第四章 習題課一

第頁習題課一：電磁感應中的電路及圖象問題電磁感應中的電路問題電磁感應中的電路問題電磁感應問題常與電路知識綜合考查，解決此類問題的基本方法是：(1)明確哪部分電路或?qū)w產(chǎn)生感應電動勢，該部分電路或?qū)w就相當于電源，其他部分是外電路。(2)畫等效電路圖，分清內(nèi)、外電路。(3)用法拉第電磁感應定律E＝neq\f(ΔΦ,Δt)或E＝Blv確定感應電動勢的大小，用楞次定律或右手定則確定感應電流的方向。在等效電源內(nèi)部，電流方向從負極指向正極。(4)運用閉合電路歐姆定律、串并聯(lián)電路特點、電功率、電熱等公式聯(lián)立求解。[例1]固定在勻強磁場中的正方形導線框abcd邊長為l，其中ab是一段電阻為R的均勻電阻絲，其余三邊均為電阻可忽略的銅線。磁感應強度為B，方向垂直紙面向里。現(xiàn)有一段與ab段的材料、粗細、長度均相同的電阻絲PQ架在導線框上(如圖1所示)。若PQ以恒定的速度v從ad滑向bc，當其滑過eq\f(1,3)l的距離時，通過aP段的電流是多大？方向如何？圖1解析PQ右移切割磁感線，產(chǎn)生感應電動勢，相當于電源，外電路由Pa與Pb并聯(lián)而成，PQ滑過eq\f(l,3)時的等效電路如圖所示。PQ切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢大小為E＝Blv，感應電流方向由Q指向P。外電路總電阻為R外＝eq\f(\f(1,3)R·\f(2,3)R,\f(1,3)R＋\f(2,3)R)＝eq\f(2,9)R，電路總電流為I＝eq\f(E,R＋R外)＝eq\f(Blv,R＋\f(2,9)R)＝eq\f(9Blv,11R)，aP的電流大小為IaP＝eq\f(2,3)I＝eq\f(6Blv,11R)，方向由P到a。答案eq\f(6Blv,11R)方向由P到a1.“電源”的確定方法：切割磁感線的導體(或磁通量發(fā)生變化的線圈)相當于“電源”，該部分導體(或線圈)的電阻相當于“內(nèi)電阻”。2.電流的流向：在“電源”內(nèi)部電流從負極流向正極，在“電源”外部電流從正極流向負極。[針對訓練1]面積S＝0.2m2、n＝100匝的圓形線圈，處在如圖2所示的磁場內(nèi)，磁感應強度隨時間t變化的規(guī)律是B＝0.02t(T)，電阻R＝3Ω，電容器的電容C＝30μF，線圈電阻r＝1Ω，求：圖2(1)通過R的電流方向和4s內(nèi)通過導線橫截面的電荷量；(2)電容器的電荷量。解析(1)由楞次定律可求得電流的方向為逆時針，通過R的電流方向為b→a。由法拉第電磁感應定律可得E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝nSeq\f(ΔB,Δt)＝100×0.2×0.02V＝0.4V，由歐姆定律得電路中的電流I＝eq\f(E,R＋r)＝eq\f(0.4,3＋1)A＝0.1A，出線4s內(nèi)通過導線橫截面的電荷量q＝It＝eq\f(E,R＋r)t＝neq\f(ΔBS,Δt（R＋r）)t＝0.4C。(2)UC＝UR＝IR＝0.1×3V＝0.3V，Q＝CUC＝30×10－6×0.3C＝9×10－6C。答案(1)方向由b→a0.4C(2)9×10－6C電磁感應中的圖象問題1.明確圖象的種類，即是B－t圖象還是Φ－t圖象，或者是E－t圖象、I－t圖象、F－t圖象等。2.分析電磁感應的具體過程。3.確定感應電動勢(或感應電流)的大小和方向，有下列兩種情況：(1)若回路面積不變，磁感應強度變化時，用楞次定律確定感應電流的方向，用E＝neq\f(ΔΦ,Δt)確定感應電動勢大小的變化。(2)若磁場不變，導體切割磁感線，用右手定則判斷感應電流的方向，用E＝Blv確定感應電動勢大小的變化。4.畫圖象或判斷圖象，特別注意分析斜率的變化、截距等。5.涉及受力問題，可由安培力公式F＝BIL和牛頓運動定律等規(guī)律寫出有關函數(shù)關系式。[例2]如圖3甲所示，矩形導線框abcd固定在勻強磁場中，磁感線的方向與導線框所在平面垂直，規(guī)定磁場的正方向垂直紙面向里，磁感應強度B隨時間變化的規(guī)律如圖乙所示，若規(guī)定順時針方向為感應電流的正方向，下列各圖中正確的是()圖3解析0～1s內(nèi)，磁感應強度B均勻增大，由法拉第電磁感應定律可知，產(chǎn)生的感應電動勢E＝eq\f(ΔΦ,Δt)恒定，電流i＝eq\f(E,R)恒定；由楞次定律可知，電流方向為逆時針方向，即負方向，在i－t圖象上，是一段平行于t軸的直線，且為負值，可見，選項A、C錯誤；在1～2s內(nèi)B、D中電流情況相同，在2～3s內(nèi)，負向的磁感應強度均勻增大，由法拉第電磁感應定律知，產(chǎn)生的感應電動勢E＝eq\f(ΔΦ,Δt)恒定，電流i＝eq\f(E,R)恒定，由楞次定律知，電流方向為順時針方向，即正方向，在i－t圖象上，是一段平行于t軸的直線，且為正值，選項D正確。答案D 本類題目線圈面積不變而磁場發(fā)生變化，可根據(jù)E＝neq\f(ΔB,Δt)S判斷E的大小及變化，由楞次定律判斷感應電流的方向，即圖象的“＋”、“－”。其中eq\f(ΔB,Δt)為B－t圖象斜率，特別注意1～3s內(nèi)斜率不變，I感的大小、方向都不變。[針對訓練2]如圖4所示，一底邊為L，底邊上的高也為L的等腰三角形導體線框以恒定的速度v沿垂直于磁場區(qū)域邊界的方向穿過長為2L，寬為L的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里。t＝0時刻，三角形導體線框的底邊剛進入磁場，取沿逆時針方向的感應電流為正，則在三角形導體線框穿過磁場區(qū)域的過程中，感應電流i隨時間t變化的圖線可能是()圖4解析根據(jù)E＝BLv，I＝eq\f(E,R)＝eq\f(BLv,R)，三角形導體線框進、出磁場時，有效長度L都變小。再根據(jù)右手定則，進、出磁場時感應電流方向相反，進磁場時感應電流方向為逆時針方向為正，出磁場時感應電流方向為順時針方向為負，故選項A正確。答案A1.(電磁感應中的電路問題)用均勻?qū)Ь€做成的正方形線框邊長為0.2m，正方形的一半放在垂直于紙面向里的勻強磁場中，如圖5所示。當磁場以10T/s的變化率增強時，線框中a、b兩點間電勢差是()圖5A.Uab＝0.1V B.Uab＝－0.1VC.Uab＝0.2V D.Uab＝－0.2V解析題中正方形線框的左半部分磁通量變化而產(chǎn)生感應電動勢，從而在線框中有感應電流產(chǎn)生，把左半部分線框看成電源，其電動勢為E，內(nèi)阻為eq\f(r,2)，畫出等效電路如圖所示，則a、b兩點間的電勢差即為電源的路端電壓，設正方形邊長為l，且依題意知eq\f(ΔB,Δt)＝10T/s。由E＝eq\f(ΔΦ,Δt)得E＝eq\f(ΔBS,Δt)＝eq\f(ΔB,Δt)·eq\f(l2,2)＝10×eq\f(0.22,2)V＝0.2V，所以U＝IR＝eq\f(E,\f(r,2)＋\f(r,2))·eq\f(r,2)＝0.1V，由于a點電勢低于b點電勢，故Uab＝－0.1V，即選項B正確。答案B2.(電磁感應中的電路問題)如圖6所示，虛線左邊區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場。粗細均勻的電阻絲圍成的正三角形閉合金屬框架開始時全部處于勻強磁場中，在外力的作用下把框架勻速拉出磁場，下列說法正確的是()圖6A.框架勻速拉出過程中，回路總電動勢均勻變大B.框架勻速拉出過程中，回路總電動勢不變C.外力F外隨位移x的增大而線性增大D.外力功率P隨位移x的增大而線性增大解析框架勻速拉出過程中，有效長度l均勻增加，由E＝Blv知，回路總電動勢均勻變大，選項A正確，B錯誤；因為框架做勻速運動，則F外＝F安＝BIl＝eq\f(B2l2v,R)，故外力F外隨位移x的增大而非線性增大，選項C錯誤；外力功率P＝F外v，v恒定不變，故P也隨位移x的增大而非線性增大，選項D錯誤。答案A3.(電磁感應中的圖象問題)如圖7所示，在x≤0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場的方向垂直于xOy平面(紙面)向里。具有一定電阻的矩形線框abcd位于xOy平面內(nèi)，線框的ab邊與y軸重合。令線框從t＝0時刻起由靜止開始沿x軸正方向做勻加速運動，則線框中的感應電流i(取逆時針方向的電流為正)隨時間t的變化圖線正確的是()圖7解析因為線框做勻加速直線運動，所以感應電動勢為E＝Blv＝Blat，因此感應電流大小I＝eq\f(E,R)＝eq\f(Blat,R)與時間成正比，由楞次定律可知電流方向為順時針方向，故選項D正確。答案D4.(電磁感應中的圖象問題)環(huán)形線圈放在勻強磁場中，設在第1s內(nèi)磁場方向垂直于線圈平面向里，如圖8甲所示。若磁感應強度隨時間t的變化關系如圖乙所示。那么在第2s內(nèi)，線圈中感應電流的大小和方向是()圖8A.大小恒定，順時針方向B.大小恒定，逆時針方向C.大小逐漸增加，順時針方向D.大小逐漸減小，逆時針方向解析由題意可知，第1s內(nèi)磁場方向垂直于線圈平面向里，則在第2s內(nèi)，磁場的方向垂直于紙面向外，磁感應強度均勻減小，所以產(chǎn)生恒定的電流，根據(jù)楞次定律，感應電流的方向為逆時針方向，故選項B正確。答案B5.(電磁感應中的圖象問題)在豎直向上的勻強磁場中，水平放置一個不變形的單匝金屬圓線圈，規(guī)定線圈中感應電流的正方向如圖9甲所示，當磁場的磁感應強度B隨時間t如圖乙所示規(guī)律變化時，下列四個圖中正確表示線圈中感應電動勢E變化的是()圖9解析在第1s內(nèi)，磁感應強度B均勻增大，由楞次定律可判定電流為正，其產(chǎn)生的感應電動勢E1＝eq\f(ΔΦ1,Δt1)＝eq\f(ΔB1,Δt1)S，在第2s和第3s內(nèi)，磁感應強度B不變化，即線圈中無感應電流，在第4s和第5s內(nèi)，磁感應強度B均勻減小，由楞次定律可判定，其電流為負，產(chǎn)生的感應電動勢E2＝eq\f(ΔΦ2,Δt2)＝eq\f(ΔB2,Δt2)S，由于ΔB1＝ΔB2，Δt2＝2Δt1，故E1＝2E2，由此可知，選項A正確。答案A基礎過關1.一閉合圓形線圈放在勻強磁場中，線圈的軸線與磁場方向成30°角，磁感應強度隨時間均勻變化。在下列方法中能使線圈中感應電流增加一倍的是()A.把線圈匝數(shù)增大一倍B.把線圈面積增大一倍C.把線圈半徑增大一倍D.把線圈匝數(shù)減少到原來的一半解析設感應電流為I，電阻為R，匝數(shù)為n，線圈半徑為r，線圈面積為S，導線橫截面積為S′，電阻率為ρ。由法拉第電磁感應定律知E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝neq\f(ΔBScos30°,Δt)，由閉合電路歐姆定律知I＝eq\f(E,R)，由電阻定律知R＝ρeq\f(n·2πr,S′)，則I＝eq\f(ΔBrS′,2ρΔt)cos30°，其中eq\f(ΔB,Δt)、ρ、S′均為恒量，所以I∝r，故選項C正確。答案C2.如圖1所示，用粗細相同的銅絲做成邊長分別為L和2L的兩只閉合線框a和b，以相同的速度從磁感應強度為B的勻強磁場區(qū)域中勻速地拉到磁場外，不考慮線框的重力，若閉合線框的電流分別為Ia、Ib，則Ia∶Ib為()圖1A.1∶4 B.1∶2C.1∶1 D.不能確定解析產(chǎn)生的感應電動勢為E＝Blv，由閉合電路歐姆定律得I＝eq\f(Blv,R)，又Lb＝2La，由電阻定律知Rb＝2Ra，故Ia∶Ib＝1∶1，選項C正確。答案C3.如圖2所示，豎直平面內(nèi)有一金屬圓環(huán)，半徑為a，總電阻為R(指拉直時兩端的電阻)，磁感應強度為B的勻強磁場垂直穿過環(huán)平面。環(huán)的最高點A用鉸鏈連接長度為2a、電阻為eq\f(R,2)的導體棒AB，AB由水平位置緊貼環(huán)面擺下，當擺到豎直位置時，B點的線速度為v，則這時AB兩端的電壓大小為()圖2A.eq\f(Bav,3) B.eq\f(Bav,6)C.eq\f(2Bav,3) D.Bav解析擺到豎直位置時，AB切割磁感線的瞬時感應電動勢E＝B·2a·eq\f(1,2)v＝Bav。由閉合電路歐姆定律有|UAB|＝eq\f(E,\f(R,2)＋\f(R,4))·eq\f(R,4)＝eq\f(1,3)Bav，故選項A正確。答案A4.如圖3甲所示，閉合的圓線圈放在勻強磁場(圖中未畫出)中，t＝0時磁感線垂直線圈平面向里穿過線圈，磁感應強度隨時間變化的關系圖線如圖乙所示，則在0～2s內(nèi)線圈中感應電流的大小和方向為()圖3A.逐漸增大，逆時針B.逐漸減小，順時針C.大小不變，順時針D.大小不變，先順時針后逆時針解析因為B－t圖線的斜率不變，所以eq\f(ΔB,Δt)不變，產(chǎn)生的感應電動勢恒定，感應電流恒定。根據(jù)愣次定律判斷電流方向為順時針方向，選項C正確。答案C5.如圖4所示的區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B。一個電阻為R、半徑為L、圓心角為45°的扇形閉合導線框繞垂直于紙面的O軸勻速轉(zhuǎn)動(O軸位于磁場邊界)，周期為T，t＝0時刻線框置于如圖所示位置，則線框內(nèi)產(chǎn)生的感應電流的圖象為(規(guī)定電流順時針方向為正)()圖4解析在本題中由于扇形導線框勻速轉(zhuǎn)動，因此導線框進入磁場的過程中產(chǎn)生的感應電動勢是恒定的。注意線框在進入磁場和離開磁場時，有感應電流產(chǎn)生，當完全進入時，由于磁通量不變，故無感應電流產(chǎn)生。由右手定則可判斷導線框進入磁場時，電流方向為逆時針，故選項A正確。答案A6.如圖5所示，導體棒在金屬框架上向右做勻加速運動，在此過程中()圖5A.電容器上電荷量越來越多B.電容器上電荷量越來越少C.電容器上電荷量保持不變D.電阻R上電流越來越大解析導體棒勻加速運動，產(chǎn)生電動勢E＝Blv＝Bl(v0＋at)，即為電容器兩端的電壓，由Q＝CU＝CBl(v0＋at)，Δt時間充電電荷量ΔQ＝CΔU＝CBlaΔt隨時間越來越多，充電電流I＝eq\f(ΔQ,Δt)＝CBla不變，故選項A正確。答案A7.如圖6所示，在空間中存在兩個相鄰的、磁感應強度大小相等、方向相反的有界勻強磁場，其寬度均為L?，F(xiàn)將寬度也為L的矩形閉合線圈，從圖示位置垂直于磁場方向勻速拉過磁場區(qū)域，則在該過程中，能正確反映線圈中所產(chǎn)生的感應電流或其所受的外力隨時間變化的圖象是()圖6解析當矩形閉合線圈進入磁場時，由法拉第電磁感應定律判斷，當線圈處在兩個磁場中時，兩個邊切割磁感線，此過程中感應電流的大小是最大的，所以選項A、B錯誤；由楞次定律可知，當矩形閉合線圈進入磁場和離開磁場時，磁場力總是阻礙線圈的運動，方向始終向左，所以外力F始終水平向右。安培力的大小不同，線圈處在兩個磁場中時安培力最大，故選項D正確，C錯誤。答案D能力提升8.(多選)如圖7甲，螺線管內(nèi)有平行于軸線的外加勻強磁場，以圖中箭頭所示方向為其正方向。螺線管與導線框abcd相連，導線框內(nèi)有一小金屬圓環(huán)L，圓環(huán)與導線框在同一平面內(nèi)。當螺線管內(nèi)的磁感應強度B隨時間按圖乙所示規(guī)律變化時()圖7A.在t1～t2時間內(nèi)，L有收縮趨勢B.在t2～t3時間內(nèi)，L有擴張趨努C.在t2～t3時間內(nèi)，L內(nèi)有逆時針方向的感應電流D.在t3～t4時間內(nèi)，L內(nèi)有順時針方向的感應電流解析在t1～t2時間內(nèi)，外加磁場的磁感應強度增加且斜率在增大，則在導線框中產(chǎn)生順時針方向大小增加的電流，該電流激發(fā)增加的磁場，該磁場通過圓環(huán)，在圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生感應電流，根據(jù)結(jié)論“增縮減擴”可以斷定圓環(huán)有收縮趨勢，選項A正確；在t2～t3時間內(nèi)，外加磁場均勻變化，在導線框中產(chǎn)生恒定電流，該電流激發(fā)出穩(wěn)定磁場，該磁場通過圓環(huán)時，圓環(huán)中沒有感應電流，選項B、C錯誤；在t3～t4時間內(nèi)，外加磁場向下減小，且斜率也減小，在導線框中產(chǎn)生順時針減小的電流，該電流激發(fā)出向內(nèi)減小的磁場，所以圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生順時針方向電流，選項D正確。答案AD9.在豎直方向的勻強磁場中，水平放置一個面積不變的單匝金屬線圈，規(guī)定線圈中感應電流的正方向如圖8甲所示，取線圈中磁場B的方向向上為正，當磁感應強度B隨時間t的變化如圖乙所示，以下四圖中正確表示線圈中感應電流變化的是()圖8解析在前半個周期內(nèi)，磁場方向向上且逐漸減小，根據(jù)楞次定律可知感應電流的方向為負方向；后半個周期內(nèi)磁場方向向下且增大，根據(jù)楞次定律可知感應電流的方向為負方向，且后半個周期內(nèi)磁感應強度的變化率為前半個周期內(nèi)的兩倍，故電流也為前半個周期的兩倍，只有選項A正確。答案A10.如圖9所示，在磁感應強度為B的勻強磁場中，有半徑為r的光滑半圓形導體框架，Oc為一能繞O在框架上滑動的導體棒，Oa之間連一電阻R，導體框架與導體棒的電阻均不計，施加外力使Oc為角速度ω逆時針勻速轉(zhuǎn)動，則()圖9A.通過電阻R的電流方向由a經(jīng)R到OB.導體棒O端電勢低于c端的電勢C.外力做功的功率為eq\f(B2ω2r4,4R)D.回路中的感應電流大小為eq\f(Bωr2,R)解析由右手定則可知感應電流由c到O，則通過電阻R的電流為由O經(jīng)R到a，選項A錯誤；導體棒以角速度ω逆時針勻速轉(zhuǎn)動切割磁感線時可等效為電源，O端為電源正極，c端為電源負極，故導體棒O端的電勢高于c端的電勢，選項B錯誤；導體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢為E＝Br·eq\f(rω,2)，由此可知感應電流為I＝eq\f(E,R)＝eq\f(Br2ω,2R)，電阻R上的電熱功率為P＝I2R＝eq\f(B2r4ω2,4R)，由能量守恒定律可知外力做功的功率也為P，選項C正確，D錯誤。答案C11.用相同導線繞制的邊長為L或2L的四個閉合導體線框，以相同的速度進入右側(cè)勻強磁場，如圖10所示。在每個線框進入磁場的過程中，M、N兩點間的電壓分別為Ua、Ub、Uc和Ud。下列判斷正確的是()圖10A.Ua＜Ub＜Uc＜Ud B.Ua＜Ub＜Ud＜UcC.Ua＝Ub＝Uc＝Ud D.Ub＜Ua＜Ud＜Uc解析每個線框進入磁場的過程中，僅有MN邊做切割磁感線運動產(chǎn)生感應電動勢，其余三條邊是外電路，設長度為L的導線電阻為R，邊長為L的導線切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢為E，由于以相同速度進入磁場，故邊長為2L的導線切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢為2E，則Ua＝eq\f(E,4R)·3R＝eq\f(3,4)E；Ub＝eq\f(E,6R)·5R＝eq\f(5,6)E；Uc＝eq\f(2E,8R)·6R＝eq\f(3,2)E；Ud＝eq\f(2E,6R)·4R＝eq\f(4,3)E，Ua＜Ub＜Ud＜Uc，選項B正確。答案B12.把總電阻為2R的均勻電阻絲焊接成一半徑為a的圓環(huán)，水平固定在豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場中，如圖11所示，一長度為2a、電阻等于R、粗細均勻的金屬棒MN放在圓環(huán)上，它與圓環(huán)始終保持良好的接觸，當金屬棒以恒定速度v向右移動經(jīng)過環(huán)心O時，求：圖11(1)棒上電流的大小和方向及棒兩端的電壓UMN；(2)在圓環(huán)和金屬棒上消耗的總熱功率。解析(1)把切割磁感線的金屬棒看成一個具有內(nèi)阻為R、電動勢為E的電源，兩個半圓環(huán)看成兩個并聯(lián)電阻，畫出等效電路如圖所示，等效電源電動勢為E＝Blv＝2Bav。外電路的總電阻為R外