2023七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第八章 二元一次方程組8.3 實(shí)際問題與二元一次方程組第1課時(shí) 實(shí)際問題與二元一次方程組（1）教案 （新版）新人教版

2023七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第八章二元一次方程組8.3實(shí)際問題與二元一次方程組第1課時(shí)實(shí)際問題與二元一次方程組（1）教案（新版）新人教版主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第八章8.3節(jié)“實(shí)際問題與二元一次方程組”第一課時(shí)。教學(xué)內(nèi)容將圍繞如何從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出二元一次方程組，以及如何應(yīng)用方程組解決實(shí)際問題。具體內(nèi)容包括：理解實(shí)際問題的情境，掌握用二元一次方程組表述問題的方法，學(xué)會(huì)解此類方程組并應(yīng)用于解決生活中的問題。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系在于，學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了線性方程式的解法和應(yīng)用，理解了一元一次方程及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將幫助學(xué)生把這種知識(shí)擴(kuò)展到二元一次方程組，強(qiáng)調(diào)從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，并利用已有一元一次方程的解法，遷移到二元一次方程組的求解上，使學(xué)生在實(shí)際問題中更深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)模型的作用。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生的模型思想、邏輯推理能力及問題解決能力。通過引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出二元一次方程組，激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的意識(shí)，增強(qiáng)模型思想的核心素養(yǎng)。同時(shí)，在分析問題、建立方程組及求解過程中，鍛煉學(xué)生邏輯推理能力，使其能夠合理解釋方程組各步驟的意義，理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。此外，通過解決實(shí)際問題，提升學(xué)生的問題解決能力，使其在面對(duì)復(fù)雜情境時(shí)，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效分析、解決問題，形成適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的核心素養(yǎng)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是使學(xué)生掌握從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組的能力，并能夠運(yùn)用方程組解決具體問題。具體包括：

-理解實(shí)際情境中的數(shù)量關(guān)系，能夠正確列出二元一次方程組；

-掌握解二元一次方程組的基本方法，如代入法和消元法；

-能夠?qū)⒎匠探M的解應(yīng)用到實(shí)際問題中，驗(yàn)證解答的正確性。

2.教學(xué)難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)在于：

-抽象思維的運(yùn)用，即如何將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，特別是對(duì)于情境復(fù)雜的問題；

-對(duì)二元一次方程組的理解，特別是如何確定兩個(gè)未知數(shù)之間的關(guān)系，以及如何選擇合適的解法；

-在解決問題時(shí)，對(duì)于方程組的解是否滿足原問題所有條件的判斷，例如在實(shí)際問題中，解是否在合理的取值范圍內(nèi)；

-例如，當(dāng)解決關(guān)于速度和時(shí)間的問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽略速度和時(shí)間必須為正數(shù)的條件，導(dǎo)致得出不合實(shí)際的解。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與策略本節(jié)課將采用以下教學(xué)方法與策略：

1.講授與討論相結(jié)合：教師通過講解二元一次方程組的基本概念和解法，引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握核心知識(shí)。在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，共同分析實(shí)際問題，探討如何建立方程組，促進(jìn)學(xué)生的思考與交流。

2.案例研究：選取與學(xué)生生活密切相關(guān)的實(shí)際問題作為案例，讓學(xué)生通過分析案例，獨(dú)立或合作完成方程組的建立與求解，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想和問題解決能力。

3.教學(xué)媒體使用：利用多媒體課件展示案例、解題步驟及答案，輔助學(xué)生理解與記憶。同時(shí)，設(shè)計(jì)互動(dòng)式數(shù)學(xué)游戲，如“方程組接力賽”，增強(qiáng)課堂趣味性，提高學(xué)生的參與度和互動(dòng)性。教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

-教師活動(dòng)：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過學(xué)校在線平臺(tái)發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括預(yù)習(xí)PPT和問題列表，明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：圍繞“實(shí)際問題與二元一次方程組”主題，設(shè)計(jì)具有探究性的問題，如“如何從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出方程組？”

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過平臺(tái)數(shù)據(jù)跟蹤學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，及時(shí)給予指導(dǎo)。

-學(xué)生活動(dòng)：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生按照要求，自行預(yù)習(xí)PPT，了解二元一次方程組的基礎(chǔ)知識(shí)。

思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生嘗試回答預(yù)習(xí)問題，記錄疑問。

提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)筆記和問題通過平臺(tái)提交，為課堂討論做準(zhǔn)備。

-教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力。

信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)，提高預(yù)習(xí)資源的可達(dá)性和預(yù)習(xí)進(jìn)度的透明性。

-作用與目的：

讓學(xué)生提前接觸新課內(nèi)容，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和提出問題的能力。

2.課中強(qiáng)化技能

-教師活動(dòng)：

導(dǎo)入新課：通過現(xiàn)實(shí)生活中的案例導(dǎo)入，如“小明和小華同時(shí)出發(fā)去公園，他們?nèi)绾蜗嘤?？?/p>

講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解如何從案例中建立二元一次方程組，并解之。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組合作活動(dòng)，讓學(xué)生解決類似實(shí)際問題。

解答疑問：及時(shí)解答學(xué)生在探索過程中的疑問。

-學(xué)生活動(dòng)：

聽講并思考：認(rèn)真聽講，思考方程組的建立和解法。

參與課堂活動(dòng)：在小組內(nèi)討論，共同解決實(shí)際問題。

提問與討論：對(duì)不懂的問題提出疑問，參與小組討論。

-教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：通過案例分析，幫助學(xué)生理解方程組的實(shí)際應(yīng)用。

實(shí)踐活動(dòng)法：通過小組合作，提高學(xué)生解決問題的能力。

合作學(xué)習(xí)法：加強(qiáng)學(xué)生之間的溝通與協(xié)作。

-作用與目的：

加深學(xué)生對(duì)二元一次方程組的理解和應(yīng)用。

通過實(shí)際操作，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和團(tuán)隊(duì)合作能力。

3.課后拓展應(yīng)用

-教師活動(dòng)：

布置作業(yè)：根據(jù)課堂內(nèi)容，布置相關(guān)作業(yè)，如解決一個(gè)新的實(shí)際問題。

提供拓展資源：推薦相關(guān)書籍和網(wǎng)絡(luò)資源，供學(xué)生深入了解。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋。

-學(xué)生活動(dòng)：

完成作業(yè)：獨(dú)立完成作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)成果。

拓展學(xué)習(xí)：利用拓展資源，提高對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。

反思總結(jié)：總結(jié)學(xué)習(xí)過程，提出改進(jìn)措施。

-教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生自主完成作業(yè)，進(jìn)行深入學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：通過反思，促進(jìn)學(xué)生自我評(píng)價(jià)和自我提升。

-作用與目的：

鞏固學(xué)生對(duì)二元一次方程組的掌握。

拓寬學(xué)生知識(shí)視野，提高自我認(rèn)知和自我完善的能力。知識(shí)點(diǎn)梳理1.二元一次方程組的定義與表示

-二元一次方程組的概念：由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組。

-二元一次方程組的表示：一般形式為\(\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases}\)，其中\(zhòng)(a,b,c,d,e,f\)是常數(shù)，\(x,y\)是未知數(shù)。

2.二元一次方程組的解法

-代入法：從其中一個(gè)方程解出一個(gè)變量，然后代入另一個(gè)方程。

-消元法：通過加減乘除運(yùn)算，消去一個(gè)變量，得到一個(gè)一元一次方程，再解出另一個(gè)變量。

-注意解法的選擇：根據(jù)方程組的特點(diǎn)選擇最合適的解法。

3.實(shí)際問題與二元一次方程組的聯(lián)系

-抽象思維：從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出二元一次方程組。

-模型建立：根據(jù)問題情境，找出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，列出方程組。

-解的應(yīng)用：將解代入實(shí)際問題，驗(yàn)證解答的正確性。

4.常見類型的實(shí)際問題

-速度與時(shí)間問題：相遇、追及等問題。

-面積與邊長問題：幾何圖形的面積和邊長關(guān)系。

-成本與數(shù)量問題：總成本、單價(jià)、數(shù)量之間的關(guān)系。

5.解題步驟

-閱讀題目，理解問題情境。

-抽象出二元一次方程組。

-選擇合適的解法求解。

-將解代入實(shí)際問題，驗(yàn)證答案。

-注意檢驗(yàn)解是否滿足實(shí)際問題的所有條件。

6.解題策略

-識(shí)別關(guān)鍵信息：在問題中找出與未知數(shù)相關(guān)的關(guān)鍵信息。

-確定變量關(guān)系：分析變量之間的線性關(guān)系，列出方程。

-轉(zhuǎn)化與簡化：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，簡化問題。

-檢驗(yàn)解的合理性：確保解在實(shí)際情況中是合理的。

7.課后練習(xí)與拓展

-基礎(chǔ)練習(xí)：圍繞教材課后習(xí)題，鞏固二元一次方程組的解法。

-拓展練習(xí)：選擇一些實(shí)際問題，讓學(xué)生獨(dú)立建立方程組并求解。

-研究性學(xué)習(xí)：鼓勵(lì)學(xué)生探索不同類型的實(shí)際問題，總結(jié)解題策略。典型例題講解例題1：速度與時(shí)間問題

小明和小華同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，小明以每小時(shí)5公里的速度向北走，小華以每小時(shí)4公里的速度向南走。問1.5小時(shí)后，他們相距多遠(yuǎn)？

解：

設(shè)小明走的距離為\(x\)公里，小華走的距離為\(y\)公里。

根據(jù)題意，可以列出以下方程組：

\(\begin{cases}x=5\times1.5\\y=4\times1.5\end{cases}\)

解得：

\(x=7.5,y=6\)

他們相距的距離為\(x+y=7.5+6=13.5\)公里。

例題2：面積與邊長問題

一個(gè)長方形的面積是24平方厘米，長比寬多4厘米。求長方形的長和寬。

解：

設(shè)長方形的長為\(x\)厘米，寬為\(y\)厘米。

根據(jù)題意，可以列出以下方程組：

\(\begin{cases}x\timesy=24\\x=y+4\end{cases}\)

代入法解得：

\(y^2+4y-24=0\)

解得：

\(y=4\)（負(fù)值舍去）

\(x=y+4=8\)

長方形的長為8厘米，寬為4厘米。

例題3：成本與數(shù)量問題

某商品的單價(jià)是每件150元，如果購買5件以上，每件可以打9折。小明購買這種商品，付了675元，問他購買了幾件商品？

解：

設(shè)小明購買的商品件數(shù)為\(x\)件。

根據(jù)題意，可以列出以下方程：

如果\(x\leq5\)，則\(150x=675\)；

如果\(x>5\)，則\(150\times0.9x=675\)。

解得：

\(x=4.5\)（不合理，因?yàn)椴荒苜徺I半件商品）

\(x=5\)（不合理，因?yàn)?件的總價(jià)為750元）

\(x=7\)

小明購買了7件商品。

例題4：年齡問題

爸爸比小明大28歲，3年后，爸爸的年齡將是小明年齡的2倍。求小明現(xiàn)在的年齡。

解：

設(shè)小明現(xiàn)在的年齡為\(x\)歲，爸爸的年齡為\(y\)歲。

根據(jù)題意，可以列出以下方程組：

\(\begin{cases}y=x+28\\y+3=2(x+3)\end{cases}\)

解得：

\(x=13,y=41\)

小明現(xiàn)在13歲。

例題5：距離與速度問題

甲、乙兩地相距120公里，從甲地到乙地，自行車和摩托車的速度分別是15公里/小時(shí)和30公里/小時(shí)。問同時(shí)出發(fā)后，幾小時(shí)后摩托車追上自行車？

解：

設(shè)摩托車追上自行車的時(shí)間為\(x\)小時(shí)。

根據(jù)題意，可以列出以下方程：

\(30x=15x+120\)

解得：

\(x=4\)

摩托車在4小時(shí)后追上自行車。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測1.課堂小結(jié)

本節(jié)課，我們主要學(xué)習(xí)了如何從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組，并利用方程組解決實(shí)際問題。我們了解了二元一次方程組的定義、表示方法，以及代入法和消元法兩種解法。通過具體例題的分析，我們掌握了如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，以及如何檢驗(yàn)解的合理性。我們還學(xué)習(xí)了常見類型的實(shí)際問題，如速度與時(shí)間問題、面積與邊長問題、成本與數(shù)量問題等。最后，我們通過課后練習(xí)和拓展，進(jìn)一步鞏固了所學(xué)知識(shí)。

2.當(dāng)堂檢測

為了檢測學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握情況，我將設(shè)計(jì)以下當(dāng)堂檢測題目：

題目1：一輛汽車從甲地出發(fā)，以60公里/小時(shí)的速度向東行駛，一輛自行車從乙地出發(fā)，以20公里/小時(shí)的速度向西行駛。已知兩地相距120公里，問幾小時(shí)后兩車相遇？

題目2：一個(gè)長方形的周長是36厘米，長比寬多4厘米。求長方形的長和寬。

題目3：某商品的單價(jià)是每件100元，購買5件以上可以打8折。小明購買這種商品，付了480元，問他購買了幾件商品？

題目4：媽媽比小明大26歲，4年后，媽媽的年齡將是小明年齡的3倍。求小明現(xiàn)在的年齡。

題目5：甲、乙兩地相距100公里，從甲地到乙地，汽車和火車的速度分別是50公里/小時(shí)和80公里/小時(shí)。問同時(shí)出發(fā)后，幾小時(shí)后火車追上汽車？板書設(shè)計(jì)1.重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

①二元一次方程組的定義與表示

②二元一次方程組的解法：代入法、消元法

③實(shí)際問題與二元一次方程組的聯(lián)系

④常見類型的實(shí)際問題：速度與時(shí)間問題、面積與邊長問題、成本與數(shù)量問題

⑤解題步驟：閱讀題目、抽象出方程組、選擇解法、驗(yàn)證答案

⑥解題策略：識(shí)