版小學(xué)5年級數(shù)學(xué)知識點(diǎn)數(shù)學(xué)第8講比例模型(教師版)

第，,餅比例饃型

作業(yè)完成情況

知識楊理

1鳥頭模型

兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ),這兩個三角形叫做共角三角形.

鳥頭模型：有相等（或互補(bǔ)）的內(nèi)角的兩個三角形,其面積比等于相等（或互補(bǔ)）內(nèi)角的夾

邊乘積之比.

SADEADxAE

即有關(guān)系式A________存在。

SABCABxAC

2、風(fēng)箏模型（蝶形定理）

任意四邊形中的比例關(guān)系:

①SS-SS請/SxS=SxS

1243取百1324

@AO:OC=（S+S）:（S+S）

1243

蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途

徑.通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的

三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)

系.梯形中比例關(guān)系

①S:S=G：b2

13

②S:S:S:S=：b^:ab:ab;

1324

1

③S的對應(yīng)份數(shù)為(a+b)2.

3相似模型

^ADAEDEAF

^-AB~~AC^^C~~AG

②S：S=AFi:AGi

AADEAABC

教學(xué)重-唯皮

正確識別各種圖形所屬的模型,并正確熟練運(yùn)用比例模型中的關(guān)系

特色講解

例1如圖在AABC中，D,E分別是A,BA上C的點(diǎn)，且

AD:AB=2:5,AE:AC=4:7,s=16平方厘米，求4A臺。的面積.

AADE

答案70平方厘米

解析連接8E,S:S=AD:AB=2:5=(2x4):(5x4),

/\ADEAABE

2

S:S=AE:AC=4:7=(4x5):(7x5)，所以S:S=(x24x):,設(shè)

AABEAABCAADEAABC

S=8份，則S=35份，S=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平

AADE△ABC/\ADE

方厘米，ZSABC的面積是70平方厘米

例2已知△。歷的面積為7平方厘米，BEMCE.AOMZBZXCTMBAF,求的面積.

答案24平方厘米

解析

S:S=(BDXBE):{BAxBC)=(lx1)：(2x3)=1:6

XBDEAABC

S:S=(CEXCF):(CBXCA)=(lx3):(2x4)=3:8

4CEF/\ABC

S:S=(ADXAF):(ABxAC)=(2x1)：(3x4)=1:6

/\ADFAABC

設(shè)S=24份，則S=4份，5=4份，5=9

△ABCABDEAADF/\CEF

份，S=24-4-4-9=7份,恰好是7平方厘米，所以S=24平方厘米

/\DEFAABC

例3如圖,長方形ABCQ的面積是36,E是AD的三等分點(diǎn)，AE=2ED,則陰影部分的面積

為.

答案2.7

3

解析如圖，連接OE.根據(jù)蝶形定理，ON:ND=S:S=ls:S

,所以

\COEACDE2ACAE/NCDE=1:1

s=?s；OM:MA=S:S

=—S,:S=1:4所以

△OEN2△OED^BOEABAE2A,BDEABAE

S=-S又S=1x15=3SAOE4=2SA°EO=6,所以陰影部分

AO石5也AOE?竽4A矩形ABC0

面積為：3x-+6x-=2.7.

25

例4如圖，已知cr>=5,DE=7,EF=15,萬G=6,線段AB將圖形分成兩部分，左邊部分面

積是38,右邊部分面積是65,那么三角形AOG的面積是.

答案40

解析連接A尸，BD.

根據(jù)題意可知，CF=5+7+15=27;Z)G=7+15+6=28;

所

0_1512217

以S―――SS=—SS=—SS=-S

2EF27kCBFAB￡C27、CBF'AAEG28.0GMED28MDG

91is7I?

干是._S+_5=65.—S+—S=38.

28AADG27ACBF'28MOG27ACBF'

可得S=40.故三角形ADG的面積是40.

AADG

例5四邊形ABC。的對角線AC與5。交于點(diǎn)O（如圖所示）.如果三角形ABQ的面積等于

三角形BCA的面積的［，且AO=2,=3,那么C。的長度是。。的長度的倍.

3

4

AD

"7

BC

答案2:1

解析...他OC=S.:S.=1:3,，℃=2x3=6,，℃:8=6:3=2:1

例6如圖，△ABCDE,FG,BC互相平行，AD=DF=FB,

則S：S：S=

、AADE四邊形0EG尸四邊形尸GC5----------

A

BC

答案1:3:5

解析設(shè),△皿=1份,根據(jù)面積比等于相似比的平方，

m、jS:S=A￡>2：AF2=1：4S:S；=A￡>2：AB2=1:9

rn么/XADEAAFG，AADE△ABC，

因此S*=4份，S3c=9份，

進(jìn)而有‘四邊形DEGF3份，'四邊形FGCB5份，所以S:S:S=1:3:5

/\ADE四邊形DEGF四邊形FGC5

當(dāng)堂練習(xí)

A

1如圖,三角形ABC的面積為3平方厘米，其中A5:BE=2:5,BC:CD=3:2,

5

三角形BDE的面積是多少？

答案12.5平方厘米

解析

由于ZABC+/DBE=180。，所以可以用共角定理設(shè)A3=2份，BC=3份,則BE=5份，

8。=3+2=5份，由共角定理S:S=(A3xBC):(8ExBO)=(2x3):(5x5)=6:25,設(shè)

△ABCABDE

S=6份,恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25x0.5=12.5平方厘米,

△ABC

三角形BOE的面積是12.5平方厘米

2如圖，平行四邊形A8CD,BE=AB,CF=1CB,GD=3DC,HA=4AO,平行四邊形

ABCZ)的面積是2,求平行四邊形ABCD與四邊形的面積比.

答案1/18

解析連接AC、BD.根據(jù)共角定理

在AABC和4BFE中，ZABC與NFBE互補(bǔ),

ABBC1x11

-AS€-=

SBEBF1x33

AFBE

又S=1,所以S=3.

△ABCAFBE

同理可得S=8,S=15,S=8.

△GC尸△DHG△AEH

所以S=S+S+S+S+S=8+8+15+3+2=36.

EFGH^AEHACFGADHG/\BEFABCD

所以221

ABCD

S3618

EFGH

3如圖，三角形ABC的面積是1,E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在BC上，且BD:OC=1:2,與

6

BE父子點(diǎn)、F.則四邊形OFEC的面積等于.

答案5/12

SBD1SAE.

解析方法一：連接CF,根據(jù)燕尾定理，寸由=后=5,b匹=行=1,

AACFACBF

設(shè)S八=1份則S=2份S八=3份S=S=3份如圖所標(biāo)所

以刀，人刀'W,刀，刈目僅、

/\BDF?J^DCF?AABFAAEFAEFCI

DCEF12△ABC12

方法二：連接OE,由題目條件可得到=gS-Bc=1

1

--X1BFS1

s=-s2-5=—所以---=展4即

△ADE2△ADC3△ABC3'尸入FESi

△ADE

S=_xS=_x_xS=_x_x_xS=—

叢DEF2^DEB23ABEC232AABC12'

211v

而5人「.=萬、5*5=、?所以則四邊形。尸EC的面積等于

/XCDEJ2/XABCJ

4如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知,

求：⑴三角形BGC的面積;⑵AG:GC=?

7

答案61:3

解析⑴根據(jù)蝶形定理SBG31=2X3,那么sBGC=6；

⑵根據(jù)蝶形定理，AG:GC=(1+2):(3+6)=1:3.

5如圖，平行四邊形ABC。的對角線交于O點(diǎn)，八LOEF、AODF、ZiBOE的面積

依次是2、4、4和6.求：⑴求△OC廠的面積;⑵求AGCE的面積.

EC

答案42/3

解析⑴根據(jù)題意可知，LBCD的面積為2+4+4+6=16,那么△BCO和AC。。的面積都是

16+2=8,所以△OC歹的面積為8-4=4;

⑵由于△BCO的面積為8,ABOE的面積為6,所以4OCE的面積為8-6=2,

根據(jù)蝶形定理，EG.FG=S:S=2:4=1:2,所以

△COEACOF

S:S=E=GKG

AGC\ECF

1+2\CEF3

6如圖,長方形ABC。中，BE:EC=2:3,。尸：尸。=1:2,三角形。尸G的面積為2平方厘米,

8

求長方形A8C￡>的面積.

答案72平方厘米

解析連接AE,下從

3111

mBE:EC=2:3，OEC=1:2,所以S四=(丁^￡?長方形g=江長方形s.

因為$四[S-p，⑶：G/毛：/5:1,所以晨。=5S.=10平方厘米，所

以S49=12平方厘米-因為SAF°=[S長方形.Ro,所以長方形ABCO的面積是72平方

厘米.

7如圖,正方形A5C。面積為3平方厘米，/是A。邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積.

答案1平方厘米

解析因為〃是A。邊上的中點(diǎn)，所以AM:2c=1:2,根據(jù)梯形蝶形定理可以知道

S:S:S;S=12：(1X2):(1><2):22=1：2:2:4,設(shè)S=1份，則

△AMG/\ABGXMCG叢BCG△AGM

s=1+2=3份，所以正方形的面積為1+2+2+4+3=12

/\MCD

份,S陰影=2+2=4份,所以S陰影:S正方形=1:3,所以S陰影=1平方厘米.

8在下圖的正方形A5CD中，E是邊的中點(diǎn)，AE與5。相交于尸點(diǎn)，三角形肥尸的面積

9

為1平方厘米,那么正方形A8C。面積是平方厘米.

答案12平方厘米

解析連接DE,根據(jù)題意可知BE-.AD=V.2,根據(jù)蝶形定理得梯形=（1+2）2=9（平方厘

米），=3（平方厘米），那么S4=12（平方厘米）.

LXtLCLJ/IjDC-Zy

9已知ABC。是平行四邊形，BC:CE=3:2,三角形Or）E的面積為6平方厘米.則陰影部分

的面積是平方厘米.

答案21平方厘米

解析連接AC.

由于ABCZ）是平行四邊形，BC:CE=3:2,所以CE:AO=2:3,

根據(jù)梯形蝶形定理，S:5:S:S=22:2x3:2x3:32=4:6:6:9,所以

COEAOCDOEAOD

S4c廣6（平方厘米），s=9（平方厘米），又s=s=6+9=15（平方厘米），

AOCAODABCACD

陰影部分面積為6+15=21（平方厘米）.

10

10右圖中ABC。是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米）

陰影部分的面積是平方厘米.

答案6平方厘米

解析連接AE.由于4。與BC是平行的,所以AEC。也是梯形,那么'=S.

/\V_-Ly/\\/zl

S

根據(jù)蝶形定理，AOCDxS=Sx5=4x9=36故

\OAE\OCE\OAD'

S2=36

\OCD

所以'AOCD=6（平方厘米）.

C

11右圖中A8C。是梯形，A3即是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米）,

陰影部分的面積是平方厘米.

答案4平方厘米

解析連接AE.由于與BC是平行的，所以AEC。也是梯形，那么S=S

△OCD\OAE

5xx5

根據(jù)蝶形定理，aocd\oae=\OCEAOAD=2X8=16，故

84。62=16，所以心。。=4（平方厘米）.

另解：在平行四邊形ABE。中，S=?S=2x（16+8）=12（平方厘米），

MDE2ABED2

所以s=S—S=12-8=4（平方厘米），

AAOfAA￡>￡MOD

根據(jù)蝶形定理,陰影部分的面積為8x2+4=4（平方厘米）.

11

12在四邊形ABCD中，其對角線AC、DB交于E點(diǎn)。且AF=CE,DE=BG。已知四邊形ABCD

的面積為1,求4EFG的面積。

答案1

解析

分別用a、b、c、d表示ACDE、△ADE.△ABE、△BCE。

由鳥頭模型,可知：

a:SAEFG=(CExDE):(EFxEG);

b:SAEFG=(AExDE):(EFxEG);

C:SAEFG=(AEXBE):(EFXEG);

d:SAEFG=(CExBE):(EFxEG).

因止匕,(a+b+c+d):4SaEFG=

(CExDE+AExDE+AExBE+CExBE):(EFxEG)=[DEx(AE+CE)+BEx(AE+CE)]:(EFxEG)=[(A

E+CE)x(BE+DE)]:(EFxEG)=(ACxBD):(EFxEG)o

因為AF=EC、DE=BG,可知BD=EG、EF=AC,因此(ACxBD):(EFxEG)=E,即SAEFG=S四

邊形ABCD=1

12

13如圖所示,正方形ABC。邊長為6厘米，AE=」AC,CP=18C.三角形DEF的面積

33

為平方厘米.

答案10平方厘米

解析由題意知AE=1AC、CT='C,可得CE=2AC.根據(jù)“共角定理”可得，

333

S:S=(CPxCE):(CBxAC)=(lx2):(3x3)=2:9；而S=6x6+2=18;

ACEFAABCAABC

所以s=4;同理得，S:S=2:3S=18-3x2=12,S=6

△CEF4CDE△ACDACDEACDF

故S=S+S-S=4+12-6=10(平方厘米).

ADEFACEF△DECADFC

14如圖，已知三角形ABC面積為I,延長AB至。，使BD=AB;延長8c至E,使

CE=2BC；延長G4至尸，使AF=3AC,求三角形。￡下的面積.

答案18

解析用共角定理：在-A8C和-CFE中，NAC8與“CE互補(bǔ)，

.SACBC1x11

??i—6C==-=--二—.

SFCCE4x28

FCE

又S=1,所以S=8.

ABCFCE

同理可得S=6,S=3.

ADFBDE

所以S=S+S+S+S=1+8+6+3=18.

DEFABCFCEADFBDE

13

15如圖所示,正方形ABC。邊長為8厘米，E是AO的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，G是5歹的

中點(diǎn),三角形A3G的面積是多少平方厘米？

答案12平方厘米

解析連接AF、EG.

因為S=S=1x82=16,根據(jù)“當(dāng)兩個三角形有一個角相等或互補(bǔ)時，這兩

△BCF△CDE4

個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比"S=8,S=8,再根

AEFEFG

據(jù)”當(dāng)兩個三角形有一個角相等或互補(bǔ)時,這兩個三角形的面積比等于夾這個角的

兩邊長度的乘積比”，得到S=16,S=32,5=24,所以S=12平方厘

BFCABFEABFABG

米.

當(dāng)堂檢測

1如圖,三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6乙部

分面積是甲部分面積的幾倍？

答案5

解析連接AD."：BE=3,AE=6：.AB=3BE,S=3s

ABDBDE

又：8O=OC=4,S=2S,：,S=6S,S=5S

ABCABDABCBDE乙甲

14

2如圖在AABC中，。在BA的延長線上，E在AC上，且

AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,s=口平方厘米，求4A臺。的面積.

△ADE

答案50平方厘米

解析連接3E,S:S=AO:AB=2:5=(2x3):(5x3)

/\ADEAABE

所以S:S=(3x2):kx(3+2)]=6:25,設(shè)S=6份，則S=25份，S=12

△ADE/\ABC△ADEAABC△ADE

平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面積是50平方厘米.

3長方形A8CD的面積為3652,E、F、G為各邊中點(diǎn)，H為4。邊上任意一點(diǎn)問陰影部分

面積是多少？

答案13.5

s=_s

M)HG29肌

而

S=S+S+S=36

ABCDMHBACHBbCHD

15

S+S+S=1（S+S+S）=lx36=18

^EHB\BHF\DHG2^HBNCHB\CHD2

S+S+S=S+S

空HB\BHF^DHG陰影\EBF

S=1XBEX8尸=」義（』XAB）X（1義BC）=1X36=4.5

AEBF22228

所以陰影部分的面積是：,陰影=187皿=18-4.5=13.5

4如圖所示,在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF=2CF,三角形AFE（圖中陰影部分）

的面積為8平方厘米.平行四邊形的面積是多少平方厘米？

答案48平方厘米

解析連接FB.三角形AFB面積是三角形CFB面積的2倍，而三角形AFB面積是三角形AEF

面積的2倍,所以三角形ABC面積是三角形AEF面積的3倍;又因為平行四邊形的面積是三角

形ABC面積的2倍,所以平行四邊形的面積是三角形AFE面積的（3x2）=6倍.因此,平行四

邊形的面積為8x6=48（平方厘米）.

5如圖，△ABC中，DE,FG,MN,PQ,BC互相平行，尸=MP=P8,則

S:S:S;S:S=

/\ADE四邊形OEGf1四邊形尸GNM四邊形MN。尸四邊形尸0cB.

答案1:3:5:7:9

、瓜S=1-S:S=AD^：AF2=1:4..

解析設(shè)△ADE份，△ADEAAFG,m因此

S=4S=3

△AFG份，進(jìn)而有四邊形DEG尸份，同理有

S-5S=7s=9

四邊形FGNM份，四邊形MAQP份，四邊形p0c5份.

所以有

S:S:S:S:S=1:3:5:7:9

/XADE四邊形Z5EGF四邊形R7NM四邊形MNQP四邊形PQC8

16

當(dāng)堂忍結(jié)

家庭作業(yè)

1如圖在△ABC中，D,E分別是A8,AC上的點(diǎn)，且

AD:AB=2:5,AE:AC=4:7,S=16平方厘米，求△43C的面積.

AADE

答案70平方厘米

解析連接BE,S:S=AD:AB=2:5=(2x4):(5x4),

△ADE/\ABE

S:S=AE:AC=4:7=(4x5):(7x5),所以S:S=(2x4):(7x5),

△ABEAABC/\ADE△ABC

設(shè)S=8份，則S=35份，S=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35

AADEAABCAADE

份就是70平方厘米，ZiABC的面積是70平方厘米.

2如圖,三角形ABC中，A8是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形AOE的面積等于1,

那么三角形ABC的面積是多少？

17

AA

r\

BL-----------------xc

答案15

解析連接8E.

,/EC=3AE：.S=3SXVAB=SAD：.S=S+5=S+15,，

ABCABEADEABEABC

S=155=15.

ABCADE

3如圖，園林小路由白色正方形石板和紅、青兩色的三角形石板鋪成問：內(nèi)圈

紅色三角形石板的總面積大,還是外圈青色三角形石板的總面積大？

答案