2021屆高考數(shù)學文化習題集(解析版)

2021年數(shù)學文化專項習題集 2 8三、數(shù)學文化與數(shù)列 一、數(shù)學文化與閱讀例1.在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中，用如圖1所示的三角茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是例2.在數(shù)學中，泰勒級數(shù)用無限項連加式級數(shù)來表示一個函數(shù)，包括正弦，余弦，正切三角函數(shù)等等，其中泰勒級數(shù)是以于1715年發(fā)表了泰勒公式的英國數(shù)學家布魯克·泰勒 (SirBrookTaylor)的名字來命名的.1715年，泰勒提出了一個常用的方法來構(gòu)建這一系列級數(shù)并適用于所有函數(shù)，這就是后來被人們所熟知的泰勒級數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公A.1.601B.1.642C.1.648D.1.647【解析】由題意，只需要精確到0.001即可，令x=0.5,n=4,代入可得，1上公布的一個猜想：任給一個正整數(shù)n,如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n是奇數(shù)，就將它乘3加1,不斷重復這樣的運算，經(jīng)過有限步后，最終都能夠得到1.已知正整數(shù)n經(jīng)過7次運算后首次得到1,則n的所有不同取值的集合為經(jīng)過7次運算后首次得到1,即可設(shè)第7次的運算結(jié)果為a?=1,若第6次為奇數(shù)，則3a?+1=1,解得a?=0,不符合；若第4次為偶數(shù)，貝不符合；若第3次為偶數(shù)，貝++++若第1次為奇數(shù)，則若第1次為偶數(shù)，則■·,解得■·①3n+1=10,解得n=3;②3n+1=64,解得n=21;,解得n=20;n,如果它是偶數(shù)，則除以2;如果它是奇數(shù)，則將它乘以3加1,這樣反復運算，最后結(jié)果必然是1.這個題目在東方被稱為“角谷猜想”,世界一流的大數(shù)學家都被其卷入其中，用盡了各種方法，甚至動用了最先進的電子計算機，驗算到對700億以內(nèi)的自然數(shù)上述結(jié)論均為正確的，但卻給不出一般性的證明.例如取n=13,則要想算出結(jié)果1,共需要經(jīng)過的運算步數(shù)是()A.9B.10C.11D.12【解析】由題意：任取一個正整數(shù)n,如果它是偶數(shù)，則除以2;如果它是奇數(shù)，則將它乘以3加1.第一步：n=13為奇數(shù)，則n=13×3+1=40:第二步：n=40為偶數(shù)，則第三步：n=20為偶數(shù)，則第四步：n=10為偶數(shù)，則第五步：n=5為奇數(shù)，則n=5×3+1=16;第六步：n=16為偶數(shù)，則第七步：n=8為偶數(shù)，則第八步：n=4為偶數(shù)，則所以共需要經(jīng)過的運算步數(shù)是9.例5.中國古代用算籌來進行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式(如圖所示),表示一要縱橫相間，其中個位、百位、方位....用縱式表示，十位、千位、十萬位...用橫式表示，則56846可用算籌表示為()縱式橫式中國古代的算籌數(shù)碼:56846用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6,從題目中所給出的信息找出對應(yīng)算籌表B.意即“設(shè)x為某某”如圖2所示的天元式表示方程,其中一==πⅢan-1或試根據(jù)上述數(shù)學史料，判斷圖3天元式表示的方程是()A.x2+286x+1743=0B.x?+27x2+84x+163=0C.1743x2+286x+1=0D.163x?+84x3+27x+1=0【解析】由題意可得，題圖3中從上至下三個數(shù)字分別為1,286,1743,由“元”向上每層例7.分形幾何是美籍法國數(shù)學家芒德勃羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門數(shù)學新分支，其中邊的中點為頂點的三角形),然后在剩下的每個小正三角形中又挖去一個“中心三角形”按上述方法無限連續(xù)地作下去直到無窮，最終所得的極限圖形稱為“謝爾賓斯基”圖形(如圖所示),按上述操作7次后，“謝爾賓斯基”圖形中的小正三角形的個數(shù)為()A.35B.3C.37D.38【解析】如圖，根據(jù)題意第1次操作后，圖形中有3個小正三角。頁7第2次操作后，圖形中有3×3=32個小正三角.第3次操作后，圖形中有9×3=33個小正三角.所以第7次操作后，圖形中有37個小正三角.34乙酉、丙戌.癸巳，..,共得到60個組合，稱六十甲子，周而復始，無窮無盡.2019年是“干支紀年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀年法”中的【解析】根據(jù)規(guī)則，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故選：卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0艮王1坎比2巽3,其表示的十進制數(shù)是()A.33B.34C.36D.35【解析】選B由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號“”表示的二進制數(shù)為100010,轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)為0×20+1×21+0×22+0×23+0×2?+1×2?=34.故選B.例10.中國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”如圖，一位古人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿五進一，用來記錄捕魚條數(shù)，由圖可知，這位古人共捕魚()A.89條B.113條C.324【解析】該圖的五進制數(shù)為324,根據(jù)進位制的定義將五進制轉(zhuǎn)換成十進制計算可得：3245=4×5+2×51+3×52=89,故選A二、數(shù)學文化與函數(shù)例11.中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的“對稱美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.定義：圖象能夠?qū)ⅱ芎瘮?shù)y=f(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y形.其中正確的命題為()A.①③B.①③④C.②③D.①④【解析】選A過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分，故對于任意一個圓O,2-4-3-2-1oi235xy2-3-2-10巴谷)在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學m-m?=2.5(1gE?-1gE?).較小時，10≈1+2.3x+2.7x2)A,1.24B.1.25C.1.26D.1.27,解得 頁10中因為中故答案為：8由九個圓環(huán)及框架組成，每個圓環(huán)都連有一個直桿，各直桿在后一個圓環(huán)內(nèi)穿過，九個直桿的另一端用平板或者圓環(huán)相對固定，圓環(huán)在框架上可以解下或者套上.九連環(huán)游戲按某種規(guī)則將九個環(huán)全部從框架上解下或者全部套上.將第n個圓環(huán)解下最少需要移動的次數(shù)f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+1,則解下第5個圓環(huán)最少需要移動的次數(shù)為()A.7B.16C.19D.21f(4)=f(3)+2f(2)+1=4+2+1=7,f(5)=f(4)+2f(3)+1=7+8+1=16,例15.秦九韶算法是中國南宋時期的數(shù)學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法.秦九韶算法是一種將一元n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化為n個一次式的算法.其大大簡化了計算過程，即使在現(xiàn)代，利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法.用秦九韶A,3,5.6426B,4,5.6426C.3,5.6416D.4,5.6416v?=2.6,v?=4.56,v?=2.736,v?=5.6416,所以函數(shù)的值為5.6416,故選C三、數(shù)學文化與數(shù)列長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等?”意思是：“今有蒲草第1天長高3尺，莞草第1天長高1尺.以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍。問第幾天蒲草和莞草的高度相同?”根據(jù)上述的已知條件，可求得第0.4771,Ig2≈0.3010).和為An;莞草的長度組成首項為b?=1,公比為2的等比數(shù)列{bn],設(shè)其前n項和為Bn.則An EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up56(—),1) 令3 EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up56(—),1)即第3天時蒲草和莞草長度相等.a,(n∈N*),等級等級圖標需要天數(shù)等級等級圖標需要天數(shù)1☆57☆283445☆頁126aso=50×54=2700.例18.我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二.問物幾何?”這里的幾何指多少的意思.翻譯成數(shù)學語言就是：求正整數(shù)N,使N除以3余2,除以5余2.根據(jù)這一數(shù)學思想，今有由小到大排列的所有正整數(shù)數(shù)列{a.}、{b.},{a}滿足被3除余2,a?=2,{b.}滿足被5除余2,A.C?=a?+bB.c?=a?b?C.Cw=aD.a?+2b?=C?cn=2+15(n-1)=15n-13,例19.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了()A.96里B【解析】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程例20.《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸【解析】由題知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)為{a},S是其前n項和，則所以a?=10.5,所以公差d=a?-a?=-1,正三角形的數(shù)，如1,3,6,10,15,...我國宋元時期數(shù)學家朱世杰在(四元玉鑒》中所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球，.).若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛總共球的個數(shù)為()三角錐垛A.55B.220C.285D.385規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張的幅寬(以x表示)和長度(以y表示)的比例關(guān)系為,解得d=-1,尺.故答案為：15.5尺.堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何?A.84B.159C.234D.243理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高C.m+504D.2m+504又兩式相加可得則人所得與下三人等。問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、頁16乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位).這個問題中，甲所得為【解析】【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為則a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,解得a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5.卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”,原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù) 之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列各項之和為()A.56383B.57171C.59189D.61242【解析】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,公差為5×7=35的等差數(shù)列，,解得=故該數(shù)列各項之和為故選：C.例28.《張邱建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學名著.書中有如下問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里。問日行幾何?”其意思是：“現(xiàn)有一匹馬，行走的速度逐漸變慢，每天走的里程是前一天的一半，連續(xù)行走7天，共走700里路，問每天走的里數(shù)為多少?”則該馬第4天走的里數(shù)為()又解得從而故選C.例29.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了微信公眾號：數(shù)學研討首發(fā)整理牛的一半，羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧時粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈.問半月積幾何?”其意思為“有個女子織布，每天比前一天多織相同量的布，第一天織五尺，一個月(按30天計)共織布9匹3丈.問：前半個月(按15天計)共織多少布?”已知1匹=4丈，1丈=10尺，可估算出前半個月一共織的布約有()A.195尺B.133尺C.130尺故選：B (注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布，現(xiàn)一月(按30天計)共織390尺布”,則第30天織布()A.7尺B.1例32.朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下一段話：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.”該段話中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為()A.9B.16C.18D.20公差d=7的等差數(shù)列.設(shè)1864人全部派遣到位需要n天，則7n2+121n-3728=0,解得n=16或舍去).故選B例33.我國古代的天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷(gui)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度).二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復始.若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸),則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是()33030立夏大暑處暑冬至27大雪A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸【解析】選B設(shè)從夏至到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列{an},公差為d,a?=15,a?3=135,則15+12d=135,解得d=10.所以a?=15+10=25,所以小暑的晷長是25寸.故選B.人們稱之為神奇數(shù).具體數(shù)列為1,1,2,3,5,8,即從該數(shù)列的第三項數(shù)字開始，每頁19例35.“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀意大利數(shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn)的.數(shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱為神奇數(shù).具體數(shù)列為：1,1,2,3,5,8,13,.,即從該數(shù)列的第三項開始，每個數(shù)字A.2mC.m+1D.m—1【解析】;因為an+2=an+an+1=an+an-1+an=an+an-1+an-2+an-1=an+an-1+an-2+an-3+an-2=..=an+an-1+an-2+an-3+...+a?+ai+a?=Sn+1,所以S?019=a2021-1=m-1.故選D.文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是,則此數(shù)列的第20項為()A.220B.200C.180D.162此數(shù)列的第20項為2×102=200.故選B.例37.《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗.苗主責之粟五斗.羊主曰：“我羊食半馬”.馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何.其意思是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟.羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半?！比舭创吮壤齼斶€，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟?在這個問題中，牛主人比羊主人多賠償()A斗粟B斗粟C斗粟口斗粟【解析】選C法一：設(shè)羊、馬、牛主人賠償?shù)乃诘亩窋?shù)分別為a?,a?,a?,則這3個數(shù)依次成等比數(shù)列，公比q=2,所以a?+2a?+4a?=5,解得故11頁20故選C.法二：羊、馬、牛主人賠償?shù)谋壤?:2:4,故牛主人應(yīng)賠償斗),羊主人應(yīng)賠償故牛主人比羊主人多賠償天減半，問幾天兩只老鼠能相遇，相遇時各自打了多少尺的墻.如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則Sa=_尺.【解析】由題意可知大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，前n天打例39.如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4095個正方形，設(shè)初始正方形的邊長頭于則最小正所以最小正方形的邊長例40.德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領(lǐng)域成就顯著,以其名命名的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f(x)有以下四個命題：①f(x))=1;A.4B.3C.2D.1=kAx的值域是+2)※2017=(2n)※2017+3.則2018※2017=A,—3022B.3022C.—3025D.3035lan+1l+lanI=3,所以有一a?—a?=-as-a4=..=-a2019-a?018=3,即a?+a?=as+a?=例44.設(shè)集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定義A*B={(x,y)lx∈ANB,y∈AUB},則A.7B.10C.2?D.52【解析】因為A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以ANB={0,1},AUB={-1,0,1,2,3}.由A∩B,可知x可取0,1;由y∈AUB,可知y可取-1,0,1,2,3.所以A*B中的元素共有2×5=105,12,13;7,24,25;9,40,41,以此類推，可猜測第5組股數(shù)的三個數(shù)依次是32=4+5,52=12+13,72=24+25,92=40+41,112=60+61…由以上特點我們可知第⑤組勾{-1,0,1},Q={-2,2},則集合PaQ中元素的個數(shù)是()A.2B.3C.4故該集合中共有3個元素，所以選B.A.βB.2C.2√3所以θ=則,所以θ=則,A—DCC?,A—DD?C,共6個.同理，以B,C,D,A,Bj,C,D?為其中一個頂點的三但所有列舉的(法號：一行)為編制《大衍歷》發(fā)明了一種近似計算的方法一二次插值算法(又稱一行4中4中A.B處的函數(shù)值分別為4奴奴記為n,則定積由函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象可知兩個函數(shù)的圖象有4個交點，所以m=1,n=4.例52.已知x為實數(shù)，[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)=x-[x]在R上為()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.周期函數(shù)2;.所以可作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.由圖象可知，f(x)在R上為周期函數(shù).故選D.22-3-2為x+2y-z-2=0.五、數(shù)學文化與三角函數(shù)即有故積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實一為從陽,開平方得積.”如果把以上這段文字寫成公式就是【解析】sinC=2sinAcosB’二又.b2+c2=2,a2=2-c2····故答案為：OB的中點，若在整個扇形區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則此點取自扇面(扇環(huán))部分的概率是故選：C例57.《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學經(jīng)典其中對勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺問徑幾何?”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深一寸，鋸道長一尺問這塊圓柱形木料的直徑是多少?長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為()(注：1丈=10尺=100寸，A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸【解析】所以∠AOD=22.5°,即∠AOB=4平方寸.故選D.又所=λAB+μAC頁29所例59.干支紀年歷法(農(nóng)歷),是屹立于世界民族之林的科學歷法之一，與國際公歷歷法并存.黃帝時期，就有了使用六十花甲子的干支紀年歷法.干支是天干和地支的總稱，把干支順序相配正好六十為一周期，周而復始，循環(huán)記錄.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個符號叫地支.受此周期律的啟發(fā)，可以求得函數(shù)的最小正周期為A.15πB.12πC.6πD.3π【解析】由天干為10個，地支為12個，其周期為其公倍數(shù)：60故可得：y=cos3x的周期T、T?的最小公倍數(shù)為6π,故f(x)的最小正周期為6π.例60.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊長求三角形的面積的“三斜求積”公式：設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則△ABC的面積S=△ABC的面積為()A.√3B.2C.3D.√6故選A.例61.公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了頁30A.1B.2C.4【解析】由題設(shè)n=4-m2=4-4sin218°=故選B.時所用的經(jīng)驗公式，即弧田面積弦×矢十矢2).弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成，公現(xiàn)有圓心角為半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積是平方米.(結(jié)果保留根號)可得AB=2AD平方米).處將其頂角截去，截去20個頂角后剩下的如圖2所示的結(jié)構(gòu)就是足球的表面結(jié)構(gòu).已知正二十面體是由20個邊長為3的正三角形圍成的封閉幾何體，則如圖2【解析】由題原來正二十面體的每一條棱都會保留，正二十面體每個面3條棱，此外每個面會產(chǎn)生3條新棱，共產(chǎn)生3×20=60條新棱，∴共有90條棱.由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱長為.【解析】中間層是一個正八棱柱，有8個側(cè)面，上層是有8+1,個面，下層也有8+1個面，該半正多面體共有8+8+8+2=26個面，設(shè)其棱長為x,則解得x=√2-1.例66.學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長方體【解析】該模型為長方體ABCD-AB?CD,挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3,那么,近似公L2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為()【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,高為h,則L=2πr,;.故例68.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題：“今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛，問高幾何?”其意思為：“今有一個長方體的糧倉，寬3丈，長4丈5尺，可裝粟一萬斛.問該糧倉的高是多少?已知1斛粟的體積為2.7立方尺，1丈為10尺，則該糧倉的外接球的表面積是()平方丈平方丈平方丈平方丈【解析】由題意畫出圖形，長方體ABCD-ABCD中，AD=3,AB=4.5,V=10000×2.7×10-3=27,糧倉的高(丈).長方體的外接球的直徑長方體外接球的表面積為(平方丈),故選：C.例69.如圖是古希臘數(shù)學家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形ABCD、半徑為r的圓及等腰直角三角形構(gòu)成，其中圓內(nèi)切于正方形，等腰三角形的直角頂點與AD的中點N重合，斜邊在直線BC上.已知S為BC的中點，現(xiàn)將該圖形繞直線NS旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體積為()A.B.πr3C.2πr3頁34【解析】依題意，如圖，ES=2r,BS=OF=r設(shè)球的體積為V球，設(shè)由RT△NFO旋轉(zhuǎn)得到的圓錐體積為V,由RT△NSE旋轉(zhuǎn)得到的圓錐體積為V?,由直角梯形OSEF旋轉(zhuǎn)得到的圓臺的體積為V.則由陰影區(qū)域旋轉(zhuǎn)得到的體積例70.古希臘數(shù)學家阿基米德構(gòu)造了一個“圓柱容器”的幾何體：在圓柱容器里放一個球，使該球四周碰壁，且與上，下底面相切，則在該幾何體中，圓柱的體積與球的體積之比為()A.2B3【解析】在圓柱容器里放一個球，使該球四周碰壁，且與上，下底面相切，則：該圓柱的底面直徑為2r,高為2r,所以圓柱的體積為：V=sh=xr22r=2πr3,球的體積為：,故故選：D.,,個美除如圖所示，面ABCD、面ABFE、面CDEF均為等腰梯形，AB//CD//EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到面ABCD的距離為3,CD與AB間的距離為10,則這個羨除的體A.110B.116C.118D.120【解析】過A作AP⊥CD,AM⊥EF,過B作BQ⊥CD,BNLEF,垂足分別為P,M,將一側(cè)的幾何體放到另一側(cè)，組成一個直三棱柱，底面積棱柱的高為8,∴V=15×8=120.故選D.例72.劉徽在他的《九章算術(shù)注》中提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計算另一個叫“牟合方蓋”的立體的體積.劉徽通過計算，“牟合方蓋”的為球的半徑，也即正方形的棱長均為2r,從而計算出.記所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正，棱長為2r的正方形的方蓋差為VD.√3所有棱長都為r的正四棱錐的體積為:=2.例73.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》對立體幾何有深入的研究，從其中的一些數(shù)學用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，如圖為一個“塹堵”,即三棱柱ABCA?B?C?,其中AC⊥BC,已知該“塹堵”的高為6,體積為48,則該“塹堵”的外接球體積的最小值為所以xy=16.A.2√5B.5C.√29D.4√2例75.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱之為鱉膈，在鱉膈A-BCD中，AB⊥平面BCD,且有BD⊥CD,AB=BD=2,CD=1三角形PBD的面積的最小值為所以PQ//AB,QM//CD,PM⊥BD,所中中所以三角形PBD的面積的最小值為例76.《九章算術(shù)》把底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”,把底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”現(xiàn)有如圖所示的“斬堵”3則“塹堵”即三棱柱ABC-A,BC的外接球的表面積為【解析】Bc-∴BC=1.此時“蚯堵”即三棱柱C的外接球的ABC=90°,AB=AA?=2,BC=22則CAA.30°B.45°C.60°D.90°∴CA?與平面ABB,A所成角的大小為45°故選：B.例78.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱.從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6,底面正方形的邊長為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為.(容器壁的厚度忽略不計)頁39【解析】由題意，該球形容器的半徑的最小值為∴該球形容器的表面積的最小值為例79.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的2(細管長度忽略不計).(1)如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，則該沙漏的一個沙時為多少秒(精確到1秒)?(2)細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，求此錐形沙堆的高度(精確到0.1cm).【解析】(1)開始時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為底面半徑為,V÷0.02=1986,V÷0.02=1986所以沙全部漏入下部約需1986秒.4(2)細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的4,錐形沙堆的高度約為2.4cm.頁40例80.(2015全國I,理6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛,所以立方尺).剩余部分沿虛線折疊并拼成一個體積為點向底面作垂線，垂足是底面中心.將該四棱錐如圖2放置，若其正視圖為正三角形，則正 方形紙片的邊長為 即四棱錐的高為設(shè)正方形紙片的邊長為a,又四棱錐的斜高為x,由已知折疊過程可得于于中中為：6.曰：“倍上袤，下袤從之.亦倍下袤，上袤從之.各以其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一.已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,則該“芻童”的體積的最大值為()C.39D【解析】選B設(shè)下底面的長為由題可知上底面,則下底面的寬為矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,所以其體積故當,體積取得最大值，最大值故選B.例83.《九章算術(shù)》中，將如圖所示的幾何體稱為芻薨，底面ABCD為矩形，且EF//底面ABCD,EF到平面ABCD的距離為h,BC=a,AB=b,EF=c,貝十A.1B.所以AB⊥平面BCD,且BD⊥CD,AB=BD=CD,點P在棱AC上運動，設(shè)CP的長度為x,若△PBD的面積為f(x),則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()ABCD【解析】選A如圖，作PQ⊥BC于Q,作QR⊥BD于R,連接PR,則PQ//AB,QR//CD.因為PQ⊥BD,又PQNQR=Q,所以BD⊥平面PQR,所以BD⊥PR,即PR為△PBD中BD邊上的高.設(shè)AB=BD=CD=1即:中,所以中的表面積是()A.25πB.50πC.100πD.200π七、數(shù)學文化與概率統(tǒng)計A.134石B.169石C.338石D.1365石形小孔，隨機向銅錢上滴一滴油(油滴大小忽略不計),則油恰好落入孔中的概率是()以逆讀.數(shù)學中有回文數(shù)，如343、12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11、22、33、、99共9個，則三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率是_【解析】三位數(shù)的回文數(shù)為ABA,A共有1到9共9種可能，即1B1、2B2、3B3、B共有0到9共10種可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、..共有9×10=90個，其中的偶數(shù)即為A是偶數(shù)，共4種可能，即2B2,4B4,6B6,8B8,共有4×10=40個，例89.2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎(coVID-19)疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽頁44CD√33【解析】設(shè)事件A:檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B:檢測6個人確定為“感染高危即3.1415926<π<3.1415927,為紀念祖沖之在圓周率的成就，把3.1415926稱為“祖率”,這是中國數(shù)學的偉大成就.某小學教師為幫助同學們了解“祖率”,讓同學們從小數(shù)點后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6隨機選取兩位數(shù)字，整數(shù)部分3不變，那么得到的數(shù)字大于3.14的概率為()A.【解析】選擇數(shù)字的方法有：5×6+1=31種，其中得到的數(shù)字不大于3.14的數(shù)字為：3.11,3.12.3.14,據(jù)此可得：得到的數(shù)字大于3.14的概率為.本題選擇A選項.例91.我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果，其中《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》有著豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.現(xiàn)擬從這5部專著中選擇2部作為頁45專著的概率為()A.其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()o6A.況有：C.方法稱為“金錢起卦法”,其做法為：取三枚相同的錢幣合于雙手中，上下?lián)u動數(shù)下使錢幣翻滾摩擦，再隨意拋撒錢幣到桌面或平盤等硬物上，如此重復六次，得到六爻.若三枚錢幣全部正面向上或全部反面向上，就稱為變爻.若每一枚錢幣正面向上的概率為中則一卦中恰有兩個變爻的概率為()頁47【解析】由已知可得三枚錢幣全部正面或反面向上的概率,求一卦中恰有兩個變爻的概率實際為求六次獨立重復試驗中發(fā)生兩次的概率，例94.意大利數(shù)學家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的問題：已知一對兔子每個月可以生一對兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是若從該數(shù)列的前100項中隨機地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為()A.B.C.【解析】數(shù)列第1個，第2個為奇數(shù)，故第3個為偶數(shù)，第4個，第5個為奇數(shù)，第6個個，故為偶數(shù).根據(jù)規(guī)律：共有偶個，故例95.2019年慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強起來的雄心壯志.閱兵式規(guī)模之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最，編組之新、要素之全彰顯強軍成就.裝備方陣堪稱“強軍利刃““強國之盾”,見證著人民軍隊邁向世界一流軍隊的堅定步伐.此次大閱兵不僅得到了全中國人的關(guān)注，還得到了無數(shù)外國人的關(guān)注.某單位有6位外國人，其中關(guān)注此次大閱兵的有5位，若從這6位外國人中任意選取2位做一次采訪，則被采訪者都關(guān)注了此次大閱兵的概率為()【解析】這6位外國人分別記為a,A,B,C,D,E,其中a未關(guān)注此次大閱兵，則基本事件有(a,A),(a,B),(a,C).(a,D),(a,E),(A,B).(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D).(B,E),(C,D),例96.齊王有上等、中等、下等馬各一匹，田忌也有上等、中等、下等馬各一匹.田忌的王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)在從雙方的馬匹中隨機各選一場比賽，若有優(yōu)勢的馬一定獲勝，則齊王的馬獲勝得概率為()【解析】設(shè)齊王上等、中等、下等馬分別為A,B,C,田忌上等、中等、下等馬分別為的馬獲勝的概率為故選C.的兩種物質(zhì)不相生的概率為()的兩種物質(zhì)不相生的概率故選：D若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為A.√2fB.√22fC.52?fD.27f故選D.例100.隨著計算機的出現(xiàn)，圖標被賦予了新的含義，又有了新的用武之地.在計算機應(yīng)用領(lǐng)域，圖標成了具有明確指代含義的計算機圖形.如圖所示的圖標是一種被稱之為“黑白太陽”的圖標，該圖標共分為三部分，第一部分為外部的八個全等的矩形，每一個矩形的長為3,寬為1;第二部分為圓環(huán)部分，大圓半徑為3,小圓半徑為2;第三部分為圓環(huán)內(nèi)部的白色區(qū)域.在整個“黑白太陽”圖標中隨機取一點，則此點取自圖標第三部分的概率為()【解析】選B圖標第一部分的面積為8×3×1=24;圖標第二部分和第三部分的面積為π×32=9π;圖標第三部分的面積為π×22=4π.則此點取自圖標第三部分的概率為選B.例101.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著,書中把三角形的田稱為“圭田”,把直角梯形的田稱為“邪田”,稱底是“廣”,稱高是“正從”,“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步；正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪田內(nèi)隨機種植一株茶樹，求該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為()4A.2D【解析】選B由題意可得邪田的面積圭田的面積頁5020,則所求的概率例102.太極圖是以