2024年高考數(shù)學一輪復習：直線與圓的方程（含解析）理

單元檢測(九)直線與圓的方程

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的)

1.[2024?江西南昌模擬]直線仞V的斜率為2,其中點”(1,—1),點〃在直線了=丫+

1上，則點〃的坐標為()

A.(5,7)B.(4,5)

C.(2,1)D.(2,3)

2.[2024?重慶一中模擬]“a=3”是“直線ax+2y+2a=0和直線3x+(a—l)y—a+

7=0平行”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.[2024?廣西南寧、玉林、貴港等摸底]若直線y=4(x+3)與圓步+/=4相交，則

實數(shù)4的取值范圍為()

4.[2024?山東聯(lián)考]已知直線7：x-木y=0與圓C：/+(y-l)2=l相交于/兩

點，。為坐標原點，則△物的面積為()

C.小D.2^/3

5.[2024?安徽安慶五校模擬]已知圓G：(x+a)°+(y—2)2=l與圓G：(x—b)2+(y

—2尸=4相外切，a,6為正實數(shù)，則弱的最大值為()

A.2小B.1

3乖

C'2

6.[2024?吉林調(diào)研]已知48是圓/6x+2y=0內(nèi)過點￡(2,1)的最短弦，則|/引

=()

A.

C.2嫡D.275

7.［2024?河北九校聯(lián)考］圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4

=0與圓C相切，則圓C的方程為()

A.x+/—2^—3=0B.x+y+4jr=0

C.x+y—4^=0D./+y+2^r—3=0

8.［2024?河北名校聯(lián)盟一診］已知點尸為圓C：(x—1),+5—2尸=4上一點，4(0,一

6),6(4,0),貝H湯+西|的最大值為()

A.A/26+2B.標+4

C.2A/26+4D.2^26+2

9.已知圓G：(x—2)?+(y—3)2=1,圓G：(x—3產(chǎn)+(y—4尸=9,M,N分別是圓兄

圓G上的動點，尸為x軸上的動點，貝UI冏Z|+|/W|的最小值為()

A.5斕一4B.V17-1

C.6-2720.干

10.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步靠近圓，

即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越靠近圓周長.這種用極限思想解決數(shù)學問題

的方法是數(shù)學史上的一項重大成就，現(xiàn)作出圓9+/=2的一個內(nèi)接正八邊形，使該正八邊

形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為

()

A.x+—1)y—"低=0

B.(1一的x—y+/=0

C.x—(,^2+1)y+^2=0

D.(斕—l)x—y+鏡=0

11.［2024?浙東北教學聯(lián)盟模擬］已知點/(I一加，0),6(1+如0),若圓a/+/-

8x—8y+31=0上存在一點R使得為，如，則實數(shù)力的最大值是()

A.4B.5

C.6D.7

12.［2024?山東模擬］已知直線x-\-y—k=0(1〉0)與圓x+y=4交于不同的兩點A,B,

。是坐標原點，且有成?應(yīng)》一2,則4的取值范圍是()

A.(.,+8)B.［低2.)

C.［小,+8)D.［^3,272)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)

13.［2024?黑龍江伊春月考］若/(2,2),B{a,0),C(0,6)(a6#0)三點共線，貝讓+

a

14.已知點戶(鏡+1,2—木),圓C：(x—D'+Cr—21=4,則過點尸的圓C的切線

方程為.

15.已知圓C經(jīng)過坐標原點。和點4(4,2),圓心。在直線x+2y—l=0上，則圓心到

弦0A的距離為.

16.[2024?江蘇泰州模擬]在平面直角坐標系中，過圓G：2+(y+A—4)2

=1上任一點尸作圓G：/+y=l的一條切線，切點為Q,則當|闈最小時，k=.

三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)

過點〃(0,1)作直線，使它被兩條直線Z：x—3y+10=0,72：2x+y—8=0所截得的

線段恰好被〃所平分，求此直線方程.

18.(本小題滿分12分)

(1)求經(jīng)過點2(5,2),點、B?2),且圓心在直線2x—y—3=0上的圓的方程；

(2)已知圓上的點C(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對稱點仍在這個圓上，若直線x-7+l

=0與這個圓相交且被截得的弦長為2y[2,求這個圓的方程.

19.(本小題滿分12分)

[2024?江蘇興化三校聯(lián)考]已知圓G/+(y—1):=5,直線/：mx—y+2—m=0.

(1)求證：對〃GR,直線)與圓，總有兩個不同的交點4B；

⑵在(1)的條件下，若///=120。，求r的值；

(3)在⑴的條件下，當|/6|取最小值時，求直線/的方程.

20.(本小題滿分12分)

已知直線/：y=x+2被圓C：(x—3/+5—2)2=合(力0)截得的弦長等于該圓的半徑.

(1)求圓。的方程；

(2)已知直線力:尸x+〃被圓G(x—3尸+(y—2)2=f(力0)截得的弦與圓心構(gòu)成△口應(yīng),

若△。近的面積有最大值，求出直線0：y=x+〃的方程；若△碗"的面積沒有最大值，請說

明理由.

21.(本小題滿分12分)

［全國卷III］在直角坐標系xa中，曲線y=x?+〃x—2與x軸交于46兩點，點。的坐

標為(0,1).當加改變時，解答下列問題：

⑴能否出現(xiàn)/d9的狀況？說明理由.

⑵證明過4B,。三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.

22.(本小題滿分12分)

[2024?四川省遂寧市模擬]已知圓。：/+y—2,直線J：y=kx-2.

⑴若直線/與圓。相切，求A的值；

(2)若直線，與圓。交于不同的兩點4B,當//如為銳角時，求左的取值范圍；

⑶若左=；,戶是直線/上的動點，過點戶作圓。的兩條切線PC,PD,切點分別為C,D,

探究：直線辦是否過定點.

單元檢測(九)直線與圓的方程

1.答案：B

解析：依據(jù)題意，設(shè)點〃的坐標為(a,b'),由點〃在直線y=x+l上，可得6=a+l

6+1[a—4,

①，由直線腑的斜率為2,可得一7=2②，聯(lián)立①②，解得即點〃的坐標為(4,

a—1[6=5,

5).

2.答案：A

解析：由直線ax+2y+2a=0和直線3x+(a—1)y—a+7=0平行，矢口a(a-l)=2X3

且a(7—a)#3X2a,解得a=3或a=—2.所以"a=3"是"直線ax+2y+2a=0和直線

3x+(a—1)y—a+7=0平行”的充分不必要條件.

3.答案：D

解析：將直線尸A(x+3)化為一般式為Ax—y+3A=0,直線與圓f+/=4相交等價

于圓心到直線的距離小于半徑，即(*<2,，5底4,[—沖，誓].

4.答案：A

解析：由題意知直線/和圓。均過原點，以為等腰三角形，且|C0|=|Q|=1,

由直線1：x—知傾斜角//公=30°,

11A(3、耳

如=N〃a=60。，所以以物=51。。?\CA\?sinZOG4=-Xl2X-^-=-^.

5.答案：B

解析：由已知得圓G：(x+a)2+(y—2)2=1的圓心G(—a,2),半徑乃=1.圓G：

(x—b)2+(y-2)2=4的圓心G",2),半徑g=2.:圓G與圓G相外切，

Q+房29

/.|CiCz\—ri+r2,即a+6=3.由基本不等式，得J=丁當且僅當a=6時,

等號成立.

6.答案：D

解析：圓的標準方程為(x—3)'+(y+1)2=10,則圓心。的坐標為(3,—1),半徑

為四.過點￡的最短弦滿意￡恰好為弦的中點，則|CE\K(2—3)2+[1—(T)產(chǎn)=

所以2一(如,=275.

7.答案：C

解析：由題意設(shè)所求圓的方程為(x—加2+y=4(加〉0),則解得m=2

或0=—7(舍去)，故所求圓的方程為(X—2)2+/=4,即4x=0.

O

8.答案：C

解析：取血中點為2(2,-3),則成+麗=2的，|眉+而|=2|的|衍|的最大值為

圓心(7(1,2)到2(2,-3)的距離d再加半徑〃又一=，1+25=4,

."+r=m+2，二2|曲的最大值為2標+4.

9.答案：A

解析：設(shè)圓G關(guān)于x軸的對稱圓的圓心為4(2,—3),半徑為1.圓G的圓心坐標為(3,

4),半徑為3.則|掰+|朋的最小值即為圓A與圓G的圓心距減去兩個圓的半徑，即

7(3—2)旺(4+3)2-1-3=5A/2-4.

10.答案：C

解析：

如圖所示，可知/5,0),6(1,1),6,(0,小),Z?(-1,1),所以直線力6,BC,

1一Q

GZ?的方程分別為尸^―(x—也)，y=(1—^/2)x+小,y=(^2—1)x+也.整理為

一般式，即x+(,\y2—1)y—yf^=0,(1—^2)x—y+^J^=0,(>\^2—1)x—y+yf^=0,

分別對應(yīng)題中的A,B,D選項.

11.答案：C

解析：依據(jù)題意，圓C：x+y—8x—8y+31=0,即(x—4)2+(y—4)2=1,其圓心

為(4,4),半徑下=1.設(shè)/夕的中點為例又由點/(I一如0),8(1+必，0),則"(1,0),

\AB\=2\m\,以為直徑的圓為(x—1)2-\-y=m.

若圓G￡+/—8x—8p+31=0上存在一點R使得陽，如，則圓。與圓"有公共點.

又由|第=yl(1-4)2+(0-4)2=5,即有|力|—1W5且|力|+125,

解得4W㈤W6,即一6W勿W—4或4WrW6,即實數(shù)m的最大值是6.

12.答案：B

解析：依據(jù)題意，圓x+y=4的圓心為(0,0),半徑r=2,設(shè)圓心到直線x+y—k

=0的距離為d.若直線x+y—A=0(A>0)與圓x+y=4交于不同的兩點A,B,則d=~F==

=南〈2,則4〈2鏡.設(shè)應(yīng)與宓的夾角///=。，若應(yīng)?應(yīng)三一2,BP|(24|X\0B\Xcos

[2JI2兀2兀k

—2,變形可得cosJ2一],貝！J0<夕4飛一，當。=飛一時，d=l,若夕W飛一，貝!J

解得4》隹，則4的取值范圍為[鏡，2鏡).

13.答案：|

XV

解析：因為"a,°)"(。,b)O,所以直線相的方程為1+%=1,過小2,2),

92111

所以-+]=1,即-+]=5

ababL

14.答案：x—p+1—24=0

解析：由題意得圓C的圓心C(1,2),半徑r=2.因為(^^+1—1)2+(2—y[2—2)

2=4,所以點尸在圓。上.又短=]行=—1,所以切線的斜率A=—*=1,于是過

點戶的圓。的切線的方程是y—(2—4)=ix[x—(72+1)],即X—y+1—2/=0.

15.答案：鄧

解析：由題意知線段的的中點為(2,1),服=；,所以線段處的垂直平分線所在直線

[2x~\~y—5=0,

的方程為y—1=—2(x—2),即2>+y—5=0,圓心。在此直線上.由｛解得

[x+2y—1=0,

fx=3，|3+2|

所以圓心。所以圓心到弦的：了一的距離小=乖r.

j__1(3,-1),C2-0d=

16.答案：2

解析：

由題意得，圓G與圓G外離，如圖.因為尸。為切線，所以AHG0,由勾股定理，得

囹=4%「―1,要使|圖最小，則需|尸G|最小.

明顯當點尸為GG與圓a的交點時，|2G|最小，

此時，|—|=|GC|T,所以當|GC|最小時，|尸G|就最小,

CiCi=yjk~(—^+4)2=y]2(A—2)"+8is2^2,

當A=2時，［GG|取最小值,即|尸0|最小.

17.解析：過點〃且與x軸垂直的直線是x=0,它和直線心的交點分別是10,y

(0,8),明顯不符合題意，故可設(shè)所求直線方程為y=Ax+l,又設(shè)該直線與直線小七分

YA=kxA~\~1,YB=kxB~\~1，

別交于46兩點，則有①②，

為-3%+10=0,2旗+外一8=0.

7

由①解得片

7

=

由②解得XB/IO-

攵十2

因為點〃平分線段28

所以XB~2A#,

771

即赤i+r=°'解得"=—1

故所求的直線方程為y=-1^+L

即x+4p—4=0.

18.解析：(1)設(shè)圓的方程為

*.*圓心卜日，一§在直線2x—p—3=0上，

：.-D+-~3=0①.

又點/(5,2),點8(3,2)在圓上，

???25+4+5〃+2￡+尸=0②，

9+4+3〃+2￡+分=0③.

由①②③得，〃=—8,￡=—10,/=31,止匕時4+后一4Q0,

二.圓的方程為殳+y—8x—10y+31=0.

(2)設(shè)圓的方程為(x—a)2+(y—6)2=r.

由題意知圓心(a,b)在直線x+2y=0上，

???a+26=0④.

??,點C(2,3)在圓上，???(2—a)2+(3—力2=r⑤.

又直線x—y+1=0被圓截得的弦長為人但，圓心(a,b)到直線x—y+l=0的距離d

|己一6+11

|己一6+11

V2

由④⑤⑥得，a=6,b——3,d=52或a=14,b——7,r—244,

.,.所求圓的方程為(x—6)°+(y+3)2=52或(x—14)2+(y+7)~=244.

19.解析：(1)證明：直線J：y+2—m=0可化為r(x—1)—y+2—O,

可知恒過點，(1,2).

將2(1,2)代入圓的方程可得V+(y-1)2=T+(2-1)2=2<5,

即D(1,2)在圓C,/+(y-1)=5的內(nèi)部，

故對mGR,直線，與圓C總有兩個不同的交點4B.

(2)因為//四=120°,圓。的半徑長為小，

所以圓心C(0,1)到I直線勿x—y+2—0=O的距離為坐，

故一百加=卓解得加=—4土機.

71n十1乙

(3)由(1)可得當弦段到最短時，直線，的斜率為一1,即〃=—1,

故此時直線，的方程為一x—y+3=0,即x+y—3=0.

20.解析：(1)設(shè)直線，與圓C交于48兩點.

.直線1：y=x+2被圓C：(x—3)2+(y—2)2=r(r>0)截得的弦長等于該圓的半

徑，

△西為邊長為r的正三角形，

.??△。6的高為今？，

圓心，到直線1的距離為乎r.

?..直線)的方程為x—y+2=0,圓心。的坐標為(3,2),

圓心。到直線1的距離d=??=乎=吟，:「乖,

???圓。的方程為(x—3)2+(y—2)2=6.

(2)

設(shè)圓心。到直線山的距離為力(力>0),〃為龍的中點，連接紐

在△建中，DE\=2、|叫「一|紡「=2=6一片

.??△竊片的面積為叢瞰=，龐|?\CH\=y276T-h=h?.6—4.

...一建=?>（6一療）J+：T=3,

當且僅當斤=6一萬，即/?=/時等號成立，的面積取得最大值.

?"方1普?—=低

.*.|n+11=/，/.n=土十一1.

故存在n=土#—1,使得△。應(yīng)的面積最大,最大值為3,此時直線力的方程為尸x土乖

-1.

21.解析：（1）不能出現(xiàn)力入理的狀況，理由如下：

設(shè)Z（xi,0）,8（期0）,則荀，至滿意/+腔一2=0,所以荀￡2=—2,

—1—11

又。的坐標為（0,1）,故出7的斜率與8c的斜率之積為--------=--^-1,所以不

x\Xi2

能出現(xiàn)笈的狀況.

（2）證明：8c的中點坐標為甘，

可得8c的垂直平分線方程為了一；=x（x—f}

由⑴可得到+%一處所以熊的垂直平分線方程為戶一宗