2024高三數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷1 （解析版）（新高考）

高三數(shù)學(xué)押題預(yù)測仿真卷01

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考

證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知樣本數(shù)據(jù)為占、了2、鼻、乙、X5、/、X”去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)

相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【答案】C

【解析】樣本數(shù)據(jù)為了］、巧、“3、”4、尤5、、X］，

去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，

假設(shè)從小到大就是從西到尤7,極差可能變化，故A錯；

平均數(shù)為1=%+%+B+毛+%,可能變，故B錯；

中位數(shù)還是按從小到大排序中間位置的數(shù)，故C正確；

方差為52=1（9-元）2+（尤3-下）2+（無4-可2+伍-元）2+（尤6-元）2］，有可能變，故D錯.故選：C

2.已知機=（3,6）,n=（-3,A）,若機+〃,〃=120°,則2=（）

A.B.一2?石C.-3D.-73

【答案】D

【解析】因為根=(3,6),n=(-3,2),所以m+〃=(0,6+4),

/\(加+町力62+221

所以cos(M+〃,〃)=-------E=------>=--

、/1m+Az?n|Z+6|-V9+22

所以6%+22<。，則-6v2v0,

（6+2）241「

故（6+彳函+TE=N解得"-6（正值舍去）.故選：D

3.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”.若％5+%H0=l，則$2024=（）

A.1012B.1013C.2024D.2025

【答案】A

【解析】由等差數(shù)列的通項公式可得:al5+%0]o=2q+2023d=1,且〃i+^2024=2%+2023d=1,

2024x(q+%024)2024x1.

所以邑024----------=1012.故選：A.

22

4.設(shè)。，夕為不同的平面，a,b,。為三條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（）

A.若e_L#,aua,acf3=c,a±c,則4，尸

B.若alip,aua,bu。,則allb

C.若a//a,bua,貝與人異面

D.若&_L/,aua,bufi,則。與b相交

【答案】A

【解析】對于A,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得A正確；

對于B,若a〃6，aua,bu0,則a//B,或。與匕異面，故B錯誤；

對于C,若a//a,bua,貝!］。/力，或。與人異面，故C錯誤；

對于D,若。_L/,aua,bu0,則a//Z>,或。與6異面，或。與人相交，故D錯誤.故選：A.

5.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的

能力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經(jīng)過4次飛行后，停在位于數(shù)軸上實數(shù)3的點處，則小蜜蜂不同

的飛行方式有（）

A.22B.28C.26D.24

【答案】D

【解析】經(jīng)過4次飛行，停在位于數(shù)軸上實數(shù)3的點處,

設(shè)向右飛行1個單位為事件A,向右飛行2個單位為事件3,

情況一，A45入滿足要求，此時只需安排好民司，故不同的飛行方式為A；=12種,

情況二，出弦A滿足要求，此時只需安排好瓦A,故不同的飛行方式為A：=12種,

綜上，小蜜蜂不同的飛行方式有12+12=24種.故選：D

6.在AABC中，已知ZABC=2Nfi4C,3BC=2AB,BD1AC,。為垂足，CD=2>/10,則3Z)=()

A.3娓B.6^6C.2MD.4M

【答案】B

【解析】設(shè)N54C=c，可得/4BC=2a,ZACB=it-3a,

BCAB_BC

由正弦定理得即

sin(兀一3a)sinasin3asina

因為33c=2AB,所以sin3a=3sina,

又因為sin3a=sin(cr+2a)=sin2acosa+cos2asina

=2sin二cosacosa+(1-2siMa)sin。=3sin。-4sin3a,

所以2(3sina-4sii?①=3sina,整理得3sina-8sin3a=0,

IT

因為0<a<5，所以O(shè)vsinorvl,所以3-8sin2c=0,

即sin2a=],解得sintz=Y^,貝!Jsin3tz=，^x[3-4(，^)2]=氧S,即sinNACB=」^5

844488

因為NACB為銳角，cosZACB=V1-sin2ZACB=—,

8

所以tan/ACB=^^=亞，

cosZACB5

在直角二瓦心中，tan/AC8=器，所以BD=CD.tanNACB=2Mx￥^=6#.故選：B.

7.已知cc^a—cos?/=—2,sin(。一/)=；,貝IJCOS(2Q+24)=(

)

772

A.——B.—C.--D.

9999

【答案】B

【解析】因為cos%_cos2尸=l+；s2a1+COS2;01cc小

--------....-=—(zcos2a-coszp)=-sin(a+尸)sin(a—月)=

"12?

得至！Jsin（a+尸）sin（a-￡）=g,又sin（a-〃）=；,所以sin（a+Q）=g,

、97

所以cos（z2a+2月）=1—2sin2（a+月）=1—,故選：B.

2

8.已知點尸（%,為）在雙曲線/一斗=10>0）上，過點尸作雙曲線的漸近線的垂線，垂足分別為A,3,若與〉1,

b

21

PAPB=—,貝心()

32

A.6B.2C.布D.20

【答案】C

【解析】如圖，直線上4的方程為:

...x+by

=4(j。)，解得.00

b2+l

由，

bx+b1y'

y=bxQ0

y=b^+1

直線PB的方程為：y-%=：(x-Xo),，

b

y=-bx

1_-一如

X--------Z-------------

b2+l-bx+b2y

解得00

2b2+l-

-bx0+by0,

y一方+i

bbx

Jyo-~o如-%]座/-蛆-匕飛心0-%

PA2

一1z?+i+i7一〔從+i'^+1

b^-b2yl!yj-b24b2-b2b-

故尸4網(wǎng)=記，解得：b=V7.故選：C.

gl)2,2+1)2(/+―

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/■(x)=3sinWx+°)((y>O,[a<7r)的部分圖象如圖所示，則()

A.8=3B.t

77rIT

c./(X)的圖象關(guān)于點對稱D.在-石■，-1上單調(diào)遞增

【答案】ACD

【解析】設(shè)“X）的最小正周期為T,由圖象可得到；T=謁-[弋）=《故7=個，

NJLNyHryJD

兀兀

因為①>0,所以」2=:2，解得口=3,故A正確；

①3

將卜：,3）代入〃x）=3sin（3x+0）,得3sin3x（_：）+0=3,

則一年+0=^+2E（左￡Z），解得"=苧+2E（左eZ）,

因為煙<無，所以當(dāng)上=-1時，所以"x）=3si“3x-岑）故B錯誤；

因為/Qf）=3sin]3x?[3sin7i=O,所以〃x）的圖象關(guān)于點借對對稱，故C正確；

當(dāng)xe時，3x-^e,因為y=3sinx在上單調(diào)遞增，

I乙乙乙乙乙

77r7T

所以〃x）在-石■，-]上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD

10.已知復(fù)數(shù)z,w,則下列說法正確的是（）

A.若2=卬，貝丘=w

B.若z=3+i,w=-2i,則z+w在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限

C.若z?=1,則z=z

D.若卜-2|=1,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,則直線OZ（。為原點）斜率的取值范圍為Wg

【答案】ACD

【解析】對于A,設(shè)2=々+歷（a/eR）,貝！Jz=a-歷，若z=w，則w=a+Z?i，

則狡=1一歷，所以z=w，故A正確；

對于B,若z=3+i,vv=-2i,貝ljz+w=3-i,所以z+w在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

在第四象限，故B錯誤；

對于C,設(shè)z=a+歷（a,bwR）,由z2=l，可得（/一/）+2。歷=1,

則4=±1,〃=。，即2=±1,則Z=L故C正確；

對于D,設(shè)z=x+W（a,Z?￡R）,貝|Jz-2=（九一2）+yi,若|z-2|=1,

則（x-2）2+產(chǎn)=1,即點Z在以（2,0）為圓心，1為半徑的圓上，

設(shè)過原點與圓相切的直線為V=丘，即"-y=0,

\2k\n

則圓心到切線的距離d==1，解得左=±與，

所以直線OZ(。為原點)斜率的取值范圍為一冬與,故D正確.故選：ACD

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x),g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為

f'(x),g'(x),f(1-x)^6-g'(1-x),f{y-x)-g'[y+x)^6,且g(x)+g(—x)=4,貝lj()

A.g'(x)的圖象關(guān)于點(0,1)中心對稱B.g'(x+4)=，(x)

c.r(6)=r(2)D./(1)+/(3)=12

【答案】BCD

【解析】由題意可得伉]_J=6+；；1+/兩式相減可得g'(l+x)=-g'(I)①，

所以g'(x)的圖象關(guān)于點(L0)中心對稱，A錯誤；

由g(x)+g(f)=4②，②式兩邊對無求導(dǎo)可得g'(x)=g'(-x),可知g'(x)是偶函數(shù)，

以1+x替換①中的x可得g，(2+x)=-g，(f)=—g，(x),

可得g〈4+x)T(2+x)=g3,所以g'(x)是周期為4的周期函數(shù),B正確；

因為y(x)=6-g'(x),可知“X)也是周期為4的周期函數(shù)，即y(x+4)=/(x),

兩邊求導(dǎo)可得求(x+4)=((x),所以廣⑹=廣(2),C正確；

因為短(l+x)=—g"—x),令尤=0,則gp)=—g'⑴，即g'⑴=0,

又因為g'(x)是偶函數(shù),所以g'(—l)=g'(l)=0,

又因為g'(x)是周期為4的周期函數(shù)，則g")=g'(-l)=0,

由〃x)=6—g'(x)可得?尚=6-漏=6,所以/⑴+"3)=12,D正確.故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知集合A=卜卜=&+VT金},8=（yy=］6—卜那么4（Ac3）=

【答案】{外刊

【解析】要使得y=JI+FI有意義，貝U：；：：>0，解得0WX41，即集合A={MO4X41},

1fl_J］-X土0

若丁1k有意義,則7,XVI且XW0,

l-yjl-xl-x>0

而Vi二且Vnwi,所以］_行=］且］

所以3={y|y<0或yWl},從而Ac3={l},々（Ac8）={x|xwl}.

13.1/+>+：+（］展開式中的常數(shù)項為.

【答案】630

【解析】p+y+1+|j表示7個卜+y+：+；|相乘，

則常數(shù)項，應(yīng)為1個/,2個工，2個y,2個上相乘,

xy

所以卜+了+^+；|展開式中的常數(shù)項為C；C；C：C；=630.

14.已知點/在拋物線「：/=分上運動，過點加的兩直線44與圓C：Y+（y-3）2=4相切，切點分別為

A,B,當(dāng)|4即|環(huán)?|取最小值時，直線A3的方程為.

［答案］±x-y+l=0

【解析】如圖，設(shè)叫孫才,設(shè)AB與MC交于〃，

由題意知A8AMC,AC=2,

RtACM中，|AH|-|MC|=|AC|-|M4|=2\MA\=2,CM。-4,

［fn\AB\=2\AH\,貝ij|陰.|的=2網(wǎng).|MC|=4y1CM2-4,

當(dāng)|CN|最小時，|旗卜即。取最小值.

\2

當(dāng)且僅當(dāng)其=4時，'（其-4『+8取得最小值，此時Af（±2,l）,|C0|=20,|阿=2,

則以M為圓心，|肱4|為半徑的圓的方程為：（x.2y+（y-lf=4,

與圓C:/+（y-3）2=4的方程相減，可得A3的直線方程為：y=±x+l,即土x-y+l=O,

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知函數(shù)=+or-lnx,aeR.

（1）若函數(shù)y=〃x）-在（0,2］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍:

（2）若直線丫=前與〃x）的圖象相切，求a的值.

【答案】⑴卜8,2亞］;（2）e-1

【解析】(1)記>=〃*)-2%2=ar-lnx-x2=g(x),g(x)在(0,2］上單調(diào)遞減,

/（力=〃—:—2x（。對\/%￡（0,可恒成立，

<2<f2x+—j,而2%+工22、2x。=2加,

IX）minXXX

當(dāng)且僅當(dāng)2x=’即％=也時，等號成立，

x2

所以當(dāng)x=YZ時，2x+^取得最小值為20.

2%

a<2A/2，所以a的取值范圍為20］.

（2）設(shè)直線>與〃尤）的圖象相切于P伍,片+6o-lnxo）,

17c1

/'(%)=2x+a-一,k=2XQ+〃---

x

2%+ci-----—e,(J)1

由題意可知XQa=eH------2XQ

xQ

+ax0-Inx0=ex0，②

代入②=>x；+e+-----2x0x0-lnx0=ex0,

l尤。)

/.l-Xg-lnx0=0,左邊式子關(guān)于％單調(diào)遞減且%=1時，左邊=。,「./=1

Q=e+1—2=e—1.

16.(15分)

如圖，已知ABCD為等腰梯形，點E為以BC為直徑的半圓弧上一點，平面ABCD上平面BCE,M為CE的

中點，BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

My

----------/

(1)求證：￡>"http://平面ABE;

(2)求平面ABE與平面DCE所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；⑵晅.

65

【解析】(1)取BE的中點N,連接AN,MN,則MN〃3c且MN=」BC,

2

又:ADIIBC豆AD=gBC,:.MN//AD且MN=AD.

ANDM為平行四邊形，:.DMIIAN.

又DM<z平面ABE,4Vu平面ABE,二￡)/0〃平面ABE.

(2)取AD中點為尸，連接OF,因為ASCD為等腰梯形，所以O(shè)WJ_3C,

又平面ABCD2平面8CE,平面ABCDc平面3CE=3C,Obu平面ABCD,

所以O(shè)F，平面BCE,

過點。作直線BC的垂線交BC于點G,

分別以。G,OC,。尸所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

BC為直徑，：.BEM^BC,:.ZBCE=30°,NBOE=60°,ZEOG=30°.

2

在等腰梯形ABCD中，AB=AD=DC=2,BC=4,所以。尸=卡2_[三=73,

E(V3,-1,O),C(0,2,0),0(0,1,A/3),B(0-2,0),A(0,T,?

:.CE=(>/3,-3,0),CD=(O,-1,6),BE=(>/3,1,0),84=(0,1,6).

設(shè)平面DCE的法向量為％=(X,NZ),

m-CE=0f\f3x-3y=0

則，二廠，

m-CD=0[-y+j3z=0

令》=豆貝!Jx=3,z=l.m=(3,^3,1),

設(shè)平面ME的法向量為〃=(a,仇c),

n-BE=A/3G+b=0r-

則r,取”=(1,—百,1),

n-BA=v3c+b=0

設(shè)平面ABE與平面CDE所成的角為a,

-765

貝ijcosa=

???平面ABE與平面CDE所成角的余弦值為遐

65

17.(15分)

在某數(shù)字通信中，信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié).每次信號只發(fā)送。和1中的某個數(shù)字，由于隨機

因素干擾，接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤，已知發(fā)送信號0時,接收為0和1的概率分別為a（0<?<1）,

1-a；發(fā)送信號1時，接收為1和。的概率分別為尸（0<尸<1）」-￡.假設(shè)每次信號的傳輸相互獨立.

（1）當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號均為0時，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號數(shù)字均相同的概率為了（?）,求的最

小值；

（2）當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號均為1時，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為大,々，三，七，記其中連續(xù)出現(xiàn)

2

相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機變量X（再，尤2,不，匕中任意相鄰的數(shù)字均不相同時，令X=1）,若￡=4，

求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.

1OAQ

【答案】⑴"⑵分布列見解析；期望為的

【解析】（1）由題可知/（夕）="+（1一々）3=3夕2一3夕+1=3［々一（［4-1,

因為0<a<l,所以當(dāng)&=1■時，的最小值為;.

（2）由題設(shè)知，X的可能取值為1,2,3,4.

①當(dāng)X=1時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為0101或1010.

mD/v212112128

因止匕，P（X=1）=—X一X—X----1----X—X—X—=—,

,,3333333381

②當(dāng)X=2時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為

0010,或0100,或1101,或1011,或1001,或0110,或1100,或0011.

因此,（）（|1212c1i2212

PX=2=x—x—x2+x—x—x2+

I333?3303

③當(dāng)X=3時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為1110,或0H1,或0001,或1000.

因此，P（X=3）=&i32.12

x—x2H—x

333

④當(dāng)X=4時，相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為0000,或1111.

4

17

因此，P（X=4）=（1+

81

所以X的分布列為

X1234

842017

P

8198181

QOOf）17OHQ

因止匕，X的數(shù)學(xué)期望E（X）=lx2+2xJ+3x券+4x"=答.

olo818181

18.（17分）

已知橢圓C:5■+r=：l（a>b>0）的離心率為￥，直線/過C的上頂點與右頂點且與圓O：V+y2=g相切.

（1）求C的方程.

（2）過C上一點4（%,%）作圓。的兩條切線心（均不與坐標(biāo)軸垂直），乙，6與C的另一個交點分別為

N?,%）.證明:

①直線AM,AN的斜率之積為定值;

②&+x2=0.

丫2

【答案】(1)?+>2=1；(2)①證明見解析；②證明見解析

設(shè)橢圓的半焦距為c(c>0).依題意，離心率e=￡、仁耳=蟲，則。=勸，c=?①.

【解析】(1)

aN/2

XV,,ab2

直線/：—+；=1,W^bx+ay-ab=O,由題可知個~廣―②.

abyja+b75

聯(lián)立①②，解得。=2,b=l,故C的方程為三+y2=i.

4

(2)(i)設(shè)過點A且與圓。相切的直線的方程為了一%=左(%-%)/WO),

貝IJ號措=京，整理得(5x；-4/一10七為八5y；-4=0,

記直線A",AN的斜率分別為《，k2,

則…汩J_,為定值.

12-5x^-45年-44

(ii)由⑴的過程可知直線4W：y-%=A(x-%),

y-y=K（x-x）,

聯(lián)立方程得00

x2+4y2-4=0,

則有（1+4懺）/+8,（％—勺%）X+4（%_勺毛）2_4=0,故與+/=甌￡；J。）

直線⑷V:y-%=&(x-x0),同理可得馬+%=地，：。；為)

1+4^2

1

甌（左玉）-%）?8%（&玉,-%）=甌（也-%）礪…

故X[+%+x2+x=2

01+%—一1+4收1+4將

1+4

_8%；%-8勺為2x0+8勺為_2x0+8左；/

―1+4^+1+44―1+%