2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：胡不歸最值模型專項(xiàng)練習(xí)

胡不歸最值模型專項(xiàng)練習(xí)

1.正切值與胡不歸最值問題（初三）

如圖,AABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)E,D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+的最小值是（）

42遍B.4V5C.5V3D.10

2.菱形中的胡不歸最值問題（初二）

如圖所示，菱形ABCO的邊長為5,對(duì)角線OB的長為4V5?P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+90P的最小值為（）

3.特殊角與胡不歸最值問題（初二）

如圖,在八ABC中，ZA=15°,AB=10,P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP,貝!J^AP+的最小值是（）

45&B.5V3C.竿D.8

4等邊三角形中胡不歸最值問題（初二）

如圖,△ABC為等邊三角形,BD平分NABC,AB=2,點(diǎn)E為BD上動(dòng)點(diǎn),連接AE,則AE+并E的最小值為（）

5尺規(guī)作圖角平分線胡不歸最值問題（初二）

如圖，在Rt△ABC^.AACB=90。,乙4BC=30°,AC=4,按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD,AE,使AD=4E.②分

別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于：DE的長為半徑作弧，兩弧在NB4C內(nèi)交于點(diǎn)M.③作射線AM交BC于點(diǎn)F.若點(diǎn)P是線段AF上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,貝（JCP+號(hào)4P的最小值是

A

'E

P

D

M

CB

6.平面直角坐標(biāo)系中的胡不歸最值問題（初二）

如圖.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（（0,3包）,點(diǎn)C坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)B為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則.^AB+BC的最小值為（）

4罷B.5C.3V5D.5V3

7二次函數(shù)中的胡不歸最值問題（初三）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=/-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0--3）?若P是x軸上一

動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)D（0,1）在y軸上,連接PD,則V2PD+PC的最小值是（）

8直角三角形中的胡不歸最值問題（初二）

如圖，在Rt△48c中=90。,乙4=30°?則AB=2BC.請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若AC=2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，P

為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，則4P+：CP的最小值為（）

9先提取系數(shù)型胡不歸最值問題（初二）

如圖,在^ABC中，NA=90。，ZB=60°,AB=2,若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值為.

10三角函數(shù)值與胡不歸最值問題（初三）

如圖.在八ABC中.AB=5,AC=4,sin4=1,BD14c交AC于點(diǎn)D.點(diǎn)P為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+|PB的最小值為

11平行四邊行中的胡不歸最值問題（初二）

如圖尸ABCD中../DAB=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則P8+?！辏镜淖钚≈档扔?/p>

12胡不歸最值問題（初三）

如圖，AC垂直平分線段BD,相交于點(diǎn)O,且（OB=0C/B4D=120°.

⑴.乙4BC=

（2）.E為BD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),BC=6,當(dāng)AE+最小時(shí)，BE=

13菱形中的胡不歸最值問題（初三）

如圖，已知菱形ABCD的周長為99V2,,面積為李點(diǎn)E為對(duì)角線AC上動(dòng)點(diǎn)，則JE+BE的最小值為

14菱形中的胡不歸最值問題（初二）

如圖,菱形ABCD中,.乙4BC=60°,,邊長為3,P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝*BP+PC最小值是

A

15平面直角坐標(biāo)系中的胡不歸最值問題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=T+4的圖象分別與y軸和x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B.若定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0-6b），點(diǎn)Q是y軸

上任意一點(diǎn)，則\PQ+QB的最小值為一.

16二次函數(shù)拋物線中的胡不歸最值問題（初三）

如圖，二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D,若點(diǎn)P為y軸上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD,貝［J嚕PC+PD的最小值為一.

17三角形折疊與胡不歸最值問題（初二）

如圖①,在^ABC中,N4CB=90。，=30。,點(diǎn)C沿BE折疊與AB上的點(diǎn)D重合.連接DE,請(qǐng)你探究：器=;請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的

AD

基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：如圖②,在4OPM中,4PM=90。/"=30°?若OM=2,點(diǎn)G是OM邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PG+：MG的最小值為一.

18胡不歸最值模型的問題探究和應(yīng)用題（初二）

【問題探究】在等邊三角形ABC中,AD±BC于點(diǎn)D.AB=2.

⑴如圖1.E為AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到AB的距離為一;

（2）如圖2,M為AD上一動(dòng)點(diǎn).則\AM+MC的最小值為一；

【問題解決】如圖3,A,B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點(diǎn)B到AC的距離為360km.今

計(jì)劃在鐵路線AC上修一個(gè)中轉(zhuǎn)站M,再在BM間修一條筆直的公路.如果同樣的物資在每千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍，那么

為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最小值，中轉(zhuǎn)站M應(yīng)修在距A地—km處.

19二次函數(shù)中的胡不歸壓軸題(初三)

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(aW0)與y軸相交于點(diǎn)C(0,-2),與x軸分別交于點(diǎn)B(3,0)和點(diǎn)A,且tanZ.CAO=1.

(1)求拋物線解析式.

(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得乙BAQ=/-ABC,,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,在y軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P,使苧PC+PD值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說

20二次函數(shù)中的胡不歸壓軸題(初三)

二次函數(shù)y=a/-2久+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)點(diǎn)C(3,O),與y軸交于點(diǎn)B(0,-3).

⑴a=,c=.

(2)如圖1,P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D(0,1)在y軸上,連接PD,求y/2PD+PC的最小值；

(3)如圖2,點(diǎn)M在拋物線上，若SMBC=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

1.解:如圖，作DH1AB于H,CM±AB于M.

???BE^AC,，???^AEB=90°,A:Etan/=—=2,

設(shè)AE=a,BE=2a,貝!］有：100=a2+4a2,a2=20,

a=2遍或—2場(chǎng)舍棄）,:.BE=2a=4倔

：AB=AC,BE±AC,CM±AB,

CM=BE=475（等腰三角形兩腰上的高相等）,

VZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

BD

ACD+^=CO+DH,:.CD+DH>CM,

:.CD+^BD>4V5,

??.CD+?3。的最小值為4愿.故選:B.

2.解:如圖,過點(diǎn)A作AF±OC于點(diǎn)F,過點(diǎn)P作PE±OC于點(diǎn)E.連接AC交BO于點(diǎn)M.

???四邊形OABC是菱形，.??AC_LOB,

0M=2V5,CM=V5,

:.PE=—OP:AP+—OP=AP+PE

???當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線,且垂直O(jiān)C時(shí),有最小值,AF即為所求，:.4P+$0P的最小值為4,故選:A.

3.解:如圖,以AP為斜邊在AC下方作等腰RtAADP,過B作BE1AD于E,

vZ-PAD=45

yXP+PB=DP+PB>BE,:ABAC=15°

???ZBAD=60°,.,.BE=ABsin60°=5V3,

：,^AP+PB的最小值為.故選:B.

彳/

E7

D

4.解:如圖,過E作EH±BC于H,過A作AM±BC于M,

A

HM

???AABC為等邊三角形,BD平分NABC,

LEBH=30。,EH=\BE,：.AE+^BE=AE+EH,當(dāng)A、E、H三點(diǎn)共線,且垂直BC時(shí)AE+1BE有最小值，AM即為所求

的最小值.

在RtAABM中,NABM=60。,/.ZBAM=30°

BM=-AB=-x2=1

22

AM=V3BM=V3x1=V3,

AE+并E最小值為V5,故選:C.

5.解:理由如下:由作圖步驟可知.射線AF為NCAB的角平分線，

?/ZABC=90°,ZB=30°,AZCAB=60°,

?；AM平分NCAB,

:.乙CAF=ABAF=^CAB=30。，過點(diǎn)P作PD±AB于點(diǎn)D,貝！]PD=^AP,

”CP+：4P=CP+PD,當(dāng)C、P、D三點(diǎn)共線，且垂直于AB時(shí)，有最小值.

過點(diǎn)C做CE_LAB于點(diǎn)E,貝!]CE即為CP+的最小值，在RtAAPE中,NCAE=60。，<ZACE=30°,AE=^AC=4=2,二

CE=aAE=2V3

且垂直AD時(shí),有最小值,CF即為所求，,.,CD=OD+OC=3=5,ZADC=60°,zDCF=30。，:DF=^CD=|,.-.CF=V3DF=學(xué)".^AB

+BC的最小值為第.故選:A.

7.解:過點(diǎn)P作PE±BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF±BC于點(diǎn)F.

1?,二次函數(shù)y=必-2x+c的圖象，與y軸交于點(diǎn)B(O,-3),

.,.c=-3，，二次函數(shù)的解析式為y=二-2>-3,令y=0,爐-2x-3=0,解得x=-1或3,

AA(-1,0),C(3,0),.t.08=00=3,

VZBOC=90o,ZOBC=ZOCB=45°,

在等腰RtACPE中,PE=苧PC

V2PD+PC=V2(PD+?PC)=&(PD+PE)

當(dāng)PD+PE最小的時(shí)候,V2PD+PC有最小值.

二當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線,且垂直BC時(shí)最小,DF即為所求DD(0,1),；.OD=1,BD=4,

.?.在RtADBF中,DF=瑞=/=2企

V2PD+PC的最小值為4.故選:A.

8.解:過C作CE，AB于E,過點(diǎn)P作PF±EC于F

VZACB=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

CD="B=AD,

：NCAB=30°,.,.NB=60°,...△BCD為正三角形，

??.NDCE=30FPF=/P,

AP+^CP=AP+PF>AE,:乙CAB=30°,AC=2,

CE=^AC=1,.'.AE=y/AC2+CE2=V3,

AP+\CP的最小值為低故選:C.

9.解:：24D+CD=2（4D+匆D）,...當(dāng)AD+最小時(shí)2AD+CD有最小值.如圖，作NBCG=30。,過D作DE_LCG于E,DE=

|CD,：.AD+^CD=AD+DE,當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線.且垂直于CG時(shí),AD+DE有最小值,AF即為AD+\CD的最小值，

由題意，乙4CF=60°,ACAF=30°,CF=^AC=V3,AF=V3CF=3,即2AD+CD的最小值為6.故答案為:6.

10.解:過點(diǎn)P作PE1AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CH±AB于點(diǎn)H,VBD1AC,AZADB=90°,

..BD4.?Lcnx

smA=—=-,AB=5".BD=4,

AB51

由勾股定理得AD=>JAB2-BD2=3,

40PE3LC3c

smz.ABD=—=—=一，EP=-BP,

ABBP55

PC+,PB=PC+PE,即點(diǎn)C、P、E三點(diǎn)共線時(shí),PC+：PB最小，PC+/B的最小值為CH的長，

■:SABC=-xACxBD=-xABxCH,

???4x4=5xCH,CH=芋

PC+qPB的最小值為當(dāng).故答案為：系.

11解如圖，過點(diǎn)P作PE_LAD,交AD的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF_LAD,交AD的延長線于點(diǎn)F.

VAB^CD,.?.ZEDP=ZDAB=60°,/.ZDPE=30°,

???DF=iDP,.-.PE=V3DF=yPD,

PB+與PD=PB+PE,：.當(dāng)點(diǎn)B,點(diǎn)E三點(diǎn)共線且BE1AD時(shí),PB+PE有最小值,EF即為所求的最小值.

?/ZA=60°,ZABF=30°,

AF=^AB=3,.'.BF=y[3AF=38，故答案為：3V3

12.解：(1)VAC垂直平分線段BD,...AB=AC,.\ZABD=ZADB,VZBAD=120°ZABD=(180°-120°)+2=30°,YOB=OC,OB±

OC,ZOBC=45°,ZABC=30°+45°=75°,故答案為:75°;

BC

(2)作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A,,過A作AG±A'B于G,過E作EF±A'B于F,：ZABO=30°,AZA'BO=30°,FE=|BE,AE+

BE=AE+FE>AG,

設(shè)AG與OB交于E',BE即為當(dāng)AE+：BE最小時(shí)的BE,VBC=6,ZOBC=45°,.?.OB=OC=3V2,

?/ZA'BA=60°,AB=AB,AABA，為等邊三角形，

：或.故答案為：

BG=^ZBA'=V6,.-.cos^ABDCO=D券C=Z*=4,.BE'=22^2.

13.解:連接BD交AC于點(diǎn)O,過點(diǎn)E作EF±AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DH±AB于點(diǎn)H,

HB

菱形ABCD的周長為9&YD=4B=竽,

?.?菱形ABCD的面積為竽，即苧X=竽,

ADH=2,

???在RtAADH中,AH=VXD2-DH2=—,

_4

???BH=,.在RtABDH中,BD=當(dāng),

:四邊形ABCD是菱形.OB=OD=當(dāng),BDLAC,

???在RtAAOD中，sinZ-DAO=

???在RtAEAF中，EF=^AE,：.^AE+BE=EF+BE,

???當(dāng)BE+EF最小時(shí),豺E+BE最小,過點(diǎn)B作BG±AD于點(diǎn)G,BG為BE+EF的最小值,

、，立

,**A?DnBG=9V29V2BG=9—

x—2,?0?—4x2

BG=2,.-.^AE+BE的最小值為2.

14.解:如圖，作PM±AB于M,CH±AB于H,

C

"四邊形ABCD是菱形,4PBM=*BC=30",

PM=+pc=PM+PC,根據(jù)垂線段最短可知,CH即為CP+PM的最小值.

在RtACBH中NHBC=60。，ZBCH=30°,

BH=-BC=CH=y/3BH=—,

222

■?.jBP+PC最小值是手,故答案為：吟

15.如圖，作NOPG=30。,交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)Q作QE1PG于點(diǎn)E,則QE=\PQ,

■■^PQ+QB=QE+QB,當(dāng)B、Q、E三點(diǎn)共線且垂直PG時(shí),QE+QB有最小值.

過點(diǎn)B做BF±PG于點(diǎn)F.BF即為所求.

ZOPG=30°,ZFGO=60°,GO==6,

AGB=10,

在RtABGF中,乙GBF=30。，：.GF=^GB=5,BF=5^3

16.解:y=-x2+2x+3=-(%-3)(%+1)=-(%-l)2+4,:.當(dāng)x=0時(shí),y=3,當(dāng)y=0時(shí),x=3或x=l,該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=

1,

???二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0),

連接CD,作PE±CD于點(diǎn)E,

VOD=1,0C=3,ZCOD=90°,

CD=V10sin/。CD=,

Vio10

BPsin/PCE=PE=—PC,

r1010_

1/點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，則PA=PD,則^PC+PD=PD+PE=PA+PE

當(dāng)APE三點(diǎn)共線時(shí),PE+PD的最小值就是AE的長，

ZEAD+ZEDA=ZDCO+ZEDA=90°,

.■^EAD=^DCO,.：s^EAD=^,

，廠.八3V10

???cosZ-EAD=---,

io

AD=2,.-.AE=2X^=等，即*PC+PD的最小值為爭(zhēng)，故答案為3V10

5'

17.解:@VZACB=90°,ZA=30°,

???NABC=60。,,.?點(diǎn)C沿BE折疊與AB上的點(diǎn)D重合,

.,.ZDBE=ZCBE=30°,/.ZA=ZABE,

,.?ZBDE=ZC=90°,.,.AD=BD,

???BC=BD,，AB=2BC,??.BC/ABj

②如圖2,在OM的下方作NOME=30。,作GE±ME于點(diǎn)E,貝!JGE=GM,PG+^MG=PG+GE,當(dāng)P、G、E三點(diǎn)共線,且垂直M

E時(shí),有最小值，作PF±ME于點(diǎn)F,則PF即為所求,在RtAPMF中,PF=|,

PG+/MG）的最小值為I,故答案為：11-

18.解:（1）如圖1,VAABC是等邊三角形，

.?.AB=BC=2ZBAC=ZACB=ZABC=60°,

VAD±BC,AZBAD=30°,BD=1,.\AD=V3,

過E作EF±AB于點(diǎn)F,：E為AD的中點(diǎn)，

;EF==與故答案為：圣

圖1圖2

⑵如圖2,作MG±AB于點(diǎn)(G,GM=\AM,：.\AM+MC=GM+CM作CH±AB于點(diǎn)H,由題意可知CH即為所求，求得(CH=

V3

即，M+MC的最小值為迎故答案為：V3;

【問題解決】如圖3,作BD_LAC,垂足為點(diǎn)D,在AC異于點(diǎn)B的T則作NCAN=30。,作BF_LAN,垂足為點(diǎn)F,交AC于M,則點(diǎn)

M即為所求,在RtAABD中,4B=600km,BD=360km,；.AD=V6002-3602=480易知ZMBD=/MAF=30°,在RtAMBD中.ZM

BD=30°,BD=360km,貝!]MB=2MD,由勾股定理得MD=120A/3km,，AM=AD-MD=(480-1204)km.故答案為(480-120V3).

19.解:⑴'yo,-2),：.OC=2,VtanZCAO=1,=1,OA=2,4(-2,0)將A(-2,0),B(3,0),C(0,-2)代入y=ax2+bx+c,并

解得:a-b=—^,c=—2,

???拋物線解析式為y=|x2-1x-2;

(2)存在一點(diǎn)Q,使得NBAQ=NABC,理由如下:如圖，過A作AM〃BC交y軸于M,交拋物線于Q,作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M1作

直線ANT交拋物線于QL?；AM〃BC,二NQAB=NABC,即Q是滿足題意的點(diǎn),TB(3,0),C(0,-2),

直線BC解析式是y=|x-2,

設(shè)直線AM解析式為y=|x+m,將A(-2,0)代入得4E=?,-g+nt=0,m=:

???直線AM解析式為y=|工+%M(0,3把拋物線與直線AM聯(lián)立方程組，解得｛獲藍(lán)(與A重合,舍去)或

M關(guān)于x軸對(duì)稱，,ZQ,AB=ZQAB=ZABC,(0,-Q，是滿足題意的點(diǎn)設(shè)直線AQ為y=kx-g,將A(-2,0)代入得-

4

2y=0,

???k=-1直線AQ為y=-|x-海拋物線與直線AM聯(lián)立方程組，并解得代二孩借去)或/:工,Q(l，-2);

綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)是(5號(hào))或(1,-2);

(3)在y軸上存在一個(gè)點(diǎn)P,使日PC+尸。值最小，理由如下:過P作PH1AC于H,過D作DG1AC于G,如下圖：

???拋物線對(duì)稱軸是直線x=|,.-.D(1.0),

???OA=OC=2,??.△AOC是等月要直角三角形，

.?./OCA=45o=/OAC,,45是等腰直角三角形,PH=^PC,.-.^PC+PD=PH+PD,

■.當(dāng)D、P、H三點(diǎn)共線,且垂直AC時(shí)最小,DG即為所求的與P