高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示

第六章數(shù)列

第28講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示

德教前I二夯基固本

激活思維

1.（AA選必二P5例3改）已知數(shù)列｛或｝的通項(xiàng)公式為斯=/+2",那么120

是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)（B）

A.9B.10

C.11D.12

解析:令/+2〃=120,得“=-12（舍去）或〃=10,所以120是數(shù)列｛麗｝的

項(xiàng)，且是第10項(xiàng).

2.（人A選必二P8練習(xí)1（1）改）（多選）根據(jù)下面的圖形的規(guī)律及相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，

判斷下列說(shuō)法正確的是（BC）

*

圖形???????

點(diǎn)數(shù)161116

（第2題）

A.第五個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為20

B.第五個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為21

C.圖形的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為期=5n—4

D.圖形的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為a?=4n-3

解析：設(shè)第〃項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為a〃（〃GN*）,因?yàn)閙=l,<22=1+5,<73=1+2X5,

04=1+3X5,所以該數(shù)列的第5項(xiàng)為05=1+4X5=21,數(shù)列｛如｝的一個(gè)通項(xiàng)公

式為an=l+5（n—l）=5n—4,且第5項(xiàng)的圖形如圖所示.

21

（第2題）

3.（人A選必二P8練習(xí)4改）（多選）已知數(shù)列｛所｝的前”項(xiàng)和公式為S產(chǎn)Ry,

則下列說(shuō)法正確的是（ABC）

A.數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為ai=3

B.數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式為a,尸舟亍

C.數(shù)列｛所｝為遞減數(shù)列

D.數(shù)列｛所｝為遞增數(shù)列

1nTl—1

解析：由ai=Si=5，知A正確；當(dāng)n>l時(shí)，Cln=Sn-Sn—1=~?1一—=

2n-r1n

7匕.當(dāng)”=1時(shí)，也滿足上式，故數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為八，知B,

n(n-vk)n(n-r1)

C正確，D錯(cuò)誤.

4.(人A選必二P8練習(xí)4改)已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和公式為S〃=—2層,則

｛。〃｝的通項(xiàng)公式為4〃+2.

22

解析：當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn~Sn-i=—In+2(n-1)=—4n+2；當(dāng)〃=1時(shí)，

--

<2i=Si=2,滿足Q〃=—4〃+2,故｛?！ǎ耐?xiàng)公式為an=4n+2.

2%—1

5.(人A選必二P9拓廣探索改)已知函數(shù)人勸=丁，設(shè)數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式

為an=f(n)(neN*),則an的最小值為_(kāi)1_.

2W—1iii

解析：由題意得—=2n=1一萬(wàn)，因?yàn)椤檎麛?shù)，所以2"三2,0(的W],

1—所以a”》.

基礎(chǔ)回歸

1.數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛劣｝的第n項(xiàng)與序號(hào)〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那

么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2.an與Sn的關(guān)系

Si,n=l,

右數(shù)列｛所｝的前〃項(xiàng)和為S”，通項(xiàng)公式為a”，則

SLSn—l,〃三2.

3.數(shù)列的遞推公式

如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an

與它的前一項(xiàng)a,-(或前幾項(xiàng)"司的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就

叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

由遞推公式求通項(xiàng)的常用方法:

方法轉(zhuǎn)化過(guò)程適合題型

(Q2-41)+(。3—〃2)+…+(斯—an-

累加法an+i—an=firi),可求和

=

i)an~a\

Q2、/Q3、/Cln—1dnClnCln+1__,、__

累乘法XX???XX—

n_加,1Am可求積

QiQ2an-2an-\QiCln

由Cln+1=pUn~\~q化為tZn+lYYl=

p(a+rri),構(gòu)造｛斯+機(jī)｝為等比數(shù)

構(gòu)造法nCln+\=p(ln~\~q

歹U,其中加一

p—1

an—_|_M取倒數(shù)得〃一

K(an-i-rb)anman-i

取倒數(shù)法an~k(a-i+b)

kb\、k八］1n

?+,令bn-

man-i機(jī)an

對(duì)斯i取對(duì)數(shù)得1g斯=Hgan

取對(duì)數(shù)an=pafi-i(n^2,p>0)

-i+lgp,令bn=lgQn

4.常用結(jié)論

在數(shù)列｛或｝中，若Z最大，則>若麗最小，貝IJ<

Cln^-Cln+\.

就題里?融會(huì)貫通

舉題說(shuō)法

目標(biāo)n由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式

例1寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):

111

---

53-4

2J

【解答】這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的倒數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶

數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為?！?七一.

(2)2,0,2,0)

【解答】這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是2,偶數(shù)項(xiàng)是0,

所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為m=(—l)"+i+L

<總結(jié)提煉》

已知數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式，主要從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：

(1)負(fù)號(hào)用(一1)"與(一1)"+1或(-1)G來(lái)調(diào)節(jié)，這是因?yàn)椤ê汀?1奇偶交錯(cuò).

(2)公式形式的數(shù)列，分子、分母找通項(xiàng)，要充分借助分子、分母的關(guān)系.

(3)對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法解

決.

變式(1)一1,7,—13,19,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(-5)；

解析：數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)可通過(guò)(-1)"表示，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的絕對(duì)

值總比它的前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6,故通項(xiàng)公式為z=(-1)"(6〃一5).

(2)|,常,卷，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為

解析：將數(shù)列寫(xiě)為|,I聾，.看，…,便于找規(guī)律，則通項(xiàng)公式為an

_〃+2

=3n+l

(3)設(shè)數(shù)列/，小，2也，/，…，則2、△是這個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng).

解析：由題知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為飆=丑1—1,令1=2小,解得〃=

7.

目標(biāo)舊根據(jù)斯與S/2或Sn+l與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)

2

例2(1)已知數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和Sn=2n—3n,貝I]an=4n~5.

==2

解析：＜7i=Si=2—3=—1,當(dāng)時(shí)，anSn—Sn-i(2n—3n)—[2(〃一

1)2—3(n—l)]=4n—5,由于m=-1也符合此等式，所以5.

(2)記5為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若5=2?！?1,則S6=-63.

解析：因?yàn)镾〃=2Q〃+1,當(dāng)〃22時(shí)，Sn-1=2cin-1H-1,所以。一Sn-1=

一2。九一1(幾22),即.當(dāng)〃=1時(shí),tzi=Si=2QI+1,得QI=-1,

所以數(shù)列｛?！埃鞘醉?xiàng)m=—1,公比q=2的等比數(shù)列，所以S尸駕三貯=

—1X(1—2”)

1^=1一2",所以S6=l—26=-63.

v總結(jié)提煉》

S”與以的關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化的兩個(gè)方向:

(1)利用。,=的-5-1(〃三2)轉(zhuǎn)化為只含8,Si的關(guān)系式，再求解;

(2)利用S—S"i=a”(〃三2)轉(zhuǎn)化為只含或，的關(guān)系式，再求解.

變式⑴記S,為數(shù)列｛服｝的前〃項(xiàng)和.若5=3m+6,則S“=」［匕0旦］_

解析：當(dāng)時(shí)，Sn-i=3an-1+6,所以的=S〃一S-I=3Q〃-3〃九—1(〃22),

3

即。1(〃22).當(dāng)〃=1時(shí)，ai=Si=3ai+6,得QI=—3,所以數(shù)列｛〃〃｝是首

公比q=|的等比數(shù)列，所以5產(chǎn)"??)

項(xiàng)=—3,

613、

(2)記5為數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和，已知斯＞0,晶-2S〃=2—z(〃￡N*),則數(shù)

列｛Q”｝的通項(xiàng)公式為?！?幾十1.

解析：由晶一2S〃=2—Q”，得病+1—2S〃+i=2—以上兩式相減得忌+1—

C&-2(Sn+l~Sn)=an~Q〃+1,即品+1一忌一(Q〃+1+即)=0,即(癡+1-Q/1-1)(〃"+1+

=0.因?yàn)橥猓?,所以飆+1+廝W0,因此斯+1—a“=l(〃￡N*),故數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)

列,且公差d=l.又存一2Si=2—ai,解得ai=2或ai=-1(舍去)，所以a〃="+

1.

目幀反由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

例3(1)在數(shù)列｛斯｝中,已知＜71=1,(〃+1).+1=冏4",則｛?！ǎ耐?xiàng)公式

1

Cln=~

為---n一

ir-I.?八,日〃"+1"口n、1.、c?〃21〃32Q4

斛析：由5+1)?詼+1=AQ〃，―=^T7,即當(dāng)〃22n時(shí)，—=5，7=不—

Un1/1Ii_CZ1乙v/2Dc/3

3ann—\,日42〃3〃4an123n—1a1

以上各式相乘,將一一一,-----,即m一n=一,

4,Cln-1〃a\?ai?03力=53.了nain

所以a?=1(n=l時(shí)也符合此式).

(2)已知數(shù)列｛麗｝,tzi=l,02=2,。計(jì)1—5a”+4ai=0(〃6N*,〃三2),則｛麗｝

4〃1+2

的通項(xiàng)公式為&.

解析：因?yàn)楫?dāng)“22時(shí)，斯+i—5Q〃+4Q〃_I=0,所以?！?1—Q〃=4(Q〃一斯_I),

所以｛Z+I—Z｝是以4為公比，42—〃1=1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以外+1—尚=4冏一

1,從而an(fln-tZn-l)+(tZ?_l—或-2)+…+(。2-。1)+。1=4"2+4"3+**,+41+4°

1一4”-14n~1+2

+1=1—4+1=--("=1時(shí)也符合此式).

(3)已知數(shù)列已”｝中,ai=-3且當(dāng)〃22時(shí),an=2an-i+l,則｛a〃｝的通項(xiàng)公

式為呢=-2"-1.

解析：設(shè)a〃+/=2(a〃-i+/),則。"=2或-1+。與以=2a〃-i+1(〃三2)進(jìn)行比

較，可得?=1,則有。”+1=2(飆_1+1).設(shè)瓦=如+1,則有可=2瓦_(dá)1,所以｛加｝

是以。i=m+l=-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以瓦=(—2)2”一，所以的

=bn-1=(—2)2?-1—1=—2n—1.

V總結(jié)提煉》

一般地，對(duì)于形如a〃+i=?！?大”)類的通項(xiàng)公式，只要41)+八2)H能

進(jìn)行求和，則宜采用疊加法求解；對(duì)于形如服+1=五砂或類的通項(xiàng)公式，當(dāng)

人1)次2).…次〃)的值可以求得時(shí)，宜采用累乘法求解；對(duì)于形如a“+i=ca.+d的遞

推數(shù)列求通項(xiàng)公式，可通過(guò)適當(dāng)換元，轉(zhuǎn)換成等比數(shù)列或等差數(shù)列求解.

變式(1)已知數(shù)列｛斯｝中,tzi=l,an+\=an—n,則｛?！ǎ耐?xiàng)公式為an

—-〃2+"+2

—2—'

解析：由題知或+1-。"=—”，則當(dāng)時(shí)，02—。1=-1,Q3—。2=-2,

=

Q4—。3=—3,,,,,an~an-i~(n~1),將上面n~1個(gè)等式相加得an—ai=｛-1)

—+n+2

+(—2)+(—3)+…1)],所以an=5(幾=1時(shí)也符合此式).

川〃一1)

(2)已知數(shù)列已舞中,QI=1,dn+1=2”?斯,則1服1的通項(xiàng)公式為z=22

解析：因?yàn)槟?1=2"s,所以竽=2",所以，當(dāng)G2時(shí)

Un

n(n-1)

ancin-lan-2an-3Q3。2?—八?〃2(〃一Dll~即--29-rr-

-------?-------?….一.一=2〃I?2.2〃3,....22,2=2-―—0所以一=2,所

an-ian-2an-3an-2〃2a\2a\

〃(〃一1)

以a”=225=1時(shí)也符合此式).

隨堂內(nèi)化

1.若數(shù)列｛③｝的前〃項(xiàng)和&=川+明則44的值為(C)

A.4B.6

C.8D.10

解析：由題知，當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn~Sn-i=n2+n—(n—I)2—(n—l)=2n,所

以6/4=8.

2.已知數(shù)列｛念｝的前〃項(xiàng)和為S〃=/s(〃22),<71=1,通過(guò)計(jì)算。2,43,(24,

可猜想z等于(B)

22

(n+1)2B，n(n+1)

c---D---

2n~l2n-l

解析：因?yàn)镾nH~dn,所以Un+1Sn+1—S〃=("+l)^Gn+l—H~Cln,所以Gn+1

nRuf1121151__*主才日2

=啟工版'所以t72=T+2=3'a3=2+2X3=6'G4=3+2><6=Td'拍思麗=而司.

3.已知數(shù)列9,12,17,24,33,…，則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為人=層+85￡

N*）.

解析：因?yàn)楫?dāng)"三2時(shí)，Q2—ai=3,CL3—（12=5,Q4—6/3=7,…,Cln-1=

2n~1,以上各式相加得<21=3+5+7+