMG,

因為平面AEHG與平面ADE和平面MNHGJ,AE,GH,可得4E//GH,

又由GMIIHN,ABIICD,S.AB(^GM^CDC\HNN,

所以平面ABGII平面CDEHG,

因為平面AEHG與平面ABG和平面CDEHF于■4G,EH,所以AGHEH,

可得四邊形NG/花為平行四邊形，所以G〃=/E,

因為/￡=，必+二爐="+F=后，所以=

在直角&AMG,可得GM=一(竽2=^/52_42=3,

在直角梯形GMNH中，可得&V=3+J17-42=4,

因為出，平面ABCD,所以點(diǎn)H到平面ABCD的距離為4.

(2)解：以點(diǎn)N為原點(diǎn)，以M%NC,但所在的直線分別為x,八z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，則頌0,-4,1),尸(0,4,l),G(4,0,3),H(0,0,4),

可得麻=(0,-4,-3),HF=(0,4,-3),HG=(4,0,-1),

_仿?萬力=4x-z=0

設(shè)平面5FHG的法向量為〃=(x,y,2),貝!]<——>，

n-HF=4y-3z=0

取z=4,可得x=lj=3,所以3=(1,3,4),

一(m-HG=4a-c=0

設(shè)平面4GHE的法向量為加=(a也c),則<__.，

ih,HE=—4b—3c=G

取。=4,可得。=1,6=-3,所以機(jī)=(1,一3,4),

一一m-n1-9+164

則儂私〃=麗=址+9+6/+9+16=值'

4

即平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值—.

8.(2024?重慶?模擬預(yù)測)如圖，4CDE為菱形,AC=BC=2,ZACB=nO°,平面NCDE，平面/8C,

M,N分別在直線CD,ABh.

(2)把與兩條異面直線都垂直且相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，若/"C=60。，MN為直線CD,

AN

4的公垂線，求章的值;

(3)記直線8E與平面/8C所成角為a,若tana＞叵，求平面BCD與平面CED所成角余弦值的范圍.

7

【答案】(1)證明見解析

⑵坦

2AF=213

r5V22V5、

（3）

OJ

7

【分析】(1)先通過余弦定理及勾股定理得到CRLNC,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明；

(2)以C為原點(diǎn)，。的方向為x軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-砂z,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算

MN-CD=0

根據(jù)一一，列方程求解即可；

MN-AF=0

(3)利用向量法求面面角，然后根據(jù)tancr＞叵列不等式求解.

7

【詳解】（1）AB2=AC2+BC2-2AC-BC-COSZACB=12,AB=243,AF=2FB,

所以“斤=至，CF^CAlcB,CF2LcAicB2

+=++1CA.CB=1,

3339993

°°416、

AC2+CF2=4+-=—=AF2,貝|CF_L/C,

33

又因為平面NCOS，平面/8C,ACDEAABC=AC,Cbu面28C,

故CF_L平面NCDE；

(2)以C為原點(diǎn)，C/的方向為x軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

由/區(qū)4c=60°,可得ZDC/=120°,DC=2,

所以C(O,O,O),D(TO,6),/(2,O,O)I0,^-,0

I?

所以赤=-2,孚,0,CD=(-1,0,73),

設(shè)訴=2萬=-24丁40,則N2-24詈2,0

__(26、

設(shè)加'=〃①，則”卜〃,0,風(fēng)）,MNk=2-2A+//,-1-a,-,

7

2.A--2,—jU~3jU=0

MN-CD=0

由題知，'__.-.n<4,

MN-AF=044-4-2〃+§4=0

g/a192,,AN9

解得人TT〃=一百'故

(3)5(-l,V3,0),設(shè)NEAC=8,

貝(J￡(2—2cos40,2sin9),BE=(3—2cos。,一g,2sin8),

可取平面ABC的法向量為二（0,0,1）,

"班］|2sin0\sin6

Ml?阿^(3-2cos6>)2+3+4sin26>V4-3cos6>

V4-3cos^-sin20

cosa-------,-----

j4-3cos。

sin。

貝Utana=

74-3cos^-sin20

整理得lOcos??！?cos6+2<0,故COS0G

CF=,0,CO=(-2cos6?,0,2sin6?),C5=(-1,73,0),

-2xcos6+2zsin0=0

?CD-0

記平面CD廠的法向量為4=(%)/),則有＜.__k=>,5

nx-CF-0

可得々=(sin仇0,cos,

一n?CD=0-2QCOS6+2csin0=0

記平面C8Z)的法向量為％=(。也c),則有，-7-----=><

-a+y/3b=0

n2-CB=0

可得”=(若sin0,sin0,A/3COS,

記平面BCD與平面CFD所成角為7,

出,cosde

則cos/=cos/,%=

v3+sin20111

321[V154瓜、

所以siYOe,73+sin20e

4525I25J

2忖

9.(2024?安徽?二模)將正方形N8CD繞直線逆時針旋轉(zhuǎn)90°,使得。到E尸的位置，得到如圖所示的

幾何體.

(1)求證：平面?平面

(2)點(diǎn)M為加上一點(diǎn)，若二面角C-NM-E的余弦值為:，求

【答案】(1)證明見解析

(2)ZA￡4Z>=45°

【分析】(1)根據(jù)面面與線面垂直的性質(zhì)可得2。，/尸，結(jié)合線面、面面垂直的判定定理即可證明;

(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)/朋4D=a,AB=\,利用空間向量法求出二面角C-/M-E的余弦值,

1-sincosa1

建立方程,2/,2=7，結(jié)合三角恒等變換求出a即可.

Vl+smtzvl+cosaJ

【詳解】(1)由已知得平面48c￡>/平面/AE■尸，AFVAB,平面4BCDQ平面/BE尸=48,4Fu平面

ABEF,

所以4F_L平面Z2CD,又BDu平面4SCD,故5D_L4F,

因為“BCD是正方形，所以8O_L/C,

AC,/斤<=平面/。尸，ACr>AF=A,所以8。工平面4CP,

又BDu平面BDE,所以平面NCF_L平面8。瓦

(2)由(1)知40,AF,48兩兩垂直，

以40,AF,48所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

設(shè)ZMAD=a,AB=1,

則1(0,0,0),M(cosa,sina,0),C(1,0,1),￡(0,1,1),

故押=(cosa,sin%0),1C=(1,O,1),方=(0,1,1)

設(shè)平面NMC的法向量為應(yīng)=(%,必/3則行.%=0，m-AM=0

再+Zi=0

故,取玉=sina,貝|M=-cosa,=-sincr

xxcosa+yxsina=0

所以玩二(sina,-cosa,-sina)

設(shè)平面4WE的法向量為萬=（%2，%/2），n-AE=O,萬?而=0

y2+