2025高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)-7.4.2超幾何分布【課件】

7.4.2

超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解超幾何分布,能夠判定隨機(jī)變量是否服從超幾何分布;2.能夠利用隨機(jī)變量服從超幾何分布的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,會(huì)求服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值與方差;3.核心素養(yǎng):

數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算.一、回顧舊知2.二項(xiàng)分布X01knP1.n重伯努利試驗(yàn)二、探究新知1.問(wèn)題.

已知100件產(chǎn)品中有8件次品,分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求:隨機(jī)變量X的分布列.如果采用有放回抽樣,則每次抽到次品的概率為0.08且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立,此時(shí)X~B(4,0.08).如果采用不有放回抽樣,那么抽到4件產(chǎn)品中次品數(shù)X是否服從二項(xiàng)分布?如果不服從，那么X的分布列是什么?2.超幾何分布

一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.超幾何分布1.公式中個(gè)字母的含義N—總體中的個(gè)體總數(shù)M—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))2.求分布列時(shí)可以直接利用組合數(shù)的意義列式計(jì)算,不必機(jī)械記憶這個(gè)概率分布列.3.

“任取n件,恰有z件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.4.各對(duì)應(yīng)的概率和必須為1.三、鞏固新知解:1.例4.從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率.設(shè)X表示選出的5名數(shù)學(xué)中含甲的人數(shù)(只能取0或1),則X服從超幾何分布,且N=50,M=1,n=5,因此甲被選中的概率為1.判斷隨機(jī)變量是否服從超幾何分布;2.根據(jù)已知條件，確定M,N,n對(duì)應(yīng)的值;3.代入超幾何分布的概率公式，求出結(jié)果;解:另解:2.例5.一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格，隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.3.變式訓(xùn)練1學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，已知有4名候選人來(lái)自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率.解:設(shè)甲班恰有X人被選到,則X服從超幾何分布,且N=12,M=4,n=4,變式:求甲班至多1名同學(xué)被選到的概率.4.變式訓(xùn)練2解:

一袋中有7個(gè)大小相同的小球，其中有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球，2個(gè)藍(lán)球，從中任取3個(gè)球.

(1).求紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各取1個(gè)的概率.

(2).設(shè)X表示取到的藍(lán)色小球的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.探究:服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么?5.超幾何分布的均值若X服從超幾何分布,解:

6.例6.一袋中有100個(gè)大小相同的小球,其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).

(1).分別就有放回和不放回摸球，求X的分布列;(2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.解(2)采用不放回摸球估算的結(jié)果更可靠些

6.例6.一袋中有100個(gè)大小相同的小球,其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).

(2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.0.050

0.100.150.200.25兩種摸球方式下,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8.但從兩種分步的概率分步圖看,超幾何分布更集中在均值附近.當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每次抽取一次,對(duì)N的影響很小.此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分步近似.7.二項(xiàng)分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系1.區(qū)別

一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項(xiàng)分布的模型是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”對(duì)于抽樣,則是有放回抽樣.2.聯(lián)系當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時(shí),即便是不放回抽樣,也可視其為二項(xiàng)分布.8.變式訓(xùn)練3PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物,根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095－2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2018年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽出3天,求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；(2)從這