與圓有關(guān)的計(jì)算 講義-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)原卷版

考點(diǎn)21.與圓有關(guān)的計(jì)算（精練）

限時(shí)檢測(cè)1:最新各地模擬試題（50分鐘）

1.（2023?山東青島?一模）如圖，點(diǎn)A、8、C、。為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)。為正多邊形的中心，若—AD3=18。,

則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）

A.10B.12C.15D.20

2.（2023?山東淄博?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形ABCD斯內(nèi)接于。，若。的周長(zhǎng)等于6兀，則正六邊形的

A23gR7721_21V3n2773

4332

3.（2023?江蘇?統(tǒng)考三模）如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長(zhǎng)為6的正三角形A3C,糧堆母線AC的中

點(diǎn)尸處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)，小貓正在8處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處，捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)

A.3B.3^5C.36D.4

4.（2023?天津和平?統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)大的正六邊形，它的一個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正六邊形

ABCDE尸的中心。重合，且與邊AB,CD相交于點(diǎn)G,H.圖中陰影部分的面積記為S,三條線段G2,BC,

”的長(zhǎng)度之和記為/,在大正六邊形繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，S和/的值分別是（）

A.2出，4B.6，6C.4,6D.S和/的值不能確定

5.（2023?福建泉州??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，。是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，分別切A3,8于點(diǎn)M,N,

尸是優(yōu)弧禰V上的一點(diǎn)，則的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.72°D.80°

6.（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體"沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，

開(kāi)始倒轉(zhuǎn)"沙漏"，"沙漏"漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）."沙漏”是由一個(gè)圓錐體

和一個(gè)圓柱體相通連接而成.某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm,高是6cm；圓柱體

底面半徑是3cm,液體高是7cm.計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)"沙漏”中液體的高度為（）

圖（1）圖（2）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.（2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考二模）如圖，從一圓形紙片上剪出一個(gè)半徑為R、圓心角為90。的扇形；和一半徑為

「的圓，使之恰好圍成如圖所示的圓錐，則R與廠的關(guān)系為（）

A.R=2"B.R=4rC.R=20rD.R=6r

8.（2022?河北衡水?校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線8E和CP上,

且BM:ME=FN:NC=1:3,則SOBC：S的值為（）

9.（2023?吉林松原?校聯(lián)考二模）如圖，等邊一ABC是。的內(nèi)接三角形，若的半徑為2,貝hABC的邊

長(zhǎng)為_(kāi)___________.

10.（2022?山東荷澤?統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于IO,半徑。4=3,則圖中陰影部分的面積

是,（結(jié)果保留兀）

11.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)"，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近

圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積.如圖，若用圓的內(nèi)接正八邊形的面積3來(lái)近似估計(jì)。的面積S,設(shè)「。的半徑為

2,則的值為.（結(jié)果保留萬(wàn)和根號(hào)）

12.（2023?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓中內(nèi)接一個(gè)正五邊形，有一個(gè)大小為a的銳角NCOD頂點(diǎn)在圓心

3

。上，這個(gè)角繞點(diǎn)。任意轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，扇形CQD與扇形AO3有重疊的概率為葭，求夕=.

13.（2023?河南周口??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，扇形㈤WB的圓心角NAMB=60°,將扇形4WB沿射線MB平移

得到扇形CND,已知線段CN經(jīng)過(guò)a?的中點(diǎn)E,若AM=26,則陰影部分的周長(zhǎng)為.

14.（2023?陜西咸陽(yáng)??？既＃┑聡?guó)著名數(shù)學(xué)家高斯在大學(xué)二年級(jí)時(shí)得出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并

給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件.下面是高斯正十七邊形作法的一部分：“如圖，已知A3是：。的直

徑，分別以A,8為圓心、A2長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C,。兩點(diǎn)若AB的長(zhǎng)為2,則圖中CAD的

長(zhǎng)為.（結(jié)果保留萬(wàn)）

15.（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為2的：。中，沿弦折疊，恰好經(jīng)過(guò)圓心。，則圖中

陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）

16.（2024?山東泰安?一模）如圖，把長(zhǎng)為。，寬為b的矩形紙片A3CD分割成正方形紙片ABEE和矩形紙片

EFCD后,分別裁出扇形尸和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則/=______.

b

B'------------*-----'C

17.（2023?湖南湘西?校考二模）在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，某同學(xué)用一張如圖①所示的矩形紙板制做了一個(gè)扇形，

并由這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐模型（如圖②所示），若扇形的圓心角為120。，圓錐的底面半徑為2,則此圓錐

的母線長(zhǎng)為

圖①圖②

18.（2023?廣西欽州??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為2的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A,

B,C,格點(diǎn)4。的連線交圓弧于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積為

19.（2023,浙江溫州??？既＃┖贾輮W體網(wǎng)球中心以極度對(duì)稱的"蓮花"造型驚艷眾人.該建筑底部是由24

片全等"花瓣"組成的"固定花環(huán)"，上方穹頂由8片全等"旋轉(zhuǎn)花瓣"均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展

開(kāi).小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識(shí)，模擬"小蓮花"變化狀態(tài).穹頂合攏時(shí)，如圖①，正二十四邊形頂

點(diǎn)A，正八邊形頂點(diǎn)均與圓心。共線，正二十四邊形頂點(diǎn)4,4。與正八邊形頂點(diǎn)A/一/3共線，則

的值為;穹頂開(kāi)啟時(shí)，如圖②，所有"旋轉(zhuǎn)花瓣"同時(shí)繞著固定點(diǎn)M2,Mg逆時(shí)針同速旋轉(zhuǎn).圓

心。繞M旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，以此類推，當(dāng)。|落在必必上時(shí)，若0a=67.5米，貝的值為米.

20.（2023?山東青島,統(tǒng)考一模）【問(wèn)題提出】

正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個(gè)正多邊形的半徑R和中心角有什么關(guān)系？

【問(wèn)題探究】

如圖①，ABC是等邊三角形，半徑。4=R,—493是中心角，尸是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到ABC各邊

距離Pf、PE、PD分別為4、4、%,設(shè)4BC的邊長(zhǎng)是。，面積為S.過(guò)點(diǎn)。作。

SOM=Reos-ZAOB=7?cos60°,AM=Rsin-ZAOB=Rsin60°,AB=2AM=27?sin60°,

22

2

EISABC=3SAOB=3X1ABXOM=3Rsin60°cos60°,①

團(tuán)S.ABC又可以表示+色+為)②

聯(lián)立①②得;a(4+旬+%)=3R2sin60°cos60°

0^-x2J?sin60o(/i1+a+/z,)=3R2sin60°cos60°

團(tuán)/&+/4+勿=3Rcos60°

【問(wèn)題解決】如圖②，五邊形MCDE是正五邊形，半徑O4=R,/AO3是中心角，尸是五邊形ABCDE內(nèi)

任意一點(diǎn)，尸到五邊形ABCDE各邊距PH、PM、PN、PI.也分別為九、%、回、%、%，參照（1）的分

析過(guò)程，探究%+生+%+用+九5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關(guān)系.

【性質(zhì)應(yīng)用】（1）正六邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)尸到各邊距離之和4+為+%+%+%+%=.

（2）如圖③，正〃邊形（半徑是R）內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和4+為++/*+叫=.

限時(shí)檢測(cè)2：最新各地中考真題（50分鐘）

1.（2023年遼寧省沈陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于｛O,。的半徑為3,ND=120。,

則AC的長(zhǎng)是（）

24

A.冗B.—71C.2萬(wàn)D.4%

3

2.（2023年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在扇形A03中，ZAOB=60°,0。平分/AO3交.于點(diǎn)

D點(diǎn)C是半徑上一動(dòng)點(diǎn)，若。4=1,則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為（）

A.0+生B.&+&C,2及+&D,2^+-

6363

3.（2023年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，小正方形

的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)ABC外接圓的一部分，小正方

4.（2023年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于（O,分別以AS、BC、CD、AD為直

徑向外作半圓.若A5=4,BC=5,則陰影部分的面積是（）

A.——乃一20B.—71—20C.207r

42

5.（2023年福建省中考真題數(shù)學(xué)試題）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的〃割圓術(shù)〃，

即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出〃割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，

則與圓周合體，而無(wú)所失矣〃.〃割圓術(shù)〃孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率"的近似值為

3.1416.如圖，。的半徑為1,運(yùn)用〃割圓術(shù)〃，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)I。的面積，可得乃的估

計(jì)值為士8,若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得萬(wàn)的估計(jì)值為（）

A.6B.2A/2D.2^/3

6.（2023年湖北省十堰市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知點(diǎn)C為圓錐母線S3的中點(diǎn)，AB為底面圓的直徑，SB=6,

AB=4,一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為（）

B.373C.3血D.6>/3

7.（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）中國(guó)高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志.如圖是高鐵

線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（即圓?。哞F列車在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為A,曲線終點(diǎn)為8,過(guò)點(diǎn)A,5的

兩條切線相交于點(diǎn)C,列車在從A到B行駛的過(guò)程中轉(zhuǎn)角a為60°.若圓曲線的半徑。4=1.5km,則這段圓

曲線的長(zhǎng)為（）.

網(wǎng)

A.—kmB.一kmC.kmD.——km

4248

8.（2022?四川內(nèi)江?中考真題）如圖,正六邊形42。所內(nèi)接于回。，半徑為6,則這個(gè)正六邊形的邊心距

OM和8c的長(zhǎng)分別為（）

71L_4%

A.4,—B.3石，nC.2也，—D.36，2n

9.（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，該幾何體是由一個(gè)大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分.若

該幾何體上、下兩個(gè)圓的半徑分別為1和2,原大圓錐高的剩余部分。。為血，則其側(cè)面展開(kāi)圖的面積為

C.3岳D.4岳

10.（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線AB、。相交于點(diǎn)E.則

線段班的長(zhǎng)為

11.（2023年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)真題）圓錐的高為2忘，母線長(zhǎng)為3,沿一條母線將其側(cè)面展開(kāi),

展開(kāi)圖（扇形）的圓心角是度，該圓錐的側(cè)面積是（結(jié)果用含乃的式子表示）.

12.（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)

算圓弧長(zhǎng)度的"會(huì)圓術(shù)"，如圖.48是以。為圓心，為半徑的圓弧，C是弦A8的中點(diǎn)，D在4B上，

CD2

CD,AB.“會(huì)圓術(shù)”給出48長(zhǎng)/的近似值s計(jì)算公式：s=AB+^-,當(dāng)OA=2,NAC?=90。時(shí)，

|/-s|=.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

13.（2023年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題）用半徑為24cm,面積為120;1cm?的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的

側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為cm.

14.（2023年甘肅省武威市中考數(shù)學(xué)真題）如圖1,我國(guó)是世界上最早制造使用水車的國(guó)家.1556年蘭州人

段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐.而今，蘭州水

車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標(biāo)志性景觀，是蘭州"水車之都"的象征.如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水

車輪的輻條（圓的半徑）Q4長(zhǎng)約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長(zhǎng)方體形狀的水斗，

當(dāng)水流沖動(dòng)水車輪刮板時(shí)，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動(dòng)，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)A處離開(kāi)水面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。上

升至輪子上方8處，斗口開(kāi)始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從A處（舀

水）轉(zhuǎn)動(dòng)到5處（倒水）所經(jīng)過(guò)的路程是米.（結(jié)果保留萬(wàn)）

滴‘

圖1