第04講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（八大題型）（講義）（原卷版）

第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算 4知識(shí)點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù) 5解題方法總結(jié) 5題型一：指數(shù)冪的運(yùn)算 6題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 7題型三：指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題 8題型四：比較指數(shù)式的大小 8題型五：解指數(shù)方程或不等式 9題型六：指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題 10題型七：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題 10題型八：指數(shù)函數(shù)的綜合問題 1204真題練習(xí)·命題洞見 1305課本典例·高考素材 1406易錯(cuò)分析·答題模板 15答題模板1：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問題 15答題模板2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題 16

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（2）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2023年新高考I卷第4題，5分2023年乙卷第4題，5分2022年甲卷第12題，5分2020年新高考II卷第11題，5分從近五年的高考情況來看，指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)基本點(diǎn)，常與冪函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問題.在利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).（2）通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫指數(shù)函數(shù)的圖象.（3）理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．

知識(shí)點(diǎn)1：指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．(2)根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．【診斷自測(cè)】化簡(jiǎn)下列各式：（1）=（2）（=（3設(shè)，則的值為知識(shí)點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【診斷自測(cè)】若指數(shù)函數(shù)且在上的最大值為，則.解題方法總結(jié)1、指數(shù)函數(shù)常用技巧(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論．(2)當(dāng)時(shí)，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．當(dāng)時(shí)，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．(3)指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．題型一：指數(shù)冪的運(yùn)算【典例1-1】已知（且），則．（結(jié)果用表示）【典例1-2】（1）；（2）已知，，求的值.【方法技巧】（1）靈活運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，根式形式需要化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式去求解.（2）運(yùn)算的最終結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有負(fù)指數(shù)又有分母．【變式1-1】（多選題）已知，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】已知函數(shù).(1)求證為定值；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為（為正整數(shù)，，，，），求數(shù)列的前項(xiàng)和；題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【典例2-1】已知且，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（

）A． B．C． D．【典例2-2】（2024·黑龍江·二模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且無限接近直線，但又不與該直線相交，則（

）A． B． C． D．【方法技巧】對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、平移、對(duì)稱等變換得到，當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖像呈下降趨勢(shì).【變式2-1】已知是方程的兩個(gè)根，則.【變式2-2】（2024·高三·山西·期末）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，的圖象無限接近于直線，但又不與該直線相交，則.【變式2-3】直線與函數(shù)且的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是.【變式2-4】設(shè)方程的解為，，方程的解為，，則．題型三：指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題【典例3-1】（2024·高三·河北·期末）已知函數(shù)，且的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為.【典例3-2】函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，則等于.【方法技巧】恒過定點(diǎn)．【變式3-1】已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【變式3-2】（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線上，則的最小值是.【變式3-3】函數(shù)，無論取何值，函數(shù)圖像恒過一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為.題型四：比較指數(shù)式的大小【典例4-1】（2024·云南·二模）若，則（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【方法技巧】比較大小問題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法．【變式4-1】（2024·遼寧·一模）設(shè)則（

）A． B．C． D．【變式4-2】已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式4-3】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．題型五：解指數(shù)方程或不等式【典例5-1】（多選題）甲、乙兩人解關(guān)于x的方程，甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得到的根為或，乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到的根為或，則下列是原方程的根的是（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·河北邯鄲·一模）不等式的解集為.【方法技巧】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對(duì)于形如，，的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對(duì)數(shù)”的方法求解.形如或的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.【變式5-1】不等式的解集為．【變式5-2】若、為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則．【變式5-3】已知和是方程的兩根，則.題型六：指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題【典例6-1】（2024·高三·云南楚雄·期末）已知奇函數(shù)在上的最大值為，則．【典例6-2】（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).(1)求p的值；(2)若在上最小值為，求k的值.【方法技巧】指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題通常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決.【變式6-1】已知函數(shù)，且，若函數(shù)在[0，2]上的最大值比最小值大，則的值為.【變式6-2】已知函數(shù)在處取得最小值.(1)求，的值；(2)，求函數(shù)，的最小值與最大值及取得最小值與最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.題型七：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題【典例7-1】已知函數(shù)，若，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【典例7-2】（2024·高三·河北衡水·開學(xué)考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍.【方法技巧】已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決．【變式7-1】（2024·高三·山東棗莊·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式7-2】（2024·高三·陜西商洛·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值2和最大值10．(1)求，的值；(2)設(shè)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式7-3】已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【變式7-4】已知函數(shù)是奇函數(shù)，且過點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)m和a的值；(2)設(shè)，是否存在正實(shí)數(shù)t，使關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型八：指數(shù)函數(shù)的綜合問題【典例8-1】已知函數(shù)若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為.【典例8-2】若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意恒成立，則的取值范圍為．【方法技巧】指數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復(fù)合函數(shù)問題，解題時(shí)要清楚復(fù)合的層次，外層是指數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層是指數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問題，則要按復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律求解．【變式8-1】已知函數(shù)，則不等式的解集為.【變式8-2】（2024·高三·湖北·期中）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).(1)函數(shù)，，求的最小值.(2)是否存在，使得對(duì)恒成立，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.【變式8-3】我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．根據(jù)這一結(jié)論，解決下列問題．已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式8-4】（2024·河南平頂山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)且）為定義在R上的奇函數(shù)(1)利用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞增；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【變式8-5】已知函數(shù)的表達(dá)式為.(1)若，求函數(shù)的值域；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(3)對(duì)于（2）中的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：（i）；（ii）當(dāng)?shù)亩x域?yàn)椋渲涤驗(yàn)?；若存在，求出的值；若不存在，?qǐng)說明理由.1．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．2．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．1．（1）當(dāng)n=1，2，3，10，100，1000，10000，100000，……時(shí)，用計(jì)算工具計(jì)算的值；（2）當(dāng)n越來越大時(shí)，的底數(shù)越來越小，而指數(shù)越來越大，那么是否也會(huì)越來越大？有沒有最大值？2．從盛有純酒精的容器中倒出，然后用水填滿；再倒出，又用水填滿……（1）連續(xù)進(jìn)行5次，容器中的純酒精還剩下多少？（2）連續(xù)進(jìn)行n次，容器中的純酒精還剩下多少？3．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.4．已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線但又不與該直線相交.（1）求該函數(shù)的解析式，并畫出圖象；（2）判斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.5．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1).（1）討論函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性；（2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范圍是多少？6．按從小到大的順序，可將重新排列為（可用計(jì)算工具）.答題模板1：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問題1、模板解決思路求解復(fù)合函數(shù)的值域問題，關(guān)鍵要確定函數(shù)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成.2、模板解決步驟第一步：求函數(shù)的定義域，然后將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)函數(shù)．第二步：由自變量的范圍求內(nèi)層函數(shù)的值域．第三步