2024年中考數(shù)學復習：概率初步培優(yōu)講義

概率初步培優(yōu)講義

逐考點直擊

1.確定事件和隨機事件：

(1)確定事件：事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和

不可能事件都是確定的.

⑵隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件.

(3)事件分為確定事件和不確定事件(隨機事件)，確定事件又分為必然事件和不可能事件.

2.隨機事件發(fā)生的可能性(概率)的計算方法：

⑴可能性大?。?/p>

①必然事件發(fā)生的概率為1,即P(必然事件)=1；

②不可能事件發(fā)生的概率為0,即P(不可能事件)=0；

③如果A為不確定事件(隨機事件)，那么0<P(A)<l.

理論計算分為如下兩種情況：

第一種：只涉及一步實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關系，對一類概率模型進行的計算.第二種：通

過列表法、列舉法、樹狀圖來計算涉及兩步或兩步以上實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：對游戲是否公平的計算.

實驗估算分為如下兩種情況：

第一種：利用實驗的方法進行概率估算.要知道當實驗次數(shù)非常大時，實驗頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計值，即大量實驗頻

率穩(wěn)定于理論概率.

第二種：利用模擬實驗的方法進行概率估算.如，利用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬實驗.

(2)概率的意義：一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫作事件A

的概率，記為P(A)=p.

⑶概率的公式：隨機事件A的概率P(A尸事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)一所有可能出現(xiàn)的結果數(shù).

(4)幾何概型的概率問題：設在空間上有一區(qū)域G,又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)，而區(qū)域G與g都是可以度量的(可求面積)，現(xiàn)隨

機地向G內(nèi)投擲一點M，假設點M必落在G中，且點M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量(長度、面積、體積等)

成正比，而與g的位置和形狀無關.具有這種性質(zhì)的隨機試驗(擲點),稱為幾何概型.關于幾何概型的隨機事件“向區(qū)域G中任意投擲一

個點M,點M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即P=g的測度/G的測度.簡單來說：求概率時，

已知和未知與幾何有關的就是幾何概率.計算方法是長度比、面積比、體積比等.

3.列舉法和樹狀法：

(1)當試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結果，再求出概率.

⑵列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結果求出n,再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m,求出概率.

(3)列舉法(樹形圖法)求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不

漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖.

(4)樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，像樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數(shù)就是總的可能的

結果數(shù)n.

⑸當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.

4.游戲公平性：

⑴判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平.

⑵概率=所求情況數(shù)一總情況數(shù).

5.利用頻率估計概率：

⑴大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用

頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

⑵用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確.

(3)當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數(shù)很多，或各種可能結果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率.

6.模擬實驗：

(I)在一些有關抽取實物實驗中通常用摸取卡片代替了實際的物品或人抽取，這樣的實驗稱為模擬實驗.

⑵模擬實驗是用卡片、小球編號等形式代替實物進行實驗，或用計算機編號等進行實驗，目的在于省時、省力，但能達到同樣

的效果.

⑶模擬實驗只能用更簡便方法完成，驗證實驗目的，但不能改變實驗目的，往往只要設計出一個模擬實驗即可.

例題精講

例1世界杯決賽分成8個小組，每小組4個隊，小組進行單循環(huán)(每個隊都與該小組的其他隊比賽一場)比賽，選出2個隊進入16

強，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.

(1)求每小組共比賽多少場？

(2)在小組比賽中，現(xiàn)有一隊得到6分，該隊出線是一個確定事件，還是不確定事件？

舉一反三1下列事件為確定事件的是()

A.一個不透明的口袋中裝有除顏色以外完全相同的3個紅球和1個白球，均勻混合后，從中任意摸出1個球是紅球

B.長度分別是4,6,9的三條線段能圍成一個三角形

C.本鋼籃球隊運動員韓德君投籃一次命中

D.擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時正面朝上

舉一反三2下列事件中是不可能事件的是()

A.守株待兔B.甕中捉鱉C.水中撈月D.百步穿楊

例2口袋中有三個顏色的球共m個，其中白球(x+3)個，紅球2x個，其他都是黑球，這些球除顏色和數(shù)字外完全相同.

⑴若m=24,摸到黑球的概率不少于玄則口袋中的紅球最多有幾個？

⑵若山=患，當摸到白球的概率最大時，袋中有幾個黑球？

舉一反三3從甲地到乙地有A,B,C三條不同的公交線路.為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時情

況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下：

頻數(shù)

公交車用時/分鐘

A線路B線路c線路

30<t<35595045

35<t<4015150265

40<t<45166122167

45<t<5012427823

早高峰期間，乘坐—（填“A”“B哦“C”）線路的公交車，從甲地到乙地“用時不超過45分鐘”的可能性最大.

例3圖1是一枚質(zhì)地均勻的正四面體形狀的骰子，每個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,圖2是一個正六邊形棋盤.現(xiàn)通過擲骰子

的方式玩跳棋游戲，規(guī)則如下：將這枚骰子擲出后，看骰子向上三個面（除底面外）的數(shù)字之和是幾，就從圖2中的A點開始沿著順時

針方向連續(xù)跳動幾個頂點，第二次從第一次的終點處開始，按第一次的方法跳動.

⑴隨機擲一次骰子，則棋子跳動到點C處的概率是一.

⑵隨機擲兩次骰子，用畫樹狀圖或列表的方法，求棋子最終跳動到點C處的概率.

舉一反三4密碼鎖有三個轉輪，每個轉輪上有十個數(shù)字：0,1,2,…，9.小黃同學是9月份中旬出生，用生日月份+日期”設置

密碼：99XX.

小張同學要破解其密碼：

（1）第一個轉輪設置的數(shù)字是9,第二個轉輪設置的數(shù)字可能是一；

⑵請你幫小張同學列舉出所有可能的密碼，并求密碼數(shù)能被3整除的概率；

⑶小張同學是6月份出生，根據(jù)（1）⑵的規(guī)律，請你推算用小張生日設置的密碼的所有可能個數(shù).

例4某綜藝節(jié)目中,有一個精彩刺激的游戲——幸運大轉盤，其規(guī)則如下：

①游戲工具是一個可繞軸心自由轉動的圓形轉盤，轉盤按圓心角均勻劃分為20等份，并在其邊緣標記5,10,15,…,100,共20個5的

整數(shù)倍數(shù),游戲時，選手可旋轉轉盤，待轉盤停止時，指針所指的數(shù)即為本次游戲的得分；

②每個選手在旋轉一次轉盤后可視得分情況選擇是否再旋轉轉盤一次，若只旋轉一次，則以該次得分為本輪游戲的得分，若旋

轉兩次則以兩次得分之和為本輪游戲的得分；

③若某選手游戲得分超過100分，則稱為“爆掉”，該選手本輪游戲裁定為“輸”，在得分不超過100分的情況下，分數(shù)高者裁定為

月肌，

④遇到相同得分的情況，相同得分的選手重新游戲，直到分出輸贏.

現(xiàn)有甲、乙兩位選手進行游戲，請解答以下問題：

⑴甲已旋轉轉盤一次，得分65分，他選擇再旋轉一次，求他本輪游戲不被“爆掉”的概率.

⑵若甲一輪游戲最終得分為90分，乙第一次旋轉轉盤得分為85分，則乙還有可能贏嗎?贏的概率是多少？

(3)若甲、乙兩人交替進行游戲，現(xiàn)各旋轉一次后甲得85分，乙得65分，你認為甲是否應選擇旋轉第二次?說明你的理由.

基礎夯實

1.兩個不透明的口袋中各有三個相同的小球，將每個口袋中的小球分別標號為1,2,3.從這兩個口袋中分別摸出一個小球，則下

列事件為隨機事件的是（）

A.兩個小球的標號之和等于1

B.兩個小球的標號之和等于6

C.兩個小球的標號之和大于1

D.兩個小球的標號之和大于6

2.如圖1所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個

長為5m,寬為4m的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的

次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計試驗結果），他將若干次有效試驗的結果繪制成了如圖2所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)

則圖案的面積大約為（）

小球落在不規(guī)則圖案內(nèi)的頻率

C.8m2D.9m2

3.如圖.隨機閉合開關Ki&,K3中的兩個，則能讓兩盞燈泡U,L2同時發(fā)光的概率為（）

4.小明向如圖所示的正方形ABCD區(qū)域內(nèi)投擲飛鏢，點E是以AB為直徑的半圓與對角線AC的交點.如果小明投擲飛鏢一次,則

飛鏢落在陰影部分的概率為（）

5.在一個不透明的袋子里裝有四個小球，球上分別標有6,7,8,9四個數(shù)字，這些小球除數(shù)字外都相同.甲、乙兩人玩“猜數(shù)字”

游戲，甲先從袋中任意摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為m,再由乙猜這個小球上的數(shù)字，記為n.如果m,n滿足|m-n區(qū)1,那么就

稱甲、乙兩人“心領神會”，則兩人“心領神會”的概率是（）

6.從3,0,一1,一2,一3這五個數(shù)中，隨機抽取一個數(shù)，作為函數(shù)y=(5—m2)x和關于x的方程(m+l)x2+mx+1=0中m的值，恰

好使所得函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，且方程有實數(shù)根的概率為一.

7.小亮參加中華詩詞大賽，還剩最后兩題，如果都答對，就可順利通關.其中第一道單選題有4個選項，第二道單選題有3個選

項.小亮這兩道題都不會，不過還有一個“求助”沒有使用(使用求助可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項).

⑴如果小亮第一題使用“求助”，那么他答對第一道題的概率是多少？

⑵他的親友團建議：最后一題使用“求助”，從提高通關的可能性的角度看，你同意親友團的觀點嗎?試說明理由.

8.在平面直角坐標系中給定以下五個點A(-2,0),B(l,0),C(4,()XD(-2,]),E(。,—6),從這五個點中選取二點，使經(jīng)過二點的拋物線;兩

足以y軸的平行線為對稱軸.我們約定經(jīng)過A,B,E三點的拋物線表示為拋物線ABE.

(1)符合條件的拋物線共有多少條?不求解析式，請用約定的方法一一表示出來.

(2)在五個形狀、顏色、質(zhì)量完全相同的乒乓球上標上A,B,C,D,E代表以上五個點，玩摸球游戲，每次摸三個球.請問：摸一次，

三球代表的點恰好能確定一條符合條件的拋物線的概率是多少？

(3)小強、小亮用上面的五球玩游戲，若符合要求的拋物線開口向上，小強可以得1分；若拋物線開口向下，小亮得5分.你認為

這個游戲誰獲勝的可能性大一些?說說你的理由.

^5"能力拓展

9.五羊象棋隊有10名隊員，比賽服上的號碼是1號，2號，…，10號，現(xiàn)要選出一名隊長和兩名副隊長，并使得隊長的號碼恰好

等于兩名副隊長的號碼的平均數(shù)，則有（）種不同的選取方法.

A.20B.19C.18D.16

10.衣柜里有4種不同花色的手套，每種都剛好有3雙.隨意從衣柜里取手套，則至少要取只才能保證取到2只左右配對的同

色手套.

11.我國魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)“割圓術”計算圓周率.隨著時代發(fā)展，現(xiàn)在人們依據(jù)頻率估計概率這一原理，常用隨機模擬的方

法對圓周率兀進行估計.用計算機隨機產(chǎn)生m個有序數(shù)對（x,y）（x,y是實數(shù)，且OSxSlQSyWl）,它們對應的點在平面直角坐標系中全部在

某一個正方形的邊界及其內(nèi)部.如果統(tǒng)計出這些點中到原點的距離小于或等于1的點有n個，則據(jù)此可估計"的值為—（用含m,n的

式子表本）.