勾股定理與全等三角形的構(gòu)造（解析版） 八年級數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練

專題08勾股定理與全等三角形的構(gòu)造（解析版）類型一構(gòu)造一線三垂直模型1．（2022春?埇橋區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長是（）A．217 B．25 C．42 D．7【思路引領(lǐng)】過A、C點作l3的垂線構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)三角形全等和勾股定理求出BC的長，再利用勾股定理即可求出答案．【解答】解：過點A作AD⊥l3于D，過點C作CE⊥l3于E，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBE＝90°，又∵∠DAB+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，又∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC，在△ABD與△BCE中，∠BAD=∠CBE∠ADB=∠BEC∴△ABD≌△BCE（AAS），∴BE＝AD＝3，CE＝2+3＝5，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，得BC=3在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=34+34=2故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，證明△ABD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．2．（2020春?硚口區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝42，CD＝5，AD＝7，則BC＝52，AC＝130．【思路引領(lǐng)】過B作BE⊥AD于E，過C作CF⊥AD交AD的延長線于F，連接BD，得到∠BEA＝∠BED＝∠CFD＝90°，根據(jù)勾股定理得到BD=BE2+DE2=42+3【解答】解：過B作BE⊥AD于E，過C作CF⊥AD交AD的延長線于F，連接BD，則∠BEA＝∠BED＝∠CFD＝90°，∵AB＝42，∠BAD＝45°，∴AE＝BE＝4，∵AD＝7，∴DE＝3，∴BD=B∵CD＝5，∴BD＝CD，∵∠BCD＝45°，∴DBC＝∠BCD＝45°，∴∠BDC＝90°，∴BC=2CD＝52∵∠EBD+∠BDE＝∠BDE+∠CDF＝90°，∴∠EBD＝∠CDF，∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝CD，∴△BDE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE＝4，CF＝DE＝3，∴AF＝11，∴AC=A故答案為：52，130．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．類型二構(gòu)造手拉手旋轉(zhuǎn)全等（一）與等邊旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造共頂點雙等邊三角形3．（1）如圖①，△ABE，△ACD都是等邊三角形，若CE＝6，則BD的長＝6；（2）如圖②，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，BC＝4，D是△ABC外一點，且△ACD是等邊三角形，則BD的長＝5．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AE＝AB，AD＝AC，∠EAB＝∠DAC＝60°，則∠BAD＝∠EAC，再根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△ACE≌△ADB，根據(jù)全等的性質(zhì)得出BD＝CE即可；（2）作等邊三角形ABE，連接AE，則AE＝AB＝3，∠ABE＝60°，證出∠CBE＝90°，由勾股定理求出CE，即可得到結(jié)果．【解答】（1）解：∵△ABE和△ACD是等邊三角形，∴BE＝AE＝AB＝3，AD＝AC，∠ABE＝∠EAB＝∠DAC＝60°，∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠CAB，∴∠BAD＝∠EAC，在△ACE和△ADB中，AE=AB∠EAC=∠DAB∴△ACE≌△ADB（SAS），∴BD＝CE＝6；故答案為：6；（2）作等邊三角形ABE，連接AE，如圖所示：則AE＝AB＝3，∠ABE＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠CBE＝∠ABE+∠ABC＝90°，∴CE=B由（1）得：BD＝CE＝5；故答案為：5．【總結(jié)提升】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．4．（2019?增城區(qū)一模）如圖，點P為等邊△ABC內(nèi)一點，若PC＝3，PB＝4，PA＝5，則∠BPC的度數(shù)是150°．【思路引領(lǐng)】將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD＝PB＝4，AD＝PC＝3，∠BPC＝∠ADB，判斷出△BDP是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得PD＝PB，∠BDP＝60°，利用勾股定理逆定理判斷出△ADP是直角三角形，∠ADP＝90°，然后求出∠ADB，即可得解．【解答】解：如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BD＝PB＝4，AD＝PC＝3，∠BPC＝∠ADB，所以，△BDP是等邊三角形，所以，PD＝PB＝4，∠BDP＝60°，∵AD2+DP2＝32+42＝25，PA2＝52＝25，∴AD2+DP2＝PA2，∴△ADP是直角三角形，∠ADP＝90°，∴∠ADB＝60°+90°＝150°，∴∠BPC＝150°．故答案為：150°．【總結(jié)提升】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理逆定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出直角三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2021春?麻城市校級月考）△ABC中，BC＝5，以AC為邊向外作等邊△ACD．（1）如圖①，△ABE是等邊三角形，若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的長；（2）如圖②，若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的長．【思路引領(lǐng)】（1）手拉手模型證明△EAC≌△BAD（SAS），通過直角三角形DCB求出BD的長．（2）模仿（1）問作輔助線構(gòu)造全等三角形及直角三角形，再通過勾股定理求出CE的長．【解答】解：（1）∵△ABE與△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，EA=BA∠EAC=∠BAD∴△EAC≌△BAD（SAS）．∴EC＝BD，又∵∠ACB＝30°，∴∠DCB＝∠ACB+∠DCA＝90°，∵CD＝AC＝4，BC＝5，∴BD=B∴CE＝BD=41（2）以AB為邊向外作等邊三角形△ABE，連接線段CE，作EK垂直于CB延長線于點K．∵△ABE與△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，EA=BA∠EAC=∠BAD∴△EAC≌△BAD（SAS）．∴EC＝BD，∵∠EBA＝∠ABC＝60°，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，∴∠EBK＝180°﹣∠EBC＝60°，在Rt△EBK中，BE＝2BK，．∴BK=12∴EK=B∴KC＝KB+BC=32+在Rt△EKC中，根據(jù)勾股定理得，EC=E∴BD＝EC＝7．【總結(jié)提升】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及解直角三角形，解題關(guān)鍵是通過第一問的方法作出對應(yīng)輔助線求解．（二）與等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)90°構(gòu)造共頂點雙等腰直角三角形6．（2022春?欽州期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，過點C作CD⊥CP，垂足為C，令CD＝CP，連接DP，BD，求∠BPC的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】先證明△PCD是等腰直角三角形，得出：PD=2PC＝22，∠CPD＝∠CDP＝45°，再證明△ACP≌△BCD（SAS），得出BD＝PA＝3，運用勾股定理逆定理證得∠BPD【解答】解：∵CD⊥CP，∴∠PCD＝90°，∵PC＝CD＝2，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD=2PC＝22，∠CPD＝∠CDP∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PCB＝90°，又∵∠PCB+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD，在△ACP和△BCD中，AC=BC∠ACP=∠BCD∴△ACP≌△BCD（SAS），∴BD＝PA＝3，∵PB＝1，∴PB2+PD2＝12+（22）2＝9，∵PA2＝32＝9，∴PA2＝PB2+PD2，∴∠BPD＝90°，∵∠CPD＝45°，∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝135°．【總結(jié)提升】該題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理逆定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；是一道綜合性較強的題目，證明△ACP≌△BCD（SAS）和運用勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC＝45°，AD＝1，CD＝3，則BD的長為（）A．3 B．11 C．23 D．4【思路引領(lǐng)】如圖，過點A作AE⊥AD交CD于E，連接BE．證明△BAE≌△CAD（SAS），∠BED＝90°，利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥AD交CD于E，連接BE．∵∠DAE＝90°，∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AE＝AD＝1，DE=2∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴CD＝BE＝3，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BED＝90°，∴BD=B故選：B．【總結(jié)提升】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．8．（2023春?江漢區(qū)期中）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠APC＝165°，PA＝3，PC=2，則PB＝19【思路引領(lǐng)】將△ACP繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCP′，連接PP′，可得△CPP′是等腰直角三角形，進而求出∠PP′B＝120°，PP′＝2，再作輔助線，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理可求出答案．【解答】解：將△ACP繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCP′，連接PP′，過點P作PD⊥BP′，交BP′的延長線于點D，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)可知，AP＝BP′＝3，CP＝CP′=2，∠PCP′＝90°，∠APC＝∠BP′C∴∠CPP′＝∠CP′P＝45°，PP′=2PC∴∠PP′B＝∠CP′B﹣∠CP′P＝165°﹣45°＝120°∴∠PP′D＝180°﹣120°＝60°，在Rt△PP′D中，∵∠P′PD＝90°﹣60°＝30°，∴P′D=12PP′＝1，PD∴BD＝BP′+P′D＝3+1＝4，在Rt△BPD中，由勾股定理得：BP=B故答案為19．【總結(jié)提升】考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用巧妙的將問題轉(zhuǎn)化到一個三角形中，再依據(jù)特殊的邊角關(guān)系求出答案是一個很好的方法．（三）構(gòu)造共頂點雙等腰三角形9．（2015?道里區(qū)一模）如圖．在△ABC中．以AC為邊在△ABC外部作等腰△ACD．使AC＝AD．且∠DAC＝2∠ABC，連接BD．作AH⊥BC于點H．若AH=32，BC＝4，則BD＝【思路引領(lǐng)】如圖，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE＝2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK，根據(jù)垂直的定義得到∠AHC＝90°．由平行線的性質(zhì)得到∠EBC＝90°．由線段垂直平分線的性質(zhì)得到BK＝AH．推出四邊形AKBH為矩形，得到AK⊥BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE＝AB，∠EAB＝2∠KAB，通過△EAC≌△BAD，得到BD＝CE，根據(jù)勾股定理得到CE=B【解答】解：如圖，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE＝2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK，∵AH⊥BC于H，∴∠AHC＝90°．∵BE∥AH，∴∠EBC＝90°．∵∠EBC＝90°，∵K為BE的中點，BE＝2AH，∴BK＝AH．∵BK∥AH，∴四邊形AKBH為矩形，∴AK⊥BE，∴AE＝AB，∠EAB＝2∠KAB，∵∠DAC＝2∠ABC，∠KAB＝∠ABC，∴∠EAB＝∠DAC，∴∠EAC＝∠BAD，在△EAC與△BAD中，AE=AB∠EAC=∠BAD∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE，∵CE=B∴BD＝5．故答案為：5．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造全等三角形．類型三夾半角構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等（一）90°夾45°10．（2021秋?晉安區(qū)校級月考）如圖，等腰直角△ABC中，AC＝BC，點D，E在AB上，∠DCE＝45°．（1）將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點D對應(yīng)點為點F，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并證明：DE＝EF；（2）求證：AD2+BE2＝DE2．【思路引領(lǐng)】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到CA＝CB，∠ACB＝90°，則△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF，然后證明△CED≌△CEF得到DE＝EF；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CBF＝∠A＝45°，AD＝BF，則∠EBF＝90°，然后利用勾股定理得到BF2+BE2＝EF2，最后利用等量代換得到結(jié)論．【解答】（1）解：如圖，△BCF為所作，證明如下：∵△ABC為等腰直角三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝90°，∵△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF，∴∠DCF＝90°，CD＝CF，∵∠DCE＝45°，∴∠FCE＝45°，在△CED和△CEF中，CD=CF∠DCE=∠FCE∴△CED≌△CEF（SAS），∴DE＝EF；（2）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF，∴∠CBF＝∠A＝45°，AD＝BF，∴∠EBF＝45°+45°＝90°，在Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2，而EF＝DE，BF＝AD，∴AD2+BE2＝DE2．【總結(jié)提升】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等，旋轉(zhuǎn)角都相等，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．11．（2019春?老城區(qū)校級月考）已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠MCN＝45°．（1）如圖1，當(dāng)點M、N在AB上時，求證：MN2＝AM2+BN2；（2）如圖2，將∠MCN繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點M在BA的延長線上時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【思路引領(lǐng)】（1）將△CBN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△CAF位置，證明△FCM≌△NCM，將所求線段轉(zhuǎn)化到Rt△FAM中，由勾股定理可得結(jié)論；（2）將△CBN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△CAH位置，證明△HCM≌△NCM，將所求線段轉(zhuǎn)化到Rt△HAM中，由勾股定理可得結(jié)論．【解答】解：（1）將△CBN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△CAF位置，則BN＝AF，CN＝CF，∠FCN＝90°，∠FAM＝45°+45°＝90°．在△FCM和△NCM中，F(xiàn)C=NC∠FCM=∠NCM=45°所以△FCM≌△NCM（SAS）．∴FM＝MN．在Rt△FAM中，由勾股定理可得FA2+AM2＝FM2，所以MN2＝AM2+BN2；（2）將∠MCN繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點M在BA的延長線上時，（1）中結(jié)論成立，理由如下：將△CBN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△CAH位置，則BN＝AH，CN＝CH，∠HCN＝90°，∠HAM＝∠HAN＝45°+45°＝90°．在△HCM和△NCM中，HC=NC∠HCM=∠MCN=45°∴△HCM≌△NCM（SAS），∴HM＝MN．在Rt△HAM中，由勾股定理可得HA2+AM2＝HM2，所以MN2＝AM2+BN2．【總結(jié)提升】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．正確作出輔助線，把所求線段轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中是解題的關(guān)鍵．（二）120°夾60°12．（2022春?福田區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝43，∠BAC＝120°，點D、E都在邊BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，則DE的長為63?6【思路引領(lǐng)】將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，由AB＝AC、∠BAC＝120°，可得出∠ACB＝∠B＝30°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠ECG＝60°，結(jié)合CF＝BD＝2CE可得出△CEG為等邊三角形，進而得出△CEF為直角三角形，通過解直角三角形求出BC的長度以及證明全等找出DE＝FE，設(shè)EC＝x，則BD＝CF＝2x，DE＝FE＝12﹣3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=3x，利用FE＝12﹣3x=3x可求出x以及【解答】解：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，如圖所示：過點A作AN⊥BC于點N，如圖，∵AB＝AC＝43，∠BAC＝120°，∴BN＝CN，∠B＝∠ACB＝30°．在Rt△BAN中，∠B＝30°，AB＝43，∴AN=12AB＝2∴BN=A∴BC＝12．∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，∴∠ECG＝60°．∵CF＝BD＝2CE，∴CG＝CE，∴△CEG為等邊三角形，∴EG＝CG＝FG，∴∠EFG＝∠FEG=12∠∴△CEF為直角三角形．∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠CAE＝60°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．在△ADE和△AFE中，AD=AF∠DAE=∠FAE∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE＝FE．設(shè)EC＝x，則BD＝CF＝2x，DE＝FE＝12﹣3x，在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，EF=CF∴12﹣3x=3x∴x＝2（3?3∴DE=3x＝63故答案為：63?【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過勾股定理找出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．類型四倍長中線構(gòu)造全等13．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，邊BC上的中線AD＝6，那么邊BC的長為（）A．61 B．261 C．13 D．12【思路引領(lǐng)】延長AD到點E，使AD＝DE＝6，通過SAS可證明△ABD≌△ECD，得CE＝AB＝5，通過勾股定理逆定理可證明△AEC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長即可．【解答】解：如圖，延長AD到點E，使AD＝DE＝6，∴AE＝12，∵AD是邊BC的中線，∴BD＝CD=12在△ABD和△ECD中，∵AD=ED∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，∵AE2+CE2＝169，AC2＝169．∴AC2＝AE2+CE2，∴△AEC為直角三角形，∴∠E＝90°，∴CD=E∴BC＝2CD＝261．故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及逆定理等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2021春?荊門校級月考）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，D是BC的中點，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，若BE＝2，CF＝4，則EF的長為（）A．27 B．25 C．5 【思路引領(lǐng)】延長FD至點G，使得DG＝DF，連接BG，EG，作EH⊥BG于H，易證△CDF≌△BDG，可得BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，可證明GH∥AC，得到∠HBE＝∠A＝60°，解直角三角形求得BH、EH，然后根據(jù)勾股定理求得GE，再根據(jù)等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)可得EF＝EG，即可求得EF的長，即可解題．【解答】解：延長FD至點G，使得DG＝DF，連接BG，EG，作EH⊥BG于H，在△CDF和△BDG中，CD=BD∠CDF=∠BDG∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∴GH∥AC∵∠A＝60°，∴∠HBE＝∠A＝60°，∵BE＝2，∴BH=12BE＝1，HE=3∴GH＝BG+HB＝4+1＝5，∴EG=EH2∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝27，故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，求證△CDF≌△BDG是解題的關(guān)鍵．15．（2020春?江岸區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD