2024屆高三新高考數(shù)學(xué)模擬預(yù)測(cè)訓(xùn)練二

2024屆高三新改革高考數(shù)學(xué)模擬預(yù)測(cè)訓(xùn)練二

本套試卷根據(jù)九省聯(lián)考題型命制，題型為8+3+3+5模式

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（本題5分）有一組樣本數(shù)據(jù)：15,16,11,11,14,20,11,13,13,24,13,18,則

這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（）

A.11B.13C.16D.17

2.（本題5分）己知過(guò)點(diǎn)P（2,2）的直線/與圓C:（x-l）2+y2=5相切，且與直線/：依+y+1=。

垂直，貝（）

A.2B.-C.—D.—2

22

3.（本題5分）記數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S“，若弓=1,5“+5“+[=31+2〃+1,則邑。=（）

A.590B.602C.630D.650

4.（本題5分）設(shè)加，〃是兩條不同的直線，?,￡是兩個(gè)不同的平面，下列命題中真命題是

（）

A.若7"http://0,“〃。,則根〃"；B.若機(jī)ua,〃u尸，加〃"，則tz//月；

C.若機(jī)_La,n/la,則機(jī)_L〃；D.若根ua,”ua,加〃,，〃//〃，則a//〃.

5.（本題5分）某學(xué)校高二年級(jí)開(kāi)設(shè)4門校本選修課程，某班男生201寢室的5名同學(xué)

選修，每人只選1門，恰有1門課程沒(méi)有同學(xué)選修，則該寢室同學(xué)不同的選課方案有（）

A.360種B.600種C.960種D.972種

6.（本題5分）己知。是，ABC的外心，AB+AC=2AO|O^|=|AB|,則向量AC在向量BC

上的投影向量為（）

3UUD

A.--BCB.邛配C.-BCD.上BC

444

7.（本題5分）若函數(shù)=coss（G>0）在（0㈤內(nèi)恰好存在8個(gè)小,使得

則。的取值范圍為（）

-197、（1971「725A（725~

A.B.C.D.

62J162」\_26J126」

22

8.（本題5分）已知橢圓E：二+與=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)焦點(diǎn)廠作圓V+

ab

的一條切線/交橢圓E的一個(gè)交點(diǎn)為A,切點(diǎn)為。，^.OA+OF=2OQ（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則

橢圓E的離心率為（）

A.@B.—C.—D.—

3332

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.（本題6分）在.ABC中，角AdC所對(duì)的邊分別為〃也c,下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若反osC+ccosB=6,則ABC是等腰三角形

B.若a=2,6=3,A=30,則符合條件的有兩個(gè)

C.若sin2A=sin23,貝IABC為等腰三角形

D.若sin23+sin2C=sin2A,則ASC為直角三角形

10.（本題6分）已知非零復(fù)數(shù)4，z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z-Z2,0為坐標(biāo)原點(diǎn),

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若匕一1|=匕一1|,則聞=閡

B.若[z]+Z2|=|z「Z2|,則OZ「OZ；=0

C.若[Z[+Z2|=|Z1-Z2],則z/Z2=0

D.若|Z1+Z2|=|Z||+|Z2|,則存在實(shí)數(shù)乙使得Z2=,

11.（本題6分）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,/（x+1）是奇函數(shù)，且VxeR,恒有/（〃x））=x,

當(dāng)xe[a,l]時(shí)（其中0<a<l）,〃x）=alog"（x+b）.若/⑼+則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.“X）圖象關(guān)于點(diǎn)。,0）對(duì)稱

B.圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱

C.4a+b=l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（本題5分）已知A=MO>13=｛尤尤42｝,若=則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是.

13.（本題5分）在正四棱柱ABCD-A4GA中，AB=4,AAt=6,M,N分別是AB,AD

的中點(diǎn)，則平面MNG截該四棱柱所得截面的周長(zhǎng)為

14.（本題5分）記表max砌的｛/（X）｝示“力在區(qū)間可上的最大值，則max邳j]||x2-x+c||

取得最小值時(shí)，。=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本題13分）設(shè)函數(shù)〃x）=lnx+儀+6,曲線y=〃x）在點(diǎn)處的切線方程為

y=6x-3.

⑴求a,6的值；

2

⑵證明：/（x）＞---1.

16.（本題15分）如圖，在三棱臺(tái)ABC-AB?中，與4C相交于點(diǎn)。,84平面

ABC,AB=6,BC=4,BB[=2，Aq=屈,AE=2EB,且。E|平面BCG4.

s

⑴求的值;

3ABC

（2）求直線CC,與平面AB,C所成角的正弦值.

17.（本題15分）“九子游戲”是一種傳統(tǒng)的兒童游戲，它包括打彈子、滾圈子、踢毯子、頂

核子、造房子、拉扯鈴子、刮片子、損結(jié)子、抽陀子九種不同的游戲項(xiàng)目，某小學(xué)為豐富同

學(xué)們的課外活動(dòng)，舉辦了“九子游戲”比賽，所有的比賽項(xiàng)目均采用2aT（〃Z2,〃eN*）局"勝

的單敗淘汰制，即先贏下〃局比賽者獲勝.造房子游戲是同學(xué)們喜愛(ài)的項(xiàng)目之一，經(jīng)過(guò)多輪

淘汰后，甲、乙二人進(jìn)入造房子游戲的決賽，己知每局比賽甲獲勝的概率為。（。＜2＜1）,

乙獲勝的概率為1-0.

2

（1）若〃=2,p=-,設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

⑵設(shè)采用3局2勝制時(shí)乙獲勝的概率為外，采用5局3勝制時(shí)乙獲勝的概率為A,若月>鳥，

求。的取值范圍.

18.（本題17分）彗星是太陽(yáng)系大家庭里特殊的一族成員，它們以其明亮的尾巴和美麗的外

觀而聞名，它的運(yùn)行軌道和行星軌道很不相同，一般為極扁的橢圓形、雙曲線或拋物線.它

們可以接近太陽(yáng)，但在靠近太陽(yáng)時(shí)，由于木星、土星等行星引力的微繞造成了軌道參數(shù)的偏

差，使得它軌道的離心率由小于1變?yōu)榇笥诨虻扔?,這使得少數(shù)彗星會(huì)出現(xiàn)“逃逸”現(xiàn)象,

終生只能接近太陽(yáng)一次，永不復(fù)返.通過(guò)演示，現(xiàn)有一顆彗星已經(jīng)“逃逸”為以太陽(yáng)為其中一

個(gè)焦點(diǎn)離心率為右的運(yùn)行軌道，且慧星距離太陽(yáng)的最近距離為2石-2.

（1）求彗星“逃逸”軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，A,過(guò)4，人作雙曲線的切線4，12,若點(diǎn)P為雙曲線

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)p作雙曲線的切線，交實(shí)軸于點(diǎn)。，記直線PA與4交于點(diǎn)M，直線即交4于

點(diǎn)N.求證：M,N,。三點(diǎn)共線.

19.（本題17分）隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代來(lái)臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問(wèn)題引起了人們的高度關(guān)注，國(guó)際上

常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有AES、DES、RSA等,不同算法密鑰長(zhǎng)度也不同，其中RSA的密

鑰長(zhǎng)度較長(zhǎng)，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)

用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用.設(shè)p,q是兩個(gè)正整數(shù)，若°,q的最大公約數(shù)是1,則稱p,

4互素.對(duì)于任意正整數(shù)小歐拉函數(shù)是不超過(guò)〃且與〃互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為9（”）.

⑴試求夕⑴+夕⑼,。⑺+0（21）的值;

⑵設(shè)p,q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，試用p,左表示。（明（左eN*）,并探究而與夕（。）和。⑷

的關(guān)系；

⑶設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為令“='展。（3"'）（冽eN*）,求該數(shù)列的前加項(xiàng)的和

參考答案：

1.D

【詳解】將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：11，11，11，13,13,13,14,15,16,18,20,

24,

因?yàn)?2x；=9,所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為等更=17.

故選：D

2.D

2-0

【詳解】點(diǎn)尸⑵2)在圓—+V=5上，則%,=0=2,

設(shè)切線斜率為3

所以_〃=勺=_/=bp=2,貝Ua=—2.

故選：D.

3.A

【詳解】因?yàn)镾“+SX=3〃2+2〃+1,

所以5的+S“+2=3(〃+1)2+2(〃+1)+1,

兩式相減可得an+l+an+2=6〃+5=65+1)-1.

2

由q=l,51+S2=3xl+2xl+l=6,角星得〃2=4,

所以％+“2=5,滿足上式，故%+。用=6"一1,

所以S20=(6+%)+(%+〃4)++(69+%0)

10x(5+113)

=5+17+29++113=——------^=590.

2

故選：A

4.C

【詳解】若m//a,〃//a,則加〃〃或加與孔相交或加與〃異面，故A錯(cuò)誤；

若mui,nu°,miln,則夕或。與夕相交，故B錯(cuò)誤；

若用_La,nlla,由直線與平面垂直的性質(zhì)可得機(jī)_L〃，故C正確；

若mua,〃ua,m//f3,nlIp,當(dāng)加與〃相交時(shí)，有a//￡,否則，。與夕不一定平行,

故D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.B

【詳解】從4門課程中取出3門課程，有C：種方法,

C2c之

把5名同學(xué)分成3組，按1:1:3分組有C；種方法，按2:2:1分組有卡種方法,

把3門課程分配給上述分成的每一組有A；種方法,

C2C2if)x3

所以該寢室同學(xué)不同的選課方案有C；(C；+中閨=4x(10+1^)x6=600(種).

r\，2，

故選：B

6.C

【詳解】由AB+AC=2AO，所以。是5c的中點(diǎn)，又。是,ABC的外心,

則NBAC=90,再由但=|叫"。小"煙"口小小?！?/p>

則,ABO為正三角形，ZAC5=30,

113

角度一：如圖，過(guò)點(diǎn)A作垂足為。，則CD=-BC,

244

3

所以向量AC在向量5C上的投影向量等于。C=：BC.

4

角度二：設(shè)wq=2,則?=I,所以卜4=衣二F=后,

ACBC73x2xcos30-3

所以向量AC在向量3。上的投影向量等于石釬3C=-----金-----BC=-BC

4

故選：C.

7.D

7173.1

【詳解】由題意可得：/(x)=sinCDX——-cosCDX=——SinCOX——COSCDX-coscox

622

A/3.371

=————coscox=CDX——

223

由=?可得sin（。毛一[=土;，

兀（兀兀

因?yàn)閤e（0,兀），（D>0,貝!J0x—1e]—W，0TT—§

8.A

【詳解】由題意可知：圓/+>2=廿的圓心為點(diǎn)。，半徑為匕，c>b,

設(shè)橢圓E的右焦點(diǎn)為工，連接AF”

因?yàn)?。A+OB=2OQ,可知點(diǎn)。為AF的中點(diǎn)，

且點(diǎn)。為尸鳥的中點(diǎn)，則。?！ㄈ宋?，|鉆|=2|。0=%,

由橢圓定義可知：|/S|=2a—|A￡卜2a—⑦,

因?yàn)镼為切點(diǎn)，可知。。，A尸，則A居_1.4月,

可得|電「+|A尸「=優(yōu)產(chǎn)「，即4/+（2。-26）2=4c?=4（4-6?）,

h2

解得2a=36,即±=—,

a3

所以橢圓石的離心率

故選：A.

9.ABD

【詳解】對(duì)于A,由已知有Z?=hcosC+ccos8,故

sinB=sinBcosC+sinCeosB=sin(B+C)=sinA,所以/?二〃，故A正確；

對(duì)于B,我們只需要確定滿足條件的。的個(gè)數(shù)，由余弦定理知。滿足的方程是

/=/+°2—26ccosA,即4=9+02_3后，而該方程有兩個(gè)解c=上叵主且，故B正確；

2

對(duì)于C,若4=工，B=?C=-,則sin2A=sin?=sin@=sin22,但，ABC不是等腰三

63233

角形，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若sin25+sin2C=sin2A,則有

2sinAcosA=sin2A=sin2B+sin2C=2sin(i5+C)cos(B-C)=2sinAcos(B-C).

故cosA=cos(_B-C),y/Ajfu0=cos(B-C)-cosA=cos(B-C)+cos(B+C)=2cosBcosC.

TTTT

這表明cos3=0或cosC=0,即8=—或C=—,故D正確.

22

故選：ABD

10.BD

【詳解】取4=2i,z2=-l+i,此時(shí)上一1|="一1|,但是閔中閭，故A錯(cuò)誤；

22

設(shè)Z]=o+6i(a,6eR,6+從w0),z2=c+di(^c,deR,c+d^0),則OZ]=(a,6),

OZ2=(Gd)，

所以馬+Z2=〃+c+(Z?+d)i,Z\—z[=〃-c+(Z?—d)i,

又|馬+Z2I=忖-Z2I,所以J(〃+c)2+3+療=y](a-c)2+(b-d)2，

整理得ac+9=0,所以O(shè)Z]?OZ2=ac+bd=0,故B正確；

取4=1,z2=if此時(shí)|zi+Z2|=|zi—Z2|,但是zaw。，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)殁?22|=閭+目，所以Jm+c)2+/+d)2=J/+/+&2短2,

即(a+c)2+(Z7+d)2=a2+b2+2-Ja2+b2-y/c2+d2+c2+d2>

整理得(如?-歷)2=0,所以以/=6c,則OZ；//OZ2=>存在實(shí)數(shù)r使(a,b)=《c,d),

所以存在實(shí)數(shù)乙使得Z2=%,故D正確.

故選：BD.

11.ABC

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由〃x+l)是奇函數(shù)得〃-x+l)+/(x+l)=。，

所以函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，由函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)镽,且/(X)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，貝=

所以/'⑴=alog.(l+b)=0,因0<a<l,故解得8=0.

由〃”x))=x得點(diǎn)(f(x),x)在函數(shù)y=〃x)圖象上，

又點(diǎn)(xj(x))在函數(shù)y=/(X)圖象上，

所以函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

又由“X)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，可得了(X)關(guān)于(。,1)對(duì)稱，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，由函數(shù)〃尤)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱得/(0)=1,

由函數(shù)〃尤)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱得L力，

故由可得

①當(dāng)0<aW<時(shí)，ye［a,l］,所以/匚］=Hog二=:，(%=〃，

因g(x)=￡(0,；］是增函數(shù),又g(；)=0,故得。=；;

②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)“X)關(guān)于直線、=無(wú)對(duì)稱可知函數(shù)“X)在(。,1)內(nèi)單減，

所以又"a)=ajg［=；，所以a<；，

這與題設(shè)。>9矛盾，舍去.所以“=；,又匕=0,即4。+6=1,故C項(xiàng)正確；

44

對(duì)于D項(xiàng)，由上分析，當(dāng)xe時(shí)，/(x)=^loglx=-|log2x,

14」4a8

顯然/［；］=!，由函數(shù)/(X)關(guān)于y=x對(duì)稱，可知U=；，

由/W關(guān)于點(diǎn)(。,1)對(duì)稱得了,j=2一/1)=2-；=|,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.

21-x

【詳解】不等式二>1化簡(jiǎn)可得=>0,

x+1x+1

所以一1<%<1,則&=3-1<%<1},

因?yàn)?所以A=3,所以機(jī)W-1,

即{司加4-1}.

故答案為：{時(shí)機(jī)4-1}.

13.14及

【詳解】延長(zhǎng)M0,C8相交于點(diǎn)“，連接交2用于點(diǎn)G,連接MG,

因?yàn)檎睦庵鵄BC。一4耳62中，AB=4,AAi=6,M,N分別是AB,AQ的中點(diǎn),

所以肱V=JAM2+AZV2=20，BH=AN,Cq=6,

GBBH1,__________「

因?yàn)椋琀BGsHCC],-=—=故8G=2,GH=[BG?+BH2=2及，

CCjC/iJ

在。R上取點(diǎn)。，連接NQ，GQ,則NQNDM+DQ2=26,

同理可知GQ=NH,所以四邊形GQNH為平行四邊形，

故G,”,N,Q四點(diǎn)共面，

則平面MNG截該四棱柱所得的截面為五邊形NMGC.Q,

MG=QMB。+BG2=2V2，CQ=JCB+BG=742+42=40，

同理GQ=4及，

故截面周長(zhǎng)為MV+MG+C]G+GQ+NQ=2及+20+40+4&+20=140.

H

故答案為：140

2

【詳解】maxve[01]||x-x+c||取得最小值，

即為=尸-x+c|在區(qū)間[0』上的最大值取得最小值,

因?yàn)榈膶?duì)稱軸尤=；,且"0)=/⑴=1,

所以“X)的最大值為或/(。)=/(1)=同，

當(dāng)c-；=|d時(shí)，即c=；,

0\1C

當(dāng)°=:時(shí)，/(HL取最小值，最小值為"

V、/nidA乂

故答案為：—.

O

15.(l)a=5,b=-2

⑵證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+。),/'(X)」+〃,

X

將％=1代入y=6%一3,解得y=3,即/⑴=3,

由切線方程＞=6冗-3,可知切線斜率尸⑴=6,

故a+Z?=3,l+a=6,

解得a=5,Z?=—2；

(2)由(1)知/(x)=lnx+5x-2,

2?

要證/(%)>-----1即證lnx+5x—1H----->0.

5xf5x

、2

設(shè)g(%)=1nx+5犬-1H----,

25x2+5x-2_（5x-l）（5x+2）

則g'（x）

57-=5?'

令g'(尤)=0,解得尤=/或(舍去)，

當(dāng)xe(0,J時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe[,+co]時(shí)，g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

所以g(x)mm=g，]=2-ln5>0,

2

所以g(x)>0,BP/(%)>---1.

16.（1）5A^1C|=-

q4

⑵叵

10

【詳解】（1）連接C出,

因?yàn)椤平面BCGB|,Z)Eu平面ABC],平面ABC〕I平面8。。出=68,

所以。EQB.因?yàn)锳E=2￡B，所以AD=2DC],

所以AG=：AC.因此A4=；3C,

qL1

所以=（2）="

04ABe

(2)由(1)可知，4G=；AC,

所以AC=2jF.

依題意，AC2=AB2+BC2,

所以AB，BC,BBi1平面ABC.

因此，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以B4,BC,34的方向?yàn)閤軸，＞軸，z軸的正方向，建立如圖

所示空間直角坐標(biāo)系8-到z.

AZ

則A（6,0,0）,C（0,4,0）,耳（0,0,2）,A（3,0,2）,Q（0,2,2）.

所以4A=（3,0,0），4C=（0,4,—2）,CC|=（0,-2,2）.

設(shè)平面A與c的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

〃?耳A=3x=0,

由，

n-BxC=4y-2z=0,

取y=l,則犬=0,z=2,所以〃=（0,1,2）.

設(shè)CG與平面44c所成角為0,

\n-CCx2A/10

則sin。=—；----r=-；=------產(chǎn)=------.

V5X2A/210

即直線CG與平面所成角的正弦值為巫.

10

22

17.(1)分布列見(jiàn)解析，—

⑵*

【詳解】(1)因?yàn)椤?2,所以比賽采用3局2勝制，X的所有可能取值為2,3,

22

P（X=2）*I+15

39

尸(X=3)=C；

X的分布列為

54??

所以召（X）=2x§+3x§=g.

（2）由題意知2=（l—p）2+C；（l—p）2p=（l_〃）2（］+2p）,

6=(1一P)3+C；(1-pFp+C；(1-p)3P2=(1一p)2(-6/+3/+2p+1).

由月〉E，得(l-02(-6/+3p2+20+l)>(l-p)2(l+2p),

且則(l-p)2>。，可得-6p3+3p2+2p+l>1+2°,

整理得1-2°＞0,解得0＜p＜；,

所以〃的取值范圍為（o,；）.

X2V2

18.--匕=1

416

（2）證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）解：由題意知，彗星“逃逸”軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線,

fV2

不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在X上，設(shè)其方程為=-2=1（。＞0力＞0）,

ab

因?yàn)殡p曲線的離心率為6,可得￡=石，即c=&a,

a

又因?yàn)榛坌蔷嚯x太陽(yáng)的最近距離為2逐-2,可得c-a=2君-2,

22

解得。=2,c=2A/5,可得6=y]c-a=4，

22

所以彗星“逃逸”軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程—-^=1.

416

（2）解：不妨設(shè)點(diǎn)尸（為,%）在第一象限,

2214x4x

由雙曲線土-匕=1,可得y="一16,則y'=x8x=

4162J4/-16V4X2-16y

—,即切線的斜率為4=生

所以

必

則切線方程為且4%；—y；=16,可得4為x_yy=16,

44

令y=0,可得％=一,即點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一刀），

石

又由過(guò)4(-2,0)