2024年中考數(shù)學(xué) 軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)的核心知識(shí)點(diǎn)精講 講義（含答案）

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軸對(duì)稱(chēng)'平移'旋轉(zhuǎn)的核心知識(shí)點(diǎn)精講

面r^^jj

1.理解軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形概念；

2.掌握?qǐng)D形的平移的性質(zhì)及有關(guān)計(jì)算；

3.掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)并運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算；

4.掌握位似的性質(zhì)。

考點(diǎn)i：軸對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)

軸對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)

:4屋口，

圖

形

B\CH

如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后，

如果兩個(gè)圖形對(duì)折后，這兩個(gè)圖形能

定直線兩旁的部分能夠完全重合，那么

夠完全重合，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)圖

義這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直

形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸

線叫做對(duì)稱(chēng)軸

對(duì)應(yīng)線段AB=A'B',BOB'C,

AB=AC

相等AOA'C

性對(duì)應(yīng)角相

質(zhì)等9/C

對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分

(1)軸對(duì)稱(chēng)圖形是一個(gè)具有特殊形狀(1)軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)

區(qū)的圖形，只對(duì)一個(gè)圖形而言；系，必須涉及兩個(gè)圖形；

別(2)對(duì)稱(chēng)軸不一定只有一條(2)只有一條對(duì)稱(chēng)軸

(1)沿對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折，兩部分重合；(1)沿對(duì)稱(chēng)軸翻折，兩個(gè)圖形重合；

關(guān)(2)如果把軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸分成(2)如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱(chēng)的圖形拼在

系“兩個(gè)圖形”，那么這“兩個(gè)圖形”一起，看成一個(gè)整體，那么它就是一

就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱(chēng)個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形

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1.常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓.

2.折疊的性質(zhì):折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

3.作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的一般步驟

1）過(guò)已知點(diǎn)作已知直線（對(duì)稱(chēng)軸）的垂線，標(biāo)出垂足；2）在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點(diǎn)到

垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

4.作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱(chēng)圖形的一般步驟

1）作出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；

2）把這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)順次連接起來(lái)，就形成了一個(gè)符合條件的對(duì)稱(chēng)圖形.

考點(diǎn)2：圖形的平移

1.定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形由一個(gè)位置沿某個(gè)方向移動(dòng)到另一個(gè)位置，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移.平移

不改變圖形的形狀和大小.

2.三大要素：一是平移的起點(diǎn)，二是平移的方向，三是平移的距離.

3.性質(zhì)：

1）平移前后，對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相等；2）各對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行（或在同一條直線上）且

相等；3）平移前后的圖形全等.

4.作圖步驟：

1）根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）按平移方向和平移距離平移各

個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形.

考點(diǎn)3：圖形的旋轉(zhuǎn)

1.定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫

旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過(guò)的這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角.

2.三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.

3.性質(zhì)：

1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2）每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

4.作圖步驟：1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）連接關(guān)鍵

點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn),

得到旋轉(zhuǎn)后的圖形.

【注意】旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)

旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運(yùn)用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起

著關(guān)鍵的作用.

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考點(diǎn)4：中心對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)

中心對(duì)稱(chēng)圖形中心對(duì)稱(chēng)

B

圖

月』----C'

形

RL----------/('

R'

定如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后

義它自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心與另一個(gè)圖形重合，我們就把這兩個(gè)

對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱(chēng)中心圖形叫做成中心對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)4與點(diǎn)H,點(diǎn)6與點(diǎn)H,點(diǎn)C

對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)、4與點(diǎn)C,點(diǎn)8與點(diǎn)。

與點(diǎn)c

性AB^CD,

對(duì)應(yīng)線段AB=A'B',BOB'C,AOA1C

質(zhì)AI^BC

/擊/C

對(duì)應(yīng)角/MNA',ZC=ZC

區(qū)中心對(duì)稱(chēng)圖形是指具有某種特性的一個(gè)

中心對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形的關(guān)系

別圖形

把成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)

聯(lián)把中心對(duì)稱(chēng)圖形的兩個(gè)部分看成“兩個(gè)圖

“整體”，則“整體”成為中心對(duì)稱(chēng)

系形”，則這“兩個(gè)圖形”成中心對(duì)稱(chēng)

圖形

常見(jiàn)的中心對(duì)稱(chēng)圖形

平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等.

注意：圖形的“對(duì)稱(chēng)”“平移”“旋轉(zhuǎn)”這些變化，是圖形運(yùn)動(dòng)及延伸的重要途徑，研究這些變換中的圖形

的“不變性”或“變化規(guī)律”.

考點(diǎn)5：坐標(biāo)變換的規(guī)律

(1)P(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,—b)；

(2)P(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一a,b)；

(3)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一a,—b).

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■.典例引領(lǐng)

【題型1:平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱(chēng)的識(shí)別】

【典例1】（2024?蘇州）古典園林中的花窗通常利用對(duì)稱(chēng)構(gòu)圖，體現(xiàn)對(duì)稱(chēng)美.下面四個(gè)花窗圖案，既是軸對(duì)

稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

【答案】C

【解答】解：/、原圖不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

8、原圖既不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、原圖既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

。、原圖不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【變式1-1］（2024?泰州）書(shū)法是我國(guó)特有的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，其中篆書(shū)具有象形特征，充滿(mǎn)美感.下列“?！?/p>

字的四種篆書(shū)圖案中，可以看作軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A?B福D覬

【答案】c

【解答】解：A,B,。選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

C選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

故選：C.

【變式1-2］（2024?廣西）下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

【答案】A

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【解答】解：/、圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；

2、圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

C、圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

。、圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意.

故選：A.

【變式1-3］（2024?宜昌）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響.下列圖形“楊輝三角

“中國(guó)七巧板”“劉徽割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對(duì)稱(chēng)圖形是（）

【答案】D

【解答】解：選項(xiàng)/、B、C都不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以

不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.

選項(xiàng)。能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱(chēng)圖形.

故選：D.

■典例期領(lǐng)

【題型2：平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的應(yīng)用】

【典例2】（2024?無(wú)錫）如圖，△48C中，/B4c=55°,將△/8C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<55°）,得到

△ADE,DE交AC于F.當(dāng)a=40°時(shí)，點(diǎn)。恰好落在8c上，此時(shí)//FE等于（）

【答案】B

【解答】解：,將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<55°),得到

:./BAC=/DAE,ZBAD=ZCAE=40°,AB=AD,NC=NE,

：.Z5=70°,

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：.ZC=ZE=55°,

...N/FE=180°-55°-40°=85

故選：B.

,,即時(shí)檢測(cè)

【變式2-1］（2024?南充）如圖，將△NBC沿3c向右平移得到△￡>￡/,若2C=5,BE=2,則C戶(hù)的長(zhǎng)是

()

【答案】A

【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：CF=BE=2,

故選：A.

【變式2-2］（2024?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作:

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形N8ER然后把紙片展平；

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)尸處，得到折痕血W,如圖②.

根據(jù)以上的操作，若/2=8,/。=12,則線段的長(zhǎng)是（）

【答案】C

【解答】解：如圖①，：四邊形/BCD是矩形，45=8,/。=12,

:.DC=AB=8,BC=AD=12,ZBAD=ZB=90°,

由折疊得//尸￡=/8=90°,

四邊形N8EF是矩形，

尸=/8=8,

四邊形/3￡尸是正方形,

:.BE=EF=AB=8,NBEF=90°,

如圖②，由折疊得月Vf=CM,

"：EM2+EF2=FM2,S.EM=8-BM,FM=CM=n-BM,

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/.(8-BM)2+82=(12-BM}2,

解得8M=2,

故選：C.

【變式2-3】(2024?寧夏)如圖，在△N8C中，NBAC=9Q°,AB=AC,BC=2.點(diǎn)。在3C上，且AD：

C￡>=1：3.連接NZ),線段繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段連接BE,DE.則的面積是

A.AB.3c.3D.3

4842

【答案】B

【解答】解：???線段繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段/E,

：.AD=AE,ZDAE=90°,

：.ZEAB+ZBAD=90°,

在△/BC中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZBAD+ZCAD=90°,ZC=ZABC=45°,

：.ZEAB=ZCAD,

:.△EAB"/\DACCSAS）,

；.NC=/ABE=45°,CD=BE,

:.NEBC=/EBA+NABC=9Q°,

\'BC=2,BD：CD=l：3,

：.BD=^,CD=BE=3,

22

111oo

???SABDE^BD.BE=￥X-X-=T

故選：B.

二曲例即箍

【題型3：圖形變化與點(diǎn)坐標(biāo)變化】

【典例3】（2024?海南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/在y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,0）,將△480繞

著點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△D3C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

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(3,3?)C.(6,3)D.(3,6)

【解答】解：作軸于

?.,點(diǎn)2的坐標(biāo)為（6,0）,

:,BC=OB=6,

ZOBC=60°,

?,-w=yBC=3-cm

：.OM=OB-BM=6-3=3,

：.C(3,3A/3).

F即時(shí)檢測(cè)

【變式3-1］（2024?金華）如圖，兩盞燈籠的位置/,2的坐標(biāo)分別是（-3,3）,（1,2）,將點(diǎn)2向右平移

2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)玄，則關(guān)于點(diǎn)/,B'的位置描述正確的是（）

A.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線〉=x對(duì)稱(chēng)

【答案】B

【解答】解：???點(diǎn)）由點(diǎn)2（1,2）向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到

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此時(shí)夕坐標(biāo)為(3,3).

與次關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

故選：B.

【變式3-2](2024?青島)如圖，將線段先向左平移，使點(diǎn)2與原點(diǎn)。重合，再將所得線段繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

180°得到線段B',則點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,-2)D.(-3,2)

【答案】A

【解答】解：如圖，

由題意可知，點(diǎn)/(0,3),B(2,0),

由平移的性質(zhì)得：A"(-2,3),點(diǎn)8(0,0),

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：點(diǎn)4與/關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

：.A'(2,-3),

故選：A.

【變式3-3](2024?聊城)如圖，在直角坐標(biāo)系中，△/3C各點(diǎn)坐標(biāo)分別為/(-2,1),3(-1,3),C

(-4,4).先作△48C關(guān)于x軸成軸對(duì)稱(chēng)的△小BiQ,再把△小必入平移后得到△42助。2?若&(2,

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【答案】B

【解答】解：(-2,1),3(-1,3),C(-4,4)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為小(-2,-1),

B\(-1)-3),Ci(-4,-4),

又：當(dāng)⑵1),

平移規(guī)律為向右平移3個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位，

.,.點(diǎn)42坐標(biāo)為(-2+3,-1+4),即(1,3).

故選：B.

【變式3-4](2024?朝陽(yáng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(2,2),B(4,1),以原點(diǎn)。為位似中

心，相似比為2,把△048放大，則點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(1,1)B.(4,4)或(8,2)

C.(4,4)D.(4,4)或(-4,-4)

【答案】D

【解答】解：???以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2,把△0/8放大,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),

.?.點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2X2,2X2)或(2X(-2),2X(-2)),即(4,4)或(-4,-4),

故選：D.

A

\曲例弟箍

【題型4：與平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱(chēng)相關(guān)的網(wǎng)格作圖】

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【典例4】（2024?達(dá)州）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,△48C的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)

上.

（1）將△45C向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到△4SQ,畫(huà)出△小SQ；

（2）將△45C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△42當(dāng)。2，畫(huà)出△/2?2。2；

（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中請(qǐng)計(jì)算出△NBC掃過(guò)的面積.

（2）見(jiàn)解答；

（3）5兀+5.

22

【解答】解：（1）△小小。1如圖所示;

（2）△42&。2如圖所示；

=2X3X2Xx

⑶SAABC-7l-f2Xl-yX3X1=/，

V^C=V12+32=V10,

.?-90兀（713）2=5

嗝形CAA23602

在⑵的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的面積=S扇形,人/+$21詆=沙+/

V即時(shí)檢?

【變式4-1］（2024?宜昌）如圖，在方格紙中按要求畫(huà)圖，并完成填空.

（1）畫(huà)出線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線段OB,連接/2；

（2）畫(huà)出與△403關(guān)于直線03對(duì)稱(chēng)的圖形，點(diǎn)工的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是C；

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【答案】(1)(2)見(jiàn)解答；

(3)45°.

【解答】解：(1)如圖，為所作;

(2)如圖，△CO8為所作；

(3)???線段。/繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的線段08,

：.OB=OA,ZAOB^90°,

4OAB為等腰直角三角形，

：.ZOAB^45°,

△COB與AAOB關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)，

工NOCB=NO4B=45°.

故答案為：45°.

【變式4-2](2024?寧波)在4X4的方格紙中，請(qǐng)按下列要求畫(huà)出格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上).

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圖1圖2

(1)在圖1中先畫(huà)出一個(gè)以格點(diǎn)尸為頂點(diǎn)的等腰三角形加瓦再畫(huà)出該三角形向右平移2個(gè)單位后的

△PA'B'.

(2)將圖2中的格點(diǎn)△/5C繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,畫(huà)出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的B'C.

【答案】圖形見(jiàn)解答.

【解答】解：(1)如圖1,

圖1圖2

(2)如圖2,△/'B'C即為所求.

【變式4-3](2024?黑龍江)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△48C的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(2,-1),

B(1,-2),C(3,-3).

(1)將△45C向上平移4個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到△/pBiQ,請(qǐng)畫(huà)出△N/iG；

(2)請(qǐng)畫(huà)出△/2C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△/2&。2；

(3)將繞著原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△/383C3，求線段在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積

(結(jié)果保留it).

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【答案】(1)圖形見(jiàn)解答;

(2)圖形見(jiàn)解答；

(3)

4

【解答】解：(1)如圖所示，△4約。1即為所求;

(2)如圖所示，△/2&C2即為所求;

(3)將△/2以。2繞著原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△/3%。3,如圖，連接0c3交A2A3于〃連接

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,*A2(-2,-1),B?(-1,-2),。2(-3,-3),

?，.042=^2^+1^=V5，OB2={F+22=5/5，OC2—r32+32=3V2，

：.042=0B?=OD=OE=,

由旋轉(zhuǎn)得：。％2=。43，OB2=OB3,OC2=OC3,A2C2=A3C39ZC2OC3=ZDOE=90°,

.9.AOA2C2^AOA3C3CSSS),

=S

?，,SAOA2C2AOA3C3,

二線段/2C2在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積=s扇形coc-S扇形00￡=90.冗點(diǎn))2一90.冗;6臚)2

=13兀

4

好題沖關(guān),

、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一.選擇題（共8小題）

1.在學(xué)習(xí)圖案與設(shè)計(jì)這一節(jié)課時(shí)，老師要求同學(xué)們利用圖形變化設(shè)計(jì)圖案，下列設(shè)計(jì)的圖案中既是中心對(duì)

稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

【答案】B

【解答】解：/、既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

2、既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

2.在《生活中的平移現(xiàn)象》的數(shù)學(xué)討論課上，小明和小紅先將一塊三角板描邊得到△/3C,后沿著直尺8C

方向平移3cm,再描邊得到到△￡>￡尸，連接/D如圖，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)A/BC的周長(zhǎng)為16cm,則四邊形加9FD

的周長(zhǎng)為（）

AD

F

BEC

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A.16cmB.22cmC.20cmD.24cm

【答案】B

（解答］解：:AABC沿BC方向平移3cm得到^DEF,

:.CF=AD=3cm,4C=DF,

：△NBC的周長(zhǎng)為16an,

:?AB+BC+AC=16cm,

；?四邊形48萬(wàn)=AB+BC+CF+DF+AD

=AB+BC+AC+CF+AD

=16+3+3

=22（cm）.

故選：B.

3.如圖，△ZB。與△48。關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)，連接44,BB\CC,其中55,分別交4C,A,。于點(diǎn)。，

D,,下列結(jié)論：①44〃BB'；②NADB=NA'D'B'；③直線/垂直平分/4；④直線N2與49的

交點(diǎn)不一定在直線/上.其中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】A

【解答】解：:△ABC和△ZE。關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)，

：.AA'//BB',故/正確，

AAADD'=NHD'D,

：.ZADB=ZA'D'B',故8正確，；

,/ZUBC和△48。關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)，

線段44'、BB'、C。被直線/垂直平分，正確，不符合題意；

,/AABC和關(guān)于直線/對(duì)稱(chēng)，

.,.直線/垂直平分故C正確；

,/N4BC和△HB'。關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)，

線段/C、4。所在直線的交點(diǎn)一定在直線/上，故。錯(cuò)誤，

故選：A.

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4.如圖，在長(zhǎng)方形4BCD中，48=5,BC=3,將長(zhǎng)方形沿折疊，使得點(diǎn)/落在CD邊上尸處，則/E

332

【答案】B

【解答】解：??.將長(zhǎng)方形沿BE折疊，使得點(diǎn)/落在CD邊上尸處，

:.AB=BF=5,AE=EF,

-'-CF=VBF2-BC2=4,

：.DF=1,

:.AE=EF=VDF2+DE2=V（3-AE）2+l2'

解得/￡=$,

3

故選：B.

5.如圖，將△/8C繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△48'C,若3=45°,且/夕_L8C于點(diǎn)￡,則/

A4c的度數(shù)為（）

【答案】B

【解答】解：???將繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△/戌。，

：.ZBAE=-30°,ZC=ZC=45°,

又；AB'±BC,

：.ZEAC=45°,

:./BAC=75°,

故選：B.

6.如圖，點(diǎn)￡是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△/DE繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△/B尸的位置.若四

邊形/ECF的面積為36,DE=2,則/尸的長(zhǎng)為（）

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B.V32C.8D.2710

【答案】D

【解答】解：??,把△/￡>￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△初尸的位置,

，AADE咨4ABF,

：.AE=AF,四邊形NEC尸的面積等于正方形N8CZ）的面積等于36,

：.AD=DC=6,

"：DE=2,

RtMDE中，^=7AD2+DE2=2>/10，

：.AE=AF=WI5，

故選：D.

7.如圖，RtZUBC中，ZACB^90°,BC=4,/C=3,將△4BC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△/3C,若點(diǎn)。在

AB±,則的長(zhǎng)為（）

A.V10B.4C.275D.5

【答案】A

,/將△NBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△/'BC,

：.ZT4'C5=ZC=90°,A'C=AC=3,AB=A'B,

根據(jù)勾股定理得：

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^5=VBC2+AC2=5,

?\A1B=AB—5,

：.AC=AB-BC=1,

在RtZk/4。中，由勾股定理得：

■=VAC72+A7CZ2=技，

故選：4

8.如圖，在等腰△405中，OA=AB,ZOAB=nO°,CM邊在x軸上,將△402繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

）

（-1,娓）

【答案】B

【解答】解：過(guò)5作8C_LCM于。，直線48交y軸于。,

\ZAOB=30°,

\ZDOB=60°,

；0B=2心

,?BC-|oB=V3)

\OA=AB=2,

.?將△NOB繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到△4。夕，

*.Z5'=30°,A'O=OA=2,OB/=05=273>ZBOB'=}20°,

ZDOB'=60°,

,.NODB=90°,

,?OD-jflB7=V§，

\B'D=3,

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：.AD=B'D-AB'=\,

，點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-1,V3),

故選：B.

—.填空題(共7小題)

9.若點(diǎn)/(2,-3)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是2,則點(diǎn)3的坐標(biāo)為(-2,3).

【答案】(-2,3).

【解答】解：???點(diǎn)/(2,-3)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，

...點(diǎn)2的坐標(biāo)為(-2,3),

故答案為：(-2,3).

10.如圖，已知四邊形/BCD是長(zhǎng)方形，點(diǎn)￡、/分別在線段/8、CD上，將四邊形NEED沿跖翻折得到

【答案】108°.

【解答】解：：/CED'=36°,

/.ZDFD1=180°-ZCFD'=180°-36°=144°,

由翻折得N。'FE=ZDFE,

：.2ZDFE+144°=360°,

：.ZDFE^108°,

故答案為：108°.

11.如圖，將長(zhǎng)為6,寬為4的長(zhǎng)方形/BCD先向右平移2,再向下平移1,得到長(zhǎng)方形49c則陰影部

分的面積為12.

【解答】解：由題意可得，陰影部分是矩形，長(zhǎng)8C=6-2=4,寬48=4-1=3,

陰影部分的面積=4X3=12,

故答案為：12.

12.線段48兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為/(2,4),B(5,2),若將線段48平移，使得點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C

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(3,-1).則平移后點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1).

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：(5,2),點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C(3,-1).

變化規(guī)律是橫坐標(biāo)減2,縱坐標(biāo)減3,

'：A(2,4),

平移后點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),

故答案為(0,1).

13.如圖，有一塊長(zhǎng)方形區(qū)域，AD=2AB,現(xiàn)在其中修建兩條長(zhǎng)方形小路，每條小路的寬度均為1米，設(shè)

N8邊的長(zhǎng)為x米，則圖中空白區(qū)域的面積為2X2-3X+1.

AGHD

BC

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：AD=2AB,設(shè)N8邊的長(zhǎng)為x米，則4)=2x米，

空白區(qū)域的面積為：(x-1)(2x-l)=2x2-3x+l,

故答案為：2x2-3x+l,

14.如圖，在RtZk/BC中，/R4c=30°,BC=3,將△/BC繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△48'C,則

BB'=_642_.

【答案】6近.

【解答】解：?在中，BC=3,ZACB=90°,/BAC=3T,

:.AB=2BC=6,

?.,將△4BC繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到C,

：.ZZBAB'=90°,AB=AB'=6,

:，BB'=VAB2+AB/2=6V2.

故答案為：6&.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)尸(2,3)繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)尸'，則點(diǎn)P'的坐標(biāo)為

(3,-2)或(-3,2).

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【答案】(3,-2)或(-3,2).

【解答】解：將點(diǎn)尸(2,3)繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)尸'，如圖:

分別過(guò)點(diǎn)尸和P作?y軸于點(diǎn)作PNLx軸于點(diǎn)N,

:將點(diǎn)尸繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P,

/.ZPOM+ZP'OM=90°,

:"P’OM+ZP'ON=90°,

：.ZPOM+AP'ON,

在△POAf和中，

rZPM0=ZPyNO

<ZP0M=ZPyON.

,OP=OP'

.?.△POM也△尸'OM（AAS）,

：.OM=ON=3,PM=P'N=2,

由圖可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,-2）或（-3,2）；

故答案為：（3,-2）或（-3,2）.

三.解答題(共3小題)

16.如圖，△/BC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為N(2,4),B(1,1),C(4,3).

(1)請(qǐng)畫(huà)出繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△431Q,并寫(xiě)出小的坐標(biāo);

(2)求(1)中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到Q點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留n).

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【答案】(1)國(guó)圖見(jiàn)解答；A\(-4,2).

(2)—n-

2

【解答】解：(1)如圖，△小處。即為所求.

點(diǎn)小的坐標(biāo)為(-4,2).

(2)由勾股定理得，。。=值:1=5,

.-.C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C1點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為9°兀2%=0.

1802

17.如圖所示，點(diǎn)。是等邊△N2C內(nèi)的任一點(diǎn)，連接CM,OB,OC,ZAOB^150°,N3OC=120°,將

△3OC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△/DC.

(1)求/D/O的度數(shù)；

(2)用等式表示線段OB,0c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

A

B

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【答案】⑴90°；

(2)042+082=002.

【解答】解：(1)'：ZAOB=150°,/8OC=120°,

ZAOC=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，/OCD=60°,ZADC^ZBOC^120°,

：.ZDAO=360°-60°-90°-120°=90°；

(2)線段。4,OB,0c之間的數(shù)量關(guān)系是CM2+0B2=OC2.

如圖，連接。D.

,/4BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△4DC,

.?.△ADCmABOC,ZOCD=60°.

：.CD=OC,ZADC=ZBOC=]20a,AD=OB,

...△OC￡＞是等邊三角形，

AOC=OD=CD,ZCOD=ZCDO=60°,

VZAOB=150°,ZBOC=nO°,

：.ZAOC^90°,

：.ZAOD^30°,ZADO^60°.

：.ZDAO=90°.

在RtZ\4DO中，ND4O=90°,

：.OA2+AD2=OD2.

：.OA2+OB2=OC2.

18.如圖，在△48C中，ZACB=90°,AC=BC,。是48邊上一點(diǎn)(點(diǎn)。與/,8不重合)，連結(jié)CD,

將線段。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F,連接BE.

(1)求證：4ACD當(dāng)ABCE；

(2)當(dāng)/BDE=25°時(shí)，求NAEF的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析過(guò)程;

(2)65°.

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【解答】(1)證明：??,將線段CZ)繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE,

：?CD=CE,NDCE=90°=NACB,

：./ACD=/BCE,

VZACB=90°,AC=BC,

；?NCAB=NCBA=45°,

在△4CZ)和△8五中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE，

LCD=CE

:.AACD/ABCE("S),

(2)解：MACDmABCE,

：.ZCBE=ZCAD=45°,

:?/ABE=/ABC+/CBE=90°,

VZBDE=25°,

AZBEF=65°.

▼觸力報(bào)升

一.選擇題(共7小題)

1.如圖，將長(zhǎng)方形N5C。放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。與原點(diǎn)重合，點(diǎn)4C分別在y軸和x軸上，點(diǎn)

B(8,4),連接80,并將△N8。沿8。翻折至長(zhǎng)方形/8CO所在平面，點(diǎn)/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)￡,則點(diǎn)￡

【答案】A

【解答】解：設(shè)BE交OC于點(diǎn)尸，作硒，。尸于點(diǎn)〃，則/?！ā?90°,

.四邊形48co是矩形，B(8,4),

：.OA=BC=4,OC=AB=S,AB//OC,

：.ZABO^ZFOB,

由翻折得班=/8=8,OE=OA=4,ZABO=ZFBO,ZOEB=ZOAB=90°,

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/./FOB=/FBO,

:.BF=OF,

:.EF=8-BF=8-OF,

'：OE2+EF2=OF2,

：.42+(8-OF)2=0尸2,

解得。尸=5,

:.EF=8-5=3,

1X)F?EH=1JOE?EF=SAOEF，

22

.,.JLX5￡'//=-LX4X3,

22

解得￡〃=衛(wèi)，

5

???O//=VOE2-EH2=JI2-2=^

Voo

.“(Il上)，

55

2.如圖，將周長(zhǎng)為8的△48C沿3C方向向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到△〃￡后則四邊形/BED的周長(zhǎng)為（

【答案】B

【解答】解：；AABC沿BC方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到

：.DF=AC,AD=CF=2,

：.四邊形ABFD的周長(zhǎng)=AB+BF+DF+AD

^AB+BC+CF+AC+AD

=AABC的周^z+AD+CF

=8+2+2

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=12.

故選：B.

3.如圖，正方形4BCD,邊長(zhǎng)AB=2,對(duì)角線/C、3。相交于點(diǎn)O,將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處,

三角板兩邊足夠長(zhǎng)，與BC、CD交于E、尸兩點(diǎn)，當(dāng)三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段斯的最小值為（）

B.2C.V2D.272

【答案】C

【解答】解：:四邊形N2CD是正方形,

：.OC=OD,NODC=NOCB=45°,OCLOD,

VZEOF=9Q°=ZC0D,

：.ZDOF=ZCOE,且0c=O。，ZODC=ZOCB=45°,

:.△OEgAOFD(ASA)

：.OE=OF,且N￡OF=90°,

：.EF=y/2OE,

二。￡取最小值，所有最小值,

當(dāng)O￡J_5c時(shí)，OE有最小值,

"：OB=OC,NBOC=90°,OE±BC,

:.OE=^LBC=I,

2

...斯的最小值為我,

故選：C.

4.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)2在第一象限，點(diǎn)/在x軸的正半軸上，NAOB=NB=30°,04=2.將

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)方的坐標(biāo)是（）

(-3,V3)C.(小，2V3)D.(-1,2V3)

【答案】A

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)8'作/軸于

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在Rt/XHB'X中，'：A'B'=2,NB'A'H=60°,

：.A'H=A'B'cos60°=1,B'H=A'B'sin60°=?,

.??O〃=2+l=3,

：.B'(-M，3),

故選：A.

5.如圖，菱形48CQ,點(diǎn)4B,C,。均在坐標(biāo)軸上，ZADC=120°，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-4,0）,點(diǎn)￡

是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（）

A.4B.C.473D.

【答案】A

【解答】解：根據(jù)題意得，￡點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是3C的中點(diǎn)￡,連接?！杲籞C與點(diǎn)尸，此時(shí)尸ZMPE

???四邊形/BCD是菱形，//8C=120°,點(diǎn)N(-4,0),

：.OA=OC=4,ZDBC=60°,

...△BCD是等邊三角形,

；.DE=OC=4,

即PD+PE的最小值是4,

故選：A.

6.如圖，將正方形紙片45CD沿尸0折疊，使點(diǎn)。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E落在邊48上，點(diǎn)。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，EF

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為交/。于點(diǎn)G,連接CG交尸0于點(diǎn)X,連接CE.下列四個(gè)結(jié)論中：①△尸②SACEG=

SACBE+S四邊形8”；③EC平分/BEG；@EG2-CH2=GQ-GD,正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

【答案】B

【解答】解:①???四邊形/BCD是正方形，

:.NA=NB=NBCD=ND=90°.

由折疊可知：NGEP=NBCD=90°,//=/。=90°.

AZBEP+ZAEG=90°,

；//=