2024-2025學(xué)年淮北市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2025學(xué)年淮北市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試卷（考試時(shí)間：120分鐘卷面滿分：150分）2024.08（北師大版）一、單選題（每題5分，共40分）1．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（

）A． B．3 C． D．2．一平面截某幾何體得一三棱臺(tái)，則該幾何體可能是（

）A．三棱柱 B．三棱錐 C．四棱錐 D．圓錐3．（

）A． B． C． D．4．已知為單位向量，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)分別是上的點(diǎn)，滿足，連接交于點(diǎn)，求（

）A． B． C． D．7．如圖，四邊形中，，若，且，則面積的最大值為（

）

A． B． C． D．8．已知，且?7，則（）A． B． C．或 D．二、多選題（每題6分，共18分；部分選對(duì)給部分分）9．下列命題中為假命題的是（

）A．長(zhǎng)方體是四棱柱，直四棱柱是長(zhǎng)方體B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱D．正四棱柱是平行六面體10．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則下列命題成立的是（

）A． B．C．最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍 D．為直角三角形11．設(shè)向量，，若，則x的取值可能是（

）A． B．0 C．3 D．5三、填空題（每題5分，共15分）12．若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位為純虛數(shù)，則的值為.13．若，則.（用表示）14．趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間一個(gè)小正方形組成）.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)（，），若，則.四、解答題（共77分）15．已知函數(shù)(1)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．已知函數(shù)f（x）＝sinxcosxcos2x+1（1）求f（x）的最小正周期和最大值，并寫出取得最大值時(shí)x的集合；（2）將f（x）的函數(shù)圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位后得到的函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，求φ的最小值.17．已知中，角的對(duì)邊分別為，.(1)是邊上的中線，，且，求的長(zhǎng)度.(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.18．如圖，為空間四邊形，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，且，．求證：(1)、、、四點(diǎn)共面；(2)、必相交且交點(diǎn)在直線上．19．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，現(xiàn)有兩種對(duì)變換的操作：變換：；變換：，其中為大于的常數(shù)．(1)設(shè)，，為做變換后的結(jié)果，解方程：；(2)設(shè)，為做變換后的結(jié)果，解不等式：；(3)設(shè)在上單調(diào)遞增，先做變換后得到，再做變換后得到；先做變換后得到，再做變換后得到．若恒成立，證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞增．1．C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法即可直接求解.【詳解】由直觀圖可知在軸上，在軸上，原圖如圖所示，在原圖中，在軸上，在軸上，，所以的長(zhǎng)即為該平面圖形的高，且.故選：C2．B【分析】根據(jù)棱錐與棱臺(tái)的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)可得答案【詳解】由棱錐的底面和平行于底面的一個(gè)截面間的部分，叫做棱臺(tái)所以用平行于三棱錐的底面平面截三棱錐，在底面和截面之間的幾何體為三棱臺(tái)．故選：B3．A【分析】利用誘導(dǎo)公式與兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】.故選：A.4．C【分析】由求出，再利用向量的夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，且，所以，得，所以，因?yàn)椋?故選：C5．A【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算化簡(jiǎn).【詳解】.故選：A.6．A【分析】方法一：根據(jù)三點(diǎn)共線的結(jié)論可得，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算即可；方法二：作投影，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義運(yùn)算求解；方法三：建系，可得，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因?yàn)楣簿€，設(shè)，即，則，解得，所以方法二：過(guò)點(diǎn)連接的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別做邊的垂線，垂足分別是，易得，則在邊上的投影是，所以；方法三：以邊的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊為軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，因?yàn)楣簿€可得，解得，即，可得，所以.故選：A.7．C【分析】線段上取點(diǎn)E使得，結(jié)合已知可得，進(jìn)而有，設(shè)，，再結(jié)合相關(guān)三角形面積、線段的數(shù)量關(guān)系得，進(jìn)而得，即可求最大值.【詳解】線段上取點(diǎn)E使得，又，則，故，所以，則，設(shè)，則.由上易知，且，而，所以，則，結(jié)合及，且，由三角形內(nèi)角性質(zhì)，所以，綜上，.故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：線段上取點(diǎn)E使得，利用向量加減、數(shù)乘整理題設(shè)條件為，進(jìn)而得到相關(guān)三角形面積、線段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合及三角形面積公式求最值.8．B【分析】根據(jù)??（）??，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式和已知條件求得結(jié)果．【詳解】??（）??7﹣（2，1）?（3，﹣1）＝7﹣（6﹣1）＝2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量基本定理，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9．ABC【分析】ABC均可以舉出反例，D選項(xiàng)是真命題.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)?shù)酌娌皇蔷匦蔚臅r(shí)候，直四棱柱非長(zhǎng)方體，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)棱柱的定義，顯然不成立，如圖，滿足要求，但不是棱柱，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，可以是兩對(duì)稱面是矩形的平行六面體，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，正四棱柱是平行六面體，D正確．故選：ABC．10．AD【分析】A中，由正弦定理可得A選項(xiàng)的真假；B，D中，由，，的三邊的關(guān)系，可得該三角形為直角三角形，判斷出B，D的真假；C中，由B選項(xiàng)分析，可得，而，判斷出C的真假．【詳解】解：A．由正弦定理可得，所以正確，符合題意；B，D中，因?yàn)?，所以該三角形為直角三角形，，角的余弦值不能比，所以B不正確，D正確；C中，由B選項(xiàng)的分析，可得最大內(nèi)角為，最小內(nèi)角為A，因?yàn)榕c不相等，所以角不為，所以C不正確；故選：AD．11．AC【分析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于x的方程，解之即得x的值.【詳解】，，由，可得，解之得故選：AC12．2【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解.【詳解】由是純虛數(shù)，有，解得.故答案為：13．【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系得，進(jìn)而根據(jù)結(jié)合齊次式求解即可.【詳解】由，得，則.故答案為：.14．3【分析】因?yàn)榇笕切问堑冗吶切?，所以可以通過(guò)建系的方法進(jìn)行求解.【詳解】不妨設(shè)，則，如圖，由題可知.由，得，所以，所以，，.又，所以，所以，所以，即.所以，，，因?yàn)椋?，解得，所?故答案為：315．（1）；（2）【詳解】(1)注意到,.于是,的最小正周期.由，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由,知，于是,當(dāng)時(shí),取得最大值,即.要使恒成立,只需，即.解得.故m的取值范圍是.16．（1）最小正周期為Tπ，f（x）取得最大值為2，此時(shí)x的集合為{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）【分析】（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）＝sin（2x）+1，由此可得最小正周期及最大值，由當(dāng)且僅當(dāng)2x2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取得最大值，解出x的集合；（2）通過(guò)平移變換可得g（x）=sin（2x+2φ）+1，若函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，令，k∈Z即可，從而得到φ的最小值．【詳解】（1）f（x）＝sinxcosxcos2x+1sin2xcos2x+1＝sin（2x）+1，所以函數(shù)f（x）的最小正周期為Tπ，當(dāng)且僅當(dāng)2x2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取得最大值為2，此時(shí)x的集合為{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）g（x）＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）+1，因?yàn)間（x）是偶函數(shù)，所以2φkπ，k∈Z，即φkπ，k∈Z，所以φ的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，求三角函數(shù)的周期、最值、極值點(diǎn)和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)等，需要特別注意集合的書寫規(guī)范，屬于基礎(chǔ)題.17．(1)2(2)【分析】（1）由正弦定理求出，對(duì)兩邊平方求出中，再由余弦定理可得答案；（2），根據(jù)為銳角三角形求出的范圍，再由的范圍可得答案.【詳解】（1），由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)椋?，，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，即；?）由題設(shè)，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，從而，可得，所以，則面積的取值范圍是.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)中位線及等比分點(diǎn)可得平行，進(jìn)而可證四點(diǎn)共面；（2）結(jié)合面面位置關(guān)系可得證.【詳解】（1）連接、，，由，分別為，中點(diǎn)，則，又，，則，，、、、四點(diǎn)共面.（2）由，，易知，又，分別為，中點(diǎn)，即，，結(jié)合（1）的結(jié)論可知，四邊形是梯形，因此直線、不平行，設(shè)它們交點(diǎn)為，平面，同理平面，又平面平面，因此，即、必相交且交點(diǎn)在直線上．19．(1)2(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意，推導(dǎo)出函數(shù)的解析式，建立方程，由此能求出x．（2）由題意，推導(dǎo)出函數(shù)的解析式，建立不等式，分類討論去掉絕對(duì)值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．（3）由題意，分別推導(dǎo)出函數(shù)的解析式，建立方程，【詳解】（1）∵，，為做變換后的結(jié)果，，∴，解得．（