三角形中的常見模型綜合訓(xùn)練（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)

培優(yōu)專題01三角形中的常見模型綜合訓(xùn)練

考點大集合

小手拉手全等

2、K型全等

H。考點一三角形的全等模向

3、倍長中線造全?。‐題型01三角形常見全等模型及其應(yīng)用

<4.對稱類全等1

■<5、平移類全等）,

1.平行類相似）,

2.手拉手相似

三角形常見模型K型相似

?？键c二三角形的相似模型》題型01相似三角形常見模型及其應(yīng)用

一線三等角

5,母子三角形

6、射影定理

_、「（1、三角形角平分線與中線夾角堿））

—（。考點三三角形組合型（2、知二得一模型）>|題型01三角形組合aaRMgffl|

1（3、勾股定理的面積模型）

考點、大過頭

考點一：三角形的全等模型

?核而提煉：查漏補缺_____________

全等三角形在中考數(shù)學(xué)中的重點不是簡單的直接考察，而是作為幾何題的中間變量，利用全等三角形的

對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，來傳遞等量線段或者等價角。而當(dāng)題目不直接考察時，識別需要的全等模型，

并利用對應(yīng)結(jié)論做題就是最為重要的一個突破口，學(xué)習(xí)模型，運用模型結(jié)論直接做題會給我們提供一個非

常重要的做題思路。

題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

題型01三角形常見全等模型及其應(yīng)用

解題大招：全等常見模型：

①K型圖：

圖形條件與結(jié)論輔助線注意事項

條件：AC=BC,AC1分別過點A、BK型圖可以和等腰直角三

BBC作AD_L/角板結(jié)合，也可以和正方

結(jié)論：BE1/形結(jié)合

"DC△ADC^ACEB(AAS)

K型全等模型變形——三垂定理：

?

I卜!一

如圖，亦有AADC二△CEB（AAS）\*!

總結(jié)：當(dāng)一個直角放在一條直線上時，常通過構(gòu)造K型全等來證明邊相等，或者邊之間的數(shù)量關(guān)系

②手拉手：

模型名稱幾何模型圖形特點具有性質(zhì)

全連結(jié)BD、CE

等?AABD^AACE

型②△

AD=AEAOBS^HOC

手

AB=AC

拉(即41=42=43)

ZBAC=ZDAE

手/④A、B、C、D四點共圓

-----------⑤AH平分乙BHE

③倍長中線：

基本圖形輔助線條件與結(jié)論應(yīng)用環(huán)境

①倍長中線常和△三邊

延長AD到點E,條件：AABC,AD=BD關(guān)系結(jié)合，考察中線長的

使DE=AD,連接CE取值范圍

.L—\結(jié)論：②倍長中線也可以和其

△ABDSACED(SAS)他幾何圖形結(jié)合，考察幾

何圖形的面積問題

【中考真題練】

1.（2023?長春）如圖，工人師傅設(shè)計了一種測零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點。為A4'、的中點,

只要量出48的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑48的長度.依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實是（)

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

B.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

C.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例

D.兩點之間線段最短

2.（2023?重慶）如圖，在中，ZBAC=90°,AB=AC,點、D為BC上一點,連接AD.過點B

作BE1AD于點E,過點C作交AD的延長線于點F.若BE=4,CF=1,則EF的長度為.

3.（2023?呼和浩特）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB^BC,AC=4&，點P為AC邊上的中點,

PM交AB的延長線于點M,PN交BC的延長線于點N,且PM1PN.若BM=1,則△PMN的面積為（）

4.（2023?湖北）如圖，XBAC,/XOEB和△AEP都是等腰直角三角形，/BAC=/DEB=/AEF=90°,

點E在△ABC內(nèi)，BE>AE,連接。尸交AE于點G,DE交AB于點、H,連接CP.給出下面四個結(jié)論：

?ZDBA=ZEBC；?ZBHE=ZEGF；③AB=DF；?AD=CF.其中所有正確結(jié)論的序號是.

D

A

C

5.（2023?遂寧）如圖，以△ABC的邊AB、AC為腰分別向外作等腰直角△ABE、AACZ）,連結(jié)ED、BD、

EC,過點A的直線/分別交線段?！?、BC于點M、N.以下說法：①當(dāng)A3=AC=BC時，ZAED=30°；

②EC=BD；③若48=3,AC=4,BC=6,則DE=2愿；④當(dāng)直線/L8C時，點M為線段OE的中點.正

確的有.（填序號）

6.（2023?鞍山）如圖，在正方形ABC。中，點M為C。邊上一點，連接AM,將△ADM繞點A順時針旋

轉(zhuǎn)90°得至UAABN,在AM,AN上分別截取AE,AF,^_AE=AF=BC,連接EF,交對角線8。于點G,

連接AG并延長交2C于點以若AM=空，CH=2,則AG的長為.

7.（2023?大連）如圖，AC^AE,BC=DE,BC的延長線與。E相交于點RZACF+ZAED^180°.求

證：AB=AD.

A

8.(2023?遂寧)如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,點。為對角線的中點，過點。的直線/分別與

AD,2C所在的直線相交于點E、F.(點E不與點。重合)

(1)求證：ADOE當(dāng)ABOF；

(2)當(dāng)直線LB。時，連結(jié)BE、。尸，試判斷四邊形EBFD的形狀，并說明理由.

9.(2023?巴中)綜合與實踐.

(1)提出問題.如圖1,在△ABC和△AOE中，ZBAC=ZDAE=90°,且AB=AC,AD=AE,連接

BD,連接CE交BD的延長線于點O.

①/BOC的度數(shù)是.

?BD：CE=.

(2)類比探究.如圖2,在△A8C和△OEC中，ZBAC=ZEDC=90°,且AB=AC,DE=DC,連接

AD.BE并延長交于點。.

①/AO8的度數(shù)是；

?AD：BE=.

(3)問題解決.如圖3,在等邊△ABC中，于點。，點E在線段AO上(不與A重合)，以

AE為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊△AEP,將繞著點A在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)任意角度.如圖4,M為

所的中點，N為BE的中點.

①說明為等腰三角形.

②求/MND的度數(shù).

A

圖3

【中考模擬練】

1.（2023?三穗縣校級一模）如圖，點E分別為△A8C的邊A8,AC上的點，連接。E并延長至R使

EF=DE,連接尸C.FC//AB,AB=5,CF=3,則8。的長等于（）

A.1B.2C.3D.5

2.（2024?昆山市一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=5,AB=6近,是銳角，CEJ_AD于點E,

E是C。的中點，連接BEEF.若/EFB=90°,則CE的長為.

3.（2023?福田區(qū)二模）如圖，正方形4BCO的邊長為8,對角線AC,8。相交于點。，點M,N分別在

邊BC,C￡）上，且NA/ON=90°,連接MN交OC于P,若BM=2,貝IOP?OC=

4.（2024?河南一模）如圖，在菱形O42C中，/BCO=60°,點C（-3,0）,點D在對角線3。上，

且。￡>=2瓦），點￡是射線A。上一動點，連接。E,B為無軸上一點（尸在。E左側(cè)）,且/EZ）F=60°,

連接跖，當(dāng)△/）￡/的周長最小時，點E的坐標(biāo)為（）

5.（2023?長春模擬）兩個大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放.將兩個三角板抽象成如圖②所

示的△ABC和△AOE,點、B、C、。依次在同一條直線上，連接CE.若C￡>=1,CE=3,則點A到直線

圖①圖②

6.（2024?雁塔區(qū)校級二模）已知：如圖，點E、F在8C上，AF與DE交于點,G,AB=DC,GE=GF,

7.（2024?涼州區(qū)一模）某同學(xué)用10塊高度都是5cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻,

木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板42。(乙鉆。=90°,BD=BA)，點B在CE上，點A和。

分別與木墻的頂端重合.

(1)求證：AACB沿ABED；

(2)求兩堵木墻之間的距離.

8.(2024?龍馬潭區(qū)一模)如圖，拋物線y=a/+bx+6(aWO)與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點，

與y軸交于點C,頂點為。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若在線段BC上存在一點M,使得/3MO=45°,過點。作OHLOM交8C的延長線于點求

點M的坐標(biāo)；

(3)點尸是y軸上一動點，點。是在對稱軸上一動點，是否存在點P,。，使得以點P,Q,C,。為頂

點的四邊形是菱形？若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

考點二：三角形的相似模型

■核足提煉；查漏補缺_____________

相似三角形和勾股定理是解決初中數(shù)學(xué)求長度問題中的兩大重要定理，所有的幾何問題就長度，最后幾

乎都能轉(zhuǎn)化為這兩個定理的應(yīng)用。而作為應(yīng)用幾率更大的相似三角形，熟悉其常用模型，利用模型的性質(zhì)

思考對應(yīng)問題的走向就是一個非常重要的解題思想。所以，先熟悉相似的各種模型，再在問題中識別模型，

最后利用模型找捷徑。

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

題型01相似三角形常見模型及其應(yīng)用

解題大招：相似常見模型：

①A字圖：

當(dāng)DE〃BC時當(dāng)乙ADE=2ACB時

△ADE'-△ABC△ADE^AACB

性質(zhì)：性質(zhì)：

①ADAEDE

AB~AC~BCADAEDE

AC-BC

ADAE

DB-EC

②8字圖：

當(dāng)AB〃CD時當(dāng)2A=4C時

△AOB^ADOC△AJB-ACJD

性質(zhì)：性質(zhì)：

AB_OA_OBABJAJB

CD-OC而一元一元

③一線三等角：

常用結(jié)論：

1易得△左S△右；

2.如圖②，納E尸時，ABDE咨ACFD；

3.中點型“一線三等角”中，可得三個三角形兩兩相似

如右圖，若Nl=N2=/3,且8￡>=DC,則

八A,令期中未植：

5*即西在，E，療笈M一般地:當(dāng)動點E運動到底邊的中點時,

*\pA呻<CF有最大值

5八Ka悔皚*△蚱松聲

■小乙7A\c：展懵

特殊母子型一射影定理

在Rt^ACB與Rt^ADC中，當(dāng)心ABC=4ACD時，有

■-.RtAACB-RtAADC^RtACDB

射影定理：AC2=AD?AB

BC2=BD?AB

CD2=AD?BD

☆：“母子△”與“阿氏圓”☆：有關(guān)射影定理圖形常見的三個應(yīng)用方向：

阿氏圓的基本原理就是構(gòu)造1.等積法（求斜邊上的高）

母子三角形，之后再結(jié)合兩2.同角的余角相等（得ZA=NBCD）

點之間線段最短求解最后結(jié)3.射影定理

叫I初昌在圓中因為直徑所對圓周角=90。，轉(zhuǎn)化得此圖形，進而利

【中考真題練】

1.（2023?哈爾濱）如圖，AC,相交于點O,AB//DC,〃是45的中點，MN//AC,交BD于點、N,若

DO：2,AC=12,則MN的長為（

C.6D.8

2.（2023?東營）如圖，ZVIBC為等邊三角形，點、D,E分別在邊BC,AB上，/ADE=60；若BD=4DC,

DE=2.4,則A。的長為（）

3.（2023?雅安）如圖，在E1ABC。中，/是AD上一點，CP交8。于點E,B的延長線交54的延長線于

點G,EF=1,EC=3,則GP的長為（）

A.4B.6C.8D.10

4.（2023?德州）如圖，A,B,C,。是O。上的點，AB=AD,AC與BD父于點、E,AE=3,EC=5,BD

=4、后，QO的半徑為（）

A.6B.5遮C.5D.2A/6

5.（2023?東營）如圖，正方形ABC。的邊長為4,點E,尸分別在邊。C,BC上，且2P=CE,AE平分

ZCAD,連接。E分別交AE,AC于點G,M.尸是線段AG上的一個動點，過點尸作PNLAC,垂足

為N,連接PM.有下列四個結(jié)論：

①AE垂直平分DM-,

②PM+PN的最小值為3?

③CF2=GE?AE；

@SAADM=6A/2.

其中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

6.（2023?大慶）在綜合與實踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.有一張矩

形紙片A8C。如圖所示，點N在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN,點A對應(yīng)的點記為點M,若點

M恰好落在邊。C上，則圖中與一定相似的三角形是.

DMC

7.（2023?呼和浩特）如圖，正方形ABC。的邊長為2\后，點E是C。的中點，BE與AC交于點M,F是

上一點，連接分別交AC,AE于點G,H,MBF±AE,連接MH,則AH=,MH=.

8.（2023?常德）如圖1,在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。是AB上一點，且AD=2,

過點D作DE//BC交AC于E,將△AOE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.則圖2中些的值為

CE一

9.（2023?鄂州）2002年的國際數(shù)學(xué)家大會在中國北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會.這

次大會的會徽選定了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”.如圖，

用四個全等的直角三角形（RdAHBgRCBECgRtZ\CFDgRtZXDGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方

形A8CZ）與正方形EFGH,連接AC和EG,AC與DF、EG、BH分別相交于點尸、。、Q,若BE：EQ

=3：2,則空?的值是

10.(2023?湘潭)在RtZXABC中，ZBAC=90°,AQ是斜邊BC上的高.

(1)證明：AABDs^cBA；

(2)若AB=6,BC=10,求3。的長.

11.（2023?南京）在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點A旋轉(zhuǎn)一個角度8（0°<0<180°）,再將

旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為總稱這種變

換為自旋轉(zhuǎn)位似變換.若順時針旋轉(zhuǎn)，記作TG4,順仇左）；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作T（A,逆3左）.

例如：如圖①，先將AABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)50°,得到△4BC1,再將△A18C1以點8為位似中心縮

小到原來的工，得到△A2BC2,這個變換記作7（2,逆50°,1）.

22

（1）如圖②，△ABC經(jīng)過T（C,順60°,2）得到B'C,用尺規(guī)作出△&'B'C.（保留作圖

痕跡）

（2）如圖③，AABC經(jīng)過T（B,逆a,ki）得到△班。，△ABC經(jīng)過T（C,順0,to）得到△尸DC,

連接AE,AF.求證：四邊形AFDE是平行四邊形.

（3）如圖④，在△ABC中，ZA=150°,AB=2,AC=\.若△ABC經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形

AFDE是正方形.

I,用尺規(guī)作出點。（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；

II.直接寫出AE的長.

③④

【中考模擬練】

1.（2024?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△O4B和△OCQ是以原點。為位似中心的位似圖

形.若08=20?！鱋CD的周長為3,則△048的周長為（）

A.6B.9C.12D.30

2.（2024?平遙縣一模）如圖，D,E分別是△ABC的邊AB,AC的點，且虹）上AB,AE=—AC-CD與BE

33

交于點0,則SACOE：SABOC的值為（)

c.1D.1

43

3.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖，AABC和△COE都是等邊三角形，點G在C4的延長線上，GB=GE,

若8E+CG=10,旭=旦，則AF的長為（）

BE2

G

C.9D.2

5

4.（2024?龍湖區(qū)校級一模）邊長為4的正方形ABC。中，對角線AC,BD交于點O,E在2。上，作EF

_LCE交AB于點孔連接CF交于H,則下列結(jié)論：?EF=EC-,?CF2=CG-CA；③BE?DH=16；

④若BF=1,貝正確的是（)

A.①②④C.①②③D.①②③④

5.（2024?河北模擬）如圖，△ABC中，AB=AC=4,8C=2?,以AB為直徑的。。分別交AC,8c于

點D,E,連接ED,則CD的長為（）

D.5

2

6.（2024?寧波模擬）如圖，在正方形ABC。中，G為8C上一點，矩形。EPG的邊所經(jīng)過點A.若/CDG

=a,貝!|NA班'=；若48=3,GC=2,則△EM的面積為

E

7.（2024?沈陽模擬）如圖，矩形ABC。中，AB=4,AD=5,E是AB邊上一點，且AE=1,尸是邊

上一動點，作NEPG=90°,交CO邊于點G,將△即G沿著尸G所在直線折疊，點。的對應(yīng)點。'恰

好落在BC邊上，則DF的長為.

8.（2024?伊寧市校級一模）如圖，在正方形ABC。中，對角線AC,8。交于點。，點E在AC上，EFL

BE交CD于點F,且尸為。的中點，交8。于點G,連接8尸交AC于點”，連接GH.下列結(jié)論：①

NEFB=45°；②FC=&AE；③EH=2GH；?GO-BG=GH-GD.其中正確結(jié)論的序號為.

9.（2023?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=2,2C=4,AE=3,連接BE,以BE為

斜邊在BE的右側(cè)作等腰直角P是AE邊上的一點，連接PC和C。，當(dāng)NPCO=45°,則PE長

CB

10.（2024?汝南縣一模）某“綜合與實踐”小組開展測量本校旗桿高度的實踐活動.他們制訂了測量方案,

并利用課余時間完成了實地測量，測量報告如下.

課題測量旗桿的高度

成員組長：XXX

組員：XXX,XXX,XXX

測量皮尺，標(biāo)桿

工具

測量說明：在水平地面上直立一根標(biāo)桿EF,觀

示意測者沿著直線BF后退到點D,使眼睛C、

圖標(biāo)桿的頂端￡、旗桿的頂端A在同一直線

上.

測量觀測者與標(biāo)桿的距離。尸觀測者與旗桿的距離標(biāo)桿E尸的長觀測者的眼睛離地

數(shù)據(jù)面的距離CD

im18/n2.4m\.6m

問題如圖，過點C作CHLAB于點X,交EP于點G.…

解決

請根據(jù)以上測量結(jié)果及該小組的思路.求學(xué)校旗桿A8的高度.

11.（2024?中山市一模）【感知】如圖①，在正方形ABC。中，E為A8邊上一點，連結(jié)。E,過點E作

EFLDE交BC于點、F.易證：LAEDsABFE.（不需要證明）

【探究】如圖②，在矩形A8C。中，E為邊上一點，連結(jié)。E,過點E作跖，。E交8C于點?

（1）求證：AAEDs^BFE.

（2）若AB=10,A￡>=6,E為AB的中點，求8尸的長.

【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，ZACB=90°,AC^BC,AB=4.E為AB邊上一點（點￡不與點A、B

重合），連結(jié)CE,過點E作/CE/=45°交2C于點?當(dāng)△（?￡尸為等腰三角形時,BE的長為.

考點三：三角形的組合模型

—k核4提煉：查漏補缺_____________

三角形除了全等模型，還有一些可以得到特殊性質(zhì)或者結(jié)論的組合模型，即當(dāng)兩個或者三個條件同時出

現(xiàn)，就會有一些固定用法，這類模型我們叫它組合模型。

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

題型01三角形組合模型及其應(yīng)用

0

解題大招：常見組合模型

①知2得1：

①AD為角平分線；②DE〃AB；③AE=ED

若以上3個條件中有2個成立，則剩余的那個就會成立。

即：三條件滿足“知2得1"

②勾股定理面積應(yīng)用：

③等腰直角三角形中“半角模型”

輔助線：將3EC繞點A按逆時逆時針方向90°,

使AC與AB重合，點E對應(yīng)點為，伊，連接DF

C

:①等腰例△X8C結(jié)論：'XRL.BDF

2Z￡ID=45°.5JCEZ?BD2■DE2

☆1：若乙DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外部時，結(jié)論BD2+CE2=DE2仍然成立

【中考真題練】

1.（2023?衢州）如圖，在△ABC中，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB,AC于點。，E.分

別以點E為圓心，大于/DE長為半徑畫弧，交于/BAC內(nèi)一點?連結(jié)AF并延長，交BC于點G.連

結(jié)。G,EG.添加下列條件，不能使8G=CG成立的是（）

A.AB=ACB.AG±BCC.NDGB=/EGCD.AG=AC

2.（2023?揚州）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦

圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成.如圖，直角三角形的直角邊長為a、b,斜邊

長為c,若6-。=4,c=20,則每個直角三角形的面積為.

3.（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分/AC8,AELCD,垂足為點￡,過點E作E尸〃2C,交AC

于點兄G為8C的中點，連接尸G.求證：FG=1AB.

4.(2023?黃石)如圖，為。。的直徑，D4和。。相交于點RAC平分NZMB,點C在。。上，且CD

±DA,AC交BE于點P.

(1)求證：co是OO的切線；

(2)求證：AC,PC=Bd；

(3)已知8c2=3祝?OC,求”的值.

AB

5.(2023?懷化)如圖，AB是O。的直徑，點P是O。外一點，以與O。相切于點A,點C為OO上的一

點.連接尸C、AC、OC,&PC=PA.

(1)求證：PC為(DO的切線；

(2)延長PC與A8的延長線交于點。，求證：PD-OC=WOD；

(3)若NC