新疆烏魯木齊市2025屆高三數(shù)學(xué)三模試題理含解析

PAGE24-新疆烏魯木齊市2025屆高三數(shù)學(xué)三模試題理（含解析）一、選擇題（共12小題）.1.計算復(fù)數(shù)得()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法和乘法運算求解.【詳解】故選：A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，還考查了運算求解的實力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】集合，，因此，.故選：D．【點評】本題考查交集的求法，考查交集的定義及運算法則等基礎(chǔ)學(xué)問，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查運算求解實力，是基礎(chǔ)題．3.命題，，則是（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，寫出其特稱命題可得答案．【詳解】命題的否定是：，，故選：C．【點睛】本題考查命題的否定，考查全稱命題和特稱命題，屬于基礎(chǔ)題．4.已知等差數(shù)列滿意，，則()A.20 B.24 C.26 D.【答案】B【解析】【分析】干脆依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵等差數(shù)列滿意，，∴，即，∴，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5.若角的終邊過點，則的值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義求出，即可求出結(jié)論.【詳解】角的終邊過點，，.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義以及二倍角公式求三角函數(shù)值，考查計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.6.某校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模愛好班.其中甲班有40人，乙班有50人.現(xiàn)分析兩個班的一次考試成果，算得甲班的平均成果是90分，乙班的平均成果是81分，則這兩個數(shù)學(xué)建模愛好班全部同學(xué)的平均成果是()A.85 B.85.5 C.86 D.86.5【答案】A【解析】分析】本題是一個加權(quán)平均數(shù)的問題，求出甲和乙兩個班的總分?jǐn)?shù)，再除以兩個班的總?cè)藬?shù)，就是這兩個班的平均成果．【詳解】解：由題意，這兩個數(shù)學(xué)建模愛好班全部同學(xué)的平均成果是，故選：A．【點睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題．7.正方體中，的中點為，的中點為，則異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用異面直線所成的角的定義，取的中點為，則直線與所成角就是直線與成的角．【詳解】取的中點為，連接，則直線與所成角就是直線與成的角，由題意得，故異面直線與所成角的大小為.故選：D．【點睛】本題考查空間角的計算，考查棱柱的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯思維實力和計算實力，屬于中檔題．8.在中，，點滿意，則()A.-1 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由題意可知為直角，以為原點，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量共線求出點，從而再依據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】在中，，所以為直角，以為原點，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，由，可得，即，解得，，所以，由，所以.故選：A【點睛】本題考查了平面對量的線性坐標(biāo)運算、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.9.直線與拋物線交于，兩點，若，則的值為()A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，聯(lián)立并消元得，，得韋達(dá)定理結(jié)論，由題意得，由此依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可．【詳解】解：設(shè)，，聯(lián)立并消元得，，∴，，又，∴，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10.在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點，連接，，由題意可得為外接球的球心，利用球的表面積公式即可求解.【詳解】由，，所以，可得，所以，即為外接球的球心，球的半徑所以四面體的外接球的表面積為：.故選：B【點睛】本題考查了多面體的外接球的表面積，需熟記球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.11.是雙曲線：上位于其次象限的一點，，分別是左、右焦點，.軸上的一點使得，，兩點滿意，，且，，三點共線，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，先求出，再依據(jù)，求出，再求出，再求出，依據(jù)，，三點共線，利用向量平行，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】解：如圖，，把代入，得，設(shè)，因為，所以，所以，，即，因為，所以是線段的中點，所以，即，設(shè)，則，因為，所以，，所以，，因為，，三點共線，所以，所以，，，，因為，所以，所以，故選：A.【點睛】結(jié)合向量考查用解析法求雙曲線的離心率，對于學(xué)生的運算求解實力是挑戰(zhàn)，計算量大，簡單出錯；中檔題.12.定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，，且對隨意實數(shù)，都有，若有且僅有5個零點，則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，分別作出函數(shù)和的圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，則，當(dāng)時，，此時，則，當(dāng)時，，此時，則，由，可得，分別作出函數(shù)和的圖像：若時，此時兩個函數(shù)圖像只有個交點，不滿意條件；若時，當(dāng)對數(shù)函數(shù)經(jīng)過點時，兩個圖像有個交點，經(jīng)過點時有個交點，則要使兩個函數(shù)有有且僅有5個零點，則對數(shù)函數(shù)圖像必需在點以下，在點以上，，，，，即滿意，解得，即.故選：C【點睛】本題考查了由函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于難題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.已知定義在上的奇函數(shù)滿意：當(dāng)時，，則______.【答案】-2【解析】【分析】依據(jù)定義在上的奇函數(shù)，則，然后再由時，求解.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，所以.故答案為：-2【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及對數(shù)運算，還考查了運算求解的實力，屬于基礎(chǔ)題.14.如圖，在邊長為1的正方形內(nèi)隨機取一點，則此點恰好取自曲線下方與正方形所圍成陰影部分的概率為______.【答案】【解析】【分析】先求得正方形的面積，再用定積分求得陰影部分的面積，代入幾何概型的概率公式求解.【詳解】正方形的面積為：，陰影部分的面積為，所以此點恰好取自曲線下方與正方形所圍成陰影部分的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查幾何概型的概率求法以及定積分的幾何意義，還考查了運算求解的實力，屬于基礎(chǔ)題.15.f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在區(qū)間上最大值是，則ω＝________.【答案】【解析】【詳解】函數(shù)f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函數(shù)，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函數(shù)，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案為.16.黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想涉及到許多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險柜前瑟瑟顫抖，不少黑客則潛藏敲著鍵盤蓄勢待發(fā)”.黎曼猜想探討的是無窮級數(shù)，我們常常從無窮級數(shù)的部分和入手.已知正項數(shù)列的前項和為，且滿意，則______（其中表示不超過的最大整數(shù)）.【答案】18【解析】【分析】依據(jù)已知結(jié)合前項和與通項關(guān)系，可得為等差數(shù)列，進(jìn)而求出，再利用，以及當(dāng)時，，求出的范圍，即可求出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，，，，又時，令，，，即，從而.故答案為：.【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系、數(shù)列前項和的范圍，構(gòu)造新的等差數(shù)列以及用放縮法求數(shù)列和是解題的關(guān)鍵，留意常見的裂項相消法求和的模型，屬于較難題.三、解答題：第17～21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，，，是，，所對的邊，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若為邊上一點，且，求的面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由題意求得，再依據(jù)余弦定理即可求出答案；（Ⅱ）依據(jù)正弦定理可得，從而求得，則，再依據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．【詳解】解：（Ⅰ）由，得，∴，又∵，，又，即，解得，(負(fù)值舍去)；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴，∵，∴，且，∴的面積．【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18.在疫情這一特別時期，教化行政部門部署了“停課不停學(xué)”的行動，全力幫助學(xué)生在線學(xué)習(xí).復(fù)課后進(jìn)行了摸底考試，某校數(shù)學(xué)老師為了調(diào)查高三學(xué)生這次摸底考試的數(shù)學(xué)成果與在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時長之間的相關(guān)關(guān)系，對在校高三學(xué)生隨機抽取45名進(jìn)行調(diào)查.知道其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時長是不超過1小時的，得到了如下的等高條形圖：（Ⅰ）是否有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成果與其在線學(xué)習(xí)時長有關(guān)”；（Ⅱ）將頻率視為概率，從全校高三學(xué)生這次數(shù)學(xué)成果超過120分的學(xué)生中隨機抽取10人，求抽取的10人中每天在線學(xué)習(xí)時長超過1小時的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（Ⅰ）沒有；（Ⅱ），.【解析】【分析】（1）依據(jù)條形圖供應(yīng)的數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，然后再將數(shù)據(jù)代入公式，求得，與臨界表對比下結(jié)論.（2）由列聯(lián)表得到數(shù)學(xué)成果超過120分的學(xué)生每天在線學(xué)習(xí)時長超過1小時的概率，然后用二項分布的期望和方差公式求解.【詳解】（Ⅰ）依題意，得列聯(lián)表數(shù)學(xué)成果在線學(xué)習(xí)時長分分合計小時151025小時51520合計202545∵∴沒有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底成果與其在線學(xué)習(xí)時長有關(guān)”；（Ⅱ）從上述列聯(lián)表中可以看出：這次數(shù)學(xué)成果超過120分的學(xué)生中每天在線學(xué)習(xí)時長超過1小時的頻率為，則，∴，.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗和二項分布的期望與方差，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.19.如圖，將等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折，使二面角的大小為，翻折后的中點為.（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折，則，，又是的中點，易得，，再利用線面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，易知二面角的平面角是，則，然后分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，代入公式求解..【詳解】（Ⅰ）∵折疊前，是斜邊上的高，∴是的中點，∴，又因為折疊后是的中點，∴，折疊后，∴，，∴平面；（Ⅱ）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，易知二面角的平面角是，則，∴，，，，設(shè)平面的一個法向量為，得，即，令,得，設(shè)平面的一個法向量,得，即，令，得∴.所以二面角的余弦值是.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，二面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理，運算求解的實力，屬于中檔題.20.已知橢圓：右焦點為，為橢圓上異于左右頂點，的一點，且面積的最大值為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與直線交于點，線段的中點為，證明直線平分.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由題意得，解出即可；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求得點，求出點，從而得中點，利用斜率的計算公式與正切的定義即可證明結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ）由題意得，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，代入，得，解得，或，∴，∴，易知直線與的交點，∴線段的中點，設(shè)，則，∴，，∵，，，∴，即直線平分．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算實力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題．21.已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，令，只需，由，探討的取值范圍，依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.（Ⅱ）將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，求出，探討的取值范圍，當(dāng)時，令，利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性，確定的符號，進(jìn)而可到的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】（Ⅰ），令，即，，∵，①當(dāng)時，，，，∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；（Ⅱ）當(dāng)時，在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時，在上，都有，，即恒成立，與題意沖突；當(dāng)時，令，，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，①若，即，時，，∴，在上單調(diào)遞減，∴成立，②當(dāng)，即，，∴存在使得，，，，，在單調(diào)遞增，∴存在使得與題意沖突，綜上所述.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立，考查了分類探討的思想，屬于難題.選考題：共10分，請考生在22.23兩題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分，作答時用28鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑．22.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)與交點為，，求的面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）先依據(jù)曲線參數(shù)方程，消去參數(shù)t化為直角坐標(biāo)方程，然后將代入求解.（Ⅱ）先把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，再求面積.【詳解】（Ⅰ）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)t得：，即：，又因為，代入上式得曲線