專題02代數(shù)方程（考題猜想常考易錯6個考點40題專練）解析版

專題02代數(shù)方程（考題猜想，?？家族e6個考點40題專練）一元二次方程的應用高次方程（二項方程、二元二次方程組等）無理方程解分式方程分式方程的增根分式方程的應用一．一元二次方程的應用（共2小題）1．（2023秋?閔行區(qū)期末）如圖所示，要建設一個面積為90平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻，這堵墻長16米；倉庫要求開兩扇1.5米寬的小門．已知圍建倉庫的現(xiàn)有材料可使新建木墻的總長為30米，那么這個倉庫設計的長和寬應分別是多少米？【分析】設垂直于墻的一邊為米，則平行于墻的一邊為米，根據(jù)面積為90平方米列出方程求解即可．【解答】解：設垂直于墻的一邊為米，根據(jù)題意得：，整理得：，即，分解因式得：，解得：，，當時，平行于墻的一邊為米米，故米不符合題意，舍去；當時，平行于墻的一邊為米米，答：倉庫的長是15米，寬是6米．【點評】此題考查了一元二次方程的應用，弄清題意是解本題的關鍵．2．某商場銷售一種商品，商品銷售數(shù)（個與銷售單價（元個）之間的關系如圖所示．（1）求關于的函數(shù)關系式和自變量的取值范圍；（2）如果商品的銷售額為1250元，那么這件商品的銷售單價為多少元個？【分析】（1）觀察函數(shù)圖象，根據(jù)圖象中點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出關于的函數(shù)關系式，再觀察函數(shù)圖象找出自變量的取值范圍；（2）利用銷售總額銷售單價銷售數(shù)量，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．【解答】解：（1）設關于的函數(shù)關系式為．將，代入得：，解得：，關于的函數(shù)關系式為．（2）依題意得：，整理得：，解得：．答：這種商品的銷售單價為25元個．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出關于的函數(shù)關系式；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．二．高次方程（共10小題）3．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）下列方程中，是二項方程的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二項方程的定義判斷即可．【解答】解：方程的右邊不是零，該方程不是二項方程．不合題意．的左邊沒有非零常數(shù)項，該方程不是二項方程．不合題意．方程的左邊沒有非零的常數(shù)項，該方程不是二項方程，不合題意．方程的右邊為零，左邊含有非零常數(shù)項，是二項方程．符合題意．故選：．【點評】本題考查二項方程的定義，掌握二項方程的特征是求解本題的關鍵．4．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）對于二項方程，當為偶數(shù)時，已知方程有兩個實數(shù)根，那么一定A． B． C． D．【分析】根據(jù)偶數(shù)次方的非負性求解．【解答】解：，，為偶數(shù)時，已知方程有兩個實數(shù)根，，．故選．【點評】本題考查高次方程的解，注意偶數(shù)次方的非負性是求解本題的關鍵．5．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）下列方程中，是二元二次方程的為A． B． C． D．【分析】根據(jù)二元二次方程依次判斷即可．【解答】解：含兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，故符合題意．未知數(shù)在分母上，是分式方程，不合題意．的未知數(shù)次數(shù)是1，不是二元二次方程，不合題意．含1個未知數(shù)，不是二元二次方程，不合題意．故選：．【點評】本題考查二元二次方程的定義，理解二元二次方程的條件是求解本題的關鍵．6．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）方程組的解只有一組，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)條件表示方程組的解，再求的范圍．【解答】解：，由①，得或，，．當時，代入②得：，原方程組的一組解為：，當時，代入②得：，原方程只有一組解，無解，．．故答案為：．【點評】本題考查高次方程組的解，正確表示原方程組的解是求解本題的關鍵．7．（2022春?閔行區(qū)校級月考）解方程組：．【分析】把原方程組中的兩個方程都轉(zhuǎn)化為二元一次方程，再重新組成新的二元一次方程組，求解即可．【解答】解：，由①得：，③或④，由②得：，，，⑤或⑥，由③⑤，③⑥，④⑤，④⑥組成方程組，得，，，，，，，，所以原方程組的解為：，，，．【點評】本題考查了二元二次方程組的解法，把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組是解決本題的關鍵．8．（2022春?閔行區(qū)校級期末）解方程組：．【分析】由得：①，把①代入中可得的值，代入①中可求出解．【解答】解：由得：①，把①代入中得：，解得：，，當時，，當時，，方程組的解為：，．【點評】本題考查了解二元二次方程組，降次消元是解本題的關鍵．9．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）解方程組：．【分析】先降次，再消元．【解答】解：，①②得：，③．將③代入①得：，，，或．【點評】本題考查二元二次方程組的解法，選擇合理的消元方法是求解本題的關鍵．10．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）解方程組：．【分析】由方程②得出③，將③代入①得出，求出方程的解，，將，代入③即可求出．【解答】解：由方程②得：③，將③代入①得：，化簡得：解得：，，將，代入③得：，，原方程組的解是：，．【點評】本題考查了解一元二次方程和解高次方程組，解此題的關鍵是把方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方程．11．（2022春?長寧區(qū)校級期末）解方程組：【分析】由（1）求出，，這樣把二元二次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：由（1）得：，，，即原方程組化為：，，解得：，，所以原方程組的解是：，．【點評】本題考查了解高次方程組和解二元一次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成低次方程組是解此題的關鍵．12．（2022春?徐匯區(qū)期末）解方程組．【分析】由（1）求出或③，由（2）求出④，由③和④組成四個二元一次方程組，再求出四個方程組的解即可．【解答】解：，由（1）得：，即或③，由（2）得：，即④，由③和④組成四個二元一次方程組：，，，，解得：，，，，即原方程組的解是，，，．【點評】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關鍵．三．無理方程（共9小題）13．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）下列方程中，有實數(shù)解的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)任何數(shù)的偶次方，以及算術平方根一定是非負數(shù)即可判斷式子中的等號是否成立，即方程是否有實數(shù)解．【解答】解：、，故，則方程一定沒有實數(shù)解，選項錯誤；、兩邊同時乘以得：，解得：，故選項正確；、，則一定成立，故選項錯誤；、，故選項一定錯誤．故選：．【點評】本題主要考查了任何數(shù)的偶次方，以及算術平方根一定是非負數(shù)，理解非負數(shù)的性質(zhì)是關鍵．14．（2022春?奉賢區(qū)校級期中）下列方程中，有實數(shù)根的方程是A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式方程和無理方程的解法如果能求得方程的解說明方程有實數(shù)解，一元二次方程有實數(shù)根只需得到其根的判別式為非負數(shù)．【解答】解：、即，因為實數(shù)的平方，故本選項錯誤；、即，有解，故本選項正確；、分式分母不為0，所以本題無解，故本選項錯誤；、即，實數(shù)的算術平方根為大于0，故本選項錯誤；故選：．【點評】本題考查了無理方程，涉及到了實數(shù)的平方，負數(shù)由立方根，注意區(qū)別．15．（2022?徐匯區(qū)模擬）方程的解是．【分析】將方程兩邊平方后求解，注意檢驗．【解答】解：將方程兩邊平方得，移項得：，代入原方程得，原方程成立，故方程的解是．故本題答案為：．【點評】在解無理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，解得答案時一定要注意代入原方程檢驗．16．（2023春?靜安區(qū)期末）方程的根是1．【分析】或，并要求（即，直接解答即可．【解答】解：將方程左右兩邊同時平方，得．解得：或．檢驗：當時，，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，．故答案為：1．【點評】本題考查如何解無理方程，特別需要注意要使二次根式的被開方數(shù)大于等于零．17．（2022春?寶山區(qū)校級月考）方程的根是．【分析】把方程兩邊平方去根號后求解．【解答】解：兩邊平方得：，解方程得：，，檢驗：當時，方程的左邊右邊，當，方程的左邊右邊，為原方程的根．故答案為．【點評】本題主要考查解無理方程，在解無理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本題用了平方法．注意最后要把的值代入原方程進行檢驗．18．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）方程的根為．【分析】根據(jù)已知得出，，求出方程的解，最后進行檢驗即可．【解答】解：，，，解得：，，經(jīng)檢驗代入原方程，無意義，舍去；經(jīng)檢驗代入原方程，是原方程的解，故答案為：．【點評】本題考查了無理方程的解法，注意：解無理方程一定要進行檢驗．19．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）若關于的方程無實根，則的取值范圍是．【分析】先將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，再求解．【解答】解：，無論取什么數(shù)，方程始終有意義．原方程化為：，，，當時，方程無解．．，當時方程無解．．故答案為：．【點評】本題考查無理方程的解，將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程是求解本題的關鍵．20．（2022春?長寧區(qū)校級期中）解方程：【分析】把方程兩邊平方去根號后求解．【解答】解：兩邊平方得，，移項得：解得，．檢驗，把代入原方程，左邊右邊，為增根舍去．把代入原方程，左邊右邊，是原方程的解．【點評】在解無理方程時最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本題用了平方法．21．（2022春?徐匯區(qū)期末）解方程：．【分析】移項后得出，方程兩邊平方得出，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：，，方程兩邊平方得：，即，解得：，，經(jīng)檢驗是原方程的解，不是原方程的解，所以原方程的解是．【點評】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關鍵，注意：解無理方程一定要進行檢驗．四．解分式方程（共2小題）22．（2022春?靜安區(qū)期中）解方程：．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，整理得：，即，分解因式得：，解得：或，檢驗：當時，，當時，，是增根，分式方程的解為．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．23．（2022春?奉賢區(qū)校級月考）解方程：【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，整理得：，即，解得：或，經(jīng)檢驗與都為分式方程的解．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．五．分式方程的增根（共5小題）24．（2022春?寶山區(qū)校級月考）若關于的方程有增根，則的值是．【分析】根據(jù)題意可得，然后把代入整式方程中進行計算即可解答．【解答】解：，，方程有增根，，把代入中，，，故答案為：．【點評】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出的值后代入整式方程中進行計算是解題的關鍵．25．（2022春?虹口區(qū)期中）方程有增根，則的值為2．【分析】根據(jù)題意可得，然后把的值代入整式方程中進行計算即可解答．【解答】解：，，解得：，方程有增根，，把代入中，，解得：，故答案為：2．【點評】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出的值后代入整式方程中進行計算是解題的關鍵．26．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）在去分母解關于的分式方程的過程中產(chǎn)生增根，則．【分析】根據(jù)題意可得，然后把的值代入整式方程中進行計算即可解答．【解答】解：，，解得：，分式方程產(chǎn)生增根，，把代入中，，，故答案為：．【點評】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出的值后代入整式方程中進行計算是解題的關鍵．27．（2022春?奉賢區(qū)校級月考）解方程：．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，整理得：，即，解得：或，經(jīng)檢驗是增根，分式方程的解為．【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．28．（2022春?靜安區(qū)期中）若分式方程有增根，求的值．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將代入計算即可求出的值．【解答】解：兩邊都乘以，得：，方程有增根，代入整式方程，得：，解得：．【點評】此題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．六．分式方程的應用（共12小題）29．（2022春?虹口區(qū)校級月考）“新冠肺炎”疫情期間，口罩成為抗擊疫情的重要防疫物資．某工廠接到了生產(chǎn)3000箱口罩的任務，為了盡快完成生產(chǎn)任務，工廠緊急增加了口罩生產(chǎn)線．實際每天可多生產(chǎn)50箱，可比原計劃提前10天完成任務．求原計劃每天生產(chǎn)多少箱口罩？【分析】設原計劃每天生產(chǎn)箱口罩，則實際每天生產(chǎn)箱口罩，根據(jù)工作時間工作總量工作效率，結合實際比原計劃提前10天完成任務，即可得出關于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結論．【解答】解：設原計劃每天生產(chǎn)箱口罩，則實際每天生產(chǎn)箱口罩，依題意得：，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗，，都是原方程的解，但不符合題意，舍去．答：原計劃每天生產(chǎn)100箱口罩．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．30．（2022春?靜安區(qū)校級期中）甲、乙兩城間的鐵路路程為1600千米，經(jīng)過技術改造，列車實施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米時，列車從甲城到乙城行駛時間減少4小時，這條鐵路在現(xiàn)有條件下安全行駛速度不得超過140千米時，請你用學過的知識說明在這條鐵路的現(xiàn)有條件下列車是否還可以再次提速．【分析】提速前后路程沒變，關鍵描述語為：“列車從到地行駛的時間減少了”；等量關系為：提速前的列車所用時間提速后的列車所用時間．【解答】解：設提速前的列車速度為．則：．解之得：．經(jīng)檢驗，是原方程的解．所以，提速前的列車速度為．因為．所以可以再提速．【點評】考查了分式方程的應用．分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．31．（2022春?閔行區(qū)校級月考）若、兩地相距30千米，甲、乙兩人分別從、兩地相向而行，且甲比乙早出發(fā)2小時，如果乙比甲每小時多行2千米，那么兩人恰好在中點相遇．求甲、乙兩人的速度各是每小時多少千米？【分析】設甲的速度是每小時千米，則乙的速度是每小時千米，由題意：甲比乙早出發(fā)2小時，兩人恰好在中點相遇．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：設甲的速度是每小時千米，則乙的速度是每小時千米，根據(jù)題意，得：，整理，得：，解得：，，經(jīng)檢驗：，都是原方程的解，但不符合題意，舍去．原方程的解是，則，答：甲的速度是每小時3千米，乙的速度是每小時5千米．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．32．（2022春?閔行區(qū)校級期末）某工程隊承擔了修建地鐵兩個站點間2400米的隧道工程任務，由于采用了新技術，現(xiàn)在每個月比原計劃多掘進了180米，因而比原計劃提前3個月完成任務．（1）求完成此項工程原計劃每個月掘進多少米？（2）如果每天的施工費用為2.5萬元，那么該工程隊現(xiàn)在完成此項工程共需多少萬元？（每個月按30天算）【分析】（1）設完成此項工程原計劃每個月掘進米，則現(xiàn)在每個月掘進米．由題意：現(xiàn)在每個月比原計劃多掘進了180米，因而比原計劃提前3個月完成任務．列出分式方程，解方程即可；（2）由每天的施工費用天數(shù)，列式計算即可．【解答】解：（1）設完成此項工程原計劃每個月掘進米，則現(xiàn)在每個月掘進米．根據(jù)題意，得：，整理，得：．解得：，．經(jīng)檢驗：，都是原方程的解，但不符合題意，舍去．答：完成此項工程原計劃每個月掘進300米．（2）（萬元）．答：該工程隊現(xiàn)在完成此項工程共需375萬元．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．33．（2022春?靜安區(qū)期中）某公司計劃生產(chǎn)1200件新產(chǎn)品，現(xiàn)有甲、乙兩家廠都具備加工能力．已知甲廠單獨加工完成這批新產(chǎn)品比乙廠單獨加工完成這批新產(chǎn)品少用10天；甲廠每天加工數(shù)量比乙廠每天加工數(shù)量多10件．那么甲、乙兩廠每天分別加工多少件產(chǎn)品？【分析】根據(jù)關鍵句子“甲廠單獨加工完成這批新產(chǎn)品比乙廠單獨加工完成這批新產(chǎn)品少用10天”找到等量關系列出方程求解即可．【解答】解：設甲廠每天加工件產(chǎn)品，則乙廠每天加工件產(chǎn)品，根據(jù)題意得：，解得，（負值舍去），經(jīng)檢驗時是原方程的解且符合實際，則．答：甲廠每天加工40件產(chǎn)品，乙廠每天加工30件產(chǎn)品．【點評】此題考查了分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．34．（2022春?長寧區(qū)校級期中）小王準備用60元錢采購某種商品，看到甲商店該商品的每件單價比乙商店便宜2元，因此這些錢在甲商店購買這種商品比乙商店多買5件，問：甲商店這種商品的單價是多少？可以買多少件？【分析】設甲商店這種商品的單價為元，則乙商店這種商品的單價為元，由題意：用60元錢在甲商店購買這種商品比乙商店多買5件，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：設甲商店這種商品的單價為元，則乙商店這種商品的單價為元，由題意得：，解得：或（舍去），經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，則，答：甲商店這種商品的單價是4元，可以買15件．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．35．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）甲、乙兩人各加工300個零件，甲比乙少用1小時完成任務；乙改進操作方法，使生產(chǎn)效率提高了1倍，結果乙完成300個零件所用的時間比甲完成250個零件所用時間少小時，甲、乙兩人原來每小時各加工多少個零件？【分析】設乙原來每小時加工個零件，則改進操作方法后乙每小時加工個零件，利用工作時間工作總量工作效率，結合乙完成300個零件所用的時間比甲完成250個零件所用的時間少小時，列出分式方程，解分式方程，再利用甲的工作效率（乙加工300個零件所需時間，即可求出甲的工作效率．【解答】解：設乙原來每小時加工個零件，則改進操作方法后乙每小時加工個零件，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，在，答：甲每小時加工60個零件，乙原來每小時加工50個零件．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．36．（2022春?普陀區(qū)校級期中）一項工程，如果甲、乙兩隊單獨完成，甲隊比乙隊多用5天，如果甲、乙兩隊合作，6天可以完成．求兩隊單獨完成此項工程各需多少天？【分析】設甲隊單獨完成此項工程需天，則乙隊完成此項工程需天，由題意：甲、乙兩隊合作，6天可以完成．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：設甲隊單獨完成此項工程需天，則乙隊完成此項工程需天，根據(jù)題意得：，解得：（不合題意舍去），，經(jīng)檢驗得：是原方程的解，且符合題意，則，答：甲隊單獨完成此項工程需15天，乙隊完成此項工程需10天．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．37．（2022春?長寧區(qū)校級期末）某西紅花種植基地需要種植5000株西紅花．最初采用人工種植，種植了2000株后，為提高效率，采用機械化種植，機械化種植比人工種植每小時多種植50株，結果比原計劃提前30小時完成任務．求人工種植每小時種多少株西紅花？【分析】設人工種植每小時種株西紅花，則機械化種植每小時種株西紅花，由題意：需要種植5000株西紅花．最初采用人工種植，種植了2000株后，為提高效率，采用機械化種植，機械化種植比人工種植每小時多種植50株，結果比原計劃提前30小時完成任務，列出方程，解方程即可．【解答】解：設人工種植每小時種株西紅花，則機械化種植每小時種株西紅花，由題意得：，解得：或（不合題意舍去），經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，答：人工種植每小時種50株西紅花．【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元二次方程的解法，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列出分式方程．38．（2022春?靜安區(qū)期中）某市為了美化環(huán)境，計劃在一定的時間內(nèi)完成綠化面積200萬畝的任務，后來市政府調(diào)整了原定計劃，不但綠化面積在原計劃的基礎上增加，而且要提前1年完成任務．經(jīng)測算，要完成新的計劃，平均每年的綠化面積必須比原計劃多20萬畝，求原計劃平均每年的綠化面積．【分析】本題的相等關系是：原計劃完成綠化時間實際完成綠化實際．設原計