2024年高中數(shù)學(xué)伯樂(lè)馬模擬考試試題（理）（含解析）

2024年中學(xué)數(shù)學(xué)伯樂(lè)馬模擬考試試題（一）理（含解析）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z滿意z（2+，）=3—6，（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.3B.—3zC.3zD.-3

【答案】D

【解析】

【分析】

首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,然后結(jié)合復(fù)數(shù)的定義確定其虛部即可.

3—6?（3—6z）（2—z）—1—15z1

【詳解】由題意可得:2+z-（2+z）（2-z）-_5—-5

據(jù)此可知，復(fù)數(shù)z的虛部為-3.

本題選擇D選項(xiàng).

【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法事實(shí)上是分母實(shí)

數(shù)化的過(guò)程.

2.設(shè)全集U=R,已知集合4={%|/—%—2>0},B={-1,0,1,2,3},貝乂必4卜5=

）

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,1}D.{-1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出集合A以及集合A的補(bǔ)集gA，再依據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求出.

【詳解】因?yàn)锳={x［（x+l）（x—2）0}={x|x2或％<—1},所以gA={x|-lWxW2},

即有@A）c5={-1,0,1,2}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于簡(jiǎn)單題.

3.已知數(shù)列{?！眪為等差數(shù)列，S.其前n項(xiàng)和，且。2=3%-6,則S9等于

A.25B.27C.50D.54

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)條件得。5,再依據(jù)等差數(shù)列和項(xiàng)公式求結(jié)果

【詳解】因?yàn)椤?=3%—6q+d=3ax+9d—6,ax+4d=3a5=3

9

所以S9=—（a1+%）=9a5=27.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)以及等差數(shù)列求和，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.

4.為了節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，我國(guó)政府從2001年起就通過(guò)相關(guān)扶植政策推動(dòng)新能源汽

車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展.下面的圖表反映了該產(chǎn)業(yè)發(fā)展的相關(guān)信息：

中國(guó)新能源汽車(chē)產(chǎn)銷(xiāo)狀況一覽表

新能源汽車(chē)產(chǎn)量新能源汽車(chē)銷(xiāo)量

比上年同期增長(zhǎng)

產(chǎn)量（萬(wàn)輛）銷(xiāo)量（萬(wàn)輛）比上年同期增長(zhǎng)（％）

（%）

2024年3月6.81056.8117.4

4月8.1117.78.2138.4

5月9.685.610.2125.6

6月8.631.78.442.9

7月953.68.447.7

8月9.93910.149.5

9月12764.412.154.8

10月14.658.113.851

11月17.336.916.937.6

1T2月12759.9125.661.7

2024年1月9.11139.6138

2月5.950.95.353.6

2024年2月份新能源汽車(chē)銷(xiāo)量結(jié)構(gòu)圖

依據(jù)上述圖表信息，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.2024年4月份我國(guó)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量高于產(chǎn)量

B.2024年3月份我國(guó)新能源汽車(chē)的產(chǎn)量不超過(guò)3.4萬(wàn)輛

C.2024年2月份我國(guó)插電式混合動(dòng)力汽車(chē)的銷(xiāo)量低于1萬(wàn)輛

D.2024年我國(guó)新能源汽車(chē)總銷(xiāo)量超過(guò)70萬(wàn)輛

【答案】C

【解析】

【分析】

本題首先須要明確題目所給出的信息，能夠看懂題目所給出的表格包含的意思，然后通過(guò)

“2024年2月份我國(guó)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量為5.3萬(wàn)輛”以及插電式混合動(dòng)力汽車(chē)所占的比例即

可算出插電式混合動(dòng)力汽車(chē)的銷(xiāo)量，通過(guò)比較即可得出結(jié)果.

【詳解】C項(xiàng)：2024年2月份我國(guó)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量為5.3萬(wàn)輛，其中插電式混合動(dòng)力汽車(chē)所

占的比例為25%,故插電式混合動(dòng)力汽車(chē)的銷(xiāo)量為5.3?0.251.325>1,故C項(xiàng)錯(cuò)誤，故

選C.

【點(diǎn)睛】本題是一道信息題，考查了能否從題目中找出所須要的信息，在計(jì)算本題的過(guò)程中，

首先要明確題意，看懂題目給出的信息所包含的意思，然后依據(jù)題目給出的選項(xiàng)與題目中的

信息進(jìn)行計(jì)算以及對(duì)比，即可得出結(jié)果.

5.已知函數(shù)/(x)=xcosx+(a—1)V是奇函數(shù)，則曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方

程是()

A.2x-y=QB.x-y=QC.2x+y=0D.

x-2y-0

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)奇函數(shù)的定義或性質(zhì)求出。，然后可求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率，從而得切線方程

【詳解】???/(X)是奇函數(shù),

/(-x)=-XCOS(-X)+(<2-l)(-x)2=-XCOS%+(4Z-1)X2=-XCOSX-(G-1)%2,

(?-1)X2=0,<2=1,

/(x)=xcosx是奇函數(shù)，f'(x)=cosx-xsinx,f'(0)=1,/(0)=0,

切線方程為V=x,即x—y=0.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的奇偶性，本題難度一般.

6.在.ABC中，。,后分別為的中點(diǎn)，尸為AD的中點(diǎn)，若ABAC=—1，

AB^2AC=2,則CEA/的值為()

3311

A.—B.-C.-D.一

4884

【答案】B

【解析】

因?yàn)锳F=-AD=i-(AB+AC),CE=AE-AC=-AB-AC,所以

242

11-1-21-121113

CEAF=-(AB+AC\-AB-AC)=-AB——ABAC——AC=-x4——x(-l)——=-

428848848

,應(yīng)選答案B.

7.已知三棱錐S—ABC為正三棱錐，且AB=6,54=2岳，點(diǎn)"、N是線段AC、SB

的中點(diǎn)，平面a與平面S5C沒(méi)有公共點(diǎn)，且Ae平面e,若/是平面e與平面ABC的交線,

則直線/與直線MN所成角的正切值為（）

,VioRV6「屈nV15

4453

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可知平面a〃平面SBC,利用面面平行性質(zhì)定理可得出〃/5C,然后取線段A5的

中點(diǎn)。，連接DM、DN,可得出。暇〃5C,由此可得出直線/與直線所成的角為

“小W或其補(bǔ)角，在RLQMN中計(jì)算出tanNDW,即可得解.

【詳解】因?yàn)槠矫鎍〃平面SBC,平面a1平面ABC=/,平面S3CI平面ABC=5C,

所以/〃BC,

取AB中點(diǎn)。，連接DM,DN,

Q。、M分別為A3、AC的中點(diǎn)，則。暇〃5。，所以〃/DM,同理D/W/S4,

所以異面直線/和所成角即為NQMN或其補(bǔ)角.

取中點(diǎn)。，則SOL5C,AO±BC,又SOAO=O,所以平面SQ4,

又S4u平面SQ4,所以5CLS4,所以ZWLDN.

在Rt_DMN中,DM=-BC=3,DN=-SA=y/15,所以tan/DMTV=生=巫.

22DM3

所以直線/和MN所成角正切值為由5,

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的正弦值的計(jì)算，考查了面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查

計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.

8.已知人,3為拋物線。：)；2=4%上的不同兩點(diǎn)，斤為拋物線。的焦點(diǎn)，若AB=5FB，則

\AB\=()

2525

A.—B.10C.—D.6

24

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)依據(jù)A3=5E3,可求得這些坐標(biāo)間的關(guān)系，再結(jié)合A,3兩點(diǎn)在拋物

線上，可求得玉，尤2，而|4邳=石+*2+2，由此可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)AOQJKZ，%),則45=(尤2-%，%-%)，

又尸(1,0),=%2一%=5々一5,%一%=5%，

石=5-4%[yl=4X2125

<，由<,得——9X—4,.*.1ABI—+x+2——.

bi=-4^2〔(f2y9=4(5-4々)-494

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)乘的意義，考查拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題.駕馭焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式是解題

基礎(chǔ)：即對(duì)拋物線y2=2px(p>0)而言，4%2])1(々,為)，A3是拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的弦,

貝二%+%+P.

「x3—2x,X,0

9.已知函數(shù)/(幻=<，若函數(shù)g(%)=/(i)-〃有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值

-Inx,x>0

范圍是()

A.[0,2)B.[0,1)C.(-8,2]D.(-<?,1]

【答案】A

【解析】

【分析】

本道題先繪制/(x)圖像，然后將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，計(jì)算a的范圍，即可.

【詳解】繪制出/(龍)的圖像，〃x)=x+a有3個(gè)零點(diǎn)，令/i(x)=x+a與/(%)有三個(gè)交

點(diǎn),

則可力介于1號(hào)和2號(hào)之間，2號(hào)過(guò)原點(diǎn)，則a=0,1號(hào)與/（九）相切，則

/'（X）=3X2-2=1,X=-1,y=l,代入〃（九）中，計(jì)算出。=2,所以

a的范圍為［0,2）,故選A.

【點(diǎn)睛】本道題考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，難度中等.

10.如圖為中國(guó)古代劉徽的《九章算術(shù)注》中探討“勾股容方”問(wèn)題的圖形，圖中AABC為

直角三角形，四邊形。瓦C為它的內(nèi)接正方形，已知BC=2,AC=4,在AABC上任取一

點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正方形DEFC的概率為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

AryDF4—xx4

由圖形，結(jié)合已知條件，得DE〃BC,則——=——，設(shè)CD=X,即--=解得x=—,

ACCB423

由幾何概型中的面積比可得.

【詳解】由圖形得，AABC為直角三角形，四邊形DEFC為它的內(nèi)接正方形，己知BC=2,

AC=4,

A7)J~)F4—xx4

設(shè)CD=x,由DE〃BC則有——=——，即——=—,解得x=—

ACCB423

設(shè)在4ABC上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正方形DEFC為事務(wù)A,

口q正方體

由幾何概型中的面積比得：P(A)=4

SA9

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相像比及幾何概型中的面積型，屬于中檔題.

11.(2024新課標(biāo)全國(guó)n理科)已知A,K是雙曲線會(huì)=—4=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)〃在

a2b2

￡上，〃內(nèi)與％軸垂直，sinZMF；^=|，則￡的離心率為

3

A.y/r2B.—

C.不D.2

【答案】A

【解析】

試題分析：由已知可得UFJ-Q/F|=2an些-'=〃=a=5=d=￡=JL故選

*aaa

A.

考點(diǎn)：1、雙曲線及其方程；2、雙曲線的離心率.

【方法點(diǎn)晴】本題考查雙曲線及其方程、雙曲線的離心率.，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和

轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維實(shí)力、等價(jià)轉(zhuǎn)化實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難

題型.由已知可得.1窈||=2a=＞吆--幺=2470a=6=0=￡=0,利用雙曲

?aaa

線的定義和雙曲線的通徑公式，可以降低計(jì)算量，提高解題速度.

12.如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-中，上底面邊長(zhǎng)為4,下底面邊長(zhǎng)為8,高為5,點(diǎn)

分別在A用,AG上，且A"=4N=1.過(guò)點(diǎn)的平面a與此四棱臺(tái)的下底面會(huì)

相交，則平面c與四棱臺(tái)的面的交線所圍成圖形的面積的最大值為

A.1877B.30A/2C.6標(biāo)D.3673

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意可知，當(dāng)平面a經(jīng)過(guò)BCNM時(shí)取得的截面面積最大，此時(shí)截面是等腰梯形；依據(jù)正四

棱臺(tái)的高及MN中點(diǎn)在底面的投影求得等腰梯形的高，進(jìn)而求得等腰梯形的面積.

【詳解】當(dāng)斜面a經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)與四棱臺(tái)的面的交線圍成的圖形的面積最大，此時(shí)a為

等腰梯形，上底為MN=4,下底為BC=8

此時(shí)作正四棱臺(tái)ABCD-\BXCXDX俯視圖如下：

則MN中點(diǎn)在底面的投影到BC的距離為8-2-1=5

因?yàn)檎睦馀_(tái)的高為5,所以截面等腰梯形的高為,5?+5?=50

所以截面面積的最大值為5=5'（4+8）義5忘=30后

所以選B

【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中過(guò)定點(diǎn)的截面面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析出截面的位置，再依據(jù)

條件求得各數(shù)據(jù)，須要很好的空間想象實(shí)力，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2x-l>0

13.設(shè)實(shí)數(shù)尤，V滿意約束條件x-y<0,則z=2x—y的最大值為

x+y-2<0

【答案】1

【解析】

【分析】

作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)得到最值點(diǎn)，聯(lián)立方程組得到最值點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)可得最值.

【詳解】作出可行域如圖，

平移目標(biāo)函數(shù)可知z=2x-y在點(diǎn)A處取到最大值，

x-y=0

聯(lián)立<cc得41,1),代入z=2x-y得最大值為1.

x+y-2=0

【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求解線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般步驟是先作出可行域，平移

目標(biāo)函數(shù)，得出最值點(diǎn)，求出最值.

14.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為若％=1,a“+i=2S.SeN*),則6=.

【答案】162

【解析】

【分析】

依據(jù)4與Sa的關(guān)系，求得見(jiàn),，再求出氣.

【詳解】因?yàn)閍.+i=2S”,所以a“=2S“_i(〃42),

兩式相減，得：?！?1-4=2%，所以—=3("22),

an

所以數(shù)列出，%，%……構(gòu)成以％=251=26=2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，

4

所以a6=a2x3=162.

故答案為：162.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列4與S”的關(guān)系，特殊留意”的起始值，從第幾項(xiàng)起有遞推關(guān)系，簡(jiǎn)

單出錯(cuò)，屬于基礎(chǔ)題.

15.某外商安排在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同■個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2

個(gè)，則該外商不同的投資方案有種.

【答案】60

【解析】

試題分析：每個(gè)城市投資1個(gè)項(xiàng)目有種，有一個(gè)城市投資2個(gè)有種，投資方案

共C；A；=24+36=60種.

考點(diǎn)：排列組合.

16.若函數(shù)/(x)=x—gsin2x+asinx在R上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是.

【答案】

【解析】

【分析】

45

由題意/'(%)=-耳以^2%+QCOS%+在H上恒成立，設(shè)cosx=1，e[―1,1],轉(zhuǎn)為二

次不等式在區(qū)間上恒成立問(wèn)題.

,245

【詳解】由題意知，/(%)=1--cos2x+acosx=~^cos2x+acosx+3-。在R上恒成

立.

設(shè)cosx=/，Ze[—1,1],

45

則g⑺=一§/+成+3＞。在[-1，1]上恒成立，

45

g⑴=一耳+〃+§之。

所以只需〈解得——^a<—,

4533

g(-l)=------a+—>0

33

故答案為：-彳，彳

133」

【點(diǎn)睛】利用單調(diào)性求參數(shù)范圍的常見(jiàn)方法：①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性

定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用子集的概念確定范圍.②利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式/'（同20或

r（無(wú)）wo恒成立求參數(shù)范圍.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.如圖，在四邊形45切中，ZA=60°,ZABC^9Q0,已知AD=6，BD=a.

A

（1）求sin/ABD的值；

（2）若CD=2,且CD>BC,求6c的長(zhǎng).

【答案】（1）—（2）BC=1

4

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理可得sinNAB。；

（2）由（1）求得cosNDBC,然后利用余弦定理求解BC.

【詳解】（1）在△ABD中，由正弦定理，得———=BD

sin/ABDsinZA

因?yàn)閆A=60°,AD=瓜BD=&>,

所以sinZA皿嚏xsin"??邛;

(2)由(1)可知，sinZABD因?yàn)镹ABC=90°,

4

所以cosZCBD=cos(90°—NABD)=sinZABD=半，

在，BCD中，由余弦定理，得

CD1=BC2+BD2-2BC-BDcosZCBD，

因?yàn)镃D=2,BD=遙,

所以4=302+6—2BCx&x在，

4

即3c2—3BC+2=O，解得3C=1或BC=2,

又CD>BC,則3C=1.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理解三角形，駕馭正弦定理和余弦定理是解題關(guān)鍵.

18.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB>CD,E,F為AB的三等分點(diǎn)，且EF=CD.

將，AED和.BFC分別沿DE、CF折起到A、B兩點(diǎn)重合，記為點(diǎn)P.

（1）證明：平面PCFL平面PEF；

（2）若PF=FC,求PD與平面PFC所成角的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）逅

4

【解析】

【分析】

（1）推導(dǎo)出四邊形CDEF是平行四邊形，NAED=NAFC,PELED,PbLFC由

CF!/DE,得PE工FC,從而RC,面PEF,由此能證明平面PCEL平面PEF.

（2）在平面PEF內(nèi)作石戶，垂足為0,取CD的中點(diǎn)M,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角

坐標(biāo)系O-孫Z,利用向量法能求出PD與平面PFC所成角的正弦值.

【詳解】(1)AB//CD,￡斤=8,.,.四邊形CDEF是平行四邊形，=

.AED咨_BFC,；.NAED=NBFC,:.NAFC=NBFC=96,

:.PE±ED,PF±FC,CF//DE,：.PELFC,

PEcP尸=P，...■FCJ_面PEF,

.FCu面PFC,.,.平面PCF_L平面PEF.

(2)在平面PEF內(nèi)作POL七尸，垂足為0,取CD的中點(diǎn)M,

由(1)知bC,平面PEF,故FCLPO,平面CDEF,.?.尸POLOF,

PF=PE,:.OE=OF,:.OM//FC,:.OF±OM,:.OP,OF,0M兩兩垂直，

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

設(shè)PF=FC=2,.PEF是等邊三角形,

■.P(0,0,5,F(l,0,0),C(l,2,0),D(-l,2,0),

PF=(1,0,—石)，PC=(1,2,—石)，PD=(-1,2,-73),

設(shè)〃=(%y,Z)是平面PFC的法向量，

n-PF=x-也z=0i-

則</-，取z=1，得〃=0，1),

n-PC=x+2y-，3z=0

設(shè)PD與平面PFC所成角為e,

\n-PD\正

則smO=|L———L=,

\n\-\PD\4

/.PD與平面PFC所成角的正弦值為逅.

4

u

【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查線面角和正弦值的求法，考查空間中線線、線面、

面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

19.橢圓E：++%=l（a〉6〉0）的離心率為乎，設(shè)A,3分別為E的左，右頂點(diǎn)，C,

。分別為上、下頂點(diǎn)，四邊形ACBD的面積為4.

（1）求橢圓E的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)（1,0）的直線/與橢圓E交于兩點(diǎn)P,Q（不與4,3重合），若直線與直

線尤=4相交于點(diǎn)N,求證：三點(diǎn)A,Q,N共線.

【答案】(1)二+丁2=1；Q）證明見(jiàn)解析.

4

【解析】

【分析】

a2

（1）依據(jù)題意＜q=--247-2^=4,解方程組即可求解.

^ACBD2

〃2=/+

（2）分類(lèi)探討：當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)L:x=l或當(dāng)直線I的斜率存在時(shí),設(shè)/:y=左（九-1）,

將直線與橢圓方程聯(lián)立，；利用韋達(dá)定理，證明KQ=歸期即可求解.

CG

e=—=——

a2

q

【詳解】（1）由題意得〈^ACBD=-?2tz-2/?=4,解得。=2,b=1,

a2=/+。2

二橢圓E的方程為土+丁=1.

4-

（2）①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)L：x=l,

、（73

不妨設(shè)pL-^~

7

直線PB的方程為y=-x-2),

令％=4得N（4,一6），.?.的2=左.=一點(diǎn)，

???點(diǎn)A,Q,N共線.

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/:'=左（》一1）,

設(shè)P&,%),Q(x2,y2),

V=左(x—l)

由<x2,由消去y得,

—+V=1

14'

(1+4左2)%2—8左2%+4左2—4=0,

8甘4人2—4

由題意知/>0恒成立，故菁+%=

1+4公1+442

所以直線9的方程為>=/彳（％-2）,

-Z

令％=4得N

2%

%再2

%+26

X]+23(Xj—2)

3(百一2)%一(%2+2)%

3(——2)(X2+2)

上式中的分子3（石一2）%-（々+2）%;

=3左（內(nèi)一2）（第一1）—k（x、+2）（七一1）

=2kx[X]-5左(西+9)+8左

4嚴(yán)一4(8k2\

=2左x—5kx+8左=0,

1+4左2(1+442J

?*?Mi。=^AN,；?點(diǎn)A'Q>N共線.

綜上可知，點(diǎn)A，Q,N共線.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，此題對(duì)考生的計(jì)算求解實(shí)力較高，屬于難題.

20.《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從2020年高考起先，高考物理、化學(xué)等六門(mén)選考科

目的考生原始成果從高到低劃分為A,B+,B,C+,C,D+,D,E八個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確

定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.選考科目成

果計(jì)入考生總成果時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成果，依照等比例轉(zhuǎn)換法則分別轉(zhuǎn)換到

[91,100],[81,90],[71,80],[61,70][51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生

的等級(jí)成果.

考試科目：地理

考試成績(jī)；61分

成績(jī)區(qū)間：C留級(jí)

區(qū)間分?jǐn)?shù)：5869分

轉(zhuǎn)犢分政區(qū)間：61-70分

假設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的等級(jí)成績(jī)?yōu)閄,

69-61_70-x

"x-61

45=63（四舍五入取整）

某校2017級(jí)學(xué)生共1000人，以期末考試成果為原始成果轉(zhuǎn)換了本校的等級(jí)成果，為學(xué)生合

理選科供應(yīng)依據(jù)，其中物理成果獲得等級(jí)A的學(xué)生原始成果統(tǒng)計(jì)如下

成果93919088878685848382

人數(shù)1142433327

（1）從物理成果獲得等級(jí)A的學(xué)生中任取3名，求恰好出名2同學(xué)的等級(jí)分?jǐn)?shù)不小于95的概

率；

（2）待到本級(jí)學(xué)生高考結(jié)束后，從全省考生中不放回的隨機(jī)抽取學(xué)生，直到抽到1名同學(xué)的

物理高考成果等級(jí)為B+或A結(jié)束（最多抽取1000人），設(shè)抽取的學(xué)生個(gè)數(shù)為，，求隨機(jī)變量，

的數(shù)學(xué)期望（注：O,9100067x10*）.

【答案】（1）0.29（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

（1）設(shè)物理成果獲得等級(jí)A的學(xué)生原始成果為x,其等級(jí)成果為y,由原始成果與等級(jí)成果

的轉(zhuǎn)換公式得到V關(guān)于x的關(guān)系式，即可計(jì)算出等級(jí)分?jǐn)?shù)不小于95的人數(shù)，利用古典概型即

可計(jì)算出恰好出名2同學(xué)的等級(jí)分?jǐn)?shù)不小于95的概率.

（2）由題意得，隨機(jī)抽取1人，等級(jí)成果為8+或A的概率為0.1,然后列出學(xué)生個(gè)數(shù)的分布

列，即可計(jì)算數(shù)學(xué)期望.

【詳解】解：（1）設(shè)物理成果獲得等級(jí)A的學(xué)生原始成果為x,其等級(jí)成果為y.

93-x100-y9

由轉(zhuǎn)換公式=一京，得—82）+91.

x-82y-9111

9

由y=H（x—82）+91295,x>86.9?87.

明顯原始成果滿意1之87的同學(xué)有12人，獲得等級(jí)A的學(xué)生有30人,

G?297

恰好出名2同學(xué)的等級(jí)分?jǐn)?shù)不小于95的概率為：P=-0.29.

Cl1015

（2）由題意得，隨機(jī)抽取1人，其等級(jí)成果為8+或A的概率為3%+7%=0」.

學(xué)生個(gè)數(shù)，的可能取值為1,2,3,…,1000；

尸《=1)=01,尸(7=2)=0.9x0」,P(^=3)=0.92X0.1,

Pg=999)=0,9"8xO.l,Py=1000)=0.9"9；

其數(shù)學(xué)期望是:

￡?)=1X0.1+2X0,9X0.1+3X0.92X0.1+.+999X0.9"8X0.1+1000X0.99"

=1X0.1+2X0,9X0.1+3X0.92X0.1++1000X0.99"x0.1+1000xO.91000

=0.1x(1+2x0.9+3xO.92++1000x0.99")+1000xO.91000

其中：

5=1+2x0.9+3x0.92++1000x0.99"

0.9S=1X0.9+2X0.92++999X0.99"+1000xO.91000

應(yīng)用錯(cuò)位相減法”①式-②式”得:

0.1S=l+0.9+0,92++0.99"-lOOOxO.91000

=—--------人-lOOOxO.91000

0.1

S=100-(10x1000+100)xO.91000

故E?)=0.1x[100-(10xlOOO+100)xO.91000]+lOOOxO.91000=10x(1-O.91000卜10.

【點(diǎn)睛】本題主要考察排列組合問(wèn)題、概率的求法，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期

望的求法，屬于中檔題

21.已知函數(shù)/'(x)=:尤2-x+alnx(a>0).

(1)探討/(x)的單調(diào)性；

⑵若/(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)再，%2,求證：/(%)+/(9)>---1上一.

【答案】(1)當(dāng)0<a<；時(shí)，/(%)在,，匕字71J*當(dāng)不，+oo]上單調(diào)遞增,

在1-J；-4a,1+J；-4a上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，/(%)在(0,+co)上單調(diào)遞增；(2)

證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

2

⑴先求定義域，再求導(dǎo)，f\x)=x~x+a,設(shè)g(x)=%2—x+a,再分類(lèi)探討得到g(x)

X

的符號(hào)，得到/(%)的單調(diào)性；

(2)由(1)得到了(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)再，斗時(shí)。的取值范圍，再得到%，%應(yīng)滿意的關(guān)系

式，用a表示出/(%)+/(々)，再由導(dǎo)數(shù)求最小值，證明不等式.

【詳解】⑴"了)的定義域?yàn)?0,+8),r(x)=x—1+旦=三二"

XX

設(shè)g(x)=x2-x+a，則A=l—4a,

若AWO,即時(shí)，g(x)20,

r(x)>o,所以/a)在?+8)上單調(diào)遞增.

若/>0,即0<a<；時(shí)，令/''(同二。，

皿?1——4a1+J1—4a

則M=---------，x=---------

12922

八1一J1-4a1+J1—4a\八

當(dāng)0,---------D---------,+8時(shí)，f(%)>0,,

k)\)

當(dāng)—J+時(shí),/'(x)<0,

所以/(x)［o,匕平11+J尸，+ao］上單調(diào)遞增,

1+J1-4a］匚孑、田、至、

在I-----2----,-----2-----J上單倜遞減.

綜上可得：當(dāng)0<a<；時(shí)，/(%)在'J一手行［J+手布，+ao］上單調(diào)遞增,

在1-J；-4a,1+J；-4a上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，/(%)在(0,+co)上單調(diào)遞增；

(2)由⑴知0<a<；時(shí)/(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)見(jiàn)，/

則方程/一%+a=o有兩根玉，x2,所以%+%2=1,為々=。，

xxax

/（%；）+y（x2）=~i+MnX]~i+^2=g（x；+%；）-（%；+x2）+alnx1%2

令h(a)——a+alna—,a￡

則h(a)=—l+lna+a-=Ina<0,

a

所以/z(a)在[OqJ上單調(diào)遞減，所以匕b-----4〃，

-3-21n2

所以;■(斗)+/(々)>---.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值、最值，考

查了學(xué)生的分析實(shí)力，推理實(shí)力，運(yùn)算實(shí)力，分類(lèi)探討思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想.

(-)選考題：共