教師資格認定考試高級中學數(shù)學模擬題30

教師資格認定考試高級中學數(shù)學模擬題30一、單項選擇題1.

已知隨機變量X的分布律為，k=0，1，2，…，常數(shù)C等于______。A.1B.eC.e-1D.e-2正確答案：C[解析]根據(jù)規(guī)范性，，所以C=e-1。故本題選C。

2.

數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的______。A.重要基礎B.重要方式C.工具D.基本手段正確答案：A[解析]《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》中在解釋“數(shù)學抽象”這一核心素養(yǎng)時指出，數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程中。

3.

曲線x=t，y=t2，z=t3在點(1，1，1)處的法平面方程是______。

A．

B．x+2y+3z-6=0

C．

D．x+y+z-3=0正確答案：B[解析]曲線x=t，y=t2，z=t3在點(1，1，1)處的切向量為(1，2，3)，所以曲線在點(1，1，1)處的法平面方程為(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0，化簡得x+2y+3z-6=0。

4.

依據(jù)22-1=3，23-1=7，25-1=31，27-1=127，得出結(jié)論：當P為素數(shù)(質(zhì)數(shù))時，2P-1也是素數(shù)。這里運用的是______。A.歸納推理B.類比推理C.演繹推理D.合情推理同時也是演繹推理正確答案：A[解析]推理分為合情推理和演繹推理。演繹推理是思維進程中從一般到特殊的推理，這種推理以形式邏輯或論證邏輯為依據(jù)，有三段論、關系推理等推理模式；合情推理是一種合乎情理的、似以為真的推理，合情推理包括歸納推理和類比推理，歸納推理是由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，是由部分到整體、個別到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理。本題中，是通過歸納推理得出結(jié)論，沒有進行嚴謹?shù)淖C明，所以該推理過程運用了合情推理中的歸納推理，沒有運用演繹推理。故本題選A。

5.

設二次型正定，則實數(shù)a的取值應滿足______。A.a＞9B.-3＜a＜3C.3≤a≤9D.a≤-3正確答案：B[解析]因為二次型正定，所以A是正定矩陣，則A的所有順序主子式全都大于0，即有2＞0，，，可得a的取值范圍是-3＜a＜3。故本題選B。

6.

的收斂域為______。A.[-2，2)B.[-2，2]C.(-2，2]D.(-2，2)正確答案：A[解析]令，由于，所以級數(shù)的收斂半徑為2。當x=2時，(調(diào)和級數(shù))，此時級數(shù)發(fā)散；當x=-2時，，此時由萊布尼茨判別法知，級數(shù)收斂。因此，的收斂域為[-2，2)。故本題選A。

7.

設矩陣，若集合力={1，2}，則線性方程組Ax=b有無窮多解的充分必要條件為______。

A．

B．

C．

D．a(chǎn)∈Ω，d∈Ω正確答案：D[解析]線性方程組Ax=b有無窮多解的充分必要條件：r(A)=r(A，b)＜3。

，由r(A)=r(A，b)＜3知，

a=1或2，d=1或2，即a∈Ω，d∈Ω。故本題選D。

8.

設，B是3階非零矩陣，且AB=O，則a=______。A.-1B.0C.2D.1正確答案：D[解析](方法一)因為AB=O，所以B的列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解，又B是非零矩陣，所以齊次線性方程組Ax=0一定有非零解，于是，a=1。故本題選D。

(方法二)因為AB=O，所以有r(A)+r(B)≤3，又B≠O，所以r(B)≥1，于是r(A)＜3，從而行列式，解得a=1。故本題選D。

二、簡答題(每小題7分，共35分)袋中有50個乒乓球，其中20個黃球，30個白球，今有兩人依次隨機地從袋中各取一個球，取后不放回。1.

求第二個人取得黃球的概率；正確答案：假設“第一個人取出的是黃球”為事件A，“第二個人取出的是黃球”為事件B。則，。根據(jù)全概率公式，。

2.

已知第二個人取得的是黃球，求第一個人也取得是黃球的概率。正確答案：根據(jù)貝葉斯公式，。

3.

求過點(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又與直線相交的直線的方程。正確答案：(方法一)

設所求直線為l，由題意可知，與平面3x-4y+z-8=0平行的平面束方程為3x-4y+z+k=0，又直線l過點(1，0，4)，代入求得k=-7，即直線l在平面3x-4y+z-7=0上。聯(lián)立方程可求得直線與直線l的交點為(21，25，44)，因為直線l還經(jīng)過點(1，0，4)，所以直線l的方向向量l=(4，5，8)，因此所求直線的方程為。

(方法二)

設過點(1，0，4)且與平面3x-4y+z-8=0平行的平面為π1，所求直線l在π1內(nèi)，根據(jù)平行平面的關系易得π1的一般方程為3x-4y+z-7=0。

直線過點(-1，3，0)，且一個方向向量為s=(1，1，2)，又平面π1的一個法向量為n=(3，-4，1)，因為sn≠0，所以直線與π1相交，所以直線l與直線所確定的平面π2與π1相交，相交直線即為l。

平面π2過點(-1，3，0)和點(1，0，4)，且與向量s=(1，1，2)平行，設π2上任意一點的坐標為(x，y，z)，則向量u=(x+1，y-3，z)和向量v=(2，-3，4)都平行于平面π2，即向量s，u，v共面，即有，所以π2的一般方程為2x-z+2=0。

因此，所求直線l的一般方程為

4.

請以“等比數(shù)列”為例，簡述數(shù)學課堂教學導入的兩種方法。正確答案：數(shù)學課堂教學導入的方法主要有直接導入法、復習導入法、事例導入法、趣味導入法、懸念導入法和類比導入法等。以“等比數(shù)列”為例，下面主要介紹復習導入法和類比導入法。

(1)復習導入法

復習導入法即所謂的“溫故而知新”，主要是利用新舊知識之間的邏輯聯(lián)系，貫徹鞏固與發(fā)展相結(jié)合的原則，找出新舊知識之間的聯(lián)結(jié)點，將舊知識的復習遷移到新知識的學習上來導入新課。通過這種方法來導入新課，一方面可以幫助學生鞏固舊知，另一方面可以幫助學生建立新舊知識之間的聯(lián)系，能有效降低學生對于新知識的認知難度。運用這種導入方法之前，教師應先摸清學生原有的知識水平，精選復習、提問新舊知識聯(lián)系的“支點”。

以“等比數(shù)列”為例，學生在學習這一內(nèi)容之前已經(jīng)學習過“等差數(shù)列”的相關知識，可以借助“公差”的概念理解“公比”。因此，教師可以結(jié)合“等差數(shù)列”的相關知識點，運用復習導入法，在學習新知識前，帶領學生復習“等差數(shù)列”的相關知識，幫助學生找到新舊知識之間的聯(lián)結(jié)點，之后帶領學生探索新知。

(2)類比導入法

類比是指當兩個對象具有某些相同或類似屬性，而且已經(jīng)了解其中一個對象的某些性質(zhì)時，推測另一個對象也有相同或類似性質(zhì)的思維形式。類比導入法就是以這種思維形式為基礎，通過新知與舊知之間的類比，在舊知的基礎上探索發(fā)現(xiàn)新知。類比導入法簡潔明快，既培養(yǎng)了學生的類比推理能力，又能高效地調(diào)動學生思維的積極性。

以“等比數(shù)列”為例，學生在學習新知之前已經(jīng)學習過“等差數(shù)列”的相關知識。教師可以抓住等差數(shù)列的定義，采用類比導入法，列舉一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列，讓學生通過對比觀察兩種數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的相關性質(zhì)，來類比分析等比數(shù)列的相關性質(zhì)特征。

5.

簡述向量在高中數(shù)學課程中的作用。正確答案：向量在高中數(shù)學課程中的作用，主要體現(xiàn)在它有利于培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法，有利于拓寬解題思路，有利于發(fā)展學生的運算能力。

(1)向量的引入有利于培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法

向量集數(shù)與形于一身，它既是代數(shù)研究對象，又是幾何研究對象；既可以進行運算，又可以用圖形表示，它是數(shù)形結(jié)合思想方法的體現(xiàn)。因此，學習向量知識有利于培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法。

(2)向量的引入有利于拓寬解題思路

向量方法既是數(shù)學思想方法的體現(xiàn)，又是問題解決的一種方法途徑。在中學數(shù)學中，向量使數(shù)與形合二為一，聯(lián)系幾何、代數(shù)、三角函數(shù)等知識。它既是解決問題的思想方法，又是手段工具，它使得學生在解決數(shù)學問題時思路清晰明確，降低思維轉(zhuǎn)換過程的難度。向量方法對于解決數(shù)學問題及口常生活中的實際問題具有重要價值。

(3)向量的引入有利于發(fā)展學生的運算能力

向量的線性運算與多項式的運算相類似，其運算特點主要表現(xiàn)在向量的數(shù)量積運算。向量的運算與數(shù)的運算、多項式的運算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的運算形式比較多，比較全面。學習向量知識可以發(fā)展學生的運算能力，增強學生對代數(shù)運算本質(zhì)的認識。

6.

已知矩陣B=(1，2，3)，，設A=BTC，求An。正確答案：由題意知

根據(jù)矩陣乘法的結(jié)合律有

三、解答題(本大題1小題，10分)設α，β為三維單位列向量，且αTβ=0，記A=αβT+βαT。1.

求證：A可相似對角化；正確答案：證：因為αTβ=0，所以(αTβ)T=βTα=0。因為α，β為三維單位列向量，所以αTα=1，βTβ=1。由A=αβT+βαT，可知Aα=(αβT+βαT)α=αβTα+βαTα=0α+β=β，同理可得Aβ=(αβT+βαT)β=α，所以A(α+β)=α+β，A(α-β)=-(α-β)。由矩陣特征值、特征向量的概念可知1，-1是矩陣A的特征值，它們對應的一個特征向量分別為α+β，α-β。又因為r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT)=1+1=2，所以|A|=0，所以。也是矩陣A的特征值，由于矩陣A有3個各不相等的特征值1，-1，0，所以A可相似對角化。

2.

若存在三維列向量r≠0，使Ar=0，記P=(r，2(α+β)，β-α)，求P-1AP。正確答案：因為Ar=0，r≠0，可知r是矩陣A的特征值0對應的一個特征向量，而2(α+β)，β-α分別是特征值1和-1對應的一個特征向量，易得。

四、論述題(本大題1小題，15分)1.

闡述在數(shù)學教學過程中如何處理好教師教與學生學的關系。正確答案：學生是數(shù)學學習的主體，在積極參與學習活動的過程中不斷得到發(fā)展，學生獲得知識必須建立在自己思考的基礎上，只有親身參與教師精心設計的教學活動，才能在數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展。

教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，為學生的發(fā)展提供良好的環(huán)境和條件。教師不僅要根據(jù)學生的實際情況和教學目標設計出好的教學方案，還要采用適當?shù)慕虒W方式，營造師生互動、生生互動、生動活潑的課堂氛同。教師要引導學生通過實踐、思考、探索、交流獲得知識、形成技能以及發(fā)展思維等。在教學的過程中，教師應以平等、尊重的態(tài)度鼓勵學生積極參與教學活動，啟發(fā)學生共同探索。

在教學過程中，既要重視教師教，更要重視學生學，好的教學活動是學生的主體地位和教師的主導作用的和諧統(tǒng)一。

五、案例分析題(本大題共20分)閱讀案例，并回答問題。某教師針對《二項式定理》設計了一節(jié)習題課，下面是兩位同學所做的一道例題的解題過程，據(jù)此回答問題。

問題：1.

給出案例中例題的正確解法；正確答案：案例中例題的正確解法如下。

二項式展開式的通項為，展開式的第五項即r=4，進一步根據(jù)題意知，4-n=0，解得n=4，即?？芍淮雾梮對應的r值為5，進而可求得x項的二項式系數(shù)為。

2.

請指出案例中兩個學生解題中的錯誤，并分析產(chǎn)生錯誤的原因；正確答案：學生小趙解法中的問題：

①二項展開式的通項存在錯誤；

②根據(jù)題意r的取值錯誤。

產(chǎn)生錯誤的原因：對二項展開式的通項不理解，導致對公式的記憶存在偏差。

學生小宋解法中的問題：

①雖然小宋的通項結(jié)果與正解相同，但題目二項式是相乘，其解題過程中的n與題目中的n不是同一個變量；

②二項式系數(shù)求錯。

產(chǎn)生錯誤的原因：審題不清，對二項展開式通項公式的記憶過于死板；某一項的系數(shù)與某一項的二項式系數(shù)兩種概念混淆不清。

3.

結(jié)合案例，談談在教學“二項式定理”內(nèi)容時應該注意哪些問題。正確答案：在教學“二項式定理”時應該注意以下幾點：

①在教學二項式定理、二項展開式的通項公式的概念時，要使學生明確二項式系數(shù)以及公式中r和n的含義；

②針對二項展開式的通項公式，教師要明確中的a是降冪排列，b是升冪排列，幫助學生理解記憶；

③教師要明確二項展開式的某一項的系數(shù)與某一項的二項式系數(shù)的區(qū)別；

④教師在教學這部分內(nèi)容時要結(jié)合專項習題進行講解，使學生更進一步地明確并記憶二項式定理的潛在知識點。

六、教學設計題(本大題共30分)通過直觀感知、操作確認，歸納出平面與平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。

請完成下列任務：1.

寫出本節(jié)課的教學目標和教學重點；正確答案：教學目標：

①通過直觀感知和操作確認，歸納出“平面與平面平行的判定定理”，培養(yǎng)類比及轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)合情推理能力；

②理解“平面與平面平行的判定定理”，并能準確使用數(shù)學符號語言、文字語言、圖形語言表述該定理；

③能用“平面與平面平行的判定定理”證明一些簡單的空間幾何問題，培養(yǎng)和發(fā)展幾何直觀，體會空間幾何之美。

教學重點：平面與平面平行的判定定理及應用。

2.

請設計一個引入新課的問題情境以展開新課的教學，并說明設計意圖；正確答案：教師：上節(jié)課我們學習了直線與平面平行的判定，你能用學過的知識解決下面這個問題嗎?

如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，證明：B'D'∥平面C'BD。

請一位學生上黑板板演，其他學生在自己的座位上獨立完成解答，完成后師生共同點評板演學生的證明過程，并一起回顧直線與平面平行的判定定理。

教師順勢提出思考問題：如果連接AD'，AB'，構(gòu)成一個新的平面AD'B'，那么如何證明平面AD'B'∥平面BDC'呢?

【設計意圖】通過一道例題，即幫助學生復習了直線與平面平行的判定定理，也為新課平面與平面平行的判定定理的教學展開作好鋪墊，同時通過探索性問題的設置，有效激發(fā)了學生學習新課的積極性，有利于提高教學效果。

3.

請設計一個探索活動來探究該定理；正確答案：探究活動

①帶領學生復習平面與平面平行的定義：兩個平面沒有公共點則兩平面平行。指出：兩個平面沒有公共點則兩平面平行，即一個平面內(nèi)的所有直線與另一個平面都沒有交點。結(jié)合前面所學的直線與平面平行的定義，可知一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面則兩平面平行。

②提出問題，引導學生自主探究新知。

問題1：平面內(nèi)有無