2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.2-函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值【課件】

第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有______________，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱(chēng)它是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有___________，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱(chēng)它是減函數(shù)f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上__________或__________，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，________叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)遞增單調(diào)遞減區(qū)間D2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足條件(1)?x∈I，都有__________；(2)?x0∈I，使得__________(1)?x∈I，都有________；(2)?x0∈I，使得________結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M×××√解析(1)錯(cuò)誤，應(yīng)對(duì)任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以.(2)錯(cuò)誤，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上為增函數(shù)，但f(x)＝x的單調(diào)區(qū)間是(－∞，＋∞).(3)錯(cuò)誤，此單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接，故單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞).D2.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(

)B解析∵f(x)的定義域?yàn)閇1，＋∞)，∴f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(1)＝9.9解得－1≤a＜1.5.(易錯(cuò)題)函數(shù)y＝f(x)是定義在[－2，2]上的減函數(shù)，且f(a＋1)＜f(2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.[－1，1)解析由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，故f(x)的定義域(－∞，－1)∪(3，＋∞)，由函數(shù)y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1).(－∞，－1)KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2解析y＝－sinx和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具備單調(diào)性；y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上單增.故選D.1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數(shù)的是(

)DA該函數(shù)圖象如圖所示，其單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1).[0，1)設(shè)x1＜x2＜－2，因?yàn)?x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增.(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解

設(shè)1＜x1＜x2，因?yàn)閍＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.綜上所述，a的取值范圍是(0，1].8解析法一在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象為如圖所示的實(shí)線(xiàn)部分.易知點(diǎn)A(2，1)為圖象的最高點(diǎn)，因此h(x)的最大值為h(2)＝1.1當(dāng)0<x≤2時(shí)，h(x)＝log2x是增函數(shù)，當(dāng)x>2時(shí)，h(x)＝3－x是減函數(shù)，因此h(x)在x＝2時(shí)取得最大值h(2)＝1.根據(jù)圖象可知，函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的值域?yàn)閇3，＋∞).訓(xùn)練1(1)函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的值域?yàn)開(kāi)__________.[3，＋∞)作出函數(shù)的圖象如圖所示.∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6，角度1比較函數(shù)值的大小例2

設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則(

)C解析f(x)為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示.例3(1)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿(mǎn)足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是(

) A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1] C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]角度2解函數(shù)不等式D當(dāng)x≤0時(shí)，要滿(mǎn)足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x＞0時(shí)，要滿(mǎn)足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿(mǎn)足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3].解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝lnx＋2x在定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是___________________________.解析令t＝|x－a|，∴y＝et，t＝|x－a|在(－∞，a]上單調(diào)遞減，在[a，＋∞)上單調(diào)遞增.又y＝et為增函數(shù)，∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上單調(diào)遞減，在[a，＋∞)上單調(diào)遞增，∴a≤1.例4(1)已知函數(shù)f(x)＝e|x－a|(a為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[1，

＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.角度3求參數(shù)的取值范圍(－∞，1]由圖象可知f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，需滿(mǎn)足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.解析函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，(－∞，1]∪[4，＋∞)當(dāng)x2＞x1＞1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立等價(jià)于函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以b＞a＞c.Df(x)在定義域(－2，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－1)＝3，由f(a－2)＞3，得f(a－2)＞f(－1)，即－2＜a－2＜－1，即0＜a＜1.(0，1)構(gòu)造函數(shù)解決不等式(方程)問(wèn)題對(duì)于結(jié)構(gòu)相同(相似)的不等式(方程)，通?？紤]變形，構(gòu)造函數(shù)，利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，尋找變量之間的關(guān)系，達(dá)到解題目的.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象.解析由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，∴a<2b.例(1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則(

) A.a>2b

B.a<2b C.a>b2

D.a<b2B解析原已知條件等價(jià)于2x－3－x<2y－3－y，設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－3－x.因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x與y＝－3－x在R上均單調(diào)遞增，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正確，B不正確.因?yàn)閨x－y|與1的大小不能確定，所以C，D不正確.(2)若2x－2y<3－x－3－y，則(

)A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0AFENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升31.(多選)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)的是(

)ABA解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).3.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是(

) A.f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3) C.f(π)＜f(－3)＜f(－2) D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)A解析令g(x)＝－x2－2x＋3，由題意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|－3＜x＜1}.根據(jù)f(0)＝loga3＜0，可得0＜a＜1.又g(x)在定義域(－3，1)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是[－1，1)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，1).4.已知函數(shù)f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

) A.(－∞，－1]

B.[－1，＋∞) C.[－1，1)

D.(－3，－1]C解析因?yàn)閷?duì)任意x1≠x2，所以y＝f(x)在R上是增函數(shù)，D解析f(x)＝loga|x－1|的定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞).設(shè)z＝|x－1|，可得函數(shù)z在(－∞，1)上單調(diào)遞減；在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，由題意可得0＜a＜1，故A正確，B錯(cuò)誤；由于0＜a＜1，可得2021＜a＋2021＜2022.又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(a＋2021)＞f(2022)，故C正確，D錯(cuò)誤.6.(多選)已知函數(shù)f(x)＝loga|x－1|在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞增，則(

) A.0＜a＜1 B.a＞1 C.f(a＋2021)＞f(2022) D.f(a＋2021)＜f(2022)AC畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示，7.函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)________________________，單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)____________________________.(－∞，－1]和[0，1](－1，0)和(1，＋∞)單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，0)和(1，＋∞).解析由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x為奇函數(shù)，又易證在定義域R上，f(x)是增函數(shù)，則不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等價(jià)于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，8.若函數(shù)f(x)＝ex－e－x，則不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集為_(kāi)_________.解析∵f(x)在R上是奇函數(shù)，又f(x)在R上是增函數(shù)，且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c.a＞b＞c∴f(x)的定義域?yàn)?－3，1)，則f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1).令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，10.函數(shù)f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求方程f(x)＝0的解；經(jīng)檢驗(yàn)，均滿(mǎn)足原方程成立.(2)若函數(shù)f(x)的最小值為－1，求a的值.解

由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)，由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，∴l(xiāng)oga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，解

f(x)在R上單調(diào)遞增.證明如下：∵f(x)的定義域?yàn)镽，∴任取x1，x2∈R，且x1<x2，(2)探究f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；∵y＝2x在R上單調(diào)遞增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上單調(diào)遞增.∴f(ax)<f(2)，即為f(x)<f(2).又∵f(x)在R上單調(diào)遞增，∴x<2.∴x的取值范圍是(－∞，2).(3)若f(x)為奇函數(shù)，求滿(mǎn)足f(ax)<f(2)的x的取值范圍.解

∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，解析對(duì)于a，b：a＝4ln3π＝ln34π＝πl(wèi)n81，b＝3ln4π＝ln43π＝πl(wèi)n64，顯然a＞b；12.已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，則a，b，c的大小關(guān)系是(

) A.c＜b＜a