2024年中考數(shù)學復習考前專項訓練：二次函數(shù)與線段周長問題

2024年中考數(shù)學復習考前專項訓練---

二次函數(shù)與線段周長問題

1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a/-2x+c與x軸交于點A和點與

y軸相交于點c（o,3）.

（1）求拋物線的解析式和頂點。的坐標；

（2）找出圖中與一ZMB相等的一個角，并證明；

（3）若點P是第二象限內拋物線上的一點，當點尸到直線AC的距離最大時，求點P的坐

標.

2.如圖，拋物線的頂點為A（0,-l）,與x軸交于點網(wǎng)-2后,0）,點P（0,l）為y軸上的一個

定點.點P（m,〃）是拋物線上一動點.

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）已知直線/是過點C（0,-3）且垂直于y軸的定直線，若點p（〃a）到直線/的距離為d,

求證：PF=d；

(3)已知坐標平面內一點。(2,3),求△?￡)產周長的最小值，并求出此時尸點坐標.

3.如圖，已知拋物線＞=版+c圖象經過A(-1,0),B(4,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若C(HI,-1)是拋物線上位于第一象限內的點，。是線段AB上的一個動點(不與

端點A、B重合)，過點。分另IJ作。E〃BC交AC于E,。尸〃AC交BC于E

①求證：四邊形。ECP是矩形；

②試探究：在點。運動過程中，DE、DF,CF的長度之和是否發(fā)生變化？若不變，求出它

的值；若變化，試說明變化情況.

試卷第2頁，共12頁

4.將拋物線C:y=（x-2）2向下平移6個單位長度得到拋物線C一再將拋物線C1向左平移2

個單位長度得到拋物線

（1）直接寫出拋物線G，孰的解析式；

（2）如圖（1）,點A在拋物線G對稱軸/右側上，點B在對稱軸/上，OAB是以02為斜

邊的等腰直角三角形，求點A的坐標；

（3）如圖（2）,直線〉=息（左中0,左為常數(shù)）與拋物線C?交于E,尸兩點，M為線段E尸

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的中點；直線y=與拋物線C?交于G,H兩點,N為線段G"的中點.求證：直線

經過一個定點.

5.如圖1,已知拋物線了=牝-4皿+4療+2%-4(?:是常數(shù))的頂點為P,直線/：y=x-4

⑴求證：點尸在直線/上；

(2)若相<0,直線/與拋物線的另一個交點為Q,與y軸交點為。恰好是線段的中

點，求加的值；

(3)如圖2,當加=0時，拋物線交x軸于A、8兩點，M、N在拋物線上，滿足M4J_N4,

判斷MN是否恒過一定點，如果過定點，求出定點坐標；如果不過定點，說明理由.

6.如圖1,拋物線：>=依2+法+。(。工0)的對稱軸為直線4-1,且拋物線經過A(-3,0),

C(0,3)兩點，交x軸于另一點3.

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(1)求拋物線的解析式;

(2)點尸在直線AC上方的拋物線上，作尸。〃y軸，交線段AC于點。，作軸，交拋

物線于另一點E,若2PD=PE,求點尸的坐標;

(3)如圖2,將拋物線平移至頂點在原點，直線尸。分別與x,丫軸交于E,尸兩點，與新拋

物線交于P、。兩點，作線段尸。的垂直平分線MV,交直線尸。于點M,交>軸于點N,

OFOF

若PQ=2MN,求證：---=

OFOE

7.如圖，拋物線y=2與x軸交于A、3兩點，與y軸交于C點，且A(—1,0).

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⑴求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

⑵判斷“BC的形狀，證明你的結論；

⑶點0)是x軸上的一個動點，當CM+0M的值最小時，求機的值.

8.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B(-3,0)兩點，與y軸交于C

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)設P為對稱軸上一動點，求AAPC周長的最小值；

(3)若M,N為拋物線上兩個動點，分別過點M,N作直線BC的垂線段，垂足分別為D,E.是

否存在點N使四邊形為正方形？如果存在，求正方形的面積；如果不存

在，請說明理由.

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9-如圖’在平面直角坐標系g中，拋物線y=z八/4與兩坐標軸分別相交于

AB,C三點.

⑴求證：ZACB=90°；

(2)點。是第一象限內拋物線上的動點，過點。作x軸的垂線交BC于點E,交x軸于點尸.

①求。E+2叵8E的最大值；

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②點G是AC的中點，若以點C,D,E為頂點的三角形與,AOG相似，求點。的坐標.

10.如圖1,拋物線y=-;x2+bx+c與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B(0,4),在x

軸上有一動點D9(m,0)(0<m<4),過點D作x軸的垂線交直線AB于點C,交拋物線于

點E,

(1)直接寫出拋物線和直線AB的函數(shù)表達式.

(2)當點C是DE的中點時，求出m的值，并判定四邊形ODEB的形狀(不要求證明).

(3)在(2)的條件下，將線段OD繞點O逆時針旋轉得到0D，，旋轉角為a(0。<2<90。),

連接D，A、DB,求D，A+^DB的最小值.

11.已知拋物線y=-/+bx+c交y軸于點c,過C作CE〃x軸，交拋物線于點E,

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖1,如果點N是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點使得以MNCE為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點加的坐標；若不存在，

請說明理由；

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(3)如圖2,連接EO,延長EO交拋物線于點尸，點P為E尸上方拋物線上的一個點，過點尸

作丫軸的平行線交所于點G,作PH_LEF于點H,請問是否存在點尸，使得△HPG的周

長最長，若存在，請求出周長的最大值；若不存在，請說明理由.

12.如圖，在矩形Q4BC中，點A、點C分別在x軸和y軸上，點3(1,2).拋物線

y=or2+bx+c(aw0)經過A,C兩點，交8C的延長線于點。，與x軸另一個交點為E,且

AE=4.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點尸是直線OO上方拋物線上的一個動點，尸尸〃y軸，PQ±OD,垂足為Q.

①猜想：PQ與尸。的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

②設PQ的長為/,點尸的橫坐標為加，求/與加的函數(shù)表達式，并求/的最大值.

(3)如果M是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以M、N、C、E為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

13.如圖，拋物線y=g--4x+6與x軸交于A,B兩點(A在B的左邊)，與y軸交于點C,

連接AC,BC,點。在拋物線上一點.

(1)求證：8OC是等腰直角三角形；

(2)連接。C,如圖1,若3c平分/42D,求點。的坐標；

(3)如圖2,若點。是線段的下方拋物線上一點，過點。作DEL3c于點E,求。E的最

大值.

14.如圖，拋物線y=/+bx+c交x軸于點4,8兩點，04=1,與y軸交于點C,連接AC,

tan/O4C=3,拋物線的對稱軸與x軸交于點D

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(1)求點A,C的坐標；

(2)若點P在拋物線上，且滿足/B4B=2/ACO,求直線也與y軸交點的坐標；

(3)點。在拋物線上，且在x軸下方，直線A。8Q分別交拋物線的對稱軸于點M、N.求

證：OM+QN為定值，并求出這個定值.

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15.如圖，拋物線＞=-5尤2+5苫+2與X軸交于點A,B,與y軸交于點C.點P是線段

BC上的動點(點P不與B,C重合)，連接并延長AP交拋物線于另一點Q,設點Q的橫

坐標為X.

(1)①寫出點A,B,C的坐標：A(),B(