2024年高考數(shù)學(xué)押題卷及答案（十四）

2024年高考數(shù)學(xué)押題卷及答案（十四）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在

答題卡相應(yīng)的位置上.

1.若集合於{x|x>2},小{x|xW3},則/n正▲.

答案：（2,3]解析：4n5=（2,3]

2.函數(shù)產(chǎn)Gsin2x+cos2x的最小正周期是▲.

答案：“

解析：產(chǎn)6sin2廣cos2xNsin（2T450°）nT=2口/2="

3.已知（a+i）2=2i,其中i是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù)折▲.

答案：1

解析：（a+i）2=a+2ai+i?=a2-1+2ai=2ina=X

4.已知向量a與b的夾角為60°,且?=1,|引=2,那么（a+少的值為

答案：7

解析：（a+b）2=a+b2+2ab=a2+b2+2|a||b|cos60°=l2+22+2xlx2=7

5.底面邊長(zhǎng)為2nb高為1m的正三棱錐的全面積為▲m’.

答案：3g

解析：如圖所示，正三棱錐S-ABC,。為頂點(diǎn)S在底面8c〃內(nèi)

的射影，則O為正ABC。的垂心，過(guò)C作SLAB于X,連接

SHo

貝且在R/ASHO中，SH=dso2+HO°=巫。

333

2

于是'S*B=gxABxSH=當(dāng)，SMBC=^XAB=V3°

所以S全面積=SABCD+3sA5As=3V3O

6.若雙曲線=l的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2近，則實(shí)數(shù)k的值是

k

▲.

答案：8

解析：法一：雙曲線的漸近線方程為y=±&x;焦點(diǎn)坐標(biāo)是(土石I。)。

由焦點(diǎn)到漸近線的距離為2夜，不妨比亞J=〃=2夜。解

Vi+1

得％=8o

法二：可以將問(wèn)題變?yōu)椤叭魴E圓小.=1的離心率為L(zhǎng)則實(shí)數(shù)右”，這時(shí)

k3----

需要增加分

類討論的意思

法三：結(jié)論法：在雙曲線中，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b【在本題

中，則b2=k=(2而2=8]

?！獃+120,

7.若實(shí)數(shù)X,y滿足.x+y2o,則￡x+2-『的最大值是▲

%W0,

答案：2

解析：滿足題中約束條件的可行域如圖所示。

目標(biāo)函數(shù)z=x+2y取得最大值，

即使得函數(shù)y=」x+三在y軸上的截距最大。

22■

結(jié)合可行域范圍知，當(dāng)其過(guò)點(diǎn)P(0,l)時(shí)，Z111ax=0+2xl=2。

8.對(duì)于定義在R.上的函數(shù)r(x),給出三個(gè)命題:

①若/(-2)=〃2),則/(X)為偶函數(shù)；

②若/(-2)"(2),則廣(X)不是偶函數(shù);

③若/(-2)=/⑵，則f(x)一定不是奇函數(shù).

其中正確命題的序號(hào)為▲.

答案：②

解析：命題③學(xué)生很容易判為真命題.

反例:函數(shù)/(x)=O(xeR)是奇函數(shù)，且滿足/(-2)*(2).

請(qǐng)注意以下問(wèn)題：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是否唯一?

答案是否定的，如函數(shù)/(x)=0(xe{-l,l},

/(x)=0(xe{-1,0,1}>/(x)=0(xeR)等.

9.圖中是一個(gè)算法流程圖，則輸出的爐

▲.

答案：11

10.已知三數(shù)^+log272,jr+log92,jr+log32成等比

數(shù)列，則公比為▲.

答案：3

解析：log,2=|log32,log272=1log32

?=x+㈣2=廿畦2J喧27"=3

x+log272x+log92log272-log92

本題首先應(yīng)整體觀察出三個(gè)對(duì)數(shù)值之間的關(guān)系，并由此選

定log32,得出Iog272=glog32,log92=1log32,最

后通過(guò)假設(shè)將x用log32表示.

1(，是i的整數(shù)倍)，

11.已知5X5數(shù)字方陣:中,

-1()不是力的整數(shù)倍).

54

貝°之%+1%=___▲___

j=2i=2

答案：-1

解析：假如題中出現(xiàn)￡與，應(yīng)注意如中5為1的倍數(shù).

i=l

題中方陣是一個(gè)迷惑，應(yīng)排除這一干擾因素.本題的實(shí)質(zhì)就是先定義a”，

后求和.應(yīng)注意

兩個(gè)求和符號(hào)X中的上下標(biāo)是不.一致的，解題應(yīng)把求和給展開.

12.已知函數(shù)千（X）="cosx,X￡［」一］,則滿足與的X。的取值

223

范圍為▲.

答案：甲

解析：

法1注意到函數(shù)/⑴=x2-cosx,xe［一方。是偶函數(shù)故只需考慮［0,自區(qū)間上的情

形.

由尸（%）=2x+sinx20,xe［0,（］知函數(shù)在［0,（］單調(diào)遞增，

所以小。）〉/（◎在［。，自上的解集為弓，f］，

結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)得原問(wèn)題中X。取值范圍是

法27（無(wú)。）>嗎）OX；-^-+g>COSXo，

作出函數(shù)y3*+Ly=c°sx在［-0勺上的圖象

9222

并注意到.±巴兩函數(shù)有交點(diǎn)可得與取值范圍是［/￡）U（￡￡］.

-32332

13.甲地與乙地相距250公里.某天小袁從上午7:50由甲地出發(fā)開車前

往乙地辦事.在上午9:00,10：00,11：00三個(gè)時(shí)刻，車上的導(dǎo)航

儀都提示“如果按出發(fā)到現(xiàn)在的平均速度繼續(xù)行駛，那么還有1小時(shí)

到達(dá)乙地”.假設(shè)導(dǎo)航儀提示語(yǔ)都是正確的，那么在上午11：00時(shí)，

小袁距乙地還有▲公里.

答案：60

解析：設(shè)從出發(fā)到上午n時(shí)行了S公里，則科上x60=250,解得-90,此時(shí)小袁

190

距乙地還有60公里.

14.定義在口,+00)上的函數(shù)Ax)滿足：①?gòu)V(2x)=c〃x)(c為正常數(shù))；②當(dāng)2

WxW4時(shí)，r(^)=i-k-3|.若函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線

上，貝Ic=▲.

答案：1或2

解析：由已知可得:當(dāng)1WXW2時(shí)，f{x)=-/(2x)=-(1-lx-3|)；

cc

當(dāng)24xW4時(shí)，/(x)=l-|x-3|;當(dāng)44xW8時(shí)，/(x)=c/(|)=c(l--3|),

11

由題意點(diǎn)(3,1),(3,1),((6,c)共線，據(jù)-c=c-1得C=1或2.

2c3-3

2

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)把答案寫在答題卡相應(yīng)的位

置上.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.(本題滿分14分)某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取容

量為50的學(xué)生成績(jī)樣本，得頻率分布表如下：

組號(hào)分組頻數(shù)頻率

第一組[230,235)80.16

第二組[235,240)①0.24

第三組[240,245)15②

第四組[245,250)100.20

第五組[250,255]50.10

合計(jì)501.00

(1)寫出表中①②位置的數(shù)據(jù)；

(2.)為了選拔出更優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽

樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)行第二輪考核，分別求第三、四、五各組參加考

核人數(shù)；

(3)在⑵的前提下，高校決定在這6名學(xué)生中錄取2名學(xué)生，求2人中

至少有1名是第四組的概率.

解：⑴①②位置的數(shù)據(jù)分別為12、

0.3；......................................4分

(2)第三、四、五組參加考核人數(shù)分別為3、2、

1;...........................8分

(3)設(shè)上述6人為aA而H其中第四組的兩人分別為d,e),則從6人

中任取2人的所有情形為：｛ab,ac,ad,ae,af,be,bd,be,

bf,cd,ce,cf,de,df,ef\

共有15

種?.......................................................10

分

記“2人中至少有一名是第四組”為事件4則事件力所含的基本事

件的種數(shù)有9

種......................................................

..........12分

所以尸⑷=2=|,故2人中至少有一名是第四組的概率為

..........14分

16.(本題滿分14分)

如圖，在三棱柱/吐44G中.

⑴若幽二4&B.CLA.B,證明：平面陽(yáng)乙平面4陽(yáng)；

(2)設(shè)〃是理的中點(diǎn)，￡是4G上的一點(diǎn)，且4夕〃平面

B.DE,求空的值.

EC1

解：⑴因?yàn)锽B^BC,所以側(cè)面BCCB是菱形，所以B.CV

BQ............3分

又因?yàn)橄，4夕，且4夕nBC,=B,所以陽(yáng)，平面

AiBC,.............5分

又4Cu平面AB.C,所以平面AB.C，平面

A.BQ......................7分

(2)設(shè)夕口交與G于點(diǎn)凡連結(jié)防則平面44GC平面身龐=小

因?yàn)?皮/平面B.DE,44u平面ABC,所以

A.B//EF..............11分

所以.=尤.

ECXFCX

又因?yàn)?=處」，所以任=

FC]耳G2EC]

--.............................14分

2

17.(本題滿分14分)

在△力夕C中，令/=2況其中a,b,c分別為角4B,C所對(duì)的邊長(zhǎng).

(1)求證：脛巴；

3

⑵若8=巴，且/為鈍角，求4

4

解：

⑴由余弦定理，得

a2+c2-b2a2+c2

cosB=............................................3分

lac4ac

因a?+，22ac

cosB>一?????????????????????????????????????????????????????????????

2

由°<一<",得’命題得

證..................................7分

(2)由正弦定理，得

sin2A+sin2C=2sin2B?................................................................................10分

因B=-，故2sin2g=1于是

4

sin2A=cos2C.......................................................................12分

因?yàn)?為鈍角，所以sinA=cosC=cos(—7i-A)=sin(A-—).

44

所以.一『人一’不合，舍)?解得人彳

14分

(2)其它方法：

法1同標(biāo)準(zhǔn)答案得到sin2A"/C,用降幕公式得到=匹，或

22

cos2A+cos2(—萬(wàn)一A)=0,展開再處理，下略.

4

法2由余弦定理得=/+C2一&團(tuán)，結(jié)合/+02=2/得行砒=62,

V2sinAsinC=sin2—,sinAsin(-K-A)=,展開后用降幕公式再合，下略.

442

法3由余弦定理得。2=/+。2一&雙，結(jié)合/+02=2/?2得J5ac=/+C2,

V2sinAsinC=sin2A+sin2C,V2sinAsin(—-A)=sin2A+sin2(—-A),下略

44

18.(本題滿分16分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓￡+￡=1(a>8>0)的離心率為更，

a2b~2

其焦點(diǎn)在圓*+,=1上.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)4B,〃是橢圓上的三點(diǎn)(異于橢圓頂點(diǎn))，且存在銳角。，使

0M=cos0OA+sinOOB.

(i)求證：直線處與出的斜率之積為定值；

(ii)求力2+您.

解：

(1)依題意，得C=l.于是，3F收，

8=1.........................................................................2分

所以所求橢圓的方程為

y+/=1?..............................................................................................4分

(2)(i)設(shè)/(為，外，夕(涇，%),則手+才=1①，5+貨=1②.

又設(shè)〃(X,。，因OM=coseOA+sin6O2,故卜=%cos"x2sm”..........R

[y=Mcos0+y2sin0.

分

因〃在橢圓上，故(…。/sin0)2+(%cose+y?sin4=1.

22

整理得(言+弘2)852。+(辛+￡翔!12。+2(g1+y%)85的11。=1.

將①②代入上式，并注意cosOsin。w0,得^^+必必二。，

所以，%磯="=-;為定

Xj%22

值....................................10分

(ii)(%%)2=(一歲)2+故片+^

又(寸+y；)+(寸+￡)=2,故X；+無(wú)；=2?

所以,

(242+0官=X；+y；+%；+y；=3.16分

19.(本題滿分16分)

已知數(shù)列｛a｝滿足：4二為二及二2,a+1=&功-1(7723),記

b〃_2=+〃；++〃；-〃,(77^^3)?

(1)求證數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)％=1+3+小，數(shù)列｛點(diǎn)｝的前〃項(xiàng)和為S,求證：水s〈〃+l.

解：(1)方法一當(dāng)?shù)?3時(shí)，因b〃_2=〃；+〃；++〃；—〃i〃2%，

故b“j=a；+魅+-+a；+a~+l-ata2anan+1②.................................2

分

②-①，得bn-i-bn-2=a1+l-a]a2an(6/n+1-1)=a1+l-(an+1+l)(an+1-1)=1,為常數(shù)，

所以，數(shù)列伉｝為等差數(shù)

歹U...................................................5分

因從二aj+a：+uj——4,

b=n+3.................................8分

方法二當(dāng)〃23時(shí)，<31(^2*,*3〃=1+3加1,31???3!己獷1=1+a加2，

將上兩式相除并變形，得

aa

d+1=n+2-n+\+1?................................2分

于是，當(dāng)〃￡N*時(shí)，

a

〃=〃；+〃；++匕2-%%n+2

=a；+a)+a；+(G5—o4+1)++(an+3—an+2+1)—axa2an+2

=a：++a；+(a“+3—a4+九—1)—(1+aa+3)=10+〃-a4>

又a=&82H3T=7,故4=T?+3(A￡N*).

所以數(shù)列依｝為等差數(shù)列，且

b=n+3..........................................8分

1_1_((H+3)(H+4)+1)2

(2)方法一因C”=1+

5+3)2(〃+4)2(”+3)2(w+4)2

12分

故展一("+3)(〃+4)+1_11_1_=1+J______

'(九+3)(九+4)(幾+3)(〃+4)〃+3〃+4

所以S"=(i+：_：)+(i+：_3++(1+々-一二)=〃+:-一二，...15分

4556n+3〃+44〃+4

即77VsV

7?+1................................................................................16分

方法二因&=1+1/+1二>1，故鹵>1，S.>n............................................

(九+3)(〃+4)

10分

4=1+-^+」<1+—1—+—1—

"(n+3)2(n+4)2(n+2)(n+3)(n+3)(n+4)

=i+—-----—<i+^—<(i+—!—)2,

n+2n+4n+2n+2

故后<1+^—,于是S“<w(l+—'―)<，7+l...........................................

n+2n+2

16分

第(2)問(wèn)，為了結(jié)果的美觀，將S放縮范圍放得較寬，并且可以改為求不小

于S的最小正整數(shù)或求不大于S的最大正整數(shù).

本題(2)的方法二是錯(cuò)誤的，請(qǐng)不要采用。

]

注意的=1+——r+---刁<1+-----------+------------

"5+3)2(”+4)2("+2)(〃+3)(71+3)01+4)

^1+—------<1+^—<(1+^—)2,

n+2n+4n+2n+2

故后《1+」一，于是S“<w(l+—I—)<w+l.

n+2n+2

于是S"<w(l+—L)<W+1。(這一步推理是錯(cuò)誤的)

n+2

20.(本題滿分16分)

設(shè)函數(shù)Hx)=蘇-(a+8)*+8x+c,其中a>0,b,c￡R.

(1)若廣e)=0,求函數(shù)廣(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)求證：當(dāng)OWxWl時(shí)，|f(x)|Wmax{尸(0),尸⑴}.(注：max{,3,8}表示

a,8中的最大值)

解：⑴由/\!)=0,得

apb....................................................1分

故f(加=ax—2ax+ax+c.

由f{x)=a(3x—4x+l)=0,得荀=1

蒞=1.....................................2分

列表：

(-8,

(r(1,+

X1

38)

1)

/(無(wú))+0—0+

f(x極大極小

增減增

)值值

由表可得，函數(shù)/U)的單調(diào)增區(qū)間是(-8,；)及(1,+

°°)?......................4分

(.2)f'(x)=3ax-2(a+5)x+左32一_a2+b2-ab.

3a3a

①當(dāng)i2,或iw0時(shí)，則「(x)在［0,1］上是單調(diào)函數(shù)，

3。3。

所以尸⑴W尸(x)W/(0),或尸(0)W尸(x)W/⑴，且尸(0)+尸⑴=a>0.

所以

|f(x)|Wmax{尸(0),尸⑴}..........................................8

分

②當(dāng)ovivi,即一a<8<2a,則一《±匕@W((x)Wmax{尸(0),尸⑴}.

3a3a

(i)當(dāng)-時(shí)，則0<a+8W的.

22

22

_ab2〃~—b-2ab3tz-(〃+/?)212)>0

/3a3a3a*

所以

|尸(x)IWmax{7(0),廣⑴}.........................................12

分

(ii)當(dāng)廣。＜2a時(shí)，則3-揪-2〃)(0,即豹(0.

-ab-a2-b2

所以Z7+b2-ab_4ab-a2-b2/+/—ab

>2------->0,即((0)>

3a3a3a3a

所以I尸(x)IWmax"，(0),廣⑴}.

綜上所述：當(dāng)OWxWl時(shí)，|4(x)|Wmax{廣(0),廣⑴}.

16分

數(shù)學(xué)口(附加題)

21.【選做題】本題包括A,B,C,D共4小題，請(qǐng)從這4題

中選做2小題，每小題10分，共20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上

準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程(第21-A題圖中

或演算步驟.

A.選修4—1：幾何證明選講

如圖，。。的直徑/夕的延長(zhǎng)線與弦力的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R￡為。。上

一點(diǎn)，A^AC,求證：/PDF/POC.

證明：因4斤4C,力夕為直徑，

故ZOAC=Z

OAE..............................................3分

所以NPOCFZOAC+Z.OCA=AOAC+Z.OAC=AEAC.

又/EAO/PDE,

所以，ZPDE-Z

POC...............................................................................................10分

B.選修4—2：矩陣與變換

已知圓C,丁+丁=1在矩陣AJ：1](a>0,b>0)對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)闄E圓

0b_

蘭+目=1,求a,6的值.

94

解：設(shè)P(x,y)為圓。上的任意一點(diǎn)，在矩陣4對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)榱硪粋€(gè)點(diǎn)

p'（x',y）,

則a0X即

0by.

x-ax,

4分

y'=by.

22?2x2b2y2,

又因?yàn)辄c(diǎn)P(xJ)在橢圓亍+?=1上，所以-----1----=1.

94

由已知條件可知，d+y2=i,所以4=9,氏4.

因?yàn)閍>0?0所以a=3

8=2..................................................................................10分

C.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中,求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)伙。,0),力⑵尖,

夕(2亞,P

(第21-C題圖卜

的圓的極坐標(biāo)方程.

解：設(shè)P。。)是所求圓上的任意

點(diǎn),3分

貝l]oP=O8cos（6-：）,

故所求的圓的極坐標(biāo)方程為

p=2A/2COS（8-：）.10分

(第21-C題答圖W

汪：/?=2亞cos(：-。)亦正確.

D.選修4—5：不等式選講

已知x,y,z均為正數(shù).求證：-+^+—^-+-+-.

°yzzxxyxyz

證明：因?yàn)閄,y,Z都是為正數(shù)，所以

二+上」(。)》2...................3分

yzzxzyxz

同理可得上+三力2二+土)2.

zx孫xxyyzy

將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2,得

工+上+二2岸+L.......io分

yzzxxyxyz

22.【必做題】本題滿分10分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

已知函數(shù)/'(尤)=ln(ax+1)+—―,x^O>其中H>0.

l+x

(1)若〃x)在處取得極