高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

第十一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、:數(shù)的計(jì)算

■他知溟工打牢

1強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識(shí)能否憶起］

一、導(dǎo)數(shù)的概念

1.函數(shù)y=f（x）在x=益處的導(dǎo)數(shù).

（1）定義：

稱函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率

fXo+X—fXoAv

lim=1獨(dú)丁為函數(shù)V=f（x）在x=xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f'（劉）或k=劉，

△AX---LXX

,、Ayfxo+\x—fXo

即f'（Ao）=lim-—=lim.

△LO、x△=0Ax

（2）幾何意義：

函數(shù)Hx）在點(diǎn)司處的導(dǎo)數(shù)f（加的幾何意義是在曲線y=f（x）上點(diǎn)（即/U））處的切線的斜率（瞬時(shí)

速度就是位移函數(shù)s1）對(duì)時(shí)間力的導(dǎo)數(shù)）.相應(yīng)地，切線方程為y-/U）=F.（加（x-劉）.

2..函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)

fx+△X-fX

稱函數(shù)F'（X）=lim-------------后--------為,⑸的導(dǎo)函數(shù).

二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

_f(x)=c(c為常數(shù))f(x)=0

f(x)=x(nEQ*)f(x)=nx"-'

f(x)-sinxf'(x)=cos_x

f{x}=COSXf(x)=-sin_^

f{x)-af(x)=a'[n_a

f(x)-exf(x)=e^

f^X)-10gaX/(x)--1

xlna

1,二,

廣(x)=Inxf(x)

X

三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

i.［『(x)±g(x)r=f(x)±(x)；

2.［『(x)?g(x)］'=f(x)g(x)+F(x)g'(x)；

fXgx-fXg'

(g(x)WO).

,gx■x『

(理)4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為//=y7-u',即y對(duì)X

的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)"的導(dǎo)數(shù)與"對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

［小題能否全?。?/p>

1.(教材習(xí)題改編)若f(x)=xe;則F(1)=()

A.0B.e

C.2eD.e2

解析：選C,:f(x)=e*+xe；/.f'(1)=2e.

2.曲線y=xlnx在點(diǎn)(e,e)處的切線與直線x+1垂直，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.2B,-2

11

cD1

2--_

解析：選A依題意得/=l+lnx,y'|『二1+Ine=2,所以a=2.

a

1

-os

3.(教材習(xí)題改編)某質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)是s㈤2m/則當(dāng)t=2s時(shí)，它的加速度

是()

A.14m/s2B.4m/s2

C.10m/s2D.-4m/s2

解析：選A由(t)=6r-gt,=M(力=121一g,得方=2時(shí)，a(2)=/(2)=12X2

-10=14(m/s2).

4.(-廣東高考)曲線y=V-x+3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為.

2

解析：=3/-1,,?-/L=1=3X1-1=2.

「?該切線方程為夕一3二2(x-1),即2x—y+l=0.

答案：2T-Z+1=0

5.函數(shù)p二xcosx-sinx的導(dǎo)數(shù)為.

解析：y'二(xcosx)'-(sinx)'

二X,cosx+x(cosx)'-COSX

-cosx-xsmx-cosx

--xsinx.

答案：-xsinx

1.函數(shù)求導(dǎo)的原則

對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則，求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，

而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的

、—Z4—、口

運(yùn)算失1天.

2.曲線y=f(x)“在點(diǎn)尸(劉，㈤處的切線”與“過(guò)點(diǎn)尸(劉，珀的切線”的區(qū)別與聯(lián)系

(1)曲線y=f(x)在點(diǎn)戶(劉，㈤處的切線是指P為切點(diǎn)，切線斜率為"=/(劉)的切線，是唯一

的一條切線.

(2)曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)P(x°,加的切線，是指切線經(jīng)過(guò)戶點(diǎn).點(diǎn)尸可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而

且這樣的直線可能有多條.

ZJ高我號(hào)且累里羞TONGGU八抓考點(diǎn)|學(xué)技法|得拔高分|掌握程度

利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

典題導(dǎo)入

［例1］用定義法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

4

(l)y=/；⑵尸？

［自主解答］(1)因?yàn)锳胃V=-f---x-+--△-x0----f---x--

X+△X2-X

~、X

x2+c2xA?Ax+A*x2-2x

所以y'-△lorO△WntO(2x+Ax)=2x.

444Ax2x+Ax

2=

⑵因?yàn)锳y-x+Ax-Y--2\N2

Xx+△X

Ay2x+Ax

^xfx+Ax'

Ay2x+△x8

所以ALtnrO——二AlorO-4*~~~2=.

"八'xxx+AxJx

由題悟法

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的步驟

(1)求函數(shù)值的增量Ay=『(xo+A%)-f(x6)；

Ayf照+Ax—fXo

(2)求平均變化率三；=--------八---------;

⑶計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(^0)=liAmo總

以題試法

1,一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為5=8-312.

(1)求質(zhì)點(diǎn)在［1,1+△句這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；

(2)求質(zhì)點(diǎn)在力=1時(shí)的瞬時(shí)速度(用定義及導(dǎo)數(shù)公式兩種方法求解).

解：⑴?.?s=8-3備

As=8-3(1+△I)?—(8-3XI?)——6A力-3(At)2,

—As

v=—^-6-3At.

⑵法一(定義法)：質(zhì)點(diǎn)在力二1時(shí)的瞬時(shí)速度

As,、

■=工以。^7=工以。(-6-3At)=-6.

法二(導(dǎo)數(shù)公式法)：質(zhì)點(diǎn)在大時(shí)刻的瞬時(shí)速度

v=sr(方)=(8-3d”=-61.

當(dāng)t=l時(shí)，v=-6X1=-6.

3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

典題導(dǎo)入

［例2］求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

/、2ex+l

⑴尸xsinx；(2)y=—-；

e—1

［自主解答］⑴/=(/)'sinx+x(sinx)'=2xsinx+xcosx.

e+1eX--1?-eX+,-1teX--1t

(2)/

ee-1-eX+,1-teX-zQex

eX-12eX-12.

12

則/=(ln""

2

即/=L.

由題悟法

求導(dǎo)時(shí)應(yīng)注意：

(1)求導(dǎo)之前利用代數(shù)或三角恒等變換對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)可減少運(yùn)算量.

(2)對(duì)于商式的函數(shù)若在求導(dǎo)之前變形，則可以避免使用商的導(dǎo)數(shù)法則，減少失誤.

以題試法

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=e，?Inx；(2)了=(系+,+，；

解：⑴=(/?Inx)'

二e，lnx+e"?:二e{ln才十，

12

⑵“=￡+1+/=3/一一

xAx

3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

典題導(dǎo)入

［例3］⑴(?山東高考)曲線y=f+ll在點(diǎn)/(I,⑵處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()

A.-9B.-3

C.9D.15

(2)設(shè)函數(shù)F(x)=g(x)+/,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g⑴)處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=F(x)

在點(diǎn)(1,廣(1))處切線的斜率為()

1

A.--B.2

1

C4D

2-

［自主解答］(1)/=3/,故曲線在點(diǎn)戶(1,12)處的切線斜率是3,故切線方程是y-12=3(x-1),

令x=0得y=9.

⑵；曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g⑴)處的切線方程為y=2x+1,H⑴=4=2.

又f'(x)=g'(x)+2x,

■-f(1)=g'(1)+2=4,故切線的斜率為4.

［答案］(l)c(2)C

>>>一題多變

若例3（1）變?yōu)椋呵€了=^+11,求過(guò)點(diǎn)?（0,13）且與曲線相切的直線方程.

解：因點(diǎn)P不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（劉，㈤，

由y=X，+11,得=3/,

:.k=y'|x=xa=3AO.

.,.Xo--1,即Xo=-1?

:.k-3,y0=10.

二所求切線方程為y-10=3(^+1),

即3x-y+13=0.

由題悟法

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）已知切點(diǎn)人劉，f（x。））求斜率左即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值："=/（劉）；

⑵已知斜率k,求切點(diǎn)/（孫/（毛））,即解方程f'（xj=k；

Xi-fXa

⑶已知切線過(guò)某點(diǎn)〃（.F（xJ）（不是切點(diǎn)）求切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)/（私人加），利用k二：

Xi-Xo

=f'（司）求解.

以題試法

3.（1）（?新課標(biāo)全國(guó)卷）曲線y=x（31nx+1）在點(diǎn)（1,1）處的切線方程為.

（2）（?烏魯木齊診斷性測(cè)驗(yàn)）直線6與曲線y=-5r+Inx相切，則6的值為（）

A2BI

--X

1

CDI

-2-X

解析：（Dy'=31nx+l+3,所以曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線斜率為4,所以切線方程為y-l=4（x-

1),即產(chǎn)4x-3.

1111

有

所

/以

⑵設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,-1a+In依題意，對(duì)于曲線昨-y---+---+

22X2

11

---得a=l.又切點(diǎn)（1,在直線y=gx+6上，故-H?,得6=-1.

a2

答案：⑴y=4x-3(2)B

和I解題訓(xùn)練要高嗎…z,抓速度I抓規(guī)范I拒絕眼高手低I掌握程度

金級(jí)全員必做題

1.函數(shù)f(x)=(x+2a)(x-a)2的導(dǎo)數(shù)為()

A.2(/-a)B,2(/+a2)

C,3(x-52)D.3(V+#)

解析：選Cf'(T)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(/-才).

3

2.已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=/+]([是時(shí)間，s是位移)，則物體在時(shí)刻匕二2時(shí)的速度為()

…,3,,313

解析：選D,「s=2力一？，「.sN=2=4--=—

3.(?哈爾濱模擬)已知〃為實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)=￡+”2+g—2)x的導(dǎo)函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，則曲線

y=Hx)在原點(diǎn)處的切線方程為()

A.-3xB.—2x

C.y-3xD.y-2x

解析：選B>/f{x)=x+ax+(a-2)x,

f(x)=3x?+2ax+a-2.

???/(x)為偶函數(shù)，“二0.

:.f(x)=3/-2./.f'(0)=-2.

???曲線F(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y=-2x.

1+cosX(JI)

4.設(shè)曲線廠擊.在點(diǎn)彳,1處的切線與直線*-"+1=0平行，則實(shí)數(shù)a等于()

sinx',乙J

1

A1

-X2-

C.-2D.2

-sin2jr-1+cosxcosx-1-cosx,JI1

解析：選A-.?/=-2-=———,.?/'|工=萬(wàn)=-i.由條件知4

1,a=-1.

5.若點(diǎn)尸是曲線y=x'-Inx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線y=x-2的最小距離為()

A.1B..y[2

C.當(dāng)D.y[3

解析：選B設(shè)尸(xo,㈤到直線y=x-2的距離最小，貝IJy'\x=xo=2,xo--=1.

1

2-

???尸點(diǎn)坐標(biāo)(1,1).

11—1—21(-

二戶至1]直線/=矛一2區(qū)巨離為d=-r——-=^2.

“1+1

6.f(x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若f(x),g(x)滿足f'(x)=g'(x),則f(x)與g(x)

滿足()

A.f(x)=g(x).B./U)=g(x)=0

C.f(x)-g(x)為常數(shù)函數(shù)D.f(x)+g(x)為常數(shù)函數(shù)

解析：選c由(x)=H(x),得/(x)-g'(x)=o,

即[f(x)-g(x)「=0,所以f(x)-g(x)=C(。為常數(shù)).

7.(-鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-f'(-1)/+3x-4,則f(1)=.

解析：-：f'(x)=1-2r(-l)x+3,

f'(-1)=-l+2r(-1)+3,

:.f(-1)=-2,:.f(1)=1+4+3=8.

答案：8

8.(?遼寧高考)已知尸，。為拋物線V=2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P,。的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過(guò)P,。分別

作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)4則點(diǎn)力的縱坐標(biāo)為.

解析：易知拋物線了=；1上的點(diǎn)戶(4,8),0(-2,2),且/=x,則過(guò)點(diǎn)戶的切線方程為y=4x-8,

過(guò)點(diǎn)。的切線方程為y=-2x-2,聯(lián)立兩個(gè)方程解得交點(diǎn)4(1,-4),所以點(diǎn)d的縱坐標(biāo)是-4.

答案：-4

11

--s

9.(-黑龍江哈爾濱二模)已知函數(shù)F(x2)4X-<40x的圖象在點(diǎn)小劉，為)處的切線斜率

為1,貝IJtan劉二.

解析：由f(x)=1^-^sinX-乎cosX得獷(x)=|-|cosx+乎sinx,

貝IJA二廣'(照)=；一；cos照+WsinAo=1,

口#

11,gpsinfAb--j=1.

即j-sinAo--cosXQ-

JIJI2JI

所以劉-至=2"+萬(wàn)，AEZ,解得劉=20+亍，kEZ.

(2Ji

故tan照二tan12A兀+-^-小尋=一小

答案:-小

10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=x,tanx；

(2)y-(x+1)(x+2)(x+3)；

解：(l)y'=(x?tanx)'=x'tanx+x(tanx)

(sinxcos2x+sm?2x

-tanx+x?-tanx+x-----------2------

(cosX,cosx

X

-tanx+2.

COSX

⑵/=(x+1)'(x+2)(x+3)+(x+1)[(x+2)(x+3)r=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+

1)(x+3)=3/+12^+11.

2

11.已知函數(shù)f(x)=X-;,g(x)=a(2-Inx)(a〉0).若曲線y=F(x)與曲線y=g(x)在x=1處的切

線斜率相同，求a的值，并判斷兩條切線是否為同一條直線.

解：根據(jù)題意有

曲線y=『(x)在x=l處的切線斜率為(1)=3,

曲線y=g(x)在X=1處的切線斜率為g'(1)--a.

所以f(1)=g'(1),即a=-3.

曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y-AD=3(x-1),

得：y+1=3(x-1),即切線方程為3x-y-4=0.

曲線7=g(x)在x=1處的切線方程為y-g⑴=3(x-l).

得y+6=3(x-l),即切線方程為3x-y-9=0,

所以，兩條切線不是同一條直線.

12.設(shè)函數(shù)f(x)=/+aY-9^-l,當(dāng)曲線產(chǎn)f(x)斜率最小的切線與直線12x+y=6平行時(shí)，求a

的值

解：/(x)=3x2+2ax-9=3(x+j1-9號(hào)即當(dāng)x=J時(shí)，函數(shù)/(x)取得最小值-9-?因斜

率最小的切線與12x+y=6平行，

2

即該切線的斜率為-12,所以-9-7-12,

即才二9,即H=±3.

直級(jí)重點(diǎn)選做題

1.(,商丘二模)等比數(shù)列｛a｝中，51=2,58=4,f｛x)=x(x-&)(萬(wàn)一色)…(x-備)，f(x)為函數(shù)F(x)

的導(dǎo)函數(shù)，則/(0)=()

A.0B.26

C.29D.212

解析：選Df(x)-x(x-ai)(x-a)…(x-劣),

f'(X)=x'(X-31)…(X-a)+x[(X-H1)???(X-a)]'

-(X—31)???(X—劣)+x[(X-31)???(X-58)],,

f'(0)=(-ai),(-a)....(-備)+0=i/.....a&-(ai?as)4=(2X4)4=(23)4=212.

2.已知f(x)=sinx+cosx,記￡(x)=f\(x),五(x)二4(x),…，￡(x)=￡_J(x)(〃EN[〃22),

解析：分(x)=f/(x)=cosx-sinx,

公(x)=(cosx-sinx)'=-sinx-cosx,

一立(x)二-cosx+sinx,片(A)=sinx+cosx,

以此類推，可得出￡(x)=￡+式京

又,.,￡(x)+￡(x)+右(x)+/(x)=0,

方仔)++.“+￡=5°3f+八仔)+公仔)=0.

答案：0

3.已知函數(shù)f(x)=x、3x及y=F(x)上一點(diǎn)?(1,-2),過(guò)點(diǎn)戶作直線1,根據(jù)以下條件求/的方程.

(1)直線/和曠=?5)相切且以P為切點(diǎn)；

(2)直線1和y=/<x)相切且切點(diǎn)異于P.

解：⑴由fd)=x-3x得f'(x)=3/-3,過(guò)點(diǎn)?且以P(l,-2)為切點(diǎn)的直線的斜率f'(1)=0,

故所求的直線方程為y=-2.