河南省六市南陽(yáng)市駐馬店市信陽(yáng)市漯河市周口市三門峽市2025屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬調(diào)研試題文含解析

PAGE21-河南省六市（南陽(yáng)市、駐馬店市、信陽(yáng)市、漯河市、周口市、三門峽市）2025屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬調(diào)研試題文（含解析）第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿意，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，，再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.2.集合的真子集的個(gè)數(shù)為()A.7 B.8 C.31 D.32【答案】A【解析】【分析】計(jì)算，再計(jì)算真子集個(gè)數(shù)得到答案.【詳解】，故真子集個(gè)數(shù)為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的真子集個(gè)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.3.五行學(xué)說(shuō)是華夏民族創(chuàng)建的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素，則2類元素相生的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的全部結(jié)果共10種，其中2類元素相生的結(jié)果有5種，再依據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果，所以2類元素相生的概率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為困難的問題中的基本亊件的探求.在找基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)時(shí)，肯定要按依次逐個(gè)寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避開多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.4.已知，，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可知單調(diào)遞減，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定自變量的大小關(guān)系，由此可得函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，，，即.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，涉及到對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠依據(jù)余弦函數(shù)的值域確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而依據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.5.已知且則A. B. C. D.【答案】B【解析】由=,即,又,所以,則.故選B．6.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)解除，再計(jì)算解除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋?，函?shù)為偶函數(shù)，解除，解除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像，通過函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，特別值解除選項(xiàng)是常用的技巧.7.已知某超市2024年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：依據(jù)該折線圖可知，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.該超市2024年12個(gè)月中的7月份的收益最高B.該超市2024年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C.該超市2024年1-6月份的總收益低于2024年7-12月份的總收益D.該超市2024年7-12月份的總收益比2024年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬(wàn)元【答案】D【解析】【分析】用收入減去支出，求得每月收益，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此推斷出說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬(wàn)元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項(xiàng)說(shuō)法正確；月收益最低，B選項(xiàng)說(shuō)法正確；月總收益萬(wàn)元，月總收益萬(wàn)元，所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益，C選項(xiàng)說(shuō)法正確，后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長(zhǎng)萬(wàn)元，所以D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.8.已知向量，滿意，且，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)兩邊平方，求得，所以.畫出圖像，依據(jù)圖像確定與的夾角，并依據(jù)它補(bǔ)角的正切值求得對(duì)應(yīng)的角的大小.【詳解】因?yàn)椋?，即，所?如圖，設(shè)，，則向量與的夾角為，因?yàn)?，所以?故選B.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的模以及夾角問題，考查運(yùn)算求解實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.屬于中檔題.9.程大位是明代聞名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國(guó)歷史上一部影響巨大的著作.它問世后不久便風(fēng)行宇內(nèi)，成為明清之際研習(xí)數(shù)學(xué)者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對(duì)推動(dòng)漢字文化圈的數(shù)學(xué)發(fā)展起了重要的作用.卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個(gè)，問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，求得該垛果子的總數(shù)為()A.84 B.56 C.35 D.28【答案】A【解析】【分析】依據(jù)程序框圖運(yùn)行程序，直到滿意時(shí)輸出結(jié)果即可.【詳解】依據(jù)程序框圖運(yùn)行程序，輸入，，，則，，，不滿意，循環(huán)；，，，不滿意，循環(huán)；，，，不滿意，循環(huán)；，，，不滿意，循環(huán)；，，，不滿意，循環(huán)；，，，不滿意，循環(huán)；，，，滿意，輸出.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出結(jié)果的問題，屬于基礎(chǔ)題.10.已知點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，是圓：上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】依據(jù)拋物線定義和三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，依據(jù)圓的性質(zhì)可知最小值為；依據(jù)拋物線方程和圓的方程可求得，從而得到所求的最值.【詳解】如圖所示，利用拋物線的定義知：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，且最小值為拋物線的準(zhǔn)線方程：，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查線段距離之和的最值的求解，涉及到拋物線定義、圓的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠找到取得最值時(shí)的點(diǎn)的位置，從而利用拋物線和圓的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解.11.設(shè)銳角三內(nèi)角，，所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，，，且，，則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)銳角三角形的特點(diǎn)和可確定的取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍；利用正弦定理可得到，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】且為銳角三角形，，，又，，，，，由正弦定理得：，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形邊長(zhǎng)的取值范圍的求解問題，涉及到正弦定理的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠通過正弦定理明確所求邊長(zhǎng)與角的余弦值有關(guān)，進(jìn)而通過求解角的余弦值的范圍來(lái)求解邊長(zhǎng)的范圍.12.設(shè)，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為，依據(jù)切線的性質(zhì)可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點(diǎn)，則有，得到，即可求解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作圓切線的切點(diǎn)為，，所以是中點(diǎn)，，，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,先求得在點(diǎn)處的切線的斜率.進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)斜式即可求得切線方程.【詳解】曲線則所以在點(diǎn)處的切線的斜率為由點(diǎn)斜式可得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線方程的點(diǎn)斜式應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則＝_______．【答案】1【解析】【分析】由題意可得，公比q≠1，則7，63，相除可得公比q，即得的值．【詳解】由題意可得，公比q≠1，∴7，63，相除可得1+q3＝9，∴q＝2，∴a1＝1．故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得q值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)（），當(dāng)時(shí)，的最小值為，若將函數(shù)的圖象向右平移（）個(gè)單位后所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】利用協(xié)助角公式可整理函數(shù)得到，依據(jù)最值可知，從而求得函數(shù)解析式；依據(jù)三角函數(shù)平移變換原則得到變換后函數(shù)的解析式，依據(jù)對(duì)稱性可得到，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，，，將右移個(gè)單位得：，關(guān)于軸對(duì)稱，，，又，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)解析式、三角函數(shù)的平移變換等學(xué)問，涉及到利用協(xié)助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的問題；關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)的最值確定與函數(shù)最小正周期之間的關(guān)系.16.在直三棱柱中，，底面三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，是上底面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐的外接球表面積為，則滿意題意的動(dòng)點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)圖形的面積為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)為外接圓圓心，作平面，依據(jù)三棱錐外接球的性質(zhì)可知球心為上一點(diǎn)；在中，結(jié)合正余弦定理可求得的外接圓半徑，進(jìn)而勾股定理可求得球心到平面的距離，再利用勾股定理求得，可得點(diǎn)軌跡為圓，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)，，，設(shè)為外接圓圓心，作平面，交平面于點(diǎn)，由三棱錐外接球的性質(zhì)可知，球心為上一點(diǎn).設(shè)三棱錐外接球半徑為，三棱錐外接球表面積，.在中，由余弦定理得：，，由正弦定理得：，，即，，，即點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的圖形是以為圓心，為半徑的圓，對(duì)應(yīng)的圖形面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的求解，重點(diǎn)考查了幾何體的外接球的相關(guān)問題的求解；關(guān)鍵是能夠依據(jù)外接球的性質(zhì)確定球心的位置，結(jié)合勾股定理得到動(dòng)點(diǎn)所滿意的詳細(xì)條件.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17.黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會(huì)必需打好的三大攻堅(jiān)戰(zhàn)之一.為堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村脫貧，堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合，此幫扶單位考察了甲、乙兩種不同的農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)方式，現(xiàn)對(duì)兩種生產(chǎn)方式的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行對(duì)比，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)可劃分為：指標(biāo)在區(qū)間的為優(yōu)等品；指標(biāo)在區(qū)間的為合格品，現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同加工方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品中，各自隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)試指標(biāo)結(jié)果的頻數(shù)分布表如下：甲種生產(chǎn)方式：指標(biāo)區(qū)間頻數(shù)51520301515乙種生產(chǎn)方式：指標(biāo)區(qū)間頻數(shù)51520302010（1）在用甲種方式生產(chǎn)的產(chǎn)品中，按合格品與優(yōu)等品用分層抽樣方式，隨機(jī)抽出5件產(chǎn)品，①求這5件產(chǎn)品中，優(yōu)等品和合格品各多少件；②再?gòu)倪@5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽出2件，求這2件中恰有1件是優(yōu)等品的概率；（2）所加工生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品，若是優(yōu)等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為15元，乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為20元.用樣本估計(jì)總體比較在甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式下，該扶貧單位要選擇哪種生產(chǎn)方式來(lái)幫助該扶貧村來(lái)脫貧？【答案】（1）①優(yōu)等品3件，合格品2件；②；（2）選擇乙生產(chǎn)方式.【解析】【分析】（1）①依據(jù)頻數(shù)分布表知：甲的優(yōu)等品率為0.6，合格品率為0.4，即可得到抽去的件數(shù)；②記3件優(yōu)等品為，，，2件合格品分別為，，從中隨機(jī)抽2件，列舉出基本領(lǐng)件的總數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解；（2）分別計(jì)算出甲、乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)100件所獲得的利潤(rùn)為元元，比較即可得到結(jié)論．【詳解】（1）①由頻數(shù)分布表知：甲的優(yōu)等品率為0.6，合格品率為0.4，所以抽出的5件產(chǎn)品中，優(yōu)等品3件，合格品2件.②記3件優(yōu)等品為，，，2件合格品分別為，，從中隨機(jī)抽2件，抽取方式有，，，，，，，，，共10種，設(shè)“這2件中恰有1件是優(yōu)等品的事務(wù)”為，則事務(wù)發(fā)生的狀況有6種，所以.（2）依據(jù)樣本知甲種生產(chǎn)方式生產(chǎn)100件農(nóng)產(chǎn)品有60件優(yōu)等品，40件合格品；乙種生產(chǎn)方式生產(chǎn)100件農(nóng)產(chǎn)品有80件優(yōu)等品，20件合格品.設(shè)甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)100件所獲得的利潤(rùn)為元，乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)100件所獲得的利潤(rùn)為元，可得（元），（元），由于，所以用樣本估計(jì)總體知乙種生產(chǎn)方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)較高，該扶貧單位要選擇乙生產(chǎn)方式來(lái)幫助該扶貧村來(lái)脫貧較好.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方表與頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，且全部小長(zhǎng)方形的面積的和等于1，合理利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．18.已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）由可得化為：．由成等比數(shù)列，可得化為：聯(lián)立解得：即可得出

（2）利用裂項(xiàng)求和方法、等差數(shù)列的求和公式即可得出．試題解析：（1）因?yàn)椋醇?，①因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，即所以，化簡(jiǎn)得：②聯(lián)立①和②得：，所以（2）因?yàn)樗?9.如圖在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，平面平面.（1）證明：平面平面；（2）若，為線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可知；由正方形特點(diǎn)知，由線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）由中點(diǎn)性質(zhì)可知，利用體積橋的方式可求得結(jié)果.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，為等邊三角形，，平面，平面平面，平面平面，平面，又平面，，底面為正方形，.又，平面，平面，平面，平面平面（2）為線段的中點(diǎn)，到平面的距離為到平面的距離的.由（1）知：平面平面，由面面垂直的性質(zhì)可知：在中，邊上的高即為三棱錐的高，，.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問題，涉及到線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐體積公式的應(yīng)用；求解三棱錐體積的常用方法是采納體積橋的方式，將問題轉(zhuǎn)化為高易求的三棱錐的體積的求解問題.20.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率是，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）延長(zhǎng)分別交橢圓于點(diǎn)（不重合）.設(shè)，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）依據(jù)題意干脆計(jì)算得到，，得到橢圓方程.（2）不妨設(shè)，且，設(shè)，代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得到，故，得到答案.【詳解】（1），所以，，化簡(jiǎn)得，所以，，所以方程為；（2）由題意得，不在軸上，不妨設(shè)，且，設(shè)，所以由，得，所以，由，得，代入，化簡(jiǎn)得：，由于，所以，同理可得，所以，所以當(dāng)時(shí)，最小為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的向量運(yùn)算和最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.21.已知函數(shù).（Ⅰ）探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）令，若對(duì)隨意的x＞0，a＞0，恒有f（x）≥g（a）成立，求實(shí)數(shù)k的最大整數(shù).【答案】（1）見解析（2）7【解析】【分析】（1）探討和兩種狀況；（2）由成立轉(zhuǎn)化為，分別k,構(gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）此函數(shù)的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.（2）由（Ⅰ）知恒成立，則只需恒成立，則，令則只需則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，即的最大整數(shù)為【點(diǎn)