2024年新高考高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段性復(fù)習(xí)：正弦定理A卷 （解析版）

正弦定理A卷（解析版）

（本試卷滿分60分，建議用時(shí)：40分鐘）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.在△ABC中，若2acosB=c,則△ABC一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【解析】因?yàn)?acos8=c,由正弦定理得2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA,所以

sinAcosB-sinBcosA=0,即sin（A-B）=0,因?yàn)锳5e（0,%）,所以A-Be（—兀㈤,則A-3=0,即A=B,

故△ABC為等腰三角形.

故選A.

2.在△ABC中，6=2,c=5C=->則此三角形解的情況是（）

3

A.無(wú)解B.一個(gè)解C.兩個(gè)解D.無(wú)法確定

【答案】B

2義旦

【解析】由正弦定理可得一竺所以sin§=2理￡=—因?yàn)閎<c,所以2只

sinBsinCcJ55

有一個(gè)解，所以此三角形解的情況是一個(gè)解.

故選B.

3.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知6cosA=a（省一cos3）,a-2,則c=（）

A.4B.6C.2V2D.2A/3

【答案】D

【解析】因?yàn)?cosA=°（君-cos8）,根據(jù)正弦定理得sin8cosA=6sinA-sinAcosB,移項(xiàng)得

sinAcosA+sinAcosB=y/3sinA,即sin（A+3）=且sinA,BPsinC=\/3sinA,則根據(jù)正弦定理有

c=yj3a=2\[?>.

故選D.

4.“萊洛三角形”是機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)就是利用了萊洛三角形,

轉(zhuǎn)子引擎只需轉(zhuǎn)一周，各轉(zhuǎn)子便有一次進(jìn)氣、壓縮、點(diǎn)火與排氣過(guò)程，相當(dāng)于往復(fù)式引擎運(yùn)轉(zhuǎn)兩周，因此

具有小排氣量就能成就高動(dòng)力輸出的優(yōu)點(diǎn).另外，由于轉(zhuǎn)子引擎的軸向運(yùn)動(dòng)特性，它不需要精密的曲軸平

衡就可以達(dá)到非常高的運(yùn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速.“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓

弧，由這三段囪弧組成的曲邊三角形（如圖所示）.設(shè)“萊洛三角形”曲邊上兩點(diǎn)之間的最大距離為4,則

該“萊洛三角形”的面積為（）

A.8K-12A/3B.8K-8生

C.16兀-8右D.1671-473

【答案】B

【解析】由題意可知等邊三角形的邊長(zhǎng)為4,即AB=3C=AC=4,

A

所以扇形ABC的面積等于以A為圓心，A3為半徑的圓的面積的二，故扇形ABC的面積S=Jx7t><42=",

663

又S^ABC=gX4X4Xsin60。=8X孝=4君，該“萊洛三角形”的面積為3s-2SAASC=8TI-8A/3.

故選B.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共1小題，每小題5分，共5分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）

5.在AABC中，a,b,c分別為NAZB,/C的對(duì)邊，則下列敘述正確的是（）

Z7h

A.若，=3,則△ABC為等腰三角形

B.若貝UsinA>sin5

C.若ABBC<0,則△ABC為鈍角三角形

TT

D.若Q=bsinC+ccosB,貝！JNC=—

4

【答案】BD

【解析】由‘一=’一得幽3=史g05也28=5M24024=28+2E，或24+25=兀+2為1,

cosBcosAcosBcosA

TT

k^Z,由于在三角形中，所以A=3或A+5=—,故△ABC為等腰三角形或者為直角三角形，故A錯(cuò)

2

誤，

由A>5,得a>b,由正弦定理得sinA>sin5,故B正確，

若ABBC<0,貝"431卜。105（兀iB）<0ncos5>0,因此3為銳角，故無(wú)法確定△ABC為鈍角三

角形，故C錯(cuò)誤，

由a=bsinC+ccosB得sinA=sinBsinC+sinCeosB，進(jìn)而可得

=>sin（B+C）=sinBsinC+sinCcosB=>sinBcosC=sinBsinC,由于sin5W0,所以

cosC=sinC=>tanC=l,由于Ce（0,7r）,所以C=:,故D正確.

故選BD.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中橫線上）

6.下面是一道選擇題的兩種解法，兩種解法看似都對(duì)，可結(jié)果并不一致，問(wèn)題出在哪兒？

【題目】在△ABC中，a=x,b=2,5=45,若△ABC有兩解，則x的取值范圍是（）

A.（2,+oo）B.（0,2）C.（2,20）D.（在2）

【解法1】/XABC有兩解，asinB<b<a,xsin45<2<x,即2<龍<2后，故選C.

a_basinBxsin45。42x

【解法2】sinA=

sinAsinBb~2一丁

△ABC有兩角軋bsinA<a<b,2x^^<x<2?即0<x<2,故選B.

4

你認(rèn)為是正確的.（填“解法1”或“解法2”）

【答案】解法1

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，三角形有兩解即滿足asinB<h<〃，解法1是正確的;

解法2中因?yàn)?=45。，要是三角形有兩解，則應(yīng)該正<sinA<l,即也<叵<1,所以錯(cuò)誤.

224

7.在△A5C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且gacosB=bsinA,則3的值為

sinA+sinC的最大值是.

【答案】Pb

【解析】團(tuán)J^〃cos5=bsinA,回由正弦定理得百sinAcos3=sinBsinA,又sinAwO,故6cos3=sin3,

團(tuán)tanB=y/3,回0<_8<兀，^\B=—,0A+C=,

HsinA+sinC=sinA+sin（g-=sinA+sincosA-cossinA=A/3^^^sinA+^-cosA=A/§sin（A+^J

HO<A<—,0-<A+-<—,回當(dāng)A+&=&,即A=g時(shí)，病in[A+j]取得最大值如，團(tuán)當(dāng)A=工,。=巴

3666623\oy33

時(shí)，sinA+sinC取得最大值73.

故答案為:；6.

2冗

8.如圖，在△ABC中，AD是角A的平分線，AB=2,AC=4,ZBAC=——，則AZ）=.

3

A

4

【答案】J

27r7T

【解析】因?yàn)?）是角A的平分線，NBAC=」，所以ZBAD=ZCAD=2,由SAABC=SAASD+SAACD,

Zi/iIJZ\rxDLJL\tW^U

AB-AC-sin—=-AB-AD-sin-+-AD-AC-sin-,即_Lx2x4x3=工x2AOx且+^40x4x3,

232323222222

4

解得AO=§.

4

故答案為1.

四、解答題（本大題共2小題，每小題10分，共20分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

9.已知函數(shù)/（x）=Msin（公v+°）（A/>0,G>0,I初v]j）的部分圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)八%）的解析式；

（2）在△ABC中，角AB,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若（2a—c）cos6=/?cosC,求/（f的取值

范圍.

【解析】（1）由圖象知函數(shù)/（X）的最大值為1,最小值為-1,所以M=l,由圖象知函數(shù)/（X）的周期

T="Ij—=兀，所以3=2,將點(diǎn)代入解析式得sin[m+cp]=1,因?yàn)镮cpI<|■，所以（P=￡,

所以〃x）=12x+胃.

（2）由（2a—c）cosB=Z;cosC,得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sin（B+C）,

2sinAcosB=sinA,因?yàn)槿恕辏?,兀），所以sinAwO,所以cosBn1^,B=^,A+C=^2,由（1）

d$=sin（A+{|,又。<A<,,"所以，巾+才（訓(xùn),所以劣即，所以

的取值范圍為[g』.

10.在△ABC中，角ABC所對(duì)的邊分別為a,b,c,y/3asinB-Z?=bcosA.

(1)求A；

(2)若△ABC為銳角三角形，且Z?+c=2,求a的取值范圍.

【解析】（1）y/3asmB-b=bcosA=>A/3sinAsinB-sinB=sinBcosA,因?yàn)?e（0,7i）,所以sinBwO,

于是由gsinAsinB-sin8=sinBcosAn^sinA-l=cosA=>sin（A-馬，因?yàn)锳e（0,7T）,所以

62

71(兀5兀)兀兀.71

A4----e1

61

abca一一,aa

(2)由正弦定理得一J=——=^—=—,所以6=――sinB.c=——sinC,所以

sinAsinBsinCyj373V3

222

7a.a