2025年暑假初中升高中銜接數(shù)學(xué)上課講義

第第頁1.高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的聯(lián)系同學(xué)們，首先祝賀你們進入高中數(shù)學(xué)殿堂繼續(xù)學(xué)習(xí)。在經(jīng)歷了三年的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，大家對數(shù)學(xué)有了一定的了解，對數(shù)學(xué)思維有了一定的雛形，在對問題的分析方法和解決能力上得到了一定的訓(xùn)練。這也是我們繼續(xù)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。良好的開端是成功的一半，高中數(shù)學(xué)課即將開始與初中知識有聯(lián)系，但比初中數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)。高一數(shù)學(xué)中我們將學(xué)習(xí)函數(shù)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點，它在高中數(shù)學(xué)中是起著提綱的作用，它融匯在整個高中數(shù)學(xué)知識中，其中有數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法；如：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想等，它也是高考的重點，近年來，高考壓軸題都以函數(shù)題為考察方法的。高考題中與函數(shù)思想方法有關(guān)的習(xí)題占整個試題的60%以上。1、有良好的學(xué)習(xí)興趣兩千多年前孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！币馑颊f，干一件事，知道它，了解它不如愛好它，愛好它不如樂在其中。“好”和“樂”就是愿意學(xué)，喜歡學(xué)，這就是興趣。興趣是最好的老師，有興趣才能產(chǎn)生愛好，愛好它就要去實踐它，達到樂在其中，有興趣才會形成學(xué)習(xí)的主動性和積極性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們把這種從自發(fā)的感性的樂趣出發(fā)上升為自覺的理性的“認識”過程，這自然會變?yōu)榱⒅緦W(xué)好數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功者。那么如何才能建立好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣呢？（1）課前預(yù)習(xí)，對所學(xué)知識產(chǎn)生疑問，產(chǎn)生好奇心。（2）聽課中要配合老師講課，滿足感官的興奮性。聽課中重點解決預(yù)習(xí)中疑問，把老師課堂的提問、停頓、教具和模型的演示都視為欣賞音樂，及時回答老師課堂提問，培養(yǎng)思考與老師同步性，提高精神，把老師對你的提問的評價，變?yōu)楸薏邔W(xué)習(xí)的動力。（3）思考問題注意歸納，挖掘你學(xué)習(xí)的潛力。（4）聽課中注意老師講解時的數(shù)學(xué)思想，多問為什么要這樣思考，這樣的方法怎樣是產(chǎn)生的？（5）把概念回歸自然。所有學(xué)科都是從實際問題中產(chǎn)生歸納的，數(shù)學(xué)概念也回歸于現(xiàn)實生活，如角的概念、直角坐標系的產(chǎn)生都是從實際生活中抽象出來的。只有回歸現(xiàn)實才能使對概念的理解切實可靠，在應(yīng)用概念判斷、推理時會準確。2、建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣。習(xí)慣是經(jīng)過重復(fù)練習(xí)而鞏固下來的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣，會使自己學(xué)習(xí)感到有序而輕松。高中數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣應(yīng)是：多質(zhì)疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學(xué)時間，以便加寬知識面和培養(yǎng)自己再學(xué)習(xí)能力。3、有意識培養(yǎng)自己的各方面能力數(shù)學(xué)能力包括：邏輯推理能力、抽象思維能力、計算能力、空間想象能力和分析解決問題能力共五大能力。這些能力是在不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平時學(xué)習(xí)中要注意開發(fā)不同的學(xué)習(xí)場所，參與一切有益的學(xué)習(xí)實踐活動，如數(shù)學(xué)第二課堂、數(shù)學(xué)競賽、智力競賽等活動。平時注意觀察，比如，空間想象能力是通過實例凈化思維，把空間中的實體高度抽象在大腦中，并在大腦中進行分析推理。其它能力的培養(yǎng)都必須學(xué)習(xí)、理解、訓(xùn)練、應(yīng)用中得到發(fā)展。特別是，教師為了培養(yǎng)這些能力，會精心設(shè)計“智力課”和“智力問題”比如對習(xí)題的解答時的一題多解、舉一反三的訓(xùn)練歸類，應(yīng)用模型、電腦等多媒體教學(xué)等，都是為數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)開設(shè)的好課型，在這些課型中，學(xué)生務(wù)必要用全身心投入、全方位智力參與，最終達到自己各方面能力的全面發(fā)展。2.如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)有許多初中階段數(shù)學(xué)成績很好的學(xué)生，升入高中后，感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，他們在做習(xí)題或課外練習(xí)時，常常感到茫然，不知從何下手，因而，一個階段后，數(shù)學(xué)成績出現(xiàn)了嚴重的滑坡現(xiàn)象。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是什么呢？根據(jù)我多年的教學(xué)實踐，主要是以下幾個方面的原因：教材的原因：初中數(shù)學(xué)教材，多數(shù)知識點與學(xué)生日常生活實際貼近，且初中教材遵循從感性認識上升到理性認識的規(guī)律，敘述方法比較簡單，語言通俗易懂，直觀性、趣味性強，結(jié)論容易記憶，應(yīng)試效果也比較理想。因而，學(xué)生一般容易接受、理解和掌握。相對而言，高中數(shù)學(xué)概念抽象，邏輯性強，教材敘述比較嚴謹、規(guī)范，知識難度加大，抽象思維和空間想象能力明顯提高，且習(xí)題類型多，解題技巧靈活多變，計算相對復(fù)雜，體現(xiàn)了“起點高、難度大、容量多”的特點。這一變化，不可避免地造成了部分學(xué)生不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進而影響成績的提高。

教法的原因：初中數(shù)學(xué)內(nèi)容少，知識難度不大，教學(xué)要求較低，因而教學(xué)進度較慢，對于某些重點、難點，教師可以有充裕的時間反復(fù)講解、多次演練，來彌補不足。但是進入高中后，數(shù)學(xué)教材內(nèi)涵豐富，教學(xué)要求不斷提高，教學(xué)進度相應(yīng)加快，知識的重點和難點也不可能象初中那樣通過反復(fù)強調(diào)來排難釋疑，且高中教學(xué)往往通過設(shè)導(dǎo)、設(shè)問、設(shè)陷、設(shè)變，啟發(fā)引導(dǎo)，開拓思路，然后由學(xué)生自己思考、去解答，比較注意知識的發(fā)生過程，傾重對學(xué)生思想方法的滲透和思維品質(zhì)的培養(yǎng)。這使得剛?cè)敫咧械牟糠謱W(xué)生不適應(yīng)教學(xué)方法，聽課時存在思維障礙，跟不上教師的思維，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙，影響數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。學(xué)法的原因：在初中，部分學(xué)生習(xí)慣于圍著教師轉(zhuǎn)，獨立思考和對規(guī)律進行歸納總結(jié)的能力較差，滿足于知識的接受，缺乏學(xué)習(xí)的主動性。而到了高中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生勤于思考，善于歸納總結(jié)規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)思維方法，做到舉一反三，觸類旁通。但是，剛?cè)雽W(xué)的高一新生，往往沿用初中時的學(xué)法，致使學(xué)習(xí)出現(xiàn)困難，甚至完成當(dāng)天作業(yè)都有困難，更談不上復(fù)習(xí)、總結(jié)等自我消化、自我調(diào)整了。其它原因：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、興趣、性格、意志品質(zhì)的優(yōu)劣、學(xué)習(xí)目的和學(xué)習(xí)態(tài)度如何，在某種意義上也能影響高一學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。針對以上影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原因，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)怎樣彌補這些不足呢？下面從高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾個常規(guī)步驟方面談一談：透徹領(lǐng)悟所學(xué)知識：高中數(shù)學(xué)的理論性、抽象性強，這就需要學(xué)生在知識的理解上下大功夫，不僅要弄清數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)，還要弄清概念的背景及其與其它概念的聯(lián)系。例如初三學(xué)生都會解一元二次方程，我曾在高一新生中做過這種調(diào)查：為什么一元二次方程在△≥0時有根？答對率不到15％，說明了什么？學(xué)生對一元二次方程這個概念理解不透徹，相關(guān)知識缺乏聯(lián)系?？茖W(xué)地對待預(yù)習(xí)：對于一部分數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太理想的同學(xué)，我主張課前預(yù)習(xí)。正確的方法是先不打開書，設(shè)想這節(jié)課的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)，然后打開書；看到要對某個概念進行定義，馬上蓋上書，自己試著定義一下；看到一個定理的第一句敘述，再蓋上書自己猜想他的結(jié)論；看到一個公式時，也是這樣?？吹嚼}時，先不要看解法，自己先在紙上把它做一遍，再與書上的解法進行比較、思考……這樣的預(yù)習(xí)，無論對知識的掌握，還是對思維的訓(xùn)練，都是有益的。對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，思維反應(yīng)敏銳的同學(xué)，我不主張課前預(yù)習(xí)。因為通過預(yù)習(xí)已經(jīng)知道了課上要講的內(nèi)容、結(jié)論、推導(dǎo)過程、例題解法等，那么，課堂上還談何“超前思維、真正做課堂的主人、在思維運動中訓(xùn)練思維呢？”這白白浪費了課堂上發(fā)展自己智力素質(zhì)的機會。提高聽課效率：高中學(xué)習(xí)期間，學(xué)生在課堂的時間占了一大部分。因此聽課效率如何，決定著學(xué)習(xí)的效果。我認為，提高聽課效率應(yīng)注意以下幾個方面：首先應(yīng)做好課前的物質(zhì)準備和精神準備，上課時不至于出現(xiàn)書、本等物丟三落四的現(xiàn)象；上課前也不應(yīng)做過于激烈的體育運動，以免上課后還氣喘噓噓，不能平靜下來。其次就是聽課。聽課，重要的不是“聽”，而是“想”。聽是前提，隨之是積極地思維。要全身心地投入課堂學(xué)習(xí)，做到耳到、眼到、心到、口到、手到。耳到：就是專心聽講，聽老師如何講課，如何分析，如何歸納總結(jié)，另外，還要聽同學(xué)們的答問，看是否對自己有所啟發(fā)。眼到：就是在聽講的同時看課本和板書，看老師講課的表情，手勢和演示實驗的動作，生動而深刻的接受老師所要表達的思想。心到：就是用心思考，跟上老師的教學(xué)思路，分析老師是如何抓住重點，解決疑難的?？诘剑壕褪窃诶蠋煹闹笇?dǎo)下，主動回答問題或參加討論。手到：就是在聽、看、想、說的基礎(chǔ)上劃出教材的重點，記下講課的要點以及自己的感受或有創(chuàng)新思維的見解。將聽課中的要點、思維方法等作出簡單扼要的記錄，以便復(fù)習(xí)，消化，思考?？傊白约簞邮帧钡恼n堂聽講，是最科學(xué)的。重視復(fù)習(xí)和總結(jié)：1、及時做好復(fù)習(xí).聽完課的當(dāng)天，必須做好當(dāng)天的復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)的有效方法不是一遍遍地看書或筆記，而是采取回憶式的復(fù)習(xí)：先把書、筆記合起來，回憶上課時老師講的內(nèi)容，分析問題的思路、方法等（也可邊想邊在草稿本上寫一寫），盡量想得完整些。然后打開筆記與書本，對照一下還有哪些沒記清的，把它補起來，就能使當(dāng)天上課內(nèi)容鞏固下來，同時也檢查了當(dāng)天課堂聽課的效果如何，也為改進聽課方法及提高聽課效果提出必要的改進措施。2、做好單元復(fù)習(xí)。學(xué)習(xí)一個單元后應(yīng)進行階段復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)方法同及時復(fù)習(xí)一樣，采取回憶式復(fù)習(xí)，而后與書、筆記相對照，使其內(nèi)容完善，而后應(yīng)做好單元小節(jié)。3、做好單元小結(jié)。單元小結(jié)內(nèi)容應(yīng)包括以下部分：（1）本單元（章）的知識網(wǎng)絡(luò)；（2）本章的基本思想與方法（應(yīng)以典型例題形式將其表達出來）；（3）自我體會：對本章內(nèi)，自己做錯的典型問題應(yīng)有記載，分析其原因及正確答案，應(yīng)記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將其補上。做適量的練習(xí)題：有不少同學(xué)把提高數(shù)學(xué)成績的希望寄托在大量做題上，這是不妥當(dāng)?shù)摹Ｊ聦嵣?，要提高?shù)學(xué)成績，重要的不在做題多，而在于做題的效益要高。做題的目的在于檢查你學(xué)的知識，方法是否掌握得很好。如果你掌握得不準，甚至有偏差，那么多做題的結(jié)果，反而加深了你的缺欠，因此，在準確地把握住基本知識和方法的基礎(chǔ)上，做一定量的練習(xí)是必要的。而對于中檔題，尢其要講究做題的效益，即做題后有多大收獲，這就需要在做題后進行一定的“反思”，思考一下本題所用的基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)思想方法是什么，為什么要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過，把它們聯(lián)系起來，你就會得到更多的經(jīng)驗和教訓(xùn)，更重要的是養(yǎng)成善于思考的好習(xí)慣，這將大大有利于你今后的學(xué)習(xí)。當(dāng)然沒有一定量（老師布置的作業(yè)量）的練習(xí)是不能形成技能的。另外，無論是作業(yè)還是測驗，都應(yīng)把準確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這也是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要方面。課外要自學(xué)、研究：課外自學(xué)與研究的目的是擴大知識面，開闊眼界，進一步提高應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力。課外自學(xué)的范圍不宜過大，應(yīng)該圍繞所學(xué)的教材進度看一些課外參考書及數(shù)學(xué)雜志，作一些較新鮮或難度較大的習(xí)題。課外自學(xué)應(yīng)該是有計劃地有節(jié)制地進行，不要因小失大，更不要影響其它學(xué)科的學(xué)習(xí)。在課外自學(xué)的過程中，發(fā)現(xiàn)一些新穎而有價值的習(xí)題、一些好的思維方法與解題方法，應(yīng)該記下來，以便進一步學(xué)習(xí)掌握?；A(chǔ)較好，分析能力較強的學(xué)生，可以選一、二個專題，深入進行探討和研究，把研究結(jié)果寫成論文，用以培養(yǎng)和鍛煉自己的思維能力。基礎(chǔ)不太好、分析能力一般的學(xué)生，應(yīng)該經(jīng)常和基礎(chǔ)好、分析能力強的同學(xué)在一起研究、探討一些數(shù)學(xué)問題，從中學(xué)習(xí)他們好的數(shù)學(xué)思維方法。方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。另外，還要記住兩句話;“對一切來說，只有熱愛才是最好的老師”、“書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦做舟”。有了興趣，有了方法，再有勤奮的精神，我相信，每一個有志同學(xué)一定能學(xué)好高中數(shù)學(xué)。3.熟知高中數(shù)學(xué)特點是高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵一、高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點的變化。1、數(shù)學(xué)語言在抽象程度上突變。不少學(xué)生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很“玄”。確實，初、高中的數(shù)學(xué)語言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學(xué)習(xí)到的函數(shù)語言、空間立體幾何等。2、思維方法向理性層次躍遷。高一學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的另一個原因是高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學(xué)生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等……分別確定了各自的思維套路。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機械的，便于操作的定勢方式，而高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，正如上節(jié)所述，數(shù)學(xué)語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當(dāng)然，能力的發(fā)展是漸進的，不是一朝一夕的事，這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績下降。高一新生一定要能從經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證形思維。3、知識內(nèi)容劇增初中數(shù)學(xué)知識少、淺、難度容易、知識面笮。高中數(shù)學(xué)知識廣泛，將對初中的數(shù)學(xué)知識推廣和引伸，也是對初中數(shù)學(xué)知識的完善。如：初中學(xué)習(xí)的角的概念只是“0—180°”范圍內(nèi)的，但實際當(dāng)中也有720°和“—360°等角，為此，高中將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負在內(nèi)的所有大小角。又如：高中要學(xué)習(xí)《立體幾何》，將在三維空間中求一些幾何實體的體積和表面積；還將學(xué)習(xí)“排列組合”知識，以便解決排隊方法種數(shù)等問題。如：①三個人排成一行，有幾種排隊方法，（答：=6種）；②四人進行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場次？（答：=3種）高中將學(xué)習(xí)統(tǒng)計這些排列的數(shù)學(xué)方法。初中中對一個負數(shù)開平方無意義，但在高中規(guī)定了i=-1,就使-1的平方根為±i.即可把數(shù)的概念進行推廣，使數(shù)的概念擴大到復(fù)數(shù)范圍等。這些知識同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中將逐漸學(xué)習(xí)到。二、不良的學(xué)習(xí)狀態(tài)。1、學(xué)習(xí)習(xí)慣因依賴心理而滯后。初中生在學(xué)習(xí)上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分數(shù)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師將各種題型都一一羅列，學(xué)生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切，回家后輔導(dǎo)也是常事。升入高中后，教師的教學(xué)方法變了，套用的“模子”沒有了，家長輔導(dǎo)的能力也跟不上了，由“參與學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)入“督促學(xué)習(xí)”。許多同學(xué)進入高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習(xí)的主動權(quán)。表現(xiàn)在不定計劃，坐等上課，課前沒有預(yù)習(xí)，對老師要上課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”，不會鞏固所學(xué)的知識。2、學(xué)不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學(xué)上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課后又不能及時鞏固、總結(jié)、尋找知識間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背，還有些同學(xué)晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結(jié)果是事倍功半，收效甚微。3、進一步學(xué)習(xí)條件不具備。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎(chǔ)知識與技能為進一步學(xué)習(xí)作好準備。高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值的求法，實根分布與參變量的討論，三角公式的變形與靈活運用，空間概念的形成，排列組合應(yīng)用題及實際應(yīng)用問題等。有的內(nèi)容還是初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補救措施，查缺補漏，就必然會跟不上高中學(xué)習(xí)的要求。三、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幾種方法1、記數(shù)學(xué)筆記，特別是對概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學(xué)規(guī)律，教師為備戰(zhàn)高考而加的課外知識。2、建立數(shù)學(xué)糾錯本。把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；解答問題完整、推理嚴密。3、記憶數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論。4、與同學(xué)建立好關(guān)系，爭做“小老師”，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“互助組”。5、爭做數(shù)學(xué)課外題，加大自學(xué)力度。6、反復(fù)鞏固，消滅前學(xué)后忘。7、學(xué)會總結(jié)歸類。可：①從數(shù)學(xué)思想分類②從解題方法歸類③從知識應(yīng)用上分類4.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和特點回憶初中階段所學(xué)的全部平面幾何的內(nèi)容及代數(shù)中的有理數(shù)、多項式、二次根式、方程、不等式和函數(shù)等，不僅在知識上而且在數(shù)學(xué)能力上已經(jīng)作好了高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的準備。只要認清高中數(shù)學(xué)的特點，并促使自己適應(yīng)這些特點，那么學(xué)好高中數(shù)學(xué)是完全可能的。高中數(shù)學(xué)的特點概括地說，有以下三點。1、知識的抽象性大2、知識的密度增大3、知識的獨立性大初中知識的系統(tǒng)性是較嚴謹?shù)模矫鎺缀斡绕淙绱?，這個系統(tǒng)給我們學(xué)習(xí)帶來了很大的方便。因為它便于記憶，又適合于知識的提取和使用。因此，平面幾何的知識使人長久不忘，記得清，用得上。但高中的數(shù)學(xué)卻不同了，除了立體幾何、解析幾何有個相對明確的系統(tǒng)（與平面幾何相比也不成體統(tǒng)），代數(shù)、三角的內(nèi)容具有相對的獨立性。因此，注意它們內(nèi)部的小系統(tǒng)和各系統(tǒng)之間的聯(lián)系成了學(xué)習(xí)時必須花力氣的著力點，否則，綜合運用知識的能力必然會欠缺。高一數(shù)學(xué)成績下降的原因分析及對策初中畢業(yè)生以較高的數(shù)學(xué)成績升入高中后，不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，相當(dāng)多的高一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，出現(xiàn)了嚴重的兩極分化，少數(shù)學(xué)生甚至對學(xué)習(xí)失去了信心。前幾年，不少學(xué)校受高考指揮棒的影響，只注重升學(xué)率而忽視了合格率。現(xiàn)在高中搞會考制，上述問題引起了各校足夠的重視。本文對高一數(shù)學(xué)成績大面積下降談?wù)勗斐傻脑蚣皯?yīng)采取的對策。一、高一數(shù)學(xué)成績大面積下降的原因１．初、高中教材間梯度過大。初中教材偏重于實數(shù)集內(nèi)的運算，缺少對概念的嚴格定義或?qū)Ω拍畹亩x不全，如函數(shù)的定義，三角函數(shù)的定義就是如此；對不少數(shù)學(xué)定理沒有嚴格論證，或用公理形式給出而回避了證明，比如不等式的許多性質(zhì)就是這樣處理的；教材坡度較緩，直觀性強，對每一個概念都配備了足夠的例題和習(xí)題。而高一教材第一章就是集合、映射等近世代數(shù)知識，緊接著就是冪函數(shù)的分類問題（在冪函數(shù)中，由于指數(shù)不同，具有不同的性質(zhì)和圖象）。函數(shù)單調(diào)性的證明又是一個難點，立體幾何對空間想象能力的要求又很高。教材概念多、符號多、定義嚴格，論證要求又高，高一新生學(xué)起來相當(dāng)困難。此外，內(nèi)容也多，每節(jié)課容量遠大于初中數(shù)學(xué)。這些都是高一數(shù)學(xué)成績大面積下降的客觀原因。２．高一新生普遍不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)方法。高一學(xué)生普遍反映數(shù)學(xué)課能聽懂但作業(yè)不會做。不少學(xué)生說，平時自認為學(xué)得不錯，考試成績就是上不去，追究其原因是初中教師重視直觀、形象教學(xué)，老師每講完一道例題后，都要布置相應(yīng)的練習(xí)，學(xué)生到黑板表演的機會相當(dāng)多。為了提高合格率，不少初中教師把題型分類，讓學(xué)生死記解題方法和步驟。在初三，重點題目反復(fù)做過多次。而高中教師在授課時強調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，注重舉一反三，在嚴格的論證和推理上下功夫。又由于高中搞小循環(huán)，接高一課程的教師剛帶完高三，他們往往用高三復(fù)習(xí)時應(yīng)達到的難度來對待高一教學(xué)。因此造成初、高中教師教學(xué)方法上的巨大差距，中間又缺乏過渡過程，至使高中新生普遍適應(yīng)不了高中教師的教學(xué)方法。３．高一學(xué)生的學(xué)習(xí)方法不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。高一學(xué)生在初中三年已形成了固定的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣。他們上課注意聽講，盡力完成老師布置的作業(yè)。但課堂上滿足于聽，沒有做筆記的習(xí)慣，缺乏積極思維；遇到難題不是動腦子思考，而是希望老師講解整個解題過程；不會科學(xué)地安排時間，缺乏自學(xué)、看書的能力，還有些學(xué)生考上了高中后，認為可以松口氣了，放松了對自己的要求。上述的學(xué)習(xí)方法，不適應(yīng)高中階段的正常學(xué)習(xí)。二、搞好高一數(shù)學(xué)教學(xué)的對策及方法針對上述問題，筆者認為要想大面積提高高一數(shù)學(xué)成績，應(yīng)采取如下措施。１．高一教師要鉆研初中大綱和教材。高中教師應(yīng)聽初中數(shù)學(xué)課，了解初中教師的授課特點。開學(xué)初，要通過摸底測驗和開學(xué)生座談會，了解學(xué)生掌握知識的程度和學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在摸清三個底（初中知識體系，初中教師授課特點，學(xué)生狀況）的前提下，根據(jù)高一教材和大綱，制訂出相當(dāng)?shù)慕虒W(xué)計劃，確定應(yīng)采取的教學(xué)方法，做到有的放矢。２．新高一要放慢進度，降低難度，注意教學(xué)內(nèi)容和方法的銜接。根據(jù)實踐，新高一第一章課時數(shù)要增加。要加強基本概念、基礎(chǔ)知識的教學(xué)。教學(xué)時注意形象、直觀。如講映射時可舉“某班５０名學(xué)生安排到５０張單人桌上的分配方法”等直觀例子，為引人映射概念創(chuàng)造階梯。由于新高一學(xué)生缺乏嚴格的論證能力，所以證明函數(shù)單調(diào)性時可進行系列訓(xùn)練，開始時可搞模仿性的證明。要增加學(xué)生到黑板上演練的次數(shù)，從而及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，章節(jié)考試難度不能大。通過上述方法，降低教材難度，提高學(xué)生的可接受性，增強學(xué)生學(xué)習(xí)信心，讓學(xué)生逐步適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的正常教學(xué)。３．嚴格要求，打好基礎(chǔ)。開學(xué)第一節(jié)課，教師就應(yīng)對學(xué)習(xí)的五大環(huán)節(jié)提出具體、可行要求。如：作業(yè)的規(guī)范化，獨立完成，訂正錯題等等。對學(xué)生在學(xué)習(xí)上存在的弊病，應(yīng)限期改正。嚴格要求貴在持之以恒，貫穿在學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程，成為學(xué)生的習(xí)慣?？荚嚨拿芏纫黾?，如第一章可分為三塊進行教學(xué)，每講完一塊都要復(fù)習(xí)、測驗及格率不到７０％應(yīng)重新復(fù)習(xí)、測驗，課前５分鐘小題測驗，應(yīng)經(jīng)?；?，用以督促、檢查、鞏固所學(xué)知識。實踐表明，教好課與嚴要求，是提高教學(xué)質(zhì)量的主要環(huán)節(jié)。４．指導(dǎo)學(xué)生改進學(xué)習(xí)方法。良好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣，不但是高中階段學(xué)習(xí)上的需要，還會使學(xué)生受益終生。但好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣，一方面需教師的指導(dǎo)，另一方面也靠老師的強求。教師應(yīng)向?qū)W生介紹高中數(shù)學(xué)特點，進行學(xué)習(xí)方法的專題講座，幫助學(xué)生制訂學(xué)習(xí)計劃。這里，重點是會聽課和合理安排時間。聽課時要動腦、動筆、動口，參與知識的形成過程，而不是只記結(jié)論。教師應(yīng)有針對性地向?qū)W生推薦課外輔導(dǎo)書，以擴大知識面。提倡學(xué)生進行章節(jié)總結(jié)，把知識串成線，做到書由厚讀薄，又由薄變厚。期中、期末都要召開學(xué)習(xí)方法交流會，讓好的學(xué)習(xí)方法成為全體學(xué)生的共同財富。5.怎樣培養(yǎng)好對學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣？不要再被動的因為要學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，而是要主動的需求學(xué)習(xí)的方法，怎么培養(yǎng)對學(xué)習(xí)的興趣？以下幾點可供參考：（一）培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣現(xiàn)代教育倡導(dǎo)自主性學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)，堅信能力是練出來的，因此我們在課程安排和教學(xué)常規(guī)中，設(shè)置有課前三分鐘準備、晚修分段學(xué)習(xí)、教學(xué)三清（即堂堂清、周周清、月月清）等，這樣設(shè)置的目的，就是為了培養(yǎng)同學(xué)們良好的修習(xí)養(yǎng)身習(xí)慣。我希望同學(xué)們領(lǐng)會意圖，配合學(xué)校的安排。在課前三分鐘，提前回到自己的座位，把課本和學(xué)習(xí)用品準備好，把自己的思想從課間活動拉回來，在科任老師和科代表的指導(dǎo)下，或朗讀課文、定理、定律，或背誦名句、單詞、公式，或做小測練……課堂上，聚精會神聽老師講課，深入思考和積極回答問題，善于做筆記，做到眼晴看、耳朵聽、嘴巴說、腦筋想、手頭記，充分調(diào)動和發(fā)揮各器官功能……晚修分時段學(xué)習(xí)，合理安排各科學(xué)習(xí)時間，做到復(fù)習(xí)、作業(yè)、預(yù)習(xí)三不誤，照顧到當(dāng)天學(xué)習(xí)及第二天學(xué)習(xí)的全部學(xué)科，做到均衡發(fā)展，要主動到走廊上請教下班輔導(dǎo)的老師，維護課室里面安靜的晚修秩序，提高晚修的效率。（二）抓好預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)預(yù)習(xí)，即課前的自學(xué)。指在教師講課之前，自己先獨立地閱讀新課內(nèi)容。初步理解內(nèi)容，是上課做好接受新知識的準備過程。有些學(xué)生由于沒有預(yù)習(xí)習(xí)慣，對老師一堂課要講的內(nèi)容一無所知，坐等教師講課，老師講什么就聽什么，老師叫干什么就干什么，學(xué)習(xí)就很辛苦。有些學(xué)生雖能預(yù)習(xí)，但看起書來似走馬觀花，不動腦、不分析，這種預(yù)習(xí)一點也達不到效果。老師建議：預(yù)習(xí)時要讀、思、問、記同步進行，對課本內(nèi)容能看懂多少就算多少，不必求全理解，疑難也不必鉆深，只需順手用筆作出不同符號的標記，把沒有讀懂的問題記下來，作為聽課的重點。但對牽涉到已學(xué)過的知識以及估計老師講不到的小問題，自己一定要搞懂，以消滅“攔路虎”。預(yù)習(xí)應(yīng)在當(dāng)天作業(yè)做完之后再進行。時間多，就多預(yù)習(xí)幾門，鉆得深一點；反之，就少預(yù)習(xí)幾門，鉆得淺一點。切不可以每天學(xué)習(xí)任務(wù)還未完成就忙著預(yù)習(xí)，打亂了正常的學(xué)習(xí)秩序。若你以前沒有預(yù)習(xí)的習(xí)慣，現(xiàn)在可以先選一兩門自己學(xué)起來感到吃力的學(xué)科進行預(yù)習(xí)嘗試，等嘗到甜頭，取得經(jīng)驗后，再逐漸增加學(xué)科，直到全面鋪開。（三）注重聽課環(huán)節(jié)學(xué)生的大部分時間是在課堂中度過的。因此，聽課是學(xué)生接受教師指導(dǎo)，掌握知識，發(fā)展智力的中心環(huán)節(jié)，是獲取知識的重要途徑，是保證高效率學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。聽課時，有的學(xué)生全神貫注，專心聽講；有的分心走神，萎靡不振，打瞌睡；有的像錄音機，全聽全錄；有的邊聽邊記，基本上能把教師講的內(nèi)容都記下來；有的以聽為主，邊聽邊思考，有了問題記下來；有的干脆不記，只顧聽講；有的邊聽邊劃邊思考。思考時，有的思考當(dāng)堂內(nèi)容，有的思考與本課相關(guān)的知識體系，有的思考教師的思路，有的拿自己的思路與教師的思路比較。那么，怎樣才能達到聽好課的目的呢？總的要求是：要抓住各學(xué)科的不同特點，帶著問題聽，聽清內(nèi)容，記住要點，抓住關(guān)鍵，著重聽老師的講課方法與思路，釋疑的過程與結(jié)論。（四）緊抓復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)復(fù)習(xí)是對前面已學(xué)過的知識進行系統(tǒng)再加工，并根據(jù)學(xué)習(xí)情況對學(xué)習(xí)進行適當(dāng)調(diào)整，為下一階段的學(xué)習(xí)做好準備。因此，每上完一節(jié)課，每學(xué)完一篇課文，一個單元，一冊書都要及時復(fù)習(xí)。若復(fù)習(xí)適時恰當(dāng)，知識遺忘就少。早在1885年，德國的心理學(xué)家艾濱浩斯，通過實驗發(fā)現(xiàn)剛記住的材料，一小時后只能保持44%；一天后能記住33%；兩天后留下的只有28%；六天后為25%。所有的人，學(xué)習(xí)的知識都會發(fā)生先快后慢的遺忘過程。一些記性好的學(xué)生是因為能經(jīng)常從不同的角度、不同的層次上進行復(fù)習(xí)，做到“每天有復(fù)習(xí)，每周有小結(jié)，每章有總結(jié)”，從而形成了驚人的記憶力。很多學(xué)生對所學(xué)知識記不住，并不是腦子笨，而是不善于復(fù)習(xí)，或復(fù)習(xí)功夫不深。最好的做法是：（1）當(dāng)天學(xué)的知識，要當(dāng)天復(fù)習(xí)清，。否則，內(nèi)容生疏了，知識結(jié)構(gòu)散了，重新學(xué)習(xí)花費的時間就會更多。（2）要緊緊圍繞概念、公式、法則、定理、定律復(fù)習(xí)。通過追根溯源，思考它們是怎么形成與推導(dǎo)出來的？能應(yīng)用到哪些方面？（3）要反復(fù)復(fù)習(xí)。學(xué)完一課復(fù)習(xí)一次，學(xué)完一章或一個單元，又復(fù)習(xí)一次，學(xué)習(xí)一階段再系統(tǒng)總結(jié)一遍，期末還要專門復(fù)習(xí)。通過這種步步為營的復(fù)習(xí)，形成的知識聯(lián)系就不會消退。學(xué)校為此采取了教學(xué)“三清”措施，希望老師和同學(xué)們認真做好教學(xué)三清工作。（五）獨立完成作業(yè)環(huán)節(jié)（六）認真記好課堂筆記記筆記是為了學(xué)，為了懂，為了用。記筆記的原則是以聽為主，以記為輔。簡練明白，提綱挈領(lǐng)，詳略得當(dāng)，書上有的不必多記。難點不放過，疑點有標記。不亂，不混，條理明。對聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)的問題，要及時記。筆記要留有空白處，便于復(fù)習(xí)時補缺。(一)絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零．即絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離．解不等式：||解不等式：你自己能總結(jié)出一般性的結(jié)論嗎?例3、解不等式：＞4．解法一：由，得；由，得；①若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可變?yōu)椋?＞4，∴不存在滿足條件的x；③若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．1ABx04CDxP|x－1||x－3|圖1．1－1解法二：如圖1．1－1，表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x1ABx04CDxP|x－1||x－3|圖1．1－1所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知點P在點C(坐標為0)的左側(cè)、或點P在點D(坐標為4)的右側(cè)．x＜0，或x＞4．練習(xí)1．填空題：（1）若，則x=_________；若，則x=_________.（2）如果，且，則b＝________；若，則c＝________2．選擇題：下列敘述正確的是（）（A）若，則（B）若，則（C）若，則（D）若，則3．化簡：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．4．解下列不等式：（1）（2）(二)乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三數(shù)和平方公式；（4）兩數(shù)和立方公式；（5）兩數(shù)差立方公式．對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明．例1計算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2已知，，求的值．解：．練習(xí)：1．填空題：（1）（）；（2）；(3)．2．選擇題：（1）若是一個完全平方式，則等于（）（A）（B）（C）（D）（2）不論，為何實數(shù)，的值（）（A）總是正數(shù)（B）總是負數(shù)（C）可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負數(shù)（三）二次根式（1）一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如，等是無理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化．為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式．2．二次根式的意義將下列式子化為最簡二次根式：（1）；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）．例2計算：．解法一：＝＝＝＝＝．解法二：＝＝＝＝＝．例3試比較下列各組數(shù)的大?。海?）和；（2）和.解：（1）∵，，又，∴＜．（2）∵又4＞2eq\r(2)，∴eq\r(6)＋4＞eq\r(6)＋2eq\r(2)，∴＜.練習(xí)：將下列式子化為最簡二次根式：（1）（2）計算：比較下大?。汉停ㄋ模┒胃剑?）例4化簡：．解：＝＝＝＝．例5化簡：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．例6已知，求的值．解：∵，，∴．練習(xí)1．填空題：（1）＝_____；（2）若，則的取值范圍是_____；（3）_____；（4）若，則________．(5)等式成立的條件是。（6）比較大?。?－eq\r(3)eq\r(5)－eq\r(4)（填“＞”，或“＜”）．2．若，求的值．（五）分式1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時，分式具有下列性質(zhì)：；．上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1．若，求常數(shù)的值．解：∵，∴解得．例2．（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計算：；．（1）證明：∵，∴（其中n是正整數(shù)）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）證明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整數(shù)，∴eq\f(1,n＋1)一定為正數(shù)，∴＜eq\f(1,2)．例3設(shè)，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0兩邊同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝eq\f(1,2)＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．練習(xí)1.對任意的正整數(shù)n，()；2.若，則＝。3．正數(shù)滿足，求的值．4．計算．習(xí)題A組1．填空題：（1）＝________；（2）若，則的取值范圍是________；（3）________．2．解不等式：(1)；(2)；(3)． 3．已知，求的值．B組1．填空題：（1），，則；（2）若，則；2．已知：，求的值．3．解方程．4．試證：對任意的正整數(shù)n，有＜eq\f(1,4)．（六）分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4）．解：（1）如圖1．2－1，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－by－ay－byxx圖1．2－4－2611圖1．2－3－1－211圖1．2－2－1－2xx圖1．2－1說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1．2－1中的兩個x用1來表示（如圖1．2－2所示）．（2）由圖1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由圖1．2－4，得－11xy圖1．2－5－11xy圖1．2－5（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如圖1．2－5所示）．練習(xí)：把下列各式分解因式：（1）__________________________________________________。（2）__________________________________________________。（3）__________________________________________________。（4）__________________________________________________。（5）__________________________________（6）。（7）。（8）。(七)分解因式（二）2．提取公因式法與分組分解法例2分解因式：（1）；（2）．解：（1）===．或＝＝＝＝＝．（2）===．或===．3．關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根是、，則二次三項式就可分解為.例3把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式：（1）；（2）．解：（1）令=0，則解得，，∴==．（2）令=0，則解得，，∴=．練習(xí)1．分解因式：（1）x2＋6x＋8=________________（2）8a3－b3=________________（3）x2－2x－1=________________（4）=________________（5）=________________（6）=_______________2、3、若則，。習(xí)題1．分解因式：（1）=________________（2）=________________（3）=________________（4）=________________2．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1）=________________（2）=________________（3）=________________（4）=________________3．三邊，，滿足，試判定的形狀．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．(八)根的判別式我們知道，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為．①因為a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）當(dāng)b2－4ac＞0時，方程①的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，2＝；（2）當(dāng)b2－4ac＝0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根x1＝x2＝－；（3）當(dāng)b2－4ac＜0時，方程①的右端是一個負數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號“Δ”來表示．綜上所述，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，2＝；（2）當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－；（3）當(dāng)Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根．例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒有實數(shù)根．（2）該方程的根的判別式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根，．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以， ①當(dāng)a＝2時，Δ＝0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝1； ②當(dāng)a≠2時，Δ＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①當(dāng)Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，； ②當(dāng)Δ＝0，即a＝1時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝1； ③當(dāng)Δ＜0，即a＞1時，方程沒有實數(shù)根．說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論．分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題．練習(xí)：1.解下列方程：（1）（2）（3）2.解關(guān)于的方程：(九)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）（1） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，，則有 ；． 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．這一關(guān)系也被稱為韋達定理． 特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值．分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根．但由于我們學(xué)習(xí)了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一個根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就為5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一個根為－，k的值為－7．解法二：設(shè)方程的另一個根為x1，則2x1＝－，∴x1＝－．由（－）＋2＝－，得k＝－7．所以，方程的另一個根為－，k的值為－7．例3已知關(guān)于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21，求m的值．分析： 本題可以利用韋達定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零．解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化簡，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．當(dāng)m＝－1時，方程為x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，滿足題意；當(dāng)m＝17時，方程為x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合題意，舍去．綜上，m＝17．說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可。（2）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于零．因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根。練習(xí)：1.為何值時，的兩根均為正？2.已知是方程兩個實數(shù)根，求：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦。3.已知是方程的兩根，且，求的值.4.已知方程的一個根是，求它的另一根及的值。5.求作一個方程，使它的根是方程的兩根的平方的負倒數(shù).(十)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）（2）例4已知兩個數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個數(shù)．分析：我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數(shù)．也可以利用韋達定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解．解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x，y，則x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴或因此，這兩個數(shù)是－2和6．解法二：由韋達定理可知，這兩個數(shù)是方程x2－4x－12＝0的兩個根．解這個方程，得x1＝－2，x2＝6． 所以，這兩個數(shù)是－2和6． 說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷． 例5若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根． （1）求|x1－x2|的值；（2）求的值；（3）x13＋x23． 解：∵x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根，∴，． （1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴|x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－． 說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則，，∴|x1－x2|＝．于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則|x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論．例6若關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜eq\f(17,4)．∴a的取值范圍是a＜4．練習(xí)1.填空題：（1）方程的根的情況是。（2）若關(guān)于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是。（3）若方程x2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2，則＝．（4）以－3和1為根的一元二次方程是．2．已知，當(dāng)k取何值時，方程kx2＋ax＋b＝0有兩個不相等的實數(shù)根？3．已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．習(xí)題A組1．填空題:（1）已知關(guān)于x的方程x2＋kx－2＝0的一個根是1，則它的另一個根是。（2）關(guān)于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個根是0，則a的值是。（3）方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k＝．（4）方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β，則α2＋β2＝．（5）已知關(guān)于x的方程x2－ax－3a＝0的一個根是－2，則它的另一個根是．（6）方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則|x1－x2|＝．3．試判定當(dāng)m取何值時，關(guān)于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4．求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)．5．若關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0的一個根大于1、另一根小于1，求實數(shù)a的取值范圍．B組1．填空題:（1）若m，n是方程x2＋2010x－1＝0的兩個實數(shù)根，則m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．（3）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于。（4）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根，則的值為。2．已知關(guān)于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實數(shù)k的取值范圍．3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1和x2．求：（1）|x1－x2|和；（2）x13＋x23．4．關(guān)于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足|x1－x2|＝2，求實數(shù)m的值．5．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數(shù)根．（1）是否存在實數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）求使－2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k＝－2，，試求的值．（十一）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì)問題1函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫出函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：x…-3-2-10123…x2…9410149…2x2…188202818…yy＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴大兩倍就可以了．再描點、連線，就分別得到了函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y＝2x2的圖象可以由函數(shù)y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫剑瑢W(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系．通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1二次函數(shù)y＝ax2(a圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1問題2函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象（如圖2－2所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點．類似地，還可以通過畫函數(shù)y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a＞0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x＞時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＝時，函數(shù)取最小值y＝． （2）當(dāng)a＜0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x＝時，函數(shù)取最大值y＝．xyOxyOx＝－A圖2.2-3xyOx＝－A圖2.2-4xxOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖2.2－5例1求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象．解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x＝－1；頂點坐標為(－1，4)；當(dāng)x＝－1時，函數(shù)y取最大值y＝4；當(dāng)x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞－1時，y隨著x的增大而減小；采用描點法畫圖，選頂點A(－1，4))，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖2－5所示）．說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：X/元130150165Y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤＝日銷售量y×(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值．解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)y＝kx＋（B）將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．設(shè)每天的利潤為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴當(dāng)x＝160時，z取最大值1600．答：當(dāng)售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．例3把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y＝x2的圖像，所以，解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，等價于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數(shù)y＝x2－8x＋14與函數(shù)y＝x2＋bx＋c表示同一個函數(shù)，∴b＝－8，c＝14．說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉(zhuǎn)化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點．今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題．例4已知函數(shù)y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值．分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論． 解：（1）當(dāng)a＝－2時，函數(shù)y＝x2的圖象僅僅對應(yīng)著一個點(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；（2）當(dāng)－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當(dāng)x＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝a時，函數(shù)取最小值y＝a2；（3）當(dāng)0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當(dāng)x＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝0時，函數(shù)取最小值y＝0；（4）當(dāng)a≥2時，由圖2．2－6③可知，當(dāng)x＝a時，函數(shù)取最大值y＝a2；當(dāng)x＝0時，函數(shù)取最小值y＝0．xxyO－2a①xyO－2aa24圖2.2－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題．練習(xí)1．填空題（1）二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的頂點坐標為(1，－2)，則m＝，n＝．（2）已知二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當(dāng)m＝時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當(dāng)m＝時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當(dāng)m＝時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點．（3）函數(shù)y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開口向，對稱軸為，頂點坐標為；當(dāng)x＝時，函數(shù)取最值y＝；當(dāng)x滿足時，y隨著x的增大而減?。?．求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大（小）值及y隨x的變化情況，并畫出其圖象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．4．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r所對應(yīng)的自變量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．（十二）二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．頂點式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中頂點坐標是(－h(huán)，k)．除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示．為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點個數(shù)．當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點的橫坐標（縱坐標為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數(shù)與方程①的解的個數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4ac存在下列關(guān)系：（1）當(dāng)Δ＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點，則Δ＞0也成立．（2）當(dāng)Δ＝0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點，則Δ＝0也成立．（3）當(dāng)Δ＜0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點，則Δ＜0也成立．于是，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以x1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()=a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)．由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論： 若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3．交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標．今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題．例1已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過點（3，－1），求二次函數(shù)的解析式．分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點坐標是（1，2）．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（3，－1），∴，解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為，即y＝－2x2＋8x－7．說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題．例2已知二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達式．分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數(shù)的表達式設(shè)成交點式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展開，得y＝ax2＋2ax－3a，頂點的縱坐標為，由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數(shù)的表達式為y＝，或y＝－． 分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x＝－1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達式設(shè)成頂點式來解，然后再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達式． 解法二：∵二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴對稱軸為直線x＝－1．又頂點到x軸的距離為2，∴頂點的縱坐標為2，或－2．于是可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函數(shù)圖象過點(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題．例3已知二次函數(shù)的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達式．解：設(shè)該二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函數(shù)圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－2x2＋12x－8．通過上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點式、交點式來求二次函數(shù)的表達式？練習(xí)1．填空：（1）函數(shù)y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點個數(shù)是（2）函數(shù)y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋2的頂點坐標是（3）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(－1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y＝a(a≠0)．（4）二次函數(shù)y＝－x2+2eq\r(3)x＋1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離為．2．根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式．（1）圖象經(jīng)過點(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）當(dāng)x＝3時，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(1，11)；（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1－eq\r(2)，0)和(1＋eq\r(2)，0)，并與y軸交于(0，－2)．（4）函數(shù)圖象關(guān)于對稱，且與軸的兩個交點分別為（-1,0），（3,0）（十三）二次函數(shù)的簡單應(yīng)用一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換1．平移變換問題1在把二次函數(shù)的圖象進行平移時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？ 我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，具有這樣的特點——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點式研究其頂點的位置即可． 例1求把二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖