江蘇省鹽城市2024屆高三5月考前指導《數(shù)學》試題（解析版）

第第頁鹽城市2024屆高三年級考前指導卷數(shù)學試題（總分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則“”是“”的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的基本關(guān)系以及充分必要條件的判斷即可得解.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以是的充要條件,故選：C.2.函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】在同一坐標系中，作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點個數(shù).【詳解】函數(shù)與都是偶函數(shù)，其中，，在同一坐標系中，作出函數(shù)與的圖象，如下圖，由圖可知，兩函數(shù)的交點個數(shù)為6.故選：D3.根據(jù)分類變量Ⅰ與Ⅱ的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，計算得到，則（）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.變量Ⅰ與Ⅱ相關(guān)B.變量Ⅰ與Ⅱ相關(guān)，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.1C.變量Ⅰ與Ⅱ不相關(guān)D.變量Ⅰ與Ⅱ不相關(guān)，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)獨立性檢驗的原理，將與臨界值表比較，即可得結(jié)論.【詳解】零假設(shè)為：變量Ⅰ與Ⅱ不相關(guān)，因為，依據(jù)得獨立性檢驗可知，推斷不成立，即認為變量Ⅰ與Ⅱ相關(guān)，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.1，故選：B4.中，若，則（）A.54 B.27 C.9 D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求出，再利用數(shù)量積的運算律求解即得.【詳解】在中，若，由正弦定理得，所以.故選：A5.的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析知，將所求式子化為，結(jié)合基本不等式可得結(jié)果.【詳解】若取得最小值，則，（當且僅當，即時取等號），的最小值為.故選：C.6.若數(shù)列滿足，的前項和為，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知等式可得，進而化簡整理得到，由此可得；利用等比數(shù)列求和公式可求得，驗證即可求得結(jié)果.【詳解】當時，，，，；當時，，解得：，不滿足，；當時，，又滿足，.

故選：D.7.棱長為2的正方體中，設(shè)點為底面內(nèi)（含邊界）的動點，則點到平面距離之和的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)，求出平面的一個法向量，然后利用距離的向量公式并換元化簡得，最后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】在正方體中，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，如圖所示：則，設(shè)，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則．于是，則點到平面距離之和為，設(shè)，則，，因為，所以，所以，函數(shù)開口向上，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，所以當時，取到最小值為.故選：B8.已知函數(shù)，若，則的取值（）A.一定為正 B.一定為負 C.一定為零 D.正、負、零都可能【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，應(yīng)用特殊值法說明即可.【詳解】例如，則，符合題意，此時；例如，則，符合題意，此時；例如，則，符合題意，此時；綜上所述：取值正、負、零都可能.故選：D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知，為方程的兩根，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知可得方程的根為，，根據(jù)共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的運算逐項判斷即可.【詳解】方程的兩根分別為和，且，，所以不妨設(shè)，，，所以，故錯誤；，故正確；，故正確；，，所以，故錯誤.故選：.10.如圖，一個正八面體的八個面分別標以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間，設(shè)事件為奇數(shù)，事件，事件，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】對于AD：根據(jù)概率的性質(zhì)結(jié)合古典概型分析求解；對于BC：根據(jù)概率性質(zhì)結(jié)合條件概率分析求解.【詳解】由題意可知：，可得.對于選項A：因為，則，所以，故A正確；對于選項B：因為，則，可得，所以，故B正確；對于選項C：因為，所以，故C正確；對于選項D：因為，所以，故D錯誤；故選：ABC.11.如圖1，在中，是的中位線，沿將進行翻折，連接得到四棱錐（如圖2），點為的中點，在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）A.直線與平面所成角為定值B.直線與平面所成角為定值C.平面與平面所成角可能為D.平面與平面所成角可能為【答案】ABD【解析】【分析】選項A：利用翻折過程中結(jié)合直線與平面平行進行判斷；選項B:利用線面垂直判斷出直線與平面所成角為定值；選項C和D：對于不完整的平面使用面積投影法轉(zhuǎn)化成對應(yīng)線段的比，結(jié)合平面圖形進行判斷.【詳解】A選項：取中點設(shè)為，連結(jié)因為為中點，則為的中位線，則，又是的中位線，則則四邊形為平行四邊形，則又面，面則面則直線與平面所成角為定值，故A選項對.B選項：在圖2中平面，所以平面，由A選項知，，故平面，又則又面面則又面則面又則面故直線與平面所成角為定值，故B選項對，C選項：由二面角的定義可知為平面與平面所成角的平面角，假設(shè)與矛盾，平面與平面所成角不可能為故C選項錯誤.D選項：由設(shè)平面與平面所成角為，由面積投影法知；若平面與平面所成角可能為則，即因為所以符合題意，所以平面與平面所成角可能為故選項D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.甲、乙、丙、丁四位同學坐在一排個座位上，由于某種原因，甲旁邊要留一個空座位，則共有______種坐法．【答案】【解析】【分析】先將四名同學任意排序，再插入空座位即可.【詳解】將四名同學任意排序，有種排法；將空座位插入到甲左右兩邊的位置，有種方法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知：不同的坐法有種.故答案為：.13.已知是球上的三個動點，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為______．【答案】【解析】【分析】利用體積橋，可確定取得最大值時平面且，由此可構(gòu)造方程求得球半徑，代入球的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，（當時取等號），又，當平面時，，，球的體積.故答案為：.14.已知雙曲線的左頂點是，右焦點是，點是雙曲線右支上異于頂點的動點，的平分線與直線交于點，過作軸，垂足是，若恒成立，則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】【分析】過點作，根據(jù)題意，得到，設(shè)，由為的角平分線，求得，化簡得到，結(jié)合任意的都成立，列出方程組，求得，即可求解.【詳解】如圖所示，過點作交于點，可得，因為，所以，設(shè)，則，由為的角平分線，可得，所以，由，可得，所以，整理得，若對于任意的都成立，則必有，解得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，已知角，，所對的邊分別為，，，．（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，結(jié)合余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，可將式子變形為，再利用余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再結(jié)合三角恒等變換可得，根據(jù)銳角三角形可得的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】在中，，因為，所以，化簡得，由余弦定理得，又，所以；【小問2詳解】由正弦定理知，由為銳角三角形可知，而，所以得，所以，所以，即，則的取值范圍為.16.某學校有、兩個餐廳，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，學生在第一天就餐時會隨機地選擇一個餐廳用餐．此后，如果某同學某天去餐廳，那么該同學下一天還去餐廳的概率為；如果某同學某天去餐廳，那么該同學下一天去餐廳的概率為．（1）記甲、乙、丙3位同學中第2天選擇餐廳的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望；（2）甲同學第幾天去餐廳就餐的可能性最大？并說明理由．【答案】（1）分布列見解析，（2）甲同學第2天去餐廳就餐的可能性最大，理由見解析【解析】【分析】（1）首先求出任意一位同學第天選擇去餐廳就餐的概率，依題意可得，根據(jù)二項分布的概率公式求出分布列，從而求出數(shù)學期望；（2）設(shè)甲同學第天去餐廳的概率為，則，，即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，求出的通項，再求出的最大值即可.【小問1詳解】設(shè)一位同學第天選擇去餐廳就餐的概率為，則．則，所以，，，，故分布列如下表所示．0123則的期望為.【小問2詳解】設(shè)甲同學第天去餐廳的概率為，則，當時，，，又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，當是奇數(shù)時，；當是偶數(shù)時，，則．所以甲同學第2天去餐廳就餐的可能性最大．17.已知函數(shù)，其中．（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）當時，若且，比較與的大小，并說明理由【答案】（1）（2），理由見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，利用函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，建立不等式求解即可；（2）由，得，要證明，只需證明，兩邊同時取對數(shù)整理得，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)證明即可.【小問1詳解】，在上單調(diào)遞增，在上恒成立且滿足的點不連續(xù)．當時，．由在上單調(diào)遞減可知，當時，，，綜上，的取值范圍為【小問2詳解】當時，，且，下面證明，即證明，等價于證明：，設(shè)，所證即為：，等價于證明：，設(shè)函數(shù)．在上單調(diào)遞增，而，，所證不等式成立．18.已知拋物線，動直線與拋物線交于，兩點，分別過點、點作拋物線的切線和，直線與軸交于點，直線與軸交于點,和相交于點．當點為時，的外接圓的面積是．（1）求拋物線的方程；（2）若直線的方程是，點是拋物線上在，兩點之間的動點（異于點，），求的取值范圍；（3）設(shè)為拋物線的焦點，證明：若恒成立，則直線過定點【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)外接圓的半徑為，，由已知可得，在中可得，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)直線與曲線只有一個交點即可求解；（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得，坐標，設(shè)，，可得，設(shè)，通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可求解；（3）設(shè)，由導數(shù)的幾何意義可得，的方程，聯(lián)立可得的坐標，由得，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，即可求解.【小問1詳解】當點為時，設(shè)外接圓的半徑為，，則，，中有，，，則，，即，，設(shè)直線，與聯(lián)立得，令，又，得，所以拋物線方程為；【小問2詳解】聯(lián)立，整理得，解得或，不妨設(shè)，，設(shè)，，則，，所以，又，，，設(shè)，，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，而，故的取值范圍是；【小問3詳解】由得，設(shè)，，直線，，即，令，得，同理，，所以，直線與直線兩方程聯(lián)立解得，得，又，由得，得，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，則，所以，則直線過定點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵利用導數(shù)得到切線方程，從而求出，再計算出，再設(shè)直線方程，將其與拋物線聯(lián)立，得到，從而解出值，得到定點坐標.19.在數(shù)列的第項與第項之間插入個1，稱為變換．數(shù)列通過變換所得數(shù)列記為，數(shù)列通過變換所得數(shù)列記為，以此類推，數(shù)列通過變換所得數(shù)列記為（其中）．（1）已知等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)為，其前項和為，若，求數(shù)列的項數(shù)；（2）若數(shù)列的項數(shù)為3，的項數(shù)記為．①當時，試用表示；②求證：．【答案】（1）36（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，利用等比數(shù)列通項公式與前項和公式求出，由變換的定義求數(shù)列的項數(shù)；（2）由變換的定義，得與的遞推關(guān)系，利用放縮結(jié)合對數(shù)的運算證明不等式.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，顯然，由，得，解得.故數(shù)列有8項，經(jīng)過1次變換后的項數(shù)為，即的項數(shù)為36.【小問2