2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：排列組合之?dāng)?shù)字問題（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)排列組合專題04數(shù)字問題（解析

版）

專題4數(shù)字問題

例1.由0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字可以組成五位沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)個(gè)數(shù)為（）

A.288B.360C.480D.600

例2.羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字傳入之前使用的一種數(shù)碼，它的產(chǎn)生標(biāo)志著一種古代文明的進(jìn)步.羅馬

數(shù)字的表示法如下:

數(shù)字123456789

形式IIIIIIIVVVIVDVIDIX

其中“I”需要1根火柴，"V”與“X”需要2根火柴，若為0,則用空位表示.（如123表示為

405表示為IVV）如果把6根火柴以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的不?/p>

的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

A.87B.95C.100D.103

例3.用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字，組成數(shù)字不重復(fù)且大于3000,小于5421的四位數(shù)有（

個(gè)

A.175B.174C.180D.185

例4.將數(shù)字1、1、2、2、3、3、4、4排成四行兩列,要求每行的數(shù)字互不相同，每列的數(shù)字也互不

相同，則不同的排列方法共有（

A.216B.72C.266D.274

例5.從集合｛4,B,C,D,E,9｝和｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2個(gè)元素排成一排（字母和

數(shù)字均不能重復(fù)）.則每排中字母。和數(shù)字4,7至少出現(xiàn)兩個(gè)的不同排法種數(shù)為（）

A.85B.95C.2040D.2280

1

例6.由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，且是奇數(shù)，其中恰有兩個(gè)數(shù)字是偶

數(shù)，則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）.

A.7200B.6480C.4320D.5040

例7.將6個(gè)數(shù)2,0,1,9,20,19將任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)（首位不為0）,則產(chǎn)生的不同

的8位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.546B.498C.516D.534

例8.2016里約奧運(yùn)會(huì)期間，小趙?？吹?個(gè)電視頻道中有2個(gè)頻道在轉(zhuǎn)播奧運(yùn)比賽，若小趙這時(shí)打開電

視，隨機(jī)打開其中一個(gè)頻道，若在轉(zhuǎn)播奧運(yùn)比賽，則停止換臺(tái)，否則就進(jìn)行換臺(tái)，那么，小趙所看到的第

三個(gè)電視臺(tái)恰好在轉(zhuǎn)播奧運(yùn)比賽的不同情況有（）

A.6種B.24種C.36種D.42種

例9.2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意

次序排成一行，拼成一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.72B.84C.96D.120

例10.由0,1,2,3,5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（）

A.36個(gè)B.42個(gè)C.48個(gè)D.120個(gè)

例11.用數(shù)字2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.120B.72C.60D.48

例12.在0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，能被2整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為

（）

A.216B.288C.312D.360

例13.在由0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的有（）

A.512個(gè)B.192個(gè)

2

C.240個(gè)D.108個(gè)

例14.用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這

樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1260B.1320C.1200D.1140

例15.一個(gè)三位自然數(shù)abc的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次為a,b,c,當(dāng)且僅當(dāng)。>6且c>6時(shí)稱為“凹

數(shù)”;若a,aCW｛0,2,3,4,5｝,且a,b,c互不相同,則“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）.

A.20B.36C.24D.30

例16.從1,3,5,7,9中任取2個(gè)不同的數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)不同的數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)

字的四位數(shù)，則所組成的四位數(shù)是奇數(shù)的概率為.（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答）

例17.對(duì)于數(shù)列｛%｝,若X]<%<七三…W%，則稱數(shù)列｛%｝為“廣義遞增數(shù)列”，若占2%之退2…2%,

則稱數(shù)列｛%｝為“廣義遞減數(shù)列”，否則稱數(shù)列｛%?）為“擺動(dòng)數(shù)列”.已知數(shù)列｛4｝共4項(xiàng)，且

q=｛1,2,3,4｝（=1,2,3,4）,則數(shù)列｛%｝是擺動(dòng)數(shù)列的概率為_________.

例18.將6個(gè)數(shù)2、0、1、9、20、19按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)（首位不為0）,則產(chǎn)生的不同

的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為

例19.由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成個(gè)是3的倍數(shù)，但不是5的倍數(shù)的四位數(shù).

例20.從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，從1,3,5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)

字的四位偶數(shù).

例21.用1,2,3,4,5組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，三個(gè)奇數(shù)中僅有兩個(gè)相鄰的五位數(shù)有.

例22.由0,1,2,9十個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共個(gè)

例23.現(xiàn)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個(gè)數(shù)字.

（1）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（2）組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，315是從小到大排列的第幾個(gè)數(shù)？

3

（3）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

（4）選出一個(gè)偶數(shù)和三個(gè)奇數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)共有多少個(gè)？

（5）如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從左到右按由大到小的順序排列，則稱此正整數(shù)為“漸減數(shù)”，那么由

這十個(gè)數(shù)字組成的所有“漸減數(shù)”共有多少個(gè)？

例24.用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的：

（1）三位偶數(shù)有多少個(gè)？

（2）能被3整除的三位數(shù)有多少個(gè)？

（3）可以組成多少個(gè)比210大的三位數(shù)？

4

專題4數(shù)字問題

例1.由0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字可以組成五位沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)個(gè)數(shù)為（）

A.288B.360C.480D.600

【解析】

根據(jù)題意，末位數(shù)字可以為1、3、5,有，;種取法，首位數(shù)字不能為0,有種取法，再選

3個(gè)數(shù)字，排在中間，有用種排法，則五位奇數(shù)共有=288,

故選：A.

例2.羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字傳入之前使用的一種數(shù)碼，它的產(chǎn)生標(biāo)志著一種古代文明的進(jìn)步.羅馬

數(shù)字的表示法如下：

數(shù)字123456789

形式IIIIIIIVVVIvnvinIX

其中“I”需要1根火柴，"V”與“X”需要2根火柴，若為0,則用空位表示.（如123表示為

405表示為IVV）如果把6根火柴以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的不?/p>

的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.87B.95C.100D.103

【解析】

用6根火柴表示數(shù)字，所有搭配情況如下：

1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的數(shù)為1；5根火柴可表示的數(shù)為8,和0—起，能表示的數(shù)共有4個(gè)

（108,180,801,810）.

2根火柴和4根火柴:2根火柴可表示的數(shù)為2、5；4根火柴可表示的數(shù)為7,和0—起,能表示的數(shù)有c1x4=8

個(gè).

3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的數(shù)為3、4、6、9,和0一起，能表示的數(shù)分為2類：除0外的兩個(gè)

數(shù)字相同，可表示的數(shù)有或x4=8個(gè)；除0外的兩個(gè)數(shù)字不同，則有C^x4=24個(gè)，所以共有8+24=32

個(gè).

1

1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7組成的數(shù)，共有3個(gè)（117,171,711）.

1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一個(gè)，3、4、6、9中的一個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)，共有

可以居=2x4x3x2=48個(gè).

2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5組成的三位數(shù)，分為兩類‘三個(gè)數(shù)字都相同，共有2個(gè)（222,555）；

三個(gè)數(shù)字中的兩個(gè)數(shù)字相同，則有C；x3=6個(gè)，共有2+6=8個(gè).

綜上可知，可組成的三位數(shù)共有4+8+32+3+48+8=103個(gè).

故選：D.

例3.用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字，組成數(shù)字不重復(fù)且大于3000,小于5421的四位數(shù)有（）

個(gè)

A.175B.174C.180D.185

【解析】

分以下三種情況討論：

①首位數(shù)字為3或4,則后面三個(gè)數(shù)位上的數(shù)隨便選擇，此時(shí)，符合條件的數(shù)的個(gè)數(shù)為2Z；=120；

②首位數(shù)字為5,百位數(shù)字不是4,則百位數(shù)字可以在0、1、2、3中隨便選擇一個(gè)，后面兩個(gè)數(shù)位上的

數(shù)沒有限制，此時(shí)，符合條件的數(shù)的個(gè)數(shù)為C：￡=48；

③首位數(shù)字為5,百位數(shù)字為4,則符合條件的數(shù)有5401、5402、5403、5410、5412、5413、5420,

共7個(gè).

綜上所述，大于3000,小于5421的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為120+48+7=175.

故選：A.

例4.將數(shù)字1、1、2、2、3、3、4、4排成四行兩列，要求每行的數(shù)字互不相同，每列的數(shù)字也互不

相同，則不同的排列方法共有（）

A.216B.72C.266D.274

【解析】

由于每行的數(shù)字互不相同，每列的數(shù)字也互不相同，則第一行數(shù)字是1、2、3、4的全排列，共㈤種，

現(xiàn)考慮第一行數(shù)字的排列為。23,4）,

則第二行數(shù)字的排列可以是：（2,1,4,3）、（2,3,4,1）、（2,4,1,3）、（3,1,4,2）、（3,4,1,2）,（3,4,2,1）,

2

（4,1,2,3）、（4,3,1,2）、（4,3,2,1）,共9種.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排列方法共有9團(tuán)=9x24=216種.

故選：A.

例5.從集合｛1,B,C,D,E,用和｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2個(gè)元素排成一排（字母和

數(shù)字均不能重復(fù)）.則每排中字母。和數(shù)字4,7至少出現(xiàn)兩個(gè)的不同排法種數(shù)為（）

A.85B.95C.2040D.2280

【解析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①，先在兩個(gè)集合中選出4個(gè)元素，要求字母C和數(shù)字4,7至少出現(xiàn)兩個(gè)，

若字母C和數(shù)字4,7都出現(xiàn)，需要在字母B,D,E,尸中選出1個(gè)字母，有5種選法，

若字母C和數(shù)字4出現(xiàn)，需要在字母/,B,D,E,尸中選出1個(gè)字母，在1、2、3、5、6、8、9中選出1

個(gè)數(shù)字，有5x7=35種選法，

若字母C和數(shù)字7出現(xiàn)，需要在字母B,D,E,尸中選出1個(gè)字母，在1、2、3、5、6、8、9中選出1

個(gè)數(shù)字，有5x7=35種選法，

若數(shù)字4、7出現(xiàn)，需要在字母/,B,D,E,尸中選出2個(gè)字母，有。52=10種選法，

則有5+35+35+10=85種選法，

②,將選出的4個(gè)元素全排列，有44=24種情況，

則一共有85x24=2040種不同排法；

故選：C.

例6.由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，且是奇數(shù)，其中恰有兩個(gè)數(shù)字是偶

數(shù)，則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）.

A.7200B.6480C.4320D.5040

【解析】

第一類，偶數(shù)數(shù)字取0

先從1,3,5,7,9中取3個(gè)奇數(shù)，從2,4,6,8中取1個(gè)偶數(shù)，

有C；C：=40中取法，然后將個(gè)位數(shù)排一個(gè)奇數(shù)，十位、百位、千位

選一個(gè)出來排0,剩下3個(gè)數(shù)字全排列，即有團(tuán)=54種排法

所以本類滿足條件的五位數(shù)有40x54=2160個(gè)

3

第二類，偶數(shù)數(shù)字不取0,

先從1,3,5,7,9中取3個(gè)奇數(shù)，從2,4,6,8中取2個(gè)偶數(shù)，

有CfCl=60中取法，然后將個(gè)位數(shù)排一個(gè)奇數(shù)，剩下4個(gè)數(shù)字全排列，

即有2；團(tuán)=72種排法

所以本類滿足條件的五位數(shù)有60x72=4320個(gè)

綜上：這樣的五位數(shù)個(gè)數(shù)為2160+4320=6480

故選：B

例7.將6個(gè)數(shù)2,0,1,9,20,19將任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)（首位不為0）,則產(chǎn)生的不同

的8位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.546B.498C.516D.534

【解析】

解:將2,0,1,9,20,19的首位不為0的排列的全體記為A,記為|/|為/的元素全數(shù),貝！114|=5x封=600,

將/中的2的后一項(xiàng)是0,且1的后一項(xiàng)是9的排列的全體記為8，/中2的后一項(xiàng)是0,但1的后一項(xiàng)不

是9的排列的全體記為C,A中1的后一項(xiàng)是9,但2的后一項(xiàng)不是0的排列的全體記為。，貝！I

|S|=4,|5|+|C|=4,|S|+|Z）|=4X4,

可得忸|=24,|。|=96,回=72,

由B中排列產(chǎn)生的每一個(gè)8位數(shù)，恰對(duì)應(yīng)B中的2x2=4個(gè)排列（這樣的排列中，20可與“2,0”互換，

19可與“1,9”互換），類似地，由C或D中排列產(chǎn)生的每個(gè)8位數(shù)，恰對(duì)應(yīng)C或D中的2個(gè)排列，因此

滿足條件的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為：

HTBUCU必+亨+回

1142

=600-18-48-36=498,

故選：B

例8.2016里約奧運(yùn)會(huì)期間，小趙?？吹?個(gè)電視頻道中有2個(gè)頻道在轉(zhuǎn)播奧運(yùn)比賽，若小趙這時(shí)打開電

視，隨機(jī)打開其中一個(gè)頻道，若在轉(zhuǎn)播奧運(yùn)比賽，則停止換臺(tái)，否則就進(jìn)行換臺(tái)，那么，小趙所看到的第

4

三個(gè)電視臺(tái)恰好在轉(zhuǎn)播奧運(yùn)比賽的不同情況有（）

A.6種B.24種C.36種D.42種

【解析】

解：第一步從4個(gè)沒轉(zhuǎn)播的頻道選出2個(gè)共有團(tuán)種，再把2個(gè)報(bào)道的頻道選1個(gè)有4種，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理小趙所看到的第三個(gè)電視臺(tái)恰好在轉(zhuǎn)播奧運(yùn)比賽的不同情況有=24種.

故選：B.

例9.2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意

次序排成一行，拼成一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.72B.84C.96D.120

【解析】

先選擇一個(gè)非0數(shù)排在首位，剩余數(shù)全排列，共有C：?用=96種，

其中1和0排在一起形成10和原來的10有重復(fù)，

考慮1和0相鄰時(shí)，且1在0的左邊，和剩余數(shù)字共有4!=24種排法，

其中一半是重復(fù)的，故此時(shí)有12種重復(fù).

故共有96-12=84種.

故選：B.

例10.由0,1,2,3,5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（）

A.36個(gè)B.42個(gè)C.48個(gè)D.120個(gè)

【解析】分兩類：一、若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是0,則有〃i=4x3x2x1=24種情形；

二、若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是2,由于0不排首位，因此只有1,3,5有3種情形，中間的三個(gè)位置有3x2xl=6種

情形，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得〃2=3x6=18種情形.

由分類計(jì)數(shù)原理可得所有無重復(fù)五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為"=%+%=24+18=42,應(yīng)選答案B.

例11.用數(shù)字2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.120B.72C.60D.48

【解析】

由于五位數(shù)為偶數(shù)，則個(gè)位數(shù)必為偶數(shù)，可在2、4、6種任選一個(gè)數(shù)，有種選擇,

5

其它數(shù)位任意排列，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，所求偶數(shù)的個(gè)數(shù)為=3x24=72.

故選：B.

例12.在0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，能被2整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.216B.288C.312D.360

【解析】

由能夠被2整除，可知該六位數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)末位情況，分兩種情況討論：

當(dāng)末位數(shù)字為0時(shí)，其余五個(gè)數(shù)為任意全排列，即有/種；

當(dāng)末位數(shù)字為2或4時(shí)，最高位從剩余四個(gè)非零數(shù)字安排，其余四個(gè)數(shù)位全排列，則有

綜上可知，共有=5x4x3x2x1+2x4x4x3x2x1=120+192=312個(gè).

故選：C.

例13.在由0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的有（）

A.512個(gè)B.192個(gè)

C.240個(gè)D.108個(gè)

【解析】

試題分析：由于能被5整除的數(shù)，其個(gè)位必為?；?,由此分兩類：第一類：個(gè)位為0的，有J=60個(gè)；

第二類：個(gè)位為5的，再分兩小類：第1小類：不含0的，有工=，個(gè)，第2小類：含0的，有喏.='網(wǎng)

個(gè)，從而第二類共有48個(gè)；故在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個(gè)數(shù)

有60+48=108個(gè)，故選D.

例14.用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這

樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1260B.1320C.1200D.1140

【解析】

當(dāng)沒有偶數(shù)時(shí)，這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為4=120

當(dāng)含有一個(gè)偶數(shù)時(shí)

這個(gè)偶數(shù)為0時(shí)，這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為180

當(dāng)這個(gè)偶數(shù)為2,4,6,8其中一個(gè)時(shí)，這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為川=960

6

即滿足題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為120+180+960=1260

故選：A

例15.一個(gè)三位自然數(shù)a6c的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次為a,b,c,當(dāng)且僅當(dāng)a>6且c>6時(shí)稱為“凹

數(shù)”;若a,瓦cw｛0,2,3,4,5｝,且a,b,c互不相同,則“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為().

A.20B.36C.24D.30

【解析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

(1)在0,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，來組成“凹數(shù)”，有=10種取法，

(2)將取出的3個(gè)數(shù)中最小的數(shù)放在十位，其余2個(gè)數(shù)放在百位，個(gè)位，有=2種情況，

則“凹數(shù)，，的個(gè)數(shù)為10x2=20個(gè).

故選：A

例16.從1,3,5,7,9中任取2個(gè)不同的數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)不同的數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)

字的四位數(shù)，則所組成的四位數(shù)是奇數(shù)的概率為.(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答)

【解析】

若選出的4個(gè)數(shù)中有0,則組成的四位無重復(fù)的數(shù)字共有=540個(gè)，其中奇數(shù)有

空=240個(gè)；

若選出的4個(gè)數(shù)中無0,則組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有720個(gè)，其中奇數(shù)有=360

個(gè)，所以，組成的四位數(shù)為奇數(shù)的概率為P=聞當(dāng)=%~=".

540+720126021

故答案為：—.

21

例17.對(duì)于數(shù)列｛x“｝,若苞V/W遍V…W不，則稱數(shù)列｛x,,｝為“廣義遞增數(shù)列”，若毛2馬2七2…2%，

則稱數(shù)列｛%｝為“廣義遞減數(shù)列”，否則稱數(shù)列｛%｝為“擺動(dòng)數(shù)列”.己知數(shù)列｛4｝共4項(xiàng)，且

%=｛1,2,3,4｝[=1,2,3,4),則數(shù)列｛4｝是擺動(dòng)數(shù)列的概率為.

【解析】

根據(jù)題意可知，％=｛1,2,3,4｝?=1,2,3,4),則四位數(shù)字組成的數(shù)列有以下四類：

(1)由單個(gè)數(shù)字組成：共有4個(gè)數(shù)列;

7

（2）由2個(gè)數(shù)字組成：則共有C：=6種數(shù)字搭配，每種數(shù)字搭配又分為兩種情況：由1個(gè)數(shù)字和3個(gè)相同

數(shù)字組成4個(gè)數(shù)的數(shù)列（如1222,2111等），則有C：x4=8個(gè)數(shù)列；分別由2個(gè)相同數(shù)字組成的4個(gè)數(shù)的

數(shù)列（如1122等）共有6個(gè)數(shù)列，因而此種情況共有甫（8+6）=84種；

（3）由3個(gè)數(shù)字組成：共有優(yōu)=4種數(shù)字搭配（如1123等），相同數(shù)字有3種可能，則共有4x3x12=144

個(gè)數(shù)列；

（4）由4個(gè)數(shù)字組成：共有=4x3x2x1=24個(gè)數(shù)列.

因而組成數(shù)列的個(gè)數(shù)為4+84+144+24=256個(gè)數(shù)列.

其中，符合“廣義遞增數(shù)列”或“廣義遞減數(shù)列”的個(gè)數(shù)分別為：

（1）由單個(gè)數(shù)字組成：4個(gè)數(shù)列均符合“廣義遞增數(shù)列”或“廣義遞減數(shù)列”，因而有4個(gè)數(shù)列；

（2）由2個(gè)數(shù)字組成：滿足“廣義遞增數(shù)列”或“廣義遞減數(shù)列”的個(gè)數(shù)為或x（2+2+2）=36個(gè)；

（3）由3個(gè)數(shù)字組成：Clc!x2=24個(gè)；

（4）由4個(gè)數(shù)字組成：則有2個(gè)數(shù)列符合“廣義遞增數(shù)列”或“廣義遞減數(shù)列”，

綜上可知，符合“廣義遞增數(shù)列”或“廣義遞減數(shù)列”的個(gè)數(shù)為66個(gè).

所以“擺動(dòng)數(shù)列”的個(gè)數(shù)為256-66=190個(gè)，

因而數(shù)列｛%｝是擺動(dòng)數(shù)列的概率為粵=或，

256128

95

故答案為：---.

128

例18.將6個(gè)數(shù)2、0、1、9、20、19按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)（首位不為0）,則產(chǎn)生的不同

的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為.

【解析】

2、0、1、9、20、19的首位不為0的排列的全體記為4

易知⑷=5x5!=600（這里及以下，|X|表示有限集X的元素個(gè)數(shù)）.

將/中2的后一項(xiàng)是0,且1的后一項(xiàng)是9的排列的全體記為B；

/中2的后一項(xiàng)是0,但1的后一項(xiàng)不是9的排列的全體記為C；

A中1的后一項(xiàng)是9,但2的后一項(xiàng)不是0的排列的全體記為D

易知園=4!,出出。|=5!,闿+10=4x4!,即|8|=24,|C|=96,|D|=72.

由B中排列產(chǎn)生的每個(gè)8位數(shù)，恰對(duì)應(yīng)8中的2x2=4個(gè)排列（這樣的排列中，20可與“2,0”互換，19可與“1,

8

9”互換）類似地，由?；颉Ｖ信帕挟a(chǎn)生的每個(gè)8位數(shù)，恰對(duì)應(yīng)C或。中的2個(gè)排列因此滿足條件的8位數(shù)

的個(gè)數(shù)為

=600-18-48-36=498.

例19.由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成個(gè)是3的倍數(shù)，但不是5的倍數(shù)的四位數(shù).

【解析】

一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)需滿足各位數(shù)之和是3的倍數(shù)，一個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)需滿足個(gè)位是0或者5,

從數(shù)字0,1,2,3,4,5中選四個(gè)數(shù)字出來，其中滿足四個(gè)數(shù)字是3的倍數(shù)的有：0123,0135,0234,0345,

1245

當(dāng)選擇的數(shù)字是0123時(shí)，能夠組成3司=18個(gè)數(shù)，其中個(gè)位數(shù)是0的有6個(gè)，所以滿足題意的有18-6=12

個(gè)

當(dāng)選擇的數(shù)字是0135時(shí)，能夠組成3團(tuán)=18個(gè)數(shù)，其中個(gè)位數(shù)是0或5的有6+4=10個(gè)，所以滿足題意

的有18—10=8個(gè)

當(dāng)選擇的數(shù)字是0234時(shí)，能夠組成3司=18個(gè)數(shù)，其中個(gè)位數(shù)是0的有6個(gè)，所以滿足題意的有18-6=12

個(gè)

當(dāng)選擇的數(shù)字是0345時(shí)，能夠組成3Z；=18個(gè)數(shù)，其中個(gè)位數(shù)是0或5的有6+4=10個(gè)，所以滿足題意

的有18-10=8個(gè)

當(dāng)選擇的數(shù)字是1245時(shí)，能夠組成=24個(gè)數(shù)，其中個(gè)位數(shù)是5的有6個(gè)，所以滿足題意的有24-6=18

個(gè)

綜上：共有12+8+12+8+18=58個(gè)

故答案為：58

例20.從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，從1,3,5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字

的四位偶數(shù).

【解析】

當(dāng)用0時(shí)，0只能在個(gè)位，十位，百位三個(gè)位置之一，

9

當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，從2,4,6中再取1個(gè)數(shù)字（3種方法），從1,3,5中任取2個(gè)數(shù)字（即排除1個(gè)，有3種不同

的方法），將這取得的3個(gè)數(shù)字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原

理,有3X3X6=54種方法；

當(dāng)十位或百位為0時(shí)（2種不同方法），從2,4,6中再取1個(gè)數(shù)字放置在個(gè)位（3種方法），然后從1,3,5中

任取2個(gè)數(shù)字（即排除1個(gè)，有3種不同的方法），在其余兩位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式,

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有2X3X3X2=36種方法；

當(dāng)沒有用0時(shí)，從2,4,6中任取1個(gè)數(shù)字放置在個(gè)位（有3中不同的方法）；在從其余的2個(gè)非零偶數(shù)字

中任取一個(gè)數(shù)字（2種不同方法），從1,3,5中任取2個(gè)數(shù)字（有3種不同方法），將這3個(gè)數(shù)字在除個(gè)位

之外的十百千3個(gè)位置上任意排列（有3!=6種不同的方法），由分步乘法計(jì)數(shù)原理方法數(shù)為3x2x3x6=108種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，一共有沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)54+36+108=198個(gè)，

故答案為：198.

例21.用1,2,3,4,5組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，三個(gè)奇數(shù)中僅有兩個(gè)相鄰的五位數(shù)有.

【解析】

用1,2,3,4,5組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有/；=120個(gè)；

三個(gè)奇數(shù)中僅有兩個(gè)相鄰；

其對(duì)立面是三個(gè)奇數(shù)都相鄰或者都不相鄰；

當(dāng)三個(gè)奇數(shù)都相鄰時(shí)，把這三個(gè)奇數(shù)看成一個(gè)整體與2和4全排列共有AfxAf=36個(gè)；

三個(gè)奇數(shù)都不相鄰時(shí)，把這三個(gè)奇數(shù)分別插入