2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何輔助線進(jìn)階訓(xùn)練-矩形的輔助線

初中幾何輔助線進(jìn)階訓(xùn)練—矩形的輔助線

一'階段一（較易）

1.如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，連接DE,BF垂直平分DE,垂足為F,點(diǎn)G

在BE上，點(diǎn)H在ZB上，S.GH//DE.

(1)若BC=3,CE=2,求

(2)若GE=4D+BG,求證：GH=EF.

2.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8,GC=1,AE平分/BAG交BC于點(diǎn)E,E是BC的中點(diǎn),

則AG的長(zhǎng)為.

3.如圖，四邊形4BCD和四邊形AEFC是兩個(gè)矩形，點(diǎn)B在EF邊上，若=2,AC=3,則矩形

4EFC的面積為（）

A.3B.2V5C.4V5D.6

4.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3,BC=38，NCBD=30。，點(diǎn)M是射線BD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)

B,D重合），連接AM,過(guò)點(diǎn)M作MN1AM交直線BC于點(diǎn)N,若△BMN是等腰三角形，貝U

BN=.

5.如圖，已知在△OAB中AO=BO,分別延長(zhǎng)AO,BO到點(diǎn)C、D,使得OC=AO,OD=BO,連

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；

(2)以AO,BO為一組鄰邊作平行四邊形AOBE,連接CE.若CELAE,求NAOB的度數(shù).

6.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)

(1)求證：四邊形2DCF為矩形；

(2)若4。=BC,AB=2遮，求BF的長(zhǎng).

7.如圖，△ABC中，AB=AC,AD為BC上的高線，E為AB邊上一點(diǎn)，EFLBC于點(diǎn)F,交CA

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G已知EF=2,EG=3.則AD的長(zhǎng)為.

8.已知，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8,BC=6,點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC上的點(diǎn)，連接DE,

DF,EF.

（1）如圖①，當(dāng)CF=2BE=2時(shí)，試說(shuō)明ADEF是直角三角形;

（2）如圖②，若點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，DE平分NADF,求BF的長(zhǎng).

9.如圖，在矩形ABCD中，BC=4,AE±BD,垂足為E,ZBAE=30°,那么△ECD的面積是

（）

A.2V3B.4V3C.8V3D.

10.如圖，在矩形中，AB=1,4。=2,點(diǎn)M在邊BC上，若平分ZDMB,貝UCM的長(zhǎng)是

A.3A/2B.2A/6C.2V5D.V3

二'階段二（一般）

11.如圖，將長(zhǎng)方形紙片4BCD沿EF折疊后,點(diǎn)A,B分別落在4,B,的位置，再沿邊將乙4,折疊

到NH處，已知41=54°,貝ikZEF=°,乙FEH=1

12.如圖，在矩形48CD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，有/E==gBC且BC=a，點(diǎn)P是BE上

一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊ZB,4C的距離之和PM+PN的值（）

A.有最大值aB.有最小值*aC.是定值JaD.是定值坐a

N/Z

13.矩形ABCD與矩形CEFG如圖放置，點(diǎn)B、C、E共線，點(diǎn)C、D、G共線，連接AF,取AF的中點(diǎn)

H,連接GH.若BC=EF=3,CD=CE=1,則GH=()

A.V2B.V3C.2D.1

14.如圖是一張矩形紙片ABCD,點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，把△DCE沿直線0E折

疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線4C上的點(diǎn)F處，連接DF,EF.若MF=4B,則乙DAF=度.

15.AM/7BN,AB1BN,垂足為B,點(diǎn)C在直線BN上，AC1CD,AC=CD,DE1AM,垂足為

圖①陰⑦圖③

(1)如圖①，求證：DE+BC=AB；

(2)如圖②、圖③，請(qǐng)分別寫(xiě)出線段DE,BC與AB之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明;

(3)在(1)、(2)的條件下，AC2=100,AB-BC=2,則線段DE=.

16.如圖，矩形ABCD中，ZE1BD交CD于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AD上，連接CF交AE于點(diǎn)G,CG=

GF=AF,若BZ)=4b，則CD的值為_(kāi)________.

AB

工

D￡(,

17.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接EC,FD,點(diǎn)G、H分別是

EC、FD的中點(diǎn)，連接GH,若AB=6,BC=10,則GH的長(zhǎng)度為_(kāi)_______________.

AD

BF7?

18.如圖，點(diǎn)E為口ABCD的邊AD上的一點(diǎn),連接EB并延長(zhǎng)，使BF=BE,連接EC并延長(zhǎng)，使

CG=CE,連接FG.H為FG的中點(diǎn)，連接DH,AF.

F*-----------H-----------'G

(1)若NBAE=65。，ZDEC=40°,求/ECD的度數(shù)；

(2)求證：四邊形AFHD為平行四邊形；

(3)連接EH,交BC于點(diǎn)0,若OC=OH,求證：EFLEG.

19.如圖，矩形ABCD中，M,N分別是邊AB,CD的中點(diǎn)，BP1AN于P,CP的延

長(zhǎng)線交4。于Q.下列結(jié)論：①PM=CN；②PM1CQ；③PQ=AQ；④OQ<2PN.其

中結(jié)論正確的有()

AMB

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

20.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，連接EC,FD,點(diǎn)H,G分別是

EC,FD的中點(diǎn)，連接GH,若AB=6,BC=8,則GH的長(zhǎng)度為（)

A.2B.jC."D.5

幺2

三、階段三（較難）

21.如圖，在矩形中，DE14C交8C于點(diǎn)E,點(diǎn)F在CO上，連接BF交DE于點(diǎn)G,且BG=GF=

DF,若4c=671,貝IJBC的值是（）

A.3A/5B.4>/3C.2V15D.8

22.如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有長(zhǎng)方形04BC,點(diǎn)A,C分別在y軸，x軸上，點(diǎn)。（4,3）在AB

上，點(diǎn)E在。C上，沿DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，點(diǎn)C與點(diǎn)的重合.若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且4

4PG面積是18,則點(diǎn)P坐標(biāo)為.

23.閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù).

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

如圖1,△ABC中，AABC=90°,BD是斜邊AC上的中線.求證：BD=|AC.

分析：要證明BD等于AC的一半，可以用“倍長(zhǎng)法”將BD延長(zhǎng)一倍，如圖2.延長(zhǎng)BD到E,

使得DE=BD.

連接AE,CE.可證BE=AC,進(jìn)而得到BD=4AC.

圖1圖2圖3

(1)請(qǐng)你按材料中的分析寫(xiě)出證明過(guò)程；

(2)如圖3,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，CD±AB,點(diǎn)E是線段CD上一點(diǎn)，分別連接AD,BE,

點(diǎn)F,G分別是AD和BE的中點(diǎn)，連接FG.若AB=12,CD=8,CE=3,貝胴G=.

24.如圖，在長(zhǎng)方形中，AB=9,4。=14.點(diǎn)E、點(diǎn)尸分別在4。、BC上,且ZE=CF=1,

點(diǎn)G是0C邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是AB邊上的動(dòng)點(diǎn).貝的是小值是.

25.在菱形ABCD中，NBCD=60。，點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)A,點(diǎn)B重合，連接CP,

作等邊三角形PCE.

(1)如圖1,若點(diǎn)P在線段AB上，連接DE,則線段PB,DE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，連接AE,求證：EA=EP；

(3)如圖3,若點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，順次連接四邊形ABCE各邊的中點(diǎn)，則所得四邊形

的形狀是.

26.如圖1,在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的一條角平分線，AN為△ABC的外角/BAM

的平分線，BELAN,垂足為E.已知AD=4,BD=3.

(1)求證：四邊形ADBE是矩形；

(2)如圖2,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F,使AF=AB,連接BF,G為BF的中點(diǎn)，連接EG,DG.求EG的

長(zhǎng).

(3)如圖3,在(2)問(wèn)的條件下，P為BE邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PG并延長(zhǎng)交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)

Q,連接CQ,H為CQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)P從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

27.如圖1,已知AABC三△EBD,AACB=^EDB=90°,點(diǎn)D在48上，連接CD并延長(zhǎng)交

AE于點(diǎn)F,

圖1圖2

(1)猜想：線段AF與EF的數(shù)量關(guān)系為；

(2)探究：若將圖1的XEBD繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)乙CBE小于180°時(shí)，得到圖2,

連接CD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F,則(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(3)拓展：圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EG1CB,垂足為點(diǎn)G當(dāng)乙ABC的大小發(fā)生變化，其它條件不

變時(shí)，若乙EBG=ABAE,BC=6,直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng).

28.將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)和矩形ABCD(ABVBC)的對(duì)角線的交點(diǎn)。重合，如圖

(①一②一③)，圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn).

圖①圖②圖③

（1）圖①（三角板一直角邊與0D重合）中，連接DN,則BN與DN的數(shù)量關(guān)系

是，進(jìn)而得到BN,CD,CN的數(shù)量關(guān)系是；

（2）寫(xiě)出圖③（三角板一邊與0C重合）中，CN,BN,CD的數(shù)量關(guān)系是；

（3）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理

由.

29.如圖，平行四邊形ABCD中，AELCD于E,BF平分NABC與AD交于F.AE與BF交于G.

（1）延長(zhǎng)DC到H,使CH=DE,連接BH.求證：四邊形ABHE是矩形.

（2）在（1）所畫(huà)圖形中，在CH的延長(zhǎng)線上取HK=AG,當(dāng)AE=AF時(shí)，求證：CK=AD.

30.如圖，矩形ABCD和矩形CEFG,AB=1,BC=CG=2,CE=4,點(diǎn)P在邊GF上，點(diǎn)Q在邊

CE上，且PF=CQ,連結(jié)AC和PQ,N,M分別是AC,PQ的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（）

答案解析部分

L【答案】（1）解：如圖，連接BD,

BC=3,CE=2,

BE-5,

v5F垂直平分DE,

.??BE=BD=5,DF=EF,

???CD=y/BD2-BC2=V25-9=4，

???DE=VDC2+CE2=V16+4=2z，

.??DF=EF=V5;

(2)證明：如圖，在DC上截取CN=3H,在CE*上截取CM=BG,連接MN,

BH=CN

乙HBG=^NCM=9。。，

、BG=CM

：?>BHGdCNM(SAS),

??.MN=HG,(HGB=(NMC,

??.HG//MN,

又???HG//DE,

???MN//DE,

CMN^ACED,

CM_MN

'~CE=~DE"

???GE=AD+BG,BM=BC+CM,

???BM=GE,

??.BG=ME,

1

???CM=ME=^CE,

1

???MN“DE,

???MN=EF,

???HG=EF.

2.【答案】名

3.【答案】B

4.【答案】V3

5.【答案】(1)證明：?；OC=AO,OD=BO

二四邊形ABCD是平行四邊形

；.AC=2AO,BD=2BO

XVAO=BO

AAC=BD

二四邊形ABCD是矩形

(2)解：如圖：連接0E與BD交于F

V四邊形AOBE是平行四邊形

AAE=BO

XVAO=BO

；.AO=AE

VCEXAE

.\ZAEC=90°

VOC=OA

.,.OE=1AC=AO

???OE=AO=AE

△AOE是等邊二角形，

.\ZOAE=60°

???ZOAE+ZAOB=180°,

.\ZAOB=120°.

???AE=DE,BE=FE,

???四邊形ABDF為平行四邊形，

???BD=AF,BC||AF,

vAB=AC,

??△ABC是等腰三角形，

又?.?AD為BC邊上的中線，

???BD=CD,ADIBC,/-ADC=90°

???CD=AF,

??.四邊形ADCF為平行四邊形，

???四邊形ADCF為矩形

(2)解：設(shè)AD=BC=x,貝BD=1x,

在RtAABD中，AB2=AD2+BD2,

?12

得(2V5)—x2+(2x)，

解得久=4或久=一4(舍去)，

AD=BC=4,

四邊形ADCF為矩形，

CF=AD=4,

在Rt△BCF中，BF=VBC2+CF2=V42+42=4V2.

7.【答案】3.5

8.【答案】（1）證明：???CF=2BE=2，

???BE=1f

AE=AB-BE=7.

???四邊形ABCD是矩形，

???Z-A=Z-B=Z-C=90°,CD=AB=8,AD=BC=6,

在RtAADE中，DE2=AE2+AD2=62+72=85,

在RtADCF中，DF2=DC2+CF2=82+22=68,

在RtABEF中，EF2=BE2+EF2=I2+42=17,

DF2+EF2=DE2,

ADEF是直角三角形，且^DFE=90°；

(2)解：作EH1DF于H,

圖②

則乙4=4DHE=90°.

...DE平分^ADF,

???^ADE=乙HDE,

在AAED和4HED中，

?”=ADHE

乙ADE=乙HDE，

.DE=DE

AAED=AHED(AAS),

DA=DH=6,EA=EH=4,

EH=EB=4,

在RtAEHF和RtAEBF中，

(EF=EF

[EH=EB'

；.RtAEHF三RtAEBF(HL),

BF=HF.

設(shè)BF=久，貝！]HF=久，CF=6-x,

???DF—DH+HF=6+%,

在RtACDF中，DC2+CF2=DF2,

???82+(6-%)2=(6+%)2,

8

X—，

即BF=I.

9.【答案】A

10.【答案】D

11.【答案】117；9

12.【答案】D

13.【答案】A

14.【答案】18

15.【答案】(1)證明：延長(zhǎng)ED交BN于點(diǎn)F,如圖所示:

BCFN

VDE1AM,AB1BN

.\ZAED=90°,ZABC=90°

???ZBAC+ZACB=90°

???AM〃BN

???NDFC=180°-NAED=90°

VAC1CD

???NACB+NDCF=90°

:.NBAONDCF

VAC=CD

.*.△ABC^ACFD(AAS)

???BC=DF

ZABC=ZDFC=ZAED=90°

???四邊形ABFE是矩形

二?AB=EF

VDE+DF=EF

???DE+BC=AB.

(2)解：圖②結(jié)論：BC-DE=AB；理由如下:

延長(zhǎng)ED交BN于點(diǎn)F,如圖所示：

?,.NAED=NAEF=90°,ZABC=90°

ZBAC+ZACB=90°

VAMZ/BN

JNDFC二NAED=90°

VAC1CD

ZACB+ZDCF=90°

.\ZBAC=ZDCF

VAC=CD

.*.△ABC^ACFD(AAS)

???BC=DF

???ZABC=ZDFC=ZAEF=90°

???四邊形ABFE是矩形

二?AB=EF

VDE+EF=DF

.\BC-DE=AB；

圖③結(jié)論：DE-BGAB；理由如下:

設(shè)DE交CN于點(diǎn)F,如圖所示：

VDEIAM,AB1BN

???NAED=90°,NABC=90°,

.??ZBAC+ZACB=90°

VAM/7BN

?,.ZDFC=ZAED=90°,即ZBFE=90°,

VAC1CD

.\ZACB+ZDCF=90°

AZBAC=ZDCF

,.?AC=CD

ABC^ACFD(AAS)

???BC=DF

NABC=NBFE=NAEF=90°

???四邊形ABFE是矩形

二?AB=EF

VDE=DF+EF

???DE-BC=AB.

(3)2或14

16.【答案】V30

17?【答案】苧或;例

18.【答案】(1)解：：四邊形ABCD是平行四邊形，NBAE=65。,

???NBAE=NBCD=65。，

?:AD]IBC,NDEC=40。，

???乙ECB=40°,

???乙ECD=乙BCD-LECB=65°-40°=25°；

(2)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AD=BC,AD〃BC,

VBF=BE,CG=CE,

???BC是AEFG的中位線，

???BC〃FG,BC=?G,

TH為FG的中點(diǎn)，

AFH=IFG,

；.BC〃FH,BC=FH,

；.AD〃FH,AD=FH,

四邊形AFHD是平行四邊形;

(3)證明：連接EH,CH,

：CE=CG,FH=HG,

ACH=JEF,CH〃EF,

VEB=BF=1EF,

ABE=CH,

四邊形EBHC是平行四邊形，

AOB=OC=1BC,OE=OH=4EH,

：OC=OH,

；.BC=EH,

平行四邊形EBHC是矩形，

...NFEG=90°,

AEFXEG.

19.【答案】D

20.【答案】B

21.【答案】A

22.【答案】（—步0）或用,0）或（0,-17）或（0,23）

23.【答案】(1)證明：如圖2,延長(zhǎng)BD到E,使得DE=BD.連接ZE,CE，

AE

圖2

r,1

貝麗“BE,

BQ是斜邊力C上的中線，

CD—AD,

CD=AD

在△BCD和△￡*力。中，\^BDC=/LEDA,

、BD=ED

BCD公△￡*力D(S4S),

???BC=AE,Z-BCD=Z-EADy

???BC||AE,

???四邊形ABCE是平行四邊形，

又???AABC=90°,

??.平行四邊形ABCE是矩形，

??.BE=AC,

1

:?BD=^AC.

(2)竽

24.【答案】41

25.【答案】(1)PB=DE

(2)證明：如圖，連接DE.

?.?四邊形ABCD是菱形，

；.BC=CD=DA,ZADC=120°,CD||AB.

.?.ZCBP=ZBCD=60°.

VAPCE是等邊三角形，

???EC=EP=CP,ZECP=60°.

???NECD=NBCP.

???△DCE^ABCP.

???NCDE=NCBP=60。.

.?.ZADE=120o-60°=60o,

???NADE=NCDE.

,.?DE=DE,AD二CD,

.*.△ADE^ACDE,

???EA=EC,

???EA=EP.

(3)矩形

26.【答案】(1)證明：\?AB=AC,AD是角平分線,

AADXBC,NABONC,

VAN為4ABC的外角NBAM的平分線，

AZMAN=ZBAN,

VZBAM=ZABC+ZC,

???NMAN=NC,

???AN〃:BC,

JNDAE=NADC=NADB=90°,

VBEXAN,

JZAEB=ZDAE=ZADB=90°,

???四邊形ADBE是矩形；

(2)解：如圖，連接AG,

???矩形ADBE中,AD=4,BD=3,

???BE=AD=4,AE=BD=3,NADB=NDBE=NBDF=90。,

?-AB=ylAD2+BD2=V42+32=5，

ADF=1,

=y/DF2+BD2=Vl2+32=V10

???G是BF的中點(diǎn)，

???DG=BG==①,

2nr2

???NBDG=NDBG,

.\ZADG=ZEBG,

.*.△AGD^ABEG,

二?EG二AG,

7AG=7AB2—BG2=J52—(孚)2=3^2

*=吸

(3)解：由題意知點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條線段，當(dāng)P與E重合時(shí)，Q的位置在Qi,當(dāng)P與B重

合時(shí)，Q的位置在F,此時(shí)H分別在%、H2的位置，

：BE〃AD,

AZBEG=ZDQiG,

?.△EBG^AQiFG,

；.QiF=BE=4,

由題意知HiH2是ACQiF的中位線,

%H2=/QIF=2.

27.【答案】(1)AF=EF

(2)解：仍舊成立，理由如下：

延長(zhǎng)DF到G點(diǎn)，并使FG=DC,連接GE,如下圖所示

設(shè)BD延長(zhǎng)線DM交AE于M點(diǎn)，

?.FABCz^EBD,

ADE=AC,BD=BC,

???NCDB二NDCB,且NCDB=NMDF,

.\ZMDF=ZDCB,

VZACB=90°,

.\ZACD+ZDCB=90°,

VZEDB=90°,

???ZMDF+ZFDE=90°,

???NACD=NFDE,

又延長(zhǎng)DF使得FG=DC,

二?FG+DF=DC+DF,

???DG=CF,

在a