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文檔簡(jiǎn)介
考向15利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【2022年新高考全國(guó)I卷】設(shè)。=0.卜°/,6=3,c=-ln0.9,貝ij()
A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b
31I1
【2022年新高考全國(guó)II卷】已知〃=一/=cos-,c=4sin—,貝!J()
3244
A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b
1.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
(1)確定函數(shù)/(X)的定義域;
(2)求/'(x),令((x)=0,解此方程,求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù);
(3)把函數(shù)/(幻的間斷點(diǎn)(即/(x)的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和/'(x)=0的各實(shí)根按
由小到大的順序排列起來(lái),然后用這些點(diǎn)把函數(shù)/(x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間;
(4)確定了'(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào),根據(jù)/'(x)的符號(hào)判斷函數(shù)/(幻在每個(gè)相應(yīng)小
區(qū)間內(nèi)的增減性.
注①使/'(%)=0的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)/'(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為
零,在其余點(diǎn)處均為正(或負(fù))時(shí),/(x)在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增(或遞減)的.例如,
在(一8,+8)上,/(%)=%3,當(dāng)x=0時(shí),f'(x)=0;當(dāng)xwO時(shí),f'(x)>0,而顯然
/(X)=d在(—8,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù).
②若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。/)上單調(diào)遞增,Mf(x)>0(一(%)不恒為0),反之不
成立.因?yàn)?(X)30,即八x)>0或/。)=0,當(dāng)/'(x)>0時(shí),函數(shù)y=/(x)在區(qū)間
(。力)上單調(diào)遞增.當(dāng)/'(x)=0時(shí),/(%)在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù);同理,若函數(shù)y=/(x)在
區(qū)間(。,6)上單調(diào)遞減,則/'(x)<0(7'(x)不恒為0),反之不成立.這說(shuō)明在一個(gè)區(qū)間上
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零,是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論:
((x)>0nf(x)單調(diào)遞增;f(x)單調(diào)遞增nf(x)>0;
f'(x)<0=>/(x)單調(diào)遞減;/(%)單調(diào)遞減=>f\x)<0.
L利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧
利用題目條件,構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小或求解不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究
函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,再由單調(diào)性比較大小或解不等式.
2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路
①由函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減)可知/(x)>0(r(x)V0)在區(qū)間[a,b]上恒成立
列出不等式;
②利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問(wèn)題;
③對(duì)等號(hào)單獨(dú)檢驗(yàn),檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使廣(“在整個(gè)區(qū)間恒等于0,若廣⑺恒等于
0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去;若只有在個(gè)別點(diǎn)處有廣(耳=0,則參數(shù)可取這個(gè)值.
【提醒】f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的xe36)都有/((X)20且在(a,b)內(nèi)的任
意一個(gè)非空子區(qū)間上r(x)豐0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略,否則漏解.
-:?jiǎn)握{(diào)性基礎(chǔ)問(wèn)題
1.函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定方法:設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f'(x)>0,貝I]y=f(x)
為增函數(shù);如果/''(MvO,則y=/(x)為減函數(shù).
2.已知函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題
①若〃尤)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增,則在該區(qū)間上有了'(尤)20恒成立(但不恒等于0);
反之,要滿足((無(wú))>0,才能得出了(無(wú))在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增;
②若/(無(wú))在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減,則在該區(qū)間上有尸(x)WO恒成立(但不恒等于0);
反之,要滿足「(無(wú))<0,才能得出了(尤)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.
二:討論單調(diào)區(qū)間問(wèn)題
類型一:不含參數(shù)單調(diào)性討論
(1)求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域(化簡(jiǎn)應(yīng)先通分,盡可能因式分解;定義域需要注意是否是連續(xù)的
區(qū)間);
(2)變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分:導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù),需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分:
已知恒正或恒負(fù),無(wú)需單獨(dú)討論的部分);
(3)求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根,并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)
系圖,則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知,可直接得出結(jié)論);
(4)未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過(guò)第三步直接得出結(jié)論,則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù));
(5)正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷,則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn));
(6)一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段,或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn),
則求二階導(dǎo));
求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù),令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù),對(duì)新
函數(shù)再求導(dǎo).
(7)借助二階定區(qū)間(通過(guò)二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)
正負(fù)區(qū)間段);
類型二:含參數(shù)單調(diào)性討論
(1)求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域(化簡(jiǎn)應(yīng)先通分,然后能因式分解要進(jìn)行因式分解,定義域需要注
意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間);
(2)變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分:導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù),需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分:
己知恒正或恒負(fù),無(wú)需單獨(dú)討論的部分);
(3)恒正恒負(fù)先討論(變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù));然后再求有效根;
(4)根的分布來(lái)定參(此處需要從兩方面考慮:根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)
系);
(5)導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間;
1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))已知a=e002,b=l.Q2,c=In2.02,則()
A.c>a>bB.a>b>c
C.a>c>bD.b>a>c
2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2°)在區(qū)間(0,])上不是單調(diào)
函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.(0,2)B.[0,1)C.(0,+a)D.(2,y)
3.(2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知函數(shù)〃制=-工如2-丁,則不等
式/(3-巧〉/(2尸5)的解集為()
A.(-4,2)B.(-2,2)
C.(-8,一2)。(2,+8)D.(y,-4)(2,+oo)
4.(2022?湖北.房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)=不等式/卜2)>*X+2)的
解集為()
A.(2,+oo)B.(-1,2)
C.(0,―2)(1,-HX))D.(-2,1)
5.(2022.吉林吉林.模擬預(yù)測(cè)(文))若函數(shù)〃%)=三十%2+必—1在(-oo,+oo)上單調(diào)遞增,
則實(shí)數(shù)〃的取值范圍()
1
A.aN—B.aK—C.a>—D.CL<一
3333
】(2022.青海?模擬預(yù)測(cè)(理))若則()
A.eb-ea<]nb-]naB.eb-ea>lnb-lna
C.bea<aebD.be。>aeb
2.(2022.河南.通許縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))定義:設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)椤?
如果=使得/(X)在[人上的值域?yàn)椋廴巳?,則稱函數(shù)/(%)在[人〃]上為“等域
函數(shù)”,若定義域?yàn)?,e2的函數(shù)g(x)=。*(a>0,awl)在定義域的某個(gè)閉區(qū)間上為“等
e
域函數(shù)”,貝門的取值范圍為()
I-、「-Ir21\r211
21、21----
A.f,—B.—7,—C.ee,eeD.ee,ee
eejee
L7LJ
3.(2022?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè))已知a=ln的1=e-1,c=(9-31n3)e-3,則a,。的大小為()
A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a
4.(2022.河南.開(kāi)封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)
w1001
/(x)=?e,a=f(log23),b=f(-log58),c=/(-2),則a,b,c的大小關(guān)系為()
A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b
5.(2022.青海玉樹(shù).高三階段練習(xí)(文))定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(%)滿足/(無(wú))<2,若
/(^)-/(l-2m)>6m-2,則根的取值范圍是()
A.(―8,—1]B.18,;C.[-1,-HX))1
D.—,+00
3
6.(2022.貴州.貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)(理))已知奇函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為廣(無(wú)),且/(幻
在上恒有工(立<」3成立,則下列不等式成立的()
IzJsmxcosx
7.(2022?江蘇?南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知a>1,b>1,且S+l)ea=aeb+l+a(e為自然
對(duì)數(shù)),則下列結(jié)論一定正確的是
()
A.ln(?+b)>lB.ln(a-b)<0
C.2"I<2"D.2a+2*<23
8.(2022?江西?上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/(x)=asinx+2cosx在
上單調(diào)遞增,則a的取值范圍為()
A.a>QB.-2<a<2C.a>-2D.a>0^a<-2
9.(多選題)(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/(X)滿足〃x)+r(x)>0,則
下列式子成立的是()
A./(2021)<eA(2022)B./(2021)>ef(2022)
C.7'(x)是R上的增函數(shù)D.Vf>0,則〃x)ve"(x+r)
10.(2022?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/。)=-/+公2,寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件
的/⑴:.①在口,")上單調(diào)遞減;②曲線y=/(x)(xNl)存在斜率為—1的切線.
11.(2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)〃x)=a(x—1)-—OwR),
A(x)=lnx-e,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
⑴討論〃x)的單調(diào)性;
⑵當(dāng)了>1時(shí),不等式/(x)MXx)恒成立,求"的取值范圍.
12.(2022?上海?位育中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=?x2-x+2?-l(a為實(shí)常數(shù)).
⑴設(shè),(x)在區(qū)間口,2]上的最小值為g(“),求g(〃)的表達(dá)式;
⑵設(shè)〃")=乎,若函數(shù)萬(wàn)(X)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
13.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃%)=%2-inx.
⑴求曲線y=在工乂處的切線方程;
⑵若g(%)=(/(%)+ax)-e-v在區(qū)間(0,1)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.
14.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=aln(無(wú)+l)—3x.
⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)。=1時(shí),方程"x)=sinx_3x在泛,+8)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
15.(2022?天津?二模)已知函數(shù)/(x)=-2a21nx+]尤2+辦(q?R).
⑴當(dāng)4=1時(shí),求曲線y=/(x)在(1,/(1))處的切線方程;
⑵求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)"0時(shí),求函數(shù)在區(qū)間R,e]上的最小值.
1
16.(2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/⑴=e(元-a)9(asR).
⑴設(shè)g(x)=/(%)e",討論函數(shù)g(%)=/(%)ex的單調(diào)性;
⑵當(dāng)了;0時(shí),^(x)<x2-(tz-l)x+l,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
17.(2022?北京八十中模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(?=、=.
y/x
⑴當(dāng)4=1時(shí),求函數(shù)/⑴在("(D)處的切線方程;
⑵求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對(duì)任意xjl,"),都有/(元)>%成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
18.(2022?陜西?寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知函數(shù)/(x)=g62-(2a+l)x+2hu(aeR)
(1)當(dāng)a=T時(shí),求/(X)在點(diǎn)(i,〃i))處的切線方程;
⑵當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
,真題練)
1.(2022?全國(guó)?高考真題)設(shè)。=0.1e叫6=5c=-ln0.9,則()
A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b
3111
2.(2022?全國(guó)考真題(理))已知。二—,b=cos—,c=4sin—,貝ij()
3244
A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b
3.(2022?北京?高考真題)已知函數(shù)f(%)=e1n(l+%).
⑴求曲線V=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程;
(2)設(shè)g(x)=/'。),討論函數(shù)g(%)在[。,+8)上的單調(diào)性;
(3)證明:對(duì)任意的s1£(0,+8),有/(s+,)>/(§)+/Q).
4.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)f(%)=xe〃-e,
(1)當(dāng)〃=1時(shí),討論“工)的單調(diào)性;
⑵當(dāng)%>o時(shí),求〃的取值范圍;
11+I!>ln(n+l).
(3)設(shè)〃EN*證明:>TT+>T7+
7n+n
5.(2021?全國(guó)?高考真題(文))設(shè)函數(shù)/0)=4*2+依-3111*+1,其中〃>().
(1)討論/(x)的單調(diào)性;
(2)若y=/(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn),求。的取值范圍.
6.(2021.全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)=x(l-Inx).
(1)討論/(x
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