第1章 §2 2.2　獨(dú)立性檢驗(yàn)+2.3　獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想+2.4　獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

第頁2.2獨(dú)立性檢驗(yàn)2．3獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想2．4獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用1．了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想方法．(重點(diǎn))2．了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的初步應(yīng)用．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1獨(dú)立性檢驗(yàn)閱讀教材P21～P24第1行部分，完成下列問題．設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每一個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A：A1，A2＝eq\x\to(A)1；變量B：B1，B2＝eq\x\to(B)1，有下面2×2列聯(lián)表：BAB1B2總計(jì)A1aba＋bA2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中，a表示變量A取A1，且變量B取B1時(shí)的數(shù)據(jù)；b表示變量A取A1，且變量B取B2時(shí)的數(shù)據(jù)；c表示變量A取A2，且變量B取B1時(shí)的數(shù)據(jù)；d表示變量A取A2，且變量B取B2時(shí)的數(shù)據(jù)．某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計(jì)20至40歲401858大于40歲152742總計(jì)5545100由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)：________(填“是”或“否”)．【解析】因?yàn)樵?0至40歲的58名觀眾中有18名觀眾收看新聞節(jié)目，而大于40歲的42名觀眾中有27名觀眾收看新聞節(jié)目，即eq\f(b,a＋b)＝eq\f(18,58)，eq\f(d,c＋d)＝eq\f(27,42)，兩者相差較大，所以，經(jīng)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關(guān)的．【答案】是教材整理2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想閱讀教材P24“練習(xí)”以下至P25“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．在2×2列聯(lián)表中，令χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，在統(tǒng)計(jì)中，用以下結(jié)果對變量的獨(dú)立性進(jìn)行判斷：(1)當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；(2)當(dāng)χ2>2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(3)當(dāng)χ2>3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(4)當(dāng)χ2>6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．對分類變量X與Y的統(tǒng)計(jì)量χ2的值說法正確的是()A．χ2越大，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小B．χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小C．χ2越接近于0，“X與Y無關(guān)系”的把握性越小D．χ2越大，“X與Y無關(guān)系”程度越大【解析】χ2越大，X與Y越不獨(dú)立，所以關(guān)聯(lián)越大；相反，χ2越小，關(guān)聯(lián)越?。敬鸢浮緽[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：___________________________________________________解惑：___________________________________________________疑問2：___________________________________________________解惑：___________________________________________________疑問3：___________________________________________________解惑：___________________________________________________[小組合作型],2×2列聯(lián)表在對人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)判斷二者是否有關(guān)系．【精彩點(diǎn)撥】eq\x(對變量進(jìn)行分類)→eq\x(求出分類變量的不同取值)→eq\x(作出2×2列聯(lián)表)→eq\x(計(jì)算\f(a,a＋b)與\f(c,c＋d)的值，作出判斷)【自主解答】2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下總計(jì)飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360總計(jì)7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(a,a＋b)＝eq\f(43,64)≈0.671875.eq\f(c,c＋d)＝eq\f(27,60)＝0.45.顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系．1．作2×2列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別．注意應(yīng)該是4行4列，計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無誤．2．利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表，然后根據(jù)頻率特征，即將eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(b,a＋b)與\f(d,c＋d)))的值相比，直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，但方法較粗劣．[再練一題]1．在一項(xiàng)有關(guān)醫(yī)療保健的社會調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表．【解】作列聯(lián)表如下：喜歡甜食情況性別喜歡甜食不喜歡甜食總計(jì)男117413530女492178670總計(jì)6095911200,獨(dú)立性檢驗(yàn)在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問：能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用.未感冒感冒總計(jì)使用血清258242500未使用血清216284500總計(jì)4745261000【精彩點(diǎn)撥】獨(dú)立性檢驗(yàn)可以通過2×2列聯(lián)表計(jì)算χ2的值，然后和臨界值對照作出判斷．【自主解答】假設(shè)感冒與是否使用該種血清沒有關(guān)系．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得χ2的值為χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075.χ2＝7.075≥6.635，查表得P(χ2≥6.635)＝0.01，故我們在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，即有99%的把握認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用．1．熟練掌握χ2統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值計(jì)算，根據(jù)計(jì)算得出χ2值，對比三個(gè)臨界值2.706,3.841和6.635，作出統(tǒng)計(jì)推斷．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表；(2)計(jì)算χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)的值；(3)將χ2的值與臨界值進(jìn)行比較，若χ2大于臨界值，則認(rèn)為X與Y有關(guān)，否則沒有充分的理由說明這個(gè)假設(shè)不成立．[再練一題]2．“十一”黃金周前某地的一旅游景點(diǎn)票價(jià)上浮，黃金周過后，統(tǒng)計(jì)本地與外地來的游客人數(shù)，與去年同期相比，結(jié)果如下：【導(dǎo)學(xué)號：67720195】本地外地總計(jì)去年140728424249今年133120653396總計(jì)273849077645能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為票價(jià)上浮后游客人數(shù)與所處地區(qū)有關(guān)系？【解】按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟，假設(shè)票價(jià)上浮后游客人數(shù)與所處地區(qū)沒有關(guān)系．因?yàn)棣?＝eq\f(7645×1407×2065－2842×13312,4249×3396×2738×4907)≈30.35＞6.635.所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為票價(jià)上浮后游客人數(shù)與所處地區(qū)有關(guān)系．[探究共研型],獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用探究1當(dāng)χ2＞3.841時(shí)，我們有多大的把握認(rèn)為事件A與B有關(guān)？【提示】由臨界值表可知當(dāng)χ2＞3.841時(shí)，我們有95%的把握認(rèn)為事件A與B有關(guān)．探究2在研究打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．我們是否可以判定100個(gè)心臟病患者中一定有打鼾的人？【提示】這是獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．這只是一個(gè)概率，即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.根據(jù)概率的意義可知100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打鼾的人都沒有．為了解某市創(chuàng)建文明城市過程中，學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況，相關(guān)部門對某中學(xué)的100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有50名男生對創(chuàng)建工作表示滿意，有15名女生對創(chuàng)建工作表示不滿意．已知在全部100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其對創(chuàng)建工作表示滿意的概率為eq\f(4,5).是否有充足的證據(jù)說明，學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)？【精彩點(diǎn)撥】解決本題首先根據(jù)對工作滿意的概率，確定對工作滿意的男女生人數(shù)，再畫出2×2列聯(lián)表，最后根據(jù)2×2列聯(lián)表計(jì)算χ2，并進(jìn)行判斷．【自主解答】由題意得2×2列聯(lián)表如下：滿意不滿意總計(jì)男生50555女生301545總計(jì)8020100χ2＝eq\f(100×50×15－30×52,80×20×55×45)≈9.091＞6.635，所以我們有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)．1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是：要確認(rèn)兩個(gè)變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下我們構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量χ2應(yīng)該很小，如果用觀測數(shù)據(jù)計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量χ2很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理．由χ2與臨界值的大小關(guān)系，作出判斷．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)仍然屬于用樣本估計(jì)總體，由于樣本抽取具有隨機(jī)性，因而作出的推斷可能正確，也可能錯誤，有95%(或99%)的把握說事件A與B有關(guān)，則推斷結(jié)論為錯誤的可能性僅為5%(或1%)．[再練一題]3．有兩個(gè)變量x與y，其一組觀測值如下2×2列聯(lián)表所示：yxy1y2x1a20－ax215－a30＋a其中a,15－a均為大于5的整數(shù)，則a取何值時(shí)，有95%的把握認(rèn)為x與y之間有關(guān)系？【解】由題意χ2＝eq\f(65[a30＋a－20－a15－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(6565a－3002,20×45×15×50)＝eq\f(1313a－602,5400).∵有95%的把握認(rèn)為x與y之間有關(guān)系，∴χ2>3.841，∴eq\f(1313a－602,5400)>3.841，a>7.7或a<1.5.又a>5,15－a>5，∴7.7<a<10.又a∈N，∴a＝8或a＝9.[構(gòu)建·體系]1．在一項(xiàng)中學(xué)生近視情況的調(diào)查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有說服力()A．平均數(shù)與方差 B．回歸分析C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率【解析】判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)的最有效方法是進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，故選C．【答案】C2．為了研究高中學(xué)生對鄉(xiāng)村音樂的態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度)與性別的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2＝8.01，則認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”的把握性約為()χ20.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%【解析】因?yàn)棣?>6.635，所以有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”．【答案】C3．在2×2列聯(lián)表中，兩個(gè)比值eq\f(a,a＋b)與________相差越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大．【解析】根據(jù)2×2列聯(lián)表可知，比值eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差越大，則|ad－bc|就越大，那么兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性就越大．【答案】eq\f(c,c＋d)4．以下關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法中，正確的是________.①獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)小概率原理；②獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)論一定正確；③樣本不同，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論可能有差異；④獨(dú)立性檢驗(yàn)不是判斷兩分類變量是否相關(guān)的唯一方法．【解析】獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)論不一定正確，故②錯，①③④正確．【答案】①③④5．某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品總計(jì)南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計(jì)7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．【解】將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f